Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 161

 









































. (7.45)

Функция q является, по существу, интегралом уравнения (7.44).

Пример. Параметры газа в критическом сечении проще всего опреде-

лить по таблицам газодинамических функций. Для

1



найдем в таблице

значения:

8333,0/

0**

 TT

;

5283,0/

0**





;

6340,0/

0**





К;

57,2669,3198333,0







;

103073,3626035283,0 P Па;

4324,0682,06340,0









кг/м

Согласно уравнению неразрывности

***111

FUFU







откуда

****

111









Причем

aU 

. В свою очередь критическая скорость звука





, или

кRTa 

Пример.

3,52757,2661,2874,1

a

м/с;





106,03,3274324,0/15







;





367,014,3/106,04

d

м.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 162

Воспользуемся уравнением состояния совершенного газа

RTP





(7.46)

и уравнением неразрывности

111

FUm





Определив



из уравнения (7.46) и использовав уравнение неразрыв-

ности, получим

RTm

F 

Пример.

129,0

20050000

3001,28715





F

;

41,0

14,3

129,04





d

м.

Движение газа со скоростями, превышающими скорость звука, сущест-

венно отличается от дозвукового движения. В п. 7.3

определение параметров

газового потока в характерных точках сопла Лаваля производилось для рас-

четного режима, т. е. когда давление в окружающей среде за соплом равня-

лось давлению в его выходном сечении. Однако на практике это условие не

всегда выполняется. В случае когда из устья сопла Лаваля выходит плоская

сверхзвуковая струя в пространстве с более низким давлением, чем в

канале,

в точках

(см. рис. 7.9, где показана схема сверхзвукой струи при исте-

чении в область с пониженным давлением) возникают центрированные вол-

ны разрежения, в которых поток расширяется до окружающего давления. Эти

волны отражаются от границы струи на участках

BBAA





и образуют вол-

ны сжатия. В точках





волны сжатия вновь отражаются и образуют

волны разрежения. Далее (в невязкой жидкости) картина повторяется. Для

наглядности волны изображены прямыми линиями, хотя в области интерфе-

ренции они искривляются.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 163

Рис. 7.9

В тех областях струи, которые граничат с окружающим пространством,

давление равно давлению в этом пространстве. Внутри струи есть области,

где давление падает ниже, чем в окружающем пространстве, т. к. поток по-

следовательно проходит две волны разрежения. После этого проходят две

волны сжатия и во внутренней области давление его становится равным дав-

лению в усть

е сопла, т. е. больше, чем давление в окружающем пространстве.

Помимо волн разрежения и сжатия, в которых параметры потока ме-

няются плавно, в сверхзвуковом потоке могут существовать поверхности,

при переходе через которые параметры меняются скачком.

Такое явление может наблюдаться при вытекании из сопла сверхзвуко-

вой струи в пространство, где давление выше, чем на срезе сопла.

При прохождении газа чере

з скачок упло

тнения термодинамические

величины испытывают разрыв (скачкообразно меняя свои значения). Про-

цесс сжатия в скачке не является изоэнтропийным. При течении в скачке

возникают потери, часть кинетической энергии переходит во внутреннюю

энергию, что вызывает большее повышение температуры газа, чем при изо-

энтр

опийном сжатии

При течении через скачок уплотнения энтропия возрастает. Скачок

разряжения физически невозможен.

Интенсивность скачков уплотнения обусловливается тем, что давление

после них равно давлению в окружающем пространстве. Граница струи на

участках

АД

ВЕ

рис. 7.10, а, где показано пересечение косых скачков уп-

лотнения при истечении сверхзвуковой струи в пространство с повышенным

давлением) параллельна скоростям потока после скачков. Скачки после пере-

сечения падают на свободную границу в точках

Давление в потоке после прохождения двух скачков становится боль-

ше, чем давление в окружающем пространстве, поэтому скачки отражаются

от границы струи волнами разрежения. Дальнейшая картина строится так же,

как на рис. 7.9

, т. к. волны разрежения отражаются волнами сжатия.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 164

а б

Рис. 7.10

При повышении давления в окружающем пространстве скачки станут

более интенсивными, угол наклона их увеличится и правильное пересечение

станет невозможным. Возникает иная конфигурация скачков (на рис 7.10, б

показано образование мостообразного скачка уплотнения). Такие картины

наблюдаются в струях, выходящих из сопла Лаваля, если давление за соплом

выше расчетного. При течении вязкого газа результаты расчета совпадают с

опытом только на некотором начальном участке, т. к. струя подтормаживает-

ся, становится дозвуковой и размывается.

При дальнейшем повышении давления за соплом описанная система

скачков превратится в один прямой скачок, который войдет внутрь расши-

ряющейся части сопла.

Рассмотрим различные режимы работы сопла Лаваля для случ

аев, ко-

гда ск

ачок находится внутри сопла. Будем считать течение одномерным, а

жидкость – идеальной.

На рис. 7.11

кривая abc изображает распределение безразмерного дав-

ления вдоль сопла при расчетном режиме работы. Давление в минимальном

сечении равно критическому (точка b), расчетное давление за соплом



изо-

бражается точкой c. Если давление в пространстве за соплом (противодавле-

ние) выше расчетного, то давление в потоке где-то должно повыситься.

Предположим, что давление повышается и это происходит в прямом скачке

уплотнения, который располагается точно в выходном сечении сопла. Давле-

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 165

ние за скачком



определяется по формуле для отношения давления до и

после скачка (



соответственно):























1sin



, (7.47)

где 



угол наклона фронта скачка (угол, который составляет скачок с

направлением потока). Для прямого скачка  =/2.

Рис. 7.11

Изменение температуры газа находится с помощью уравнения энергии





112

2/1 UUCTT



, (7.48)

где

– скорость потока до и после скачка соответственно. От-

ношение плотностей определяется с помощью закона Пуассона:

const;

const;



к

(7.49)

const.





Приведенные уравнения решают задачу определения параметров газа

за скачком по известным параметрам до скачка.

Следовательно, если относительное противодавление

022









, то

изменение давления в сопле изображается кривой

аbсd

. Если относительное

противодавление лежит в пределах







, то повышение давления менее

интенсивно и происходит в скачках, расположенных вне сопла.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 166

Во всех рассмотренных случаях расход через сопло равен критическо-

му, т. к. в минимальном сечении сопла поддерживаются критические пара-

метры.

Рассмотрим наибольшее относительное противодавление, при котором

параметры в минимальном сечении остаются критическими. Это относитель-

ное противодавление называется предельным











и соответст-

вует точке

. При этом противодавлении процесс идет по линии аbе. В су-

живающейся части давление падает, в горле достигает критического значе-

ния, а в расширяющейся части давление повышается, как в дозвуковом диф-

фузоре.

Если относительное противодавление лежит в пределах

пр2





, то

скачок уплотнения находится между выходным и минимальным сечением

сопла. В частности, если противодавление соответствует точке

, то измене-

ние давления внутри сопла описывается кривой

aghf

. На участке a

расши-

рение идет как при расчетном режиме, отрезок

изображает повышение

давления в скачке, кривая

соответствует сжатию дозвукового потока в

диффузоре. Пунктирная линия

bhd показывает возможное положение точки

в пределах отрезка ld .

Если давление за соплом больше предельного (например соответст-

вует точке

), то течение внутри сопла становится всюду дозвуковым.

Распределение давления изображается кривой aik, движение в минималь-

ном сечении (точка i) становится больше критического, а расход меньше

критического.

Величину относительного предельного противодавления для заданного

сопла Лаваля можно найти, например, с помощью таблиц газодинамических

функций.

Рассмотрим предельный режим течения (кривая

аbе) и запишем значе-

ние газодинамической функции

q в выходном сечении

2min2*

/ FFFFq 

, где

 площадь выходного сечения сопла; F

min

 площадь минимального сече-

ния, которая для данного режима равна критической площади

. По най-

денному значению

q с помощью таблиц можно найти два значения относи-

тельного давления. Одно соответствует расчетному давлению на выходе



, а

другое – предельному противодавлению

ïð



Пример.

Требуется построить кривые распределения давления вдоль

сопла Лаваля при различных давлениях на выходе. Числовые значения пара-

метров потока и сопла определены в п. 7.3

По найденному значению

q по таблицам газодинамических функций

находим для дозвуковых скоростей (





)

ïð



= 0,9834.

Положим, что повышение давления происходит в прямом скачке уп-

лотнения, который расположен точно в выходном сечении сопла. Давление

за скачком определяется по формуле (7.47

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.5. Исследование движения газа в сопле Лаваля на нерасчетных режимах



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 167

19020188,2

4,0

8,2

4,2

14,1

2000



































Па.

Следовательно, если относительное противодавление равно

022

/ PP









= 19020/62603, то изменения давления в сопле изображаются

кривой

аbс (рис. 7.11).

Рис. 7.12

Если относительное противодавление лежит в пределах от 0,3038 до

0,98, то скачок уплотнения находится между выходным и минимальным се-

чением сопла.

Например, при

7,0



изменение давления внутри сопла описывается

кривой

aghf

. Если противодавление за соплом

пр







, т. е.

9834,0

, то тече-

ние внутри сопла всюду дозвуковое (рис. 7.12

). Распределение движения изо-

бражается кривой

. Давление в точке

становится больше критического.

К конфигурации сопла Лаваля предъявляют достаточно высокие требо-

вания. Это связано с тем, что при малейшем отклонении формы сопла от рас-

четных параметров резко меняется картина течения газа в связи с увеличени-

ем потерь энергии за счет трения газа о стенку сопла, появления неравномер-

ного поля скоростей на срезе сопла, потерь в скачк

ах уплотнений. Потери

энергии осуществляются

в основном за счет скачков уплотнений.

Скачки уплотнений возникают в сверхзвуковой части сопла из-за неточ-

ного подбора контура сопла. В связи с особенностями сверхзвукового течения к

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 168

контуру сверхзвуковой части сопла предъявляются значительно более высокие

требования, чем к контуру дозвуковой части. Контур сопла следует выбирать

так, чтобы все струи имели возможность непрерывно изменять свое сечение

так, чтобы происходило плавное увеличение скорости течения. При неточном

подборе контура эти условия не удовлетворяются. Особенно часто это случается

при чрезмерной кривизне профиля. Струи, примыкающие к стенк

е, оказываются

зажаты

ми между стенкой и центральными струями. По этой причине движение

возле стенки увеличивается по сравнению с давлением в центральных струях.

Если кривизна струй такова, что повышение давления в периферийных струях

препятствует увеличению их сечения и приводит соответственно к торможению

скорости течения, то возникают один или несколько скачков уплотнений, которые

рестраивают течение, приспосабливая его к имеющимся граничным условиям.

Особенно сложная картина наблюдается в области критического сечения,

где происходит переход от дозвукового течения к сверхзвуковому. На рис. 7.10

показан характер движения газовых струй в области критического сечения сопла.

Контур сопла в этой части является выпуклым (сечение IIII). Струи, которые

непосредственно примыкают к стенке, в результате действия центробежной силы

здесь, наоборот, отбрасываются к центру, поджимая центральные струи. Поэто-

му периферийные струи здесь быстрее достигают скорости звука, чем централь-

ные, где давление п

дает медленно. Отсюда следует, что в общем случае тече-

ния, во-первых, скорость звука достигается не одновременно всеми струями, т. е.

поверхность перехода скорости звука является криволинейной, во-вторых, линия

перехода через скорость звука обращена выпуклостью к выходу.

В результате в области критического сечения получается сложная кар-

тина: после дости

жения периферийными струями скорости

звука для даль-

нейшего их ускорения требуется возможность увеличения сечения струй, а

центральные струи, где еще скорость звука не достигнута, должны продол-

жать сужаться, т. е. в одном сечении сопла одни струи должны иметь воз-

можность увеличить свое сечение (dF > 0), а другие, наоборот, уменьшить

(dF < 0). Поэтому контур сопла следует подбирать очень тщат

ельно.

В случ

ае если профиль подобран неправильно, сразу же за поверхно-

стью перехода через скорость звука возникают скачки уплотнений, пере-

страивающие соответствующим образом течение. Причем эти скачки, отра-

жаясь от стенок, могут распространяться по течению на всю длину сопла, не-

однократно воздействуя на поток.

Другой областью, где возмо

но появление скачков, является область

сопряжения контуров с разной кривизной (сечение IIIIII, рис. 7.13

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 169

Рис. 7.13

Здесь должен происходить мгновенный переход от выпуклой эпюры

распределения давления к вогнутой и от вогнутой эпюры распределения

скорости к выпуклой. Так как мгновенная перестройка течения невозмож-

на, то возникает система скачков уплотнений. Для того чтобы избежать

скачков уплотнения, т. е. получить т. н. безударное сопло, контур сопла

должен быть выполнен в виде достаточно рас

янутой и плавной кривой,

которая получается либо из специального расчета, либо подбирается эмпи-

рическим путем. Так, например, конические сопла, выполненные в области

критического сечения по дуге окружности R > R

кр

, получаются практиче-

ски безударными.

При рассмотрении поля течения в сопле Лаваля его можно разделить

на несколько характерных областей (рис. 7.14

). На оси сопла расположены

две характерные точки:



О центр сопла, в которой скорость равна скоро-

сти звука, и точка

, в которой достигается максимальная скорость тече-

ния.

Рис. 7.14

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.6. Проектирование сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 170

Рис. 7.15

Первая область (I) – дозвуковая область течения, простирающаяся до

поверхности перехода через скорость звука; вторая область (II) – от поверх-

ности перехода через скорость звука до характеристики

, идущей вверх

по течению из точки

В этой области скорость потока и угол наклона вектора скорости к оси

сопла при движении вдоль линии тока непрерывно увеличиваются, причем

максимального значения угол наклона достигает в точках, расположенных на

характеристике

. Эту область можно назвать областью предварительного

расширения. Третья область (III) находится между двумя характеристиками

разных семейств АМ и АВ. В этой области скорость потока продолжает уве-

личиваться, а угол наклона вектора скорости к оси сопла после характери-

стики

, на которой он имеет максимальное значение, начинает умень-

шаться, достигая минимального значения (в данном случае равного нулю) на

характеристике

. Таким образом в области III поток постепенно выравни-

вается. Поэтому эту область можно назвать областью выравнивания потока.

За характеристикой

лежит область IV однородного потока.

Подбор профиля сопла Лаваля производят начиная с сечения, в котором

течение уже достигло сверхзвуковой скорости. Необходимо принять, что расши-

ряющийся участок сопла выполнен в виде конуса с углом конусности 20°.

Длину

расширяющейся части сопла определяют из геометрических соображений.

Сужающуюся часть сопла строят методом дуг окружностей. Радиус сопря-

жения

следует выбирать из условия

