Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика
Подождите немного. Документ загружается.
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.2. Уравнения ламинарного пограничного слоя
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 201
.2
1
2
11
Udx
dU
Udx
d
w
(9.14)
Полученное уравнение и есть уравнение импульсов Кармана, являющее-
ся основным интегральным соотношением для ламинарного пограничного
слоя.
Рассмотрим физический смысл величин
и
. Перепишем равенст-
во (9.12
) в следующей форме:
2
0
1
dxVUU
.
Содержание интеграла можно представить себе как связанную с
уменьшением скорости потерю объемного расхода жидкости через сечение в
пограничном слое, отнесенное к ширине поверхности, равной единице. Гра-
фически этот интеграл определяется площадью, которая ограничивается кривой
распределения скоростей, абсциссой
UV
1
и асимптотой (рис. 9.2).
Рис. 9.2
Левая часть последнего равенства показывает, что такая же потеря рас-
хода имела бы место в том случае, если бы жидкость в пограничном слое ве-
ла себя как идеальная и ее скорость в этой области была бы всюду равна ско-
рости основного потенциального потока
U , но поток оказался бы смещен-
ным от поверхности на расстояние
. Величина
может быть определена
из условия равновеликости заштрихованных площадей.
Аналогичный смысл имеет и величина
. Ее можно понимать как не-
которую эквивалентную толщину, отвечающую уменьшению потока импуль-
са (количества движения), обусловленному вязкостью.
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 202
9
9
.
.
3
3
.
.
Л
Л
а
а
м
м
и
и
н
н
а
а
р
р
н
н
ы
ы
й
й
п
п
о
о
г
г
р
р
а
а
н
н
и
и
ч
ч
н
н
ы
ы
й
й
с
с
л
л
о
о
й
й
п
п
р
р
и
и
о
о
б
б
т
т
е
е
к
к
а
а
н
н
и
и
и
и
т
т
о
о
н
н
к
к
о
о
й
й
п
п
л
л
о
о
с
с
к
к
о
о
й
й
п
п
л
л
а
а
с
с
т
т
и
и
н
н
к
к
и
и
в
в
п
п
р
р
о
о
д
д
о
о
л
л
ь
ь
н
н
о
о
м
м
н
н
а
а
п
п
р
р
а
а
в
в
л
л
е
е
н
н
и
и
и
и
Расположим начало координат на передней кромке пластинки и напра-
вим ось
1
x
вдоль пластинки параллельно направлению набегающего потока, а
ось
2
x
нормально к поверхности пластинки (рис. 9.3). Длину пластинки
примем равной
l
. Жидкость будем считать несжимаемой, а поток стационар-
ным. Так как в рассматриваемом случае скорость потенциального потока
U
постоянна вдоль всей пластинки, то
0/
1
dxdU
(а в соответствии с интегра-
лом Бернулли Эйлера и
0/
1
dxdP
) и система уравнений пограничного
слоя (9.5
) упрощается, принимая вид
.
0
,
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
x
V
x
V
x
V
x
V
V
x
V
V
(9.15)
Упрощается также и уравнение импульсов (9.14
), которое запишет-
ся в виде
.
2
1
Udx
d
w
(9.16)
Рис. 9.3
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 203
Это уравнение решается при следующих граничных и дополнительных
условиях
:
.0 , при
;0 ,0 0 при
2
1
12
*
2
2
1
2
12
x
V
UVx
x
V
Vx
(9.17)
Если распределение скорости в пограничном слое выразить при помо-
щи полинома, то в соответствии с числом граничных и дополнительных ус-
ловий, привлекаемых к решению рассматриваемой задачи, этот полином
должен насчитывать четыре члена, т. е.
.
2
33
2
222101
xaxaxaaV
(9.18)
Применяя к написанному полиному поочередно условия (9.17
), получим
0 ,0
20
aa
;
;
3
31
Uaa
.03
2
31
aa
Из последних двух уравнений находим
,
2
3
1
U
a
.
2
1
3
3
U
a
Подставив найденные значения коэффициентов в выражение (9.18
),
получим уравнение распределения скоростей в пограничном слое
.
2
1
2
3
3
22
1
xx
UV
(9.19)
Используя это уравнение для интегралов в равенствах (9.12
) и (9.13),
получаем значения
и
:
0
2
0
3
22
2
1
;
8
3
2
1
2
3
11 dx
xx
dx
U
V
0
2
0
3
22
3
22
2
11
.
280
39
2
1
2
3
1
2
1
2
3
1 dx
xxxx
dx
U
V
U
V
*
Это дополнительное условие непосредственно вытекает из уравнения (9.15), если
учесть, что при
0
2
x
не только
0
1
V
, но и
0
2
V
.
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 204
Находим также напряжение трения на поверхности пластины
w
, при-
чем значение градиента скорости определяем, дифференцируя уравнение
(9.19
) по
2
x
. Имеем
.
2
3
0
2
1
2
U
x
V
x
w
(9.20)
Подставляя полученные значения
и
w
в уравнение импульсов
(9.16
), получаем следующее дифференциальное уравнение:
,
2
3
280
39
1
Udx
d
или
.
13
140
1
dx
U
d
(9.21)
Интегрирование этого уравнения дает
.
13
280
1
C
U
x
Постоянная интегрирования С должна быть равна нулю, поскольку при
0
1
x
0
.
Следовательно,
U
x
1
64,4
. (9.22)
Из этого уравнения видно, что толщина ламинарного пограничного
слоя растет по мере удаления рассматриваемой точки от передней кромки
пластинки по параболическому закону.
Умножив и разделив правую часть уравнения на
1
x
, можно придать
ему более удобную форму
1
1
Re
64,4
x
, (9.23)
где
/Ux
11
Re
– значение числа Рейнольдса, отвечающее данному
расстоянию
1
x
от передней кромки пластинки. Это равенство подтверждает
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 205
общую зависимость (9.3), полученную непосредственно из анализа безраз-
мерной формы уравнения Навье Стокса. Подставляя выражение (9.22
) для
в равенство (9.20), находим значение напряжения трения на поверхности
пластинки как функцию
1
x
:
.324,0
64,42
3
2
3
1
3
1
x
U
U
x
UU
w
(9.24)
При более точном решении уравнений (9.5
) пограничного слоя вместо
(9.24
) получают
.332,0
1
3
x
U
w
(9.25)
Если пластинка обтекается потоком с обеих сторон, то при длине
l
и
ширине, равной единице, полное сопротивление трения ее будет
.2
1
0
dxF
l
w
Подстановка выражения (9.25
) дает
.328,1332,02
3
0
1
1
3
lU
x
dx
UF
l
(9.26)
Часто вместо силы сопротивления оперируют коэффициентом сопро-
тивления, определяемым как безразмерное отношение силы сопротивления
F
к динамическому напору потока
2/
2
U
и к смоченной поверхности
S
(в
данном случае
12
l
S
):
,328,1
328,1
2
2
3
2
UllU
lU
S
U
F
C
f
или
,
Re
328,1
f
C
(9.27)
где
/Re Ul
– число Рейнольдса, определенное по длине пластинки.
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 206
9
9
.
.
4
4
.
.
Н
Н
а
а
ч
ч
а
а
л
л
ь
ь
н
н
ы
ы
й
й
у
у
ч
ч
а
а
с
с
т
т
о
о
к
к
в
в
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
т
т
р
р
у
у
б
б
е
е
п
п
р
р
и
и
л
л
а
а
м
м
и
и
н
н
а
а
р
р
н
н
о
о
м
м
р
р
е
е
ж
ж
и
и
м
м
е
е
д
д
в
в
и
и
ж
ж
е
е
н
н
и
и
я
я
ж
ж
и
и
д
д
к
к
о
о
с
с
т
т
и
и
Если жидкость поступает в трубу из резервуара большой емкости, то во
входном сечении трубы распределение скоростей будет почти равномерным.
По мере удаления от входного сечения происходит разрастание ламинарного
пограничного слоя. Так как расход жидкости должен быть во всех сечениях
трубы одинаков, то торможение жидкости, имеющее место в пограничном
слое, должно компенсироваться увеличением скорости в ядре потока. Благо-
даря этому кривые распределения скоростей приобретают вид, показанный
на рис. 9.4
.
Рис. 9.4
Участок трубы, в конце которого по всему сечению устанавливается
параболическое распределение скоростей, характерное для ламинарного ре-
жима движения, получил название начального участка.
Полагая, что общие закономерности, которым подчиняется формиро-
вание ламинарного пограничного слоя в трубе, остаются такими же, как для
плоской пластинки, можем в соответствии с уравнением (9.22
) записать
,~
1
V
x
или
V
x
2
1
~
.
Обозначая длину начального участка через
L
и считая, что при x
1
= L
0
R
, получим
)(0
0
0
Re~
R
R
VR
L
.
Таким образом, длина входного участка является функцией числа Рей-
нольдса. По Шиллеру,
Re029,0029,0
dV
d
L
ñð
.
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 207
9
9
.
.
5
5
.
.
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
в
в
о
о
й
й
л
л
а
а
м
м
и
и
н
н
а
а
р
р
н
н
ы
ы
й
й
п
п
о
о
г
г
р
р
а
а
н
н
и
и
ч
ч
н
н
ы
ы
й
й
с
с
л
л
о
о
й
й
н
н
а
а
п
п
л
л
о
о
с
с
к
к
о
о
й
й
п
п
л
л
а
а
с
с
т
т
и
и
н
н
к
к
е
е
,
,
о
о
б
б
т
т
е
е
к
к
а
а
е
е
м
м
о
о
й
й
в
в
п
п
р
р
о
о
д
д
о
о
л
л
ь
ь
н
н
о
о
м
м
н
н
а
а
п
п
р
р
а
а
в
в
л
л
е
е
н
н
и
и
и
и
Если поверхность тела обтекается потоком жидкости с температурой,
отличающейся от температуры самого тела, то у поверхности тела образуется
тепловой дограничный слой, в котором сосредоточивается разность этих
температур. В пределах этого слоя, сходного с гидродинамическим погра-
ничным слоем, наряду с конвекцией тепла существенное значение имеет пе-
ренос тепла молекулярной теплопроводностью. Роль этой формы переноса
тепла возрастает по мере приближения от внешней границы теплового по-
граничного слоя к поверхности тела, где она становится единственно воз-
можной. За пределами теплового пограничного слоя процесс молекулярной
теплопроводности играет ничтожную роль по сравнению с конвекцией тепла.
Тепловой пограничный слой, как и его гидродинамический аналог, мо-
жет быть и ламин
арным, и турбулентным. Здесь мы рассмотрим лам
инарный
тепловой пограничный слой, который образуется на плоской пластинке при
продольном обтекании ее стационарным двухмерным потоком несжимаемой
жидкости.
Система уравнений, описывающих процесс конвективной теплопро-
водности, для данного случая упрощается. Для уравнения Навье Стокса,
входящего в состав этой системы, упрощения уже были сделаны примени-
тельно к гидродинамическо
му пограничному слою. Подобным же образом
может быть упрощено и собственно
уравнение конвективной теплопровод-
ности. Перепишем это уравнение в координатной форме
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
x
T
x
T
a
x
T
V
x
T
V
(9.28)
и преобразуем его к безразмерному виду.
Для этой цели воспользуемся в качестве множителей преобразования
протяженностью пластинки в направлении обтекания
l
, скоростью набегаю-
щего потока
U и его температурой
ср
T
(температура среды); получим
,
11
xlx
,
22
xlx
,
11
VUV
,
22
VUV
ср
TTT
,
следовательно,
22
ср
12
222
12
12
,
ср
UT aT
TT TT
VV
lxx
lxx
или после деления на множитель при левой части уравнения
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 208
,
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
x
T
x
T
Ul
a
x
T
V
x
T
V
или, наконец,
,
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
x
T
x
T
Pex
T
V
x
T
V
(9.29)
где
aU
l
Pe
/
– критерий Пекле.
Обозначим толщину теплового пограничного слоя через
T
и сохраним
за толщиной гидродинамического пограничного слоя его прежнее обозначе-
ние
. Безразмерная толщина теплового пограничного слоя будет
T
=
T
l
/
.
Оценим порядок величины отдельных членов, входящих в уравнение
(9.29). При этом будем иметь в виду, что, как уже было установлено, порядок
величины
2
V
равен
, а предельное значение координаты
y
имеет для теп-
лового пограничного слоя порядок
T
. Величины
1
x
и
1
V
, как было показано
ранее, изменяются в пределах от нуля до единицы; предельное изменение
температуры в тепловом пограничном слое является величиной конечной, и
его порядок также можно положить равным единице.
Подпишем под каждым членом уравнения (9.29) порядок величины его
сомножителей:
2
1
1
1
11
.
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
T
T
x
T
x
T
Pex
T
V
x
T
V
Поскольку
1
T
, то очевидно, что в правой части этого уравнения
можно пренебречь производной
2
1
2
/ xT
по сравнению с
2
2
2
/ xT
. Далее, по-
скольку порядок обеих частей уравнения должен быть одинаковым, можно
утверждать, что величина 1/Ре должна иметь порядок, равный
2
, т. е.
.~
1
2
Ò
Pe
Отсюда находим
,
1
~
eP
T
или
,~
Pe
l
T
что равносильно
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 209
,
PrRe
~
l
T
(9.30)
где
aP
r
/
критерий Прандтля.
Как будет показано в дальнейшем, найденный здесь характер зависи-
мости
T
от числа Рейнольдса подтверждается расчетом, тогда как зависи-
мость этой величины от числа Прандтля оказывается несколько иной.
Перепишем уравнение (9.29
), возвращая ему размерную форму и ис-
ключая опущенную производную, стоящую в скобках, получим
.
2
2
2
2
2
1
1
x
T
a
x
T
V
x
T
V
В таком виде это уравнение должно быть включено в систему уравне-
ний конвективного переноса тепла. Уравнение движения жидкости должно
быть в этой системе также представлено в упрощенной форме, а именно в
форме (9.15
), найденной для пограничного слоя на плоской пластинке.
Таким образом, для ламинарного теплового пограничного слоя будем
иметь следующую систему уравнений:
0
;
;
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
x
V
x
V
x
V
x
V
V
x
V
V
x
T
a
x
T
V
x
T
V
(9.31)
при граничных условиях:
. ,
; ,
00
ср2
12
212
TTx
UVx
;T, TV, Vx
T
п
(9.32)
Здесь
п
T
температура поверхности пластинки.
9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
9.5. Тепловой ламинарный пограничный слой на плоской пластинке, обтекаемой в продольном направлении
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 210
Из сопоставления граничных условий для
1
V
и Т следует, что решение
системы уравнений (9.31
) возможно лишь для случаев, когда
T
.
Будем решать эту систему приближенным методом, сведя уравнение
конвективной теплопроводности к интегральному соотношению, схожему по
своему виду с уравнением импульсов Кармана.
Для этой цели преобразуем указанное уравнение к виду
.
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
x
T
a
x
TV
x
TV
x
V
x
V
T
x
TV
x
TV
x
T
V
x
T
V
В силу уравнения неразрывности член этого уравнения, который со-
держит в качестве сомножителя сумму производных, стоящую в скобках, ра-
вен нулю.
Далее запишем уравнение неразрывности в форме
0
2
2
1
1
x
ТV
x
ТV
срср
и вычтем из него предыдущее уравнение, тогда получим
.
2
2
2
ср1
2
ср1
1
x
T
aTTV
x
TTV
x
Будем отсчитывать температуру от температуры поверхности и введем
следующие обозначения:
п
ТТ
;
српср
ТТ
. Теперь последнее уравнение
запишется в виде
,
2
2
2
ср2
2
ср1
1
x
aV
x
V
x
(9.33)
а граничные и дополнительные условия к нему приобретут вид, анало-
гичный тем, которые привлекались к решению задачи о гидродинамическом
пограничном слое, т. е.
.0 , при
;0 ,0 ,0 0 при
2
ср T2
*
2
2
2
212
x
x
x
VVx
(9.34)
* Это дополнительное условие непосредственно вытекает из первого уравнения
системы (9.31
) при применении к нему рассматриваемого граничного условия.