Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 251

В случае анизотропии переноса импульса и вещества с учетом (10.51)

уравнение движения в напряжениях принимает вид



kiiijkjkii

IпSMVF









(10.52)

При задании тензора напряжений одним из выражений (10.48

), (10.52)

или (10.51

) в уравнении Навье – Стокса (10.52) дополнительная вязкость как

фактор регуляризации проявляется в любом сдвиговом течении (например,

введение дополнительной вязкости необходимо для удержания детерминиро-

ванности процесса, особенно в области больших скоростей).

Таким образом, задача сопряжения для пузырька в жидкости может

быть замкнута новым реологическим уравнением или задана уравнением

(10.52

) с учетом тензора вязкости. Решение для случая динамики сфериче-

ского пузырька с учетом новой постановки задачи привело к более точному

совпадению с результатами эксперимента.

Вообще говоря, существует два механизма, оказывающих разруши-

тельное воздействие на тела в зоне развитой кавитации: механизм образова-

ния кумулятивной струйки по Корнфельду – Суворову вследствие несиммет-

ричного схлопывания кавитационного микропузырька вблизи стенки или об-

текаемой потоком поверхности, обусловливающий кавитационную эрозию;

механизм действия сферичных ударных волн, возникающих при симметрич-

ном схлопывании пузырьков в «безграничной» жидкости при отсутствии в

жидкости достаточ

но больших по размеру твердых примесей.

Как правило, эффекты

, связанные с кавитацией, крайне нежелательны в

технике (разрушение рабочих органов насосов, гидротурбин, корабельных

винтов; вибрация оборудования; износ трубопроводов и гидроарматуры и

многое другое). В данном случае интерес к теории кавитационного воздейст-

вия вызван поиском путей использования кавитационных эффекто

в созда-

нии новых технологий, способов применения уникальных возможностей,

возникающих в условиях развитой пузырьковой кавитации.

Обзоры по этим вопросам можно найти в монографиях Д. Кнеппа,

В. М. Ивченко, Ю. Л. Левковского и др., а к специальной области акустиче-

ской кавитации относятся работы Флинна и Розенберга, Плессета и Маргу-

лиса и др.

Модели кавитационного

воздействия в ряде технологических процес-

сов и феноменологические модели действия кавитации на различные объек-

ты достаточно описаны. Однако остается актуальной задача разработки тео-

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 252

ретических методов расчета и оценки кавитационных воздействий в жидких

системах и на твердофазные включения (с технологической точки зрения,

эрозионные разрушения стенок, или, в общем случае, твердых границ, потока

нежелательны и должны быть исключены).

Эрозия различных материалов определяется не только их свойствами,

но и общим числом схлопывающихся пузырьков и распределением возни-

кающих при этом импульсо

в давления по амплитуде. Рассмотрим

разруши-

тельный эффект отдельного пузырька и связь этого эффекта с механическими

свойствами материала.

Пусть пузырек, имеющий в стадии максимального расширения диа-

метр

max

, обладает максимальной потенциальной энергией E

, часть которой

, зависящая от механизма схлопывания, передается поверхности материа-

ла. Энергия

частично отражается, а часть ее Е

поглощается материалом.

Введем также энергию

, необходимую для разрушения материала.

Для пузырька с критической скоростью удара (

100



м/с)

ккр.321.крр

ЕE





(10.53)

где



м 12

123

кк

, ,

Е ZZ

ЕЕ







– коэффициенты поглощения пло-

ской акустической волны, падающей по нормали к поверхности;

111





222

Z c

– волновые сопротивления жидкости и материала соответственно.

Связь потенциальной энергии и диаметра пузырька может быть выра-

жена следующей формулой:



max0

DPPE

aki



(10.54)

Здесь

– гидростатическое давление, Р

– амплитуда акустического

давления,

+ Р

– полное давление, действующее в стадии максимального

расширения пузырька. Методом амплитудной спектрометрии получена одно-

значная связь

max ii

mUD





(10.55)

где

– амплитуда импульса напряжения при схлопывании пузырька

max

на прямой части гидрофона;



– убыль массы материала в результате

однократного действия такого импульса.

Таким образом, возможно определение энергии разрушительного дей-

ствия одного пузырька заданием коэффициентов

321

,, 



, принимая энер-

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 253

гию разрушения единицы объема равной предельной энергии упругой де-

формации:

,5,0

кр. р





(10.56)

где



и Е – соответственно предел прочности и модуль упругости ма-

териала. В результате потерь при сжатии пузырька в энергию удара о твер-

дую поверхность преобразуется не более 0,01 % ее исходной потенциальной

энергии.

Ранее было показано теоретически, что схлопывание каверны сопро-

вождается распространением в жидкости импульса давления в виде ударной

волны, величина которой может достигать 10

МПа. Затухание волны от оди-

ночного пузырька происходит настолько быстро, что пузырек может вызвать

разрушение поверхности твердого тела, если оно находится от него на рас-

стоянии, сопоставимом с начальным радиусом пузырька.

В этой связи вызывает интерес физическая задача о движении одиноч-

ного пузырька вблизи обтекаемого плоскопараллельным потоком изолиро-

ванного профиля (наиболее р

аспространенная в гидромашинах задача опре

деления интенсивности и места кавитационной эрозии). На рис. 10.9

показана

схема движения пузырька в поле обтекаемого профиля:

, y

, R

– координа-

ты и радиус пузырька в начальный момент времени;

, P

– поле скоростей и

давлений вдалеке от профиля;

 – угол атаки; L – длина хорды профиля. Жид-

кость принимается однородной и несжимаемой.

Рис. 10.9

При решении задачи сопряжений для модели схлопывания по Чэпмену

и Плессету скорость микроструйки

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 254

,8,12

стр







(10.57)

а время замыкания

,109,1

max







(10.58)

откуда

.15

max

стр

V 

(10.59)

Максимальный размер пузырька и время его жизни, необходимое для

расчета скорости микроструйки и определения места его удара, находят из

уравнения движения пузырька в поле обтекаемого профиля. Зная скорость

микроструйки

стр

и скорость звука в жидкости a, можно легко перейти к

давлению, оказываемому струйкой на материал:

стрстр

aVР





(10.60)

С применением функции Лагранжа система дифференциальных урав-

нений, описывающих радиальное и поступательное движение изолированно-

го пузырька (рис. 10.9

) в потоке жидкости, имеет вид









































;932grad

VrRRR

VrC

gVr

























,(10.61)

где



– радиус-вектор центра пузырька;  – коэффициент поверхност-

ного натяжения жидкости;

– приведенный коэффициент сопротивления

поступательного движения пузырька в жидкости:



065,01



































VyVx



(10.62)

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 255

При решении (10.61) определяем траекторию движения пузырька, в

общем случае совпадающую с линией тока, а также зависимость R(t). Для

определения полей скоростей и давлений около профиля используют метод

конформных отображений. Обтекаемый профиль задается коэффициентами

конформного отображения в комплексной плоскости Z=X+iY в виде ряда















aaZ

(10.63)

где a

(k = 0, 1, 2,...) – комплексные коэффициенты; a

всегда положите-

лен;

 i

– комплексная плоскость единичного круга.

Для плоскопараллельного потока вдоль оси

x (рис. 10.9) комплексный

потенциал записывается в виде

,ln

Ã1



























VaW

(10.64)

где Г – циркуляция по контуру профиля – определяется из условия Ча-

пыгина о конечности скорости жидкости у задней кромки:





.sin4

















(10.65)

Давление внутри пузырька

из условия силового равновесия пузырь-

ка вдали от профиля

1 ddg

PP 































(10.66)

т. е. принимается, что при изменении объема газ ведет себя изотерми-

чески. В работах различных исследователей отмечается, что только пузырь-

ки, касающиеся стенки или отстоящие от нее на расстоянии не более R, опас-

ны в плане разрушающего воздействия. Однако в скоплении пузырьков их

схлопывание, по-видимому, происходит согласованно (схлопывание одного

пузырька вызывает схлопывание других), и результирующая ударная волна

(также

10 МПа) может вызвать разрушение поверхности твердого тела на значи-

тельно больших расстояниях. Кроме того, известно, что схлопывание пу-

зырька вблизи поверхности твердого тела не является сферически-

симметричным.

Выполненный Тирувенгадамом анализ физики кавитационной эрозии

позволяет получить выражение для интенсивности эрозии

в виде

,RfpI



(10.67)

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 256

где р

– давление удара; R – радиус ударной волны или струи; f – часто-

та удара. Наблюдения Тирувенгадама показали значительное изменение ско-

рости эрозии при изменении скопления пузырьков при данной скорости (т. е.

при изменении физических размеров системы). В зависимости от механизма

схлопывания (с образованием сферической ударной волны; с образованием

кумулятивной струйки, действующей в течение длительного промежутка

времени при асимметричном схлопывании за счет давления торможения; с

возникновением гидравлического удара от короткой струи малой продолжи-

тельности, также возникающей при аси

мметричном коллап

се) эрозия может

быть описана следующими выражениями:

сферическая ударная волна

























WeQ

67,2

exp

, (10.68)

удар струи

























67,2

exp

, (10.69)

гидравлический удар

























WeM

67,2

exp

, (10.70)

где





;5,0







– относительный размер ядра кавитации (d –

диаметр ядра,

l – длина каверны);





 dVWe

5,0 – число Вебера;







5,0 VPP



– число кавитации;





001

5,0 VPP



– критическое

число кавитации (начало кавитации);













– степень кавитации;

aVМ



– число Маха (a – скорость звука); Q

– парциальное давление некон-

денсирующегося газа в пузырьке перед началом схлопывания (то же, что

Эти зависимости качественно согласуются с экспериментальными. Од-

нако приведенные выкладки и рассуждения главным образом описывают по-

ведение одиночных пузырьков. В лучшем случае используются интегральные

зависимости (например, (10.68

), (10.69), (10.70)), когда оценивается конеч-

ный результат на основе механистических представлений о совместном воз-

действии групп пузырьков. Но здесь нельзя обойтись арифметическим сум-

мированием действия отдельных пузырьков даже в рамках модели сфериче-

ской симметрии при их схлопывании. На самом деле пузырьки в динамике

влияют друг на друга, теряя свою сферическую форму, как показано ранее,

схлопывание одного влияет на коллапс остальных. При быстром сжатии и

коллапсе пузырька возникают деформации, теряется устойчивость пузырьков

и они распадаются на более мелкие.

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 257

Хотя анализ коллапса сферической каверны в несжимаемых жидкостях

показывает достаточно верную картину большей части процесса, на конеч-

ной стадии схлопывания и при повторном образовании пузырька этот анализ

перестает давать достоверные результаты, которые являются важными при

определении разрушающих воздействий кавитации.

Для сжимаемых жидкостей исследования Хиклинга и Плессета схлопыва-

ния и повторного образования кав

ерны численными методами можно рассмат-

ривать как точные. Здесь частично были использованы

работы Гилмора, осно-

ванные на приближении Кирквуда – Бете, очень близкие к точным решениям.

По данным различных исследователей, максимальное давление внутри

пузырька достигает от 20 до 100 МПа (в зависимости от принятых граничных

условий). Причем давление в ударной волне затухает по геометрическому за-

кону: обратно пропорционально расстоянию от центра пузырька.

При несферическом схлопывании

пузырька с образованием кумуля-

тивной ультраструйки давление удара можно получить из уравнения гидрав-

лического удара

aaV







, (10.71)

где  и a – плотность и скорость звука;

– скорость струи. Индекс s

относится к материалу поверхности, о которую ударяется струя.

Расчеты без учета теплообмена и пространственно-временного распреде-

ления температуры в сжимающемся пузырьке и прилегающей к нему области не

дают полной картины процесса и не позволяют построить достоверную и пол-

ную модель образования ударных волн, физического механизма их возникнове-

ния.

Максимальная скорость стенки пузырька



меньше скорости звука при

учете теплообмена (не более 600 м/с), и образование ударных волн, наблю-

даемое экспериментально, трудно объяснить. Расчеты, приведенные в рабо-

тах М. А. Маргулиса, показали, что на конечном этапе схлопывания темпера-

тура в пузырьке повышается со скоростью



>10

К/с; при этом испарение че-

рез свободную поверхность жидкости и через стенки гетерогенных зароды-

шей кавитации должно быть незначительным. Импульсный нагрев метаста-

бильной жидкости, близкий к предельному (

 10

К/с), может привести к т. н.

фазовому взрыву жидкости. Можно предположить, что ударные волны при

кавитации обусловлены фазовым взрывом жидкости, перегретой до сверхкри-

тических параметров в кавитационном пузырьке. Такого рода перегрев может

осуществляться и при электрическом разряде в кавитационном пузырьке. Судя

по временным параметрам возникновения соновспышек (примерно 2 нс), им-

пульсный пер

грев может осуществляться со скоростью

10



К/с даже при

повышении эффективной температуры всего на 200 К.

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 258

Рассмотрим действие кавитационных пузырьков для организации раз-

личных технологических процессов. Особое значение имеет случай диспер-

гирования частиц, имеющих достаточно малые размеры, сопоставимые с

размерами молекул или межмолекулярными расстояниями несущей фазы.

Частицы таких размеров будут увлекаться движущейся жидкостью с боль-

шой легкостью, на их перемещение будет оказывать влияние механизм бро-

уновского движения, т. е. такие тела в первом приближении

будут вести себя

как частицы жидкости. Вероятно, здесь основную роль в измельчении движе-

ния должны играть механизмы ударного воздействия групп пузырьков при их

коллективном схлопывании, а также изложенные механизмы воздействия.

По-видимому, описать все возможные схемы взаимодействий схлопы-

вающихся микропузырьков и дисперсной фазы не пред

ставляется во

зможным.

Имеет смысл остановиться на наиболее очевидных (табл. 10.2

), предполагая,

что равновероятно существование множества других схем и их возможных

комбинаций. В табл. 10

отмеченные схемы можно рассматривать как эле-

ментарные «трибологические ячейки» взаимодействия кавитационных микро-

пузырьков и дисперсной фазы; сферическая форма частиц дисперсной фазы

только первое приближение к реальной форме, которая в общем случае произ-

вольна.

Следует отметить, что измельчение полимеров, клеток и микроорга-

низмов, твердофазных включений в растворах и смесях имеет в каждом кон-

кретном случае специфические особенности, рассмотрению которых целесо-

образно посвятить отдельное исследование. Измельчение размера части

дисперсной фазы (геля, золя, полимерного раствора и т. д.) можно охаракте-

ризовать зависимостью, представленной на рис. 10.10

, показывающей изме-

нение размера частоты

R от действия различных факторов.

В общем случае размер дисперсной фазы

должен зависеть: от кон-

центрации дисперсной фазы

; концентрации пузырьков заданного размера

; параметров потока, определяемых числами Вебера We, кавитации , Рей-

нольдса Re; температуры

Т°; давления Р; скорости V; времени ; преоблада-

ния того или иного механизма разрушения, учитываемого коэффициентом

воздействия

; начальных размеров (в общем случае спектра размеров) дис-

персной фазы

; коэффициента, учитывающего вероятность или частоту

события разрушающего взаимодействия

и др. Формализованно эта зави-

симость в неявной форме будет иметь вид





.,...,,,,,,Re,,,,,,

0 fTBRФФ

KRKPVTWeCRCfR 

(10.72)

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 259

Таблица 10.2

Схемы силового взаимодействия ударных волн

и полидисперсной фазы в жидкости

п/п

Схема Описание

2 3

Взаимодействие одиночной частицы дис-

персной фазы с фронтом ударной волны

Взаимодействие частицы с кумулятивной

струйкой при несимметричном коллапсе пузырька

(при соответствующем размере частицы)

Кроме гидродинамического, проявляется и

трибомеханическое разрушение частиц из-за воз-

никающих при таком контакте сил трения, качения

и сдвиговых деформаций

Взаимодействие одиночной частицы с сис-

темой ударных волн при схлопывании групп пу-

зырьков

Воздействие ударных волн при схлопывании

групп пузырьков на скопление частиц дисперсной

фазы

Одновременное воздействие ударных волн и

кумулятивных ультраструек

10. КАВИТАЦИЯ

10.5. Гидродинамические воздействия на жидкости, растворы, золи, смеси и твердые границы потоков



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 260

Окончание

табл. 10.2

Для воды

222

2222

OOHHOHO

OHHOOHHO

OHHOHO

hνHOHO

HOHOH















Деструкция несущей фазы в результате ка-

витационного воздействия и вызванных им меха-

нических реакций

Рис. 10.10

Задачей исследований на перспективу является отыскание конкретных

функций влияния отдельных факторов на процесс диспергации, а также кон-

кретизация и уточнение определения различных коэффициентов, входящих в

(10.72

) для дисперсной и несущей фаз различного состава. Кроме того, необ-

ходимо определить влияние всех факторов на процесс диспергации с целью

возможного упрощения зависимости (10.72

) путем исключения факторов,

влияющих на процесс разрушения незначительно.

Так, кинетику распада макромолекул в ультразвуковом поле можно

описать уравнением первого порядка относительно средней степени полиме-

ризации









PPkN

(10.73)

где

X – число разрывающихся связей в единице объема; k – константа

скорости;



– конечная степень полимеризации. Бретом и Джелинеком

предложена более сложная формула, пригодная для описания скорости дест-

рукции макромолекул при вибрационной кавитации: