Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 211

Интегрируя уравнение (9.33) по

в пределах от нуля до



, получаем







ср22ср1

aVdxV















(9.35)

Интеграл, записанный в левой части этого уравнения, подобен тому,

который встречался при выводе уравнения импульсов, и может быть пред-

ставлен в виде





 

ср12

ср1

2ср1

VdxV

dxV













Используя граничные условия (9.34

), находим







ср1

ср2































Подстановка полученных равенств в уравнение (9.35

) дает



ср1

























adxV

Разделив обе части этого уравнения на

ср



и имея при этом в виду,

что для случая обтекания плоской пластинки скорость потенциального пото-

ка

U есть величина постоянная, получим интегральное соотношение для теп-

лового пограничного слоя, аналогичное уравнению импульсов Кармана,

2ср

ср











































(9.36)

Полином, при помощи которого может быть выражено распределение

температуры в тепловом пограничном слое, должен в соответствии с числом

привлекаемых граничных и дополнительных условий состоять из четырех членов:

22210

xbxbxbb 

(9.37)

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 212

В силу тождественности вида этого полинома и граничных условий

(9.34

) с таковыми для скорости в гидродинамическом пограничном слое

(уравнения (9.18

) и (9.17)) должны быть тождественны по форме и выраже-

ния для температурного и скоростного поля в соответствующих пограничных

слоях. Поэтому можно, опуская детальные вычисления, по аналогии с урав-

нением (9.19

) записать

cр

































(9.38)

Используя выражения (9.19

) и (9.38), вычислим интеграл, входящий в

уравнение (9.36

); получим

280

ср





































































































xxxx

где



 /

Поскольку было принято, что







и, следовательно,

1/ 

, то вто-

рым членом в скобках можно пренебречь.

Далее, дифференцируя выражение (9.38

), находим значение производ-

ной, стоящей в правой части уравнения (9.36

x 























ср

. (9.39)

Если вычисленные значения интеграла и производной подставить в

уравнение (9.36

), то получим













или

.12























(9.40)

В случае когда тепловой пограничный слой зарождается одновременно

с гидродинамическим у передней кромки пластинки, отношение их толщин

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 213

 /

не должно зависеть от

, т. е.



dxd



. Если, кроме того, учесть,

что в соответствии с равенством (9.21

)

140

Udx







то уравнение (9.40

) приобретет вид





Принимая 14/13

 1 и с учетом, что P





, получаем

Pr/1



, или







(9.41)

Это равенство уточняет оценку порядка зависимости величины



от

критерия Прандтля, данную в выражении (9.30

Подставляя в равенство (9.41

) значение



из выражения (9.23), полу-

чим формулу для толщины ламинарного теплового пограничного слоя

PrRe

64,4



(9.42)

Так как эта формула получена в предположении, что 

/  1, то она

применима лишь для случаев, когда Pr  1, т. е. для газов и неметаллических

жидкостей.

Зная



, можно определить значение местного коэффициента теплоот-

дачи



. Примем для определенности, что

срп

TT 

. Имеем



срп1



















или

ср1





















или, наконец, учитывая равенство (9.39







(9.43)

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 214

Отсюда видно, что местный коэффициент теплоотдачи обратно про-

порционален толщине теплового пограничного слоя. Подставляя в (9.43

) зна-

чение



из уравнения (9.42), получим

PrRe324,0





Как и для формулы (9.25

), более точный расчет несколько исправляет

численный множитель в формуле (9.44

), давая

PrRe332,0





. (9.44)

Обычно вместо



пользуются более удобным для расчетов средним по

длине пластинки значением коэффициента теплоотдачи, за которым сохра-

ним обозначение

 и который определяется как





или, учитывая равенство (9.44

.PrRe664,0Pr664,0Pr332,0

dxU



















Этому уравнению можно придать безразмерную форму:

.PrRe664,0Nu







(9.45)

Определив из этого уравнения число Нуссельта, можно найти количе-

ство тепла, отдаваемого жидкости одной стороной пластинки шириною, рав-

ной

b , в единицу времени:













. Дж/с ,Nu

српсрпсрп

TTbTTb

TTlbQ 





 

(9.46)

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 215

Аналогично гидродинамическому и тепловому пограничному слою у

поверхности обтекаемого тела образуется диффузионный пограничный слой, в

котором концентрация растворенного вещества изменяется от значения, кото-

рое эта величина имеет в потоке, до значения у поверхности обтекаемого тела.

Поскольку уравнения конвективного переноса растворенного вещества

и тепла по форме тождественны и одинаков также характер граничных усло-

вий, задаваемых для задач, которые решаются на основе теории погранично-

го слоя, то все решения для диффузионного пограничного слоя могут быть

получены из анало

ичных выражений для теплового пограничного слоя пу-

тем замены в них температуры на концентрацию. Поэтому ограничимся за-

писью только некоторых конечных формул.

Обозначив толщину диффузионного пограничного слоя через



, мо-

жем аналогично равенствам (9.41

) и (9.42) записать





(9.47)

PrRe

64,4



(9.48)

где

D/Pr





 диффузионный критерий Прандтля.

Так как

представляет величину либо близкую к единице (для газов),

либо много большую единицы (для жидкой среды), то в отличие от анало-

гичных равенств для теплового пограничного слоя уравнения (9.47

) и (9.48)

пригодны для любой среды.

Для местного значения коэффициента массообмена будем иметь урав-

нение, сходное с (9.44

,PrRe332,0



(9.49)

а для среднего безразмерного значения этой величины, т. е. для диффу-

зионного числа Нуссельта, можем по аналогии с уравнением (9.45

) записать

.PrRe664,0Nu

ДД





(9.50)

Определив

, можно вычислить количество вещества, отдаваемого

одной стороной пластинки потоку в единицу времени, кг/с,

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.6. Диффузионный ламинарный пограничный слой на плоской пластинке



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 216

  

српДсрп

српД

CCbDCCbD

CClbJ 





(9.51)

где

b – ширина пластинки.

В случае когда





(это имеет место для газов) или, что равно-

сильно

1PrPr



, все три пограничных слоя будут в соответствии с уравне-

ниями (9.23

), (9.42) и (9.48) совпадать между собой по толщине, т. е.  =

= 

Если скорость, температуру и концентрацию в пределах пограничного

слоя выразить в безразмерных единицах:

V 

ср п





ср п





то в рассматриваемом случае поля скоростей, температуры и концен-

траций в пограничном слое будут описываться одной и той же кривой, о чем

можно судить по предельным значениям этих величин. В самом деле, при

x

V

,TT



CC 

, или иначе

 CV

при

Ä2













UV 

ср

TT 

ср

CC 

, или

 CV

Таким образом, при одинаковых значениях всех трех коэффициентов

переноса (



, а и D) в пограничном слое имеет место полное подобие скоро-

стного, температурного и концентрационного полей.

Ранее было показано, что по мере удаления от передней кромки пла-

стинки толщина пограничного слоя



растет. При этом увеличивается и вы-

раженное через



число Рейнольдса









/Re U

. За тем сечением, в котором

это число достигает критического значения

кр

Re Re





, течение в погранич-

ном слое становится турбулентным (рис. 9.5

). Однако и в этом случае в непо-

средственной близости к поверхности пластинки движение остается лами-

нарным. Эта область течения представляет уже известный ламинарный под-

слой. Перестройка ламинарного пограничного слоя в турбулентный в дейст-

вительности совершается не сразу в критическом сечении, а в некоторой сле-

дующей за ним переходной области.

Значение числа

кр



зависит от состояния поверхности (степени ее

шероховатости) и от степени турбулентности набегающего потока. По

имеющимся экспериментальным данным можно принять, что для пластинки

кр



= 16505750. Указанным пределам для

кр



отвечают следующие

значения числа



 /Re

кр 1кр 1

, выраженного через координату

критиче-

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.7. Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 217

ского сечения:

кр1

101,1109Re 

. При больших значениях числа



Re

значение х

1кр

может оказаться величиной, весьма малой по сравнению с дли-

ной пластинки

. Так, например, при





кр 1

10Re 

будем

иметь

.01,0

кр 1кр



Рис. 9.5

Это означает, что длина ламинарного участка пограничного слоя со-

ставляет всего лишь один процент длины пластинки. В подобных случаях

можно существованием этого участка пограничного слоя пренебречь и счи-

тать его турбулентным для всей длины пластинки.

Для описания поля скоростей в турбулентном пограничном слое ис-

пользуют логарифмический и степенной законы распределени

я скоростей

для турбулентного движения в

цилиндрической трубе. Ограничимся лишь

применением последнего.

Заменив в уравнениях (8.48

), (8.49), (8.50) обозначение осредненной

скорости

на

и введя вместо максимальной скорости на оси трубы

max

скорость набегающего потока

, а вместо радиуса трубы

 толщину по-

граничного слоя



, можно записать

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.7. Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 218























































;578









(9.52)

Эти соотношения выражают распределение скорости по толщине тур-

булентного пограничного слоя.

Опуская подробный вывод, укажем, что использование этих соотноше-

ний совместно с уравнением импульсов, которое для турбулентного погра-

ничного слоя имеет тот же вид, что и для ламинарного слоя, позволяет полу-

чить выражение для толщины турбулентного пограничного слоя; оно имеет вид

5/1

37,0



















где

70,3

x 

. (9.53)

Из этого уравнения видно, что толщина турбулентного пограничного

слоя растет пропорционально

, тогда как при ламинарном пограничном

слое она меняется пропорционально

. Следовательно, турбулентный по-

граничный слой растет по координате

более интенсивно, чем ламинарный.

На основе уравнения (9.53

) для толщины пограничного слоя может

быть получено выражение для коэффициента сопротивления при турбулент-

ном течении вдоль пластинки:

5/1

072,0



Для лучшего соответствия с экспериментальными данными коэффици-

ент 0,072 в этой формуле должен быть заменен на коэффициент 0,074:

074,0

5/1



(9.54)

Сравнение этой формулы с формулой (9.27

) показывает, что при тур-

булентном пограничном слое коэффициент сопротивления значительно вы-

ше, чем при ламинарном. Так, например, при Re = 10

коэффициент сопро-

тивления при ламинарном пограничном слое по формуле (9.27

)

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.7. Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 219

,103281

3281



 ,

тогда как по формуле (9.54) для турбулентного пограничного слоя



5/1

106,5

074,0





т. е. в четыре с лишним раза больше, чем при ламинарном слое.

Таким образом, переход ламинарного пограничного слоя в турбулент-

ный сопровождается резким увеличением коэффициента сопротивления.

Опыты показывают, что формула (9.54

), как и лежащий в ее основе за-

кон корня седьмой степени, применимы лишь при не слишком больших чис-

лах Рейнольдса (

10

). При более высоких значениях Re эта формула дает

заниженные результаты. Хорошее согласие с экспериментом и для чисел Re

значительно больших 10

дает полуэмпирическая формула Фолкнера

7/1

0367,0



. (9.55)

Применим к описанию касательных напряжений в турбулентном по-

граничном слое уравнение (8.23



A

, (9.56)

где

– коэффициент турбулентного обмена для количества движения.

Знак осреднения при

опускаем.

Запишем аналогичное выражение для плотности теплового потока в

турбулентном пограничном слое:



















(9.57)

Здесь

– коэффициент турбулентного обмена количеством теплоты, а



xTT 

– осредненная температура в пограничном слое.

9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА

9.8. Связь между теплоотдачей и касательным напряжением при продольном обтекании пластинки



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 220

Используя соотношения

xlx



VUV



(где U – скорость набегаю-

щего потока) и







српп

TT/TT 

(откуда





срΠΠ

θ TTTT 

), перейдем в

уравнениях (9.56

) и (9.57) к безразмерным величинам; при этом получим





;

срп























Разделив почленно эти два уравнения друг на друга, получим



срп

UAμ

θd

TTA























(9.58)

Если положим Рr = 1, что практически имеет место для газов, то, как

было показано в параграфе 9.8

, поля температур и скоростей будут подобны

друг другу и могут быть описаны одной и той же кривой. Следовательно,

212

// xdVddxd 

. В связи с этим можно также принять, что



. Далее из

условия

1Pr 



















находим, что

C/

В результате всех этих упрощений уравнение (9.58

) принимает вид





срп

TTC







(9.59)

Относительно напряжения трения



в турбулентном пограничном слое

воспользуемся тем же приближением, которое было принято для этой вели-

чины в случае турбулентного течения в трубе (параграф 8.4

), т. е. примем,

что



 const

Такое же предположение сделаем относительно распределения плотно-

сти теплового потока в пограничном слое, т. е. будем считать, что

qq  const