Лекции - Моделирование систем

Подождите немного. Документ загружается.

Системы и системное моделирование

шинный синтез сложных систем, интенсивно развивающихся в последние

годы.

Легко видеть, что интуитивное понятие сложности системы учитывает

как сложность ее структуры, так и сложность функции, реализуемой сис-

темой. Построение формального понятия сложности системы, охватываю-

щего эти аспекты, в совокупности, оказалось весьма трудной научной про-

блемой, которая в настоящее время находится лишь в начальной стадии

решения.

Наиболее элементарное и, весьма узкое, формальное понятие сложно-

сти системы можно построить следующим образом. Пусть в нашем распо-

ряжении имеется n элементов. Для каждого типа интуитивно, с учетом на-

копленного опыта, устанавливаются величина сложности элемента, изме-

ряемая некоторым образом. Обозначим сложность i-го элемента через s

Будем рассматривать системы, состоящие только из элементов упомяну-

тых n типов. Сложностью S системы, состоящей из элементов со сложно-

стью s

, i=1,2,3,…,n, будем называть величину

,ksS

∑

⋅= (1.6)

где k

- число элементов i-го типа, входящих в систему.

Несмотря на примитивность такого подхода с общей точки зрения

(величина S никак не учитывает сложности функции системы и весьма уз-

ко, без учета взаимосвязей между элементами, характеризует ее структу-

ру), он оправдывает себя в очень многих практических случаях.

Для того, чтобы также учесть структуру системы, целесообразно вы-

ражение (1.6) сделать зависящим от числа связей между элементами. В ча-

стности, для некоторых классов сложных систем можно поступить сле-

дующим образом. Легко видеть, что число элементов N системы равно

Системы и системное моделирование

∑

k . Как известно, максимальное число связей между элементами будет

равно N⋅(N-1). Пусть практическое число связей, реализуемых в системе,

обозначается M

. Величина

)1N(N

−⋅

=α

характеризует относительное число реализованных связей. Тогда слож-

ность системы можно оценивать величиной

,ks)1(S

∑

⋅⋅να+=

где ν - коэффициент, учитывающий сложность связей по сравнению со

сложностью элементов системы.

1.4. Выводы по главе.

Pассмотpенная выше методология системных исследований носит

достаточно общий хаpактеp и может быть пpименена к исследованиям са-

мых pазнообpазных систем. Очевидно, что обладая опpеделенной унивеp-

сальностью, данная методика наиболее существенно пpоявляет свои

пpеимущества пpи ее пpименении в конкpетной области.

Существенным достоинством пpедставленной методики системного

анализа является то, что она вносит опpеделенный порядок в пpоведение

исследований.

Важно отметить, что введение понятий функциональных характери-

стик сложных систем, помимо очевидной полезности, обеспечивает еще и

возможность исчисления именно системных параметров. Это позволяет

сопоставлять, сравнивать сложные системы.

2.1. Общие определения.

Возможность исследования проектируемой системы путем экспери-

ментирования с более простой и дешевой системой - моделью - издавна

использовалась в инженерной практике. В настоящей главе будет пред-

ставлено общее представление о процессе моделирования в целом.

В литературе приводятся несколько определений понятия «моделиро-

вание». Мы под моделированием будем понимать средство изучения сис-

темы путём её замены более удобной для исследования системой (моде-

лью), сохраняющей интересующие исследователя свойства.

Иными словами - модель - это объект любой природы, который спо-

собен замещать изучаемый объект в интересующих исследователя свойст-

вах, а моделирование - это построение (или выбор) и изучение моделей с

целью получения новых знаний об объектах.

Для общей оценки методов моделирования и их практического ис-

Модели

моделирование

Модели и моделирование

пользования необходимо провести классификацию методов моделирова-

ния. Следует отметить, что в настоящее время не существует единой и об-

щепризнанной классификации методов моделирования. Это объясняется

прежде всего многообразием форм моделирования, используемых в обще-

теоретических, научных, технических и других разработках и исследова-

ниях. Наиболее полной считается классификация, предложенная В.А. Ве-

никовым [13]. Настоятельно рекомендуем обратиться к этой книге с тем,

чтобы более детально ознакомиться с видами моделей, их преимущества-

ми и недостатками, найти понятные примеры.

В соответствии с данной классификацией выделяют логические, фи-

зические, математические и компьютерные (имитационные) модели.

Одним из исторически первых видов моделирования, который исполь-

зовался человеком, является логическое моделирование. Логические моде-

ли создаются на основе рассуждений. Очевидно, что любой человек, преж-

де чем совершить какое-либо действие, вначале думает, то есть строит не-

кую логическую модель. Ярким примером подобного рода моделей явля-

ются различного рода общественно-политические и иные учения социаль-

ной направленности. Отличительная особенность логических моделей –

своеобразный способ доказательства подобия, адекватности модели моде-

лируемой системе. Главнейшим судьей верности той или иной логической

модели является время. Только по прошествии большего или меньшего

временного промежутка можно говорить об адекватности логической мо-

дели. И не всегда известные нам модели этого вида получили подтвержде-

ние. Важным же достоинством логических моделей является их обязатель-

ное присутствие во всех иных видах моделей.

Другим, также достаточно давно появившимся видом моделей, явля-

ются физические модели. Главное их отличие от других видов моделей яв-

ляется наличие в них именно физического подобия наиболее важных ис-

Модели и моделирование

следуемых свойств. Наиболее яркими примерами физических моделей

служат детские игрушки. Иной пример – при проектировании автомобиля

дизайнеры строят пластилиновую физическую модель будущего изделия.

Достоинство этого вида моделей состоит в высочайшей степени наглядно-

сти результатов.

Третьим, наиболее мощным видом моделирования является матема-

тическое моделирование. Математическая модель – это строго формализо-

ванное на языке математики описание исследуемой системы. Зародившись

и развиваясь вместе с математикой, данный вид моделирования в настоя-

щее время является определяющим в системных исследованиях. В качест-

ве примеров приведу известную легенду об Архимеде, погибшем в момент

создания математической (геометрической) модели метательной машины,

другой математической моделью является уравнение колебания маятника.

Можно приводить примеры математических моделей, основанные на диф-

ференциальных уравнениях, аппарате теории вероятностей и других разде-

лах математики. Самое главное преимущество математических моделей

перед другими видами моделей состоит в строгой формализованной дока-

занности и обоснованности получаемых результатов. Например, если вы

имеете уравнение второго порядка

a·x

+ b·x + c = 0,

то всегда известно какие корни оно имеет и как эти корни получить. Зная

коэффициенты a, b и с, вы всегда знаете, какие результаты будут получе-

ны. В этом и состоит главное преимущество математических моделей.

Если по каким-либо причинам нет возможности найти корни уравне-

ния

f(x, a

, a

, …, a

) = 0,

где a

– коэффициенты, или отыскать значение определенного интеграла

Модели и моделирование

∫

⋅ ,dx)x(f

то на помощь приходят численные методы, которые обеспечивают нахож-

дение не аналитически точного результата, а некоторого приближенного

решения. При этом точно обосновывается и доказывается сходимость вы-

числительных процедур.

Но, к сожалению, математическое моделирование не обеспечивает

решение тех задач системных исследований, которые возникли за послед-

ние полвека. Ядерная физика, ракетные технологии, бурное развитие ком-

пьютерной техники, развитие высоких технологий, другие современные

научные и технические достижения поставили перед исследователями за-

дачи такой сложности, которые нельзя было решить, базируясь только на

современных достижениях математики. Конечно, с течением времени бу-

дут созданы математические модели, обеспечивающие решение таких за-

дач, но результат необходим уже сегодня !

Пусть исследуемая система S состоит из n элементов s

, s

, …, s

взаимосвязи которых описываются так называемой матрицей связей А.

Предполагая, что отдельные элементы или их группы эффективно могут

быть исследованы с помощью различных математических моделей. Одни,

к примеру, посредством дифференциальных уравнений, другие – с помо-

щью аппарата теории вероятностей, третьи – с помощью каких-либо дру-

гих математических описаний. Возникает проблема объединения таких

разнородных и не стыкуемых аппаратов. Решить ее можно только найдя

некое объединяющее свойство. И таковым является информация, переда-

ваемая по связям между элементами. Но, чтобы провести какие-либо ис-

следования, необходимо «запустить» систему, то есть задать исходные

данные и проигрывать, воспроизводить функционирование элементов,

Модели и моделирование

производя вычисления, расчеты с помощью соответствующих этим эле-

ментам математических моделей. Тем самым будет производиться имита-

ция функционирования всей системы.

Такого рода модели называют имитационными.

Иногда используются термины «машинное», «компьютерное» моде-

лирование. Последнее обусловлено использованием вычислительной тех-

ники как инструмента, реализующего значительные объемы расчетов.

Итак, имитационное моделирование – это численный эксперимент с мате-

матическими моделями элементов исследуемой системы, объединенными

на информационном уровне.

Обратим внимание на факт взаимопроникновения различных видов

моделирования. Во-первых, во всех типах моделей обязательно присутст-

вует логическая составляющая. Во-вторых, имитационные модели, оче-

видно, могут включать не только математические модели элементов ис-

следуемой системы, но и физические модели. Подтверждением последнего

являются имитационные модели в форме тренажеров для подготовки кос-

монавтов, водителей, пилотов, судоводителей.

Отправной точкой при построении модели исследуемой системы бу-

дем считать описание объекта моделирования.

Описание – совокупность сведений об исследуемой системе и услови-

ях, при которых необходимо провести исследование. Описание, представ-

ляемое в виде схем, текстов, формул, таблиц экспериментальных данных,

характеризующих предполагаемую структуру и функционирование систе-

мы, содержит также характеристики внешних воздействий и окружающей

систему среды. Таким образом, описание задает предполагаемый алгоритм

работы системы и может формально рассматриваться как некоторая функ-

ция внешних воздействий.

Модель воспроизводит описание с большими или меньшими упроще-

Модели и моделирование

ниями, зависящими от намерений исследователя и инструментальных

средств, имеющихся в его распоряжении. При этом должен остаться ра-

зумный компромисс между точностью воспроизведения и сложностью не-

обходимых для этого средств. Другими словами, при моделировании про-

изводится аппроксимация функции-описания более простой и удобной для

машинного счета функцией - моделью.

Заметим, что моделирование системы неразрывно связано с её проек-

тированием и разработкой и поэтому является развернутым во времени

процессом построения, экспериментального исследования и корректиров-

ки.

Назовем различием α (ω,µ) между описанием ω и моделью µ величи-

ну α (ω,µ )=| Θ

−Θ

|, где Θ

- скалярный показатель, который мы намери-

ваемся оценить при исследовании системы (например, производитель-

ность, надежность, погрешность); Θ

- соответствующий показатель, полу-

ченный при анализе модели µ.

Аналогично можно определить различие α (µ

,µ

)=| Θµ

−Θµ

двух

моделей µ

и µ

Переход от системы к модели.

В зависимости от того, какие сведения преобладают в описании моде-

лируемой системы, различают модели функционирующих и проектируе-

мых систем. В первом случае структура систем мало изучена и зачастую

может считаться неизвестной, но поведение системы при заданных внеш-

них воздействиях доступно для экспериментального исследования. Ис-

пользованные здесь методы моделирования хорошо освещены в литерату-

ре и могут считаться традиционными. Во втором случае известна предпо-

лагаемая структура проектируемой системы и данные о функционирова-

нии её отдельных элементов, но отсутствуют данные о функционировании

Модели и моделирование

системы в целом.

Во многих случаях для получения математической модели нужны

подробные сведения или значительные экспериментальные возможности,

которых может и не быть, и приходится прибегать к эмпирической модели.

Конечно, точная математическая и чисто имитационная модели представ-

ляют собой две крайности. Обычно используемые модели занимают про-

межуточное положение. В частности, можно использовать неполные тео-

ретические представления для указания подходящего класса математиче-

ских функций, которые могут

быть потом эмпирически по-

догнаны. Это означает, что

число параметров модели и их

численные значения оцени-

ваются по эксперименталь-

ным данным.

В завершении данного

параграфа рассмотрим так на-

зываемый итеративный под-

ход к построению моделей [7]

(рис. 2.1).

1. Из взаимодействия тео-

рии и практики выбирается

класс моделей (для достиже-

ния поставленной цели).

2. Так как этот класс

слишком обширен для непо-

средственной подгонки к дан-

Рис. 2.1. Итеративное построение модели.

Постулирование общего класса

моделей

Идентификация пробной модели

Оценка параметров пробной модели

Диагностическая проверка

(адекватна ли модель)

Использование модели

Да

Модели и моделирование

ным, развиваются грубые методы идентификации подклассов этих моде-

лей. Такие методы идентификации используют имеющиеся данные и зна-

ние системы и дают для опробования соответствующие экономичные под-

классы моделей. Кроме того, процесс идентификации может быть исполь-

зован для получения грубых предварительных оценок параметров модели.

3. Пробная модель подгоняется к данным, оцениваются её параметры.

Грубые оценки, получаемые на этапе идентификации, теперь можно ис-

пользовать как начальные значения в более точных итеративных методах

оценивания параметров.

4. Диагностические проверки позволяют выявить возможные дефекты

подгонки и диагностировать их причины. Если такие дефекты не выявле-

ны, модель готова к использованию. Если обнаружено какое-либо несоот-

ветствие, итеративные циклы идентификации, оценок и диагностические

проверки повторяются до тех пор, пока не будет найдено подходящее пре-

ставление модели.

2.2. Принципы и правила моделирования [35].

Обсуждаемые в дальнейшем эвристические приемы построения моде-

лей можно условно разделить на принципы и правила.

Принципы (π) определяют общие свойства, которым должна обладать

построенная модель.

Правила (ρ) дают способы получения нужных свойств модели.

Рассматриваемые порознь, принципы и правила могут показаться оче-

видными. Однако список правил полезен в качестве памятки даже для

опытного проектировщика, а система из нескольких принципов и правил

зачастую оказывается совсем не тривиальной.

Основные принципы построения модели есть: