Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика
Подождите немного. Документ загружается.
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.4. Два режима течения вязкой жидкости
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 131
нарного режима. В результате перемешивания происходит интенсивный
энергообмен между частицами жидкости в поперечном потоку направлении,
вследствие чего эпюра скоростей в ядре потока выравнивается. Вблизи сте-
нок трубы имеется тонкий слой жидкости с высоким градиентом скорости
(турбулентное перемешивание парализуется влиянием твердых границ), из-
меняющейся от нуля на стенке до максимума в ядре потока; этот тонкий слой
называют пограничным слоем,
толщина пограничного слоя (рис. 6.4, б).
а б
Рис. 6.4
Ламинарный и турбулентный режим движения жидкости отличаются
также видом зависимости между потерями напора и скоростью. При лами-
нарном режиме потери линейно зависят от скорости потока, при турбулент-
ном имеет место степенная зависимость (потери пропорциональны примерно
квадрату скорости). Формулы для определения потерь напора в трубах были
получены опытным путем применительно к различным условиям течения
(некоторые из них приведены в прил. 2
).
6
6
.
.
5
5
.
.
У
У
р
р
а
а
в
в
н
н
е
е
н
н
и
и
е
е
Б
Б
е
е
р
р
н
н
у
у
л
л
л
л
и
и
д
д
л
л
я
я
в
в
я
я
з
з
к
к
о
о
й
й
н
н
е
е
с
с
ж
ж
и
и
м
м
а
а
е
е
м
м
о
о
й
й
ж
ж
и
и
д
д
к
к
о
о
с
с
т
т
и
и
Так как реальная жидкость вследствие вязкости испытывает сопротив-
ление в своем движении, удельная энергия не может сохраняться неизменной
вдоль струйки, и в этом случае уравнение (5.63
) неверно. В этой связи в
уравнение Бернулли вводят поправку на потери энергии на гидравлические
сопротивления
W
h
. Для двух сечений элементарной струйки вязкой однород-
ной жидкости уравнение Бернулли примет вид
W
h
VP
gz
VP
gz
22
2
22
2
2
11
1
(6.13)
Выражение (6.13
), составленное для элементарной струйки, можно
распространить на целый поток в реальной жидкости при условии плавно
изменяющегося течения (когда расхождение между соседними элементар-
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.5. Уравнение Бернулли для вязкой несжимаемой жидкости
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 132
ными струйками мало и можно допустить отсутствие поперечной состав-
ляющей скорости). В этом случае имеем
W
h
VP
gz
VP
gz
22
2
22
2
2
11
1
. (6.14)
Здесь
коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность
поля скоростей в сечениях потока; обычно 1,0
1,1.
Гидравлические потери
W
h
при движении жидкости складываются из
потерь энергии на трение
l
h
и потерь на местные сопротивления (на вихре-
образование)
M
h
:
W
h
=
l
h
+
M
h
. (6.15)
К местным сопротивлениям относят всякого рода изменения проходно-
го сечения (т. н. сопротивления формы – сужение или расширение потока,
повороты, препятствия в виде диафрагм, кранов, задвижек и т. д.). Линейные
потери на трение определяют по эмпирическим формулам (см. прил. 2
). По-
тери энергии на вихреобразование вычисляют с помощью выражения
W
h
g
V
2
2
, (6.16)
где
коэффициент местного сопротивления, который для каждого
конкретного случая принимают по справочным таблицам гидравлических
сопротивлений.
6
6
.
.
6
6
.
.
З
З
а
а
к
к
о
о
н
н
м
м
о
о
м
м
е
е
н
н
т
т
о
о
в
в
и
и
м
м
п
п
у
у
л
л
ь
ь
с
с
о
о
в
в
.
.
С
С
и
и
м
м
м
м
е
е
т
т
р
р
и
и
ч
ч
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
т
т
е
е
н
н
з
з
о
о
р
р
а
а
н
н
а
а
п
п
р
р
я
я
ж
ж
е
е
н
н
и
и
й
й
Закон моментов импульсов для МЖГ имеет вид
SrFrVr
dt
d
dt
Md
S
ne
, (6.17)
где по теореме Коши
332211
coscoscos
xnxnxnn
n
.
Применяя преобразование Остроградского Гаусса, будем иметь
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.6. Закон моментов импульсов. Симметричность тензора напряжений
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 133
,
332211
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
iii
dx
d
dx
d
dx
d
r
r
x
r
x
r
x
Sr
S
n
(6.18)
т. к.
i
i
i
dx
rd
и т. д.
332211
xixixir
.
Правило Эйлера позволяет вычислить
. div
стинеразрывно
уравнениясилу в 0
dt
Vd
rVV
dt
d
Vr
V
dt
rd
Vr
dt
d
(6.19)
После чего (6.17) можно записать в виде
. Div
332211
iiir
Fr
dt
Vd
r
e
(6.20)
Здесь учтено, что
Div
3
3
2
2
1
1
dx
d
dx
d
dx
d
.
В силу уравнений движения в напряжениях
DivrFr
dt
Vd
r
e
. (6.21)
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.6. Закон моментов импульсов. Симметричность тензора напряжений
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 134
При произвольно выбранном «живом» объеме
окончательно получа-
ем
0
332211
iii
. (6.22)
Это может быть только тогда, когда
0
332211
iii
. (6.23)
Выполняя выкладки для векторных произведений в (6.23), приходим к
следующему:
0
211231331232231
iii
. (6.24)
Отсюда получаем следствие из закона моментов – симметричность тен-
зора напряжений П (см. рис. 6.5
):
jiij
3223
3113
2112
. (6.25)
В некоторых случаях удобно применять закон моментов импульсов в
интегральной форме, например, для вывода уравнения турбины Эйлера
(рис. 6.6
.), полученного им в 1754 г. Этим уравнением широко пользуются
при расчете различных гидромашин (насосы, турбины, компрессоры, кора-
бельные гребные винты и др.):
FVm
1
;
rrF
2
;
1
2
кр
M
rmW rW Vr
;
2 rW
;
2
2
V
CV
ó
(формула Жуковского).
6
6
.
.
7
7
.
.
З
З
а
а
к
к
о
о
н
н
с
с
о
о
х
х
р
р
а
а
н
н
е
е
н
н
и
и
я
я
э
э
н
н
е
е
р
р
г
г
и
и
и
и
.
.
У
У
р
р
а
а
в
в
н
н
е
е
н
н
и
и
е
е
э
э
н
н
е
е
р
р
г
г
и
и
и
и
Этот закон также носит фундаментальный характер в физике. В
термодинамике его еще называют вторым началом (принципом).
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.7. Закон сохранения энергии. Уравнение энергии
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 135
Рис. 6.5
Рис. 6.6
Окончательную его формулировку дали англичанин Джоуль и пе-
тербургский академик Ленц, обобщив его для случая электромагнитных
явлений. Применительно к МЖГ закон энергии можно записать в форме
SVVFq
V
U
dt
d
S
nee
2
2
, (6.26)
где
0
c
T
U
– внутренняя энергия (здесь
c
– теплоемкость среды;
e
q
– массовая плотность внешнеподведенного тепла). Применяя став-
шие стандартными преобразования, получим
.
2
div
2
2
2
0
22
V
UV
t
VV
dt
dV
U
V
U
dt
d
(6.27)
Используя уравнение неразрывности, будем иметь
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.7. Закон сохранения энергии. Уравнение энергии
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 136
div VVnV
SS
n
. (6.28)
Вычисляя, находим
,:Div
div
DV
x
V
V
x
V
x
V
i
j
ijj
i
ij
jij
i
(6.29)
где
S
S
A
D
::::
– мощность внутренних сил, т. к.
0:
A
в силу симметричности П. Суммируя результаты, получаем
SV
VFpq
V
U
dt
d
ee
:Div
2
2
(6.30)
или в дифференциальной форме
.:Div
2
2
2
2
SVFVq
V
UV
t
V
U
ee
(6.31)
Это уравнение в МЖГ называют уравнением энергии.
6
6
.
.
8
8
.
.
И
И
н
н
т
т
е
е
г
г
р
р
а
а
л
л
«
«
ж
ж
и
и
в
в
ы
ы
х
х
»
»
с
с
и
и
л
л
.
.
У
У
р
р
а
а
в
в
н
н
е
е
н
н
и
и
е
е
п
п
р
р
и
и
т
т
о
о
к
к
а
а
т
т
е
е
п
п
л
л
а
а
Умножив уравнение движения в напряжениях
Div
e
F
d
t
Vd
(6.32)
скалярно на
V
, получим
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.8. Интеграл «живых» сил. Уравнение притока тепла
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 137
VVF
dt
V
d
e
DivÏ
2
2
, (6.33)
которое называют уравнением механической энергии, или интегралом
«живых» сил. Вычитая из (6.31
) уравнение (6.33), получим уравнение прито-
ка тепла
SqUV
dt
dU
e
:
, (6.34)
которое (как ясно из выкладок) является эквивалентом уравнения энер-
гии и также выражает (в другой форме) закон сохранения энергии. Вычисляя
ji
ijij
d
SVSVS
div:div:
, (6.35)
видим, что первый член представляет собой мощность расширения
среды, затрачиваемую на преодоление внешнего давления, а второй – мощ-
ность диссипативных сил (трения). Для ньютоновских жидкостей
2
2
div
3
2
2 VSS
ijij
. (6.36)
В случае идеальной жидкости
0
Vq
d
t
dU
e
div
, (6.37)
а для идеальной несжимаемой жидкости
0Vdiv
имеем уравнение
нагрева
e
q
dt
dU
. (6.38)
Если внешнее тепло передается лишь за счет теплопроводности, то по
закону Фурье
0
graddiv Tq
e
. (6.39)
Часто вводят упрощение, полагая, что в узком диапазоне давлений и
температур
и
c
есть физические константы. Тогда
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.8. Интеграл «живых» сил. Уравнение притока тепла
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 138
000
0
grad div TaT
c
TV
t
T
T
, (6.40)
где
c
a
T
– коэффициент температуропроводности. Для неподвижной
среды (
0V
, в т. ч. и для твердого тела) из (6.40) получаем классическое
уравнение теплопроводности (параболического типа):
0
0
0
Ta
t
T
T
. (6.41)
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 139
6
6
.
.
9
9
.
.
У
У
р
р
а
а
в
в
н
н
е
е
н
н
и
и
я
я
с
с
о
о
с
с
т
т
о
о
я
я
н
н
и
и
я
я
Рассмотренные ранее базовые уравнения МЖГ не замкнуты, т. е. в них
число неизвестных функций больше числа уравнений. Поэтому при решении
задач их необходимо дополнить уравнениями, конкретизирующими гидроте-
плофизические свойства среды. Таковыми являются:
1) калорическое (термодинамическое) уравнение состояния
0
,TP
; (6.42)
2) механическое (реологическое) уравнение состояния
S
. (6.43)
При учете сильного влияния электромагнитного поля на течение жид-
кости или газа должны быть добавлены (к уравнениям Максвелла) и элек-
тромагнитные уравнения состояния: закон Ома и уравнения намагничивания
и поляризации.
6
6
.
.
1
1
0
0
.
.
Н
Н
а
а
ч
ч
а
а
л
л
ь
ь
н
н
ы
ы
е
е
и
и
г
г
р
р
а
а
н
н
и
и
ч
ч
н
н
ы
ы
е
е
у
у
с
с
л
л
о
о
в
в
и
и
я
я
Течение жидкости и газа определяется не только базовыми дифферен-
циальными уравнениями, но и начальным состоянием среды и условиями на
границах между жидкостью и твердым телом или на границах раздела фаз
«жидкость газ», «жидкость жидкость».
При нестационарных течениях за исходное состояние среды в момент
времени, принятый за начало отсчета, t = t
0
= 0, необходимо задать
i
i
i
xTT
xÐÐ
xVV
0
0
0
0
0
,
,
(6.44)
и т. д. Эти выражения называют начальными условиями.
В сжимаемых средах могут возникать волновые течения. При этом
источником возмущений является тело, вносящее в жидкость импульс и
энергию конечной величины. По этим физическим соображениям сле-
дует выделять те течения, которые соответствуют возмущениям, излу-
чаемым телом. Этот постулат – ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ МИЧЧЕЛЯ
6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
6.10. Начальные и граничные условия
Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 140
ЗОММЕРФЕЛЬДА. КРОМЕ ТОГО, НА БЕСКОНЕЧНОСТИ (ДЛЯ
БЕЗГРАНИЧНОГО ПРОСТРАНСТВА, ЗАПОЛНЕННОГО
ЖИДКОСТЬЮ) ВОЗМУЩЕНИЯ ДОЛЖНЫ ЗАТУХАТЬ, СТРЕМЯСЬ
К НУЛЮ (РАЗЛИЧНОГО ПОРЯДКА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КЛАССА
ЗАДАЧ). НА ГРАНИЦАХ КОНТАКТА «ЖИДКОСТЬ
ТВЕРДОЕ
ТЕЛО» ИЛИ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА ФАЗ НЕОБХОДИМО ТАКЖЕ
ЗАДАТЬ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ВЫБОР ЭТИХ УСЛОВИЙ НЕ ТАК
ПРОСТ. ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И
ПРАКТИЧЕСКИЙ ОПЫТ РЕШЕНИЙ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ
ПОЗВОЛЯЮТ ВЫДЕЛИТЬ СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ
УСЛОВИЯ В ЗАВИСИМОСТИ
от типа уравнений и класса задач.
На границе твердого тела должно быть выполнено условие непротека-
ния, т. к. жидкость не может проникнуть через твердую границу:
0
ж
r
Vn
, (6.45)
или, т. к.
er
VVV
, то
твe
VnVn
жr
. (6.46)
Физические опыты и следствия из решения задач показывают, что на
твердой границе в реальной вязкой жидкости образуется молекулярный слой
прилипания, так что
0
ж
r
V
, (6.47)
или
V
a
V
a
sin
, (6.48)
где
opm
касательной вдоль линии тока на поверхности твердого те-
ла.
Для деформируемой границы или границы раздела фаз граничные ус-
ловия можно получить, рассматривая на них законы сохранения по массе,
импульсу, энергии и температуре.