Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.3. Обобщенные одномерные движения



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 151

3

V

, получив систему из трех уравнений для определения

1

V

,



и

P

. Проин-

тегрируем его по поперечному сечению трубы

F

:



















































F

dS

x

V

x

V

x

V

x

V

t

0

3

2

1

. (7.24)

Так как три первых слагаемых не зависят от

2

x

и

3

x

, данное выражение

можно переписать в виде

0

3

2

1



















































dS

x

V

x

V

x

V

x

V

t

F

. (7.25)

С учетом того, что





tx ,

1







постоянна по сечению, вводя вектор попе-

речной скорости

kVjVU



32

 , получаем

dlUdSUdS

x

V

x

V

F

n

F

 



























div

3

2

. (7.26)

Перемещение частиц жидкости за время

t



можно представить как

сумму перемещения вдоль оси

x

на расстояние

tVx 





11

и перемещения в

плоскости сечения

t

UF 



(рис. 7.7). Частицы с контура

l

перейдут на контур

l



, пройдя расстояние по нормали

tUn

n







. Изменение площади сечения

F

равно площади кольца

dt

dF

t

F

dlUtndlF

t

n









 0

lim

. (7.27)

Рис. 7.7

Заменяя в (7.25

) согласно (7.26) двойной интеграл криволинейным и

учитывая (7.27

), получаем

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.3. Обобщенные одномерные движения



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 152

0

1





























dt

dF

x

V

x

V

t

F

. (7.28)

Полагая, что труба не деформируется, т. е.

1

x

F

V

dt

dF





,

запишем (7.28

) в виде

0

1





























dx

dF

V

x

V

x

V

t

F

. (7.29)

Отсюда окончательно получим



0

1













FV

xt

F

. (7.30)

Последнее уравнение в совокупности с (7.21

) и (7.23) образует систему

уравнений для отыскания V

1

, P,



. Для установившихся течений эта система

приобретает вид



0

1





FV

x

,

0

1

11

1











x

P

x

V

,



P

. (7.31)

После интегрирования этих уравнений получаем решение задачи об

одномерном установившемся движении идеальной жидкости в виде

11

CFV





,













2

1

2

C

P

PV

,





P







. (7.32)

В (7.32

)



1

C

это объемный расход жидкости, второе уравнение  за-

пись интеграла Бернулли для полученного приближенного решения задачи.

Пренебрежение поперечными ускорениями, принятое вначале, равносильно

тому, что в выражении для

2

V

мы пренебрегаем величиной

2

3

2

VV  по срав-

нению с

2

1

V

.

Так, например, если взять трубу с углом полураствора



, таким, что

1,0tg 

, то





01,0/

2

1

2

3

2

 VVV

, т. е. указанное рассмотрение дает точность

порядка одного процента.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.3. Обобщенные одномерные движения



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 153

7

.

3

.

2

.

Д

в

и

ж

е

н

и

е

н

е

с

ж

и

м

а

е

м

о

й

ж

и

д

к

о

с

т

и

в

т

р

у

б

е

п

е

р

е

м

е

н

о

г

о

с

е

ч

е

н

и

я

Для несжимаемой однородной жидкости

const

0









. Площадь



1

xFF 

задана. Решение имеет вид

AFV



1

,

B

PV







2

1

,

0







. (7.33)

Отсюда

F

A

V 

1

,





























2

22

1

22 F

A

B

V

BP

. (7.34)

Постоянные

A

и

B

определяются по заданным характеристикам в не-

котором сечении. Так, при













00101

FxFxFxx



должны быть заданы

,

0

11

01

VV

xx



0

01

PP

xx



.

Вместо скорости можно задать расход

0

100

FVQ 

. Из решения видно,

что при возрастании

F

скорость

1

V

убывает, а давление растет.

7

.

3

.

3

.

Д

в

и

ж

е

н

и

е

с

ж

и

м

а

е

м

о

й

ж

и

д

к

о

с

т

и

в

т

р

у

б

е

п

е

р

е

м

е

н

о

г

о

с

е

ч

е

н

и

я

.

С

о

п

л

о

Л

а

в

а

л

я

Формулы (7.32) представляют общее решение задачи, все интересую-

щие величины V

1

,



, Р могут быть найдены для любого



1

xF

. Решение за-

кончено. Однако здесь интересно исследовать характер течения. Для этого

прологарифмируем и затем продифференцируем первое равенство из (7.32

), а

второе запишем в дифференциальном виде. Тогда будем иметь

0

1





F

dF

V

dVd

; (7.35)

0

11







dP

dVV

. (7.36)

Известно, что

2

a

d

dP





 квадрат скорости звука. Подставляя

 dadP

2

в

(7.36

), получаем





d

adVV

2

11

. (7.37)

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.3. Обобщенные одномерные движения



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 154

Исключая при помощи равенства (7.35) плотность в предыдущем урав-

нении, найдем





F

dF

a

V

dV

aV

2

1

22

1



или, разделив обе части на

2

a ,





F

dF

V

dV

M 

1

2

1

. (7.38)

Из полученного уравнения, носящего имя Гюгонио, можно сделать ряд

выводов. Знак скобки зависит от того, с каким течением имеют дело.

1. Если

1

M

, знак

1

dV

противоположен знаку d

F

, т. е. при дозвуко-

вом движении газа, как и в случае с несжимаемой жидкостью, с возрастанием

площади сечения трубы скорость движения жидкости уменьшается и, наобо-

рот, с уменьшением



1

xF

растет

1

V

.

2. Если

1



a

V

M

(т. е.



 aV

1

скорость потока больше скорости зву-

ка), знак

1

dV

одинаков со знаком

dF

, т. е. при сверхзвуковом движении газа

в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе – уско-

ряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем,

что при расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что

произведение

F

в (7.32), несмотря на увеличение площади

F

, все же умень-

шается, что и приводит к возрастанию скорости

1

V

.

3. Если

1

M

, то

;0



dF

соответствующее сечение трубы будет крити-

ческим. Условие

0d

F

совпадает с необходимым условием экстремума

площади сечения. Критическое сечение будет минимальным, т. к. при подхо-

де к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой

ускоряется, что никак не может привести к течению со скоростью звука в

критическом сечении.

4. Если

0d

F

и сечение экстремально (максимально или минималь-

но), то либо

1



M

и, следовательно, это сечение критическое, либо

1



M

и

0

1

dV

. В последнем случае, каково бы ни было движение – до- или сверх-

звуковое, скорость в экстремальном сечении принимает также экстремальное

значение: при дозвуковом течении газа – минимальное в максимальном сече-

нии и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении,

наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном 

минимальна.

На этих рассуждениях основана гидродинамика сопла Лаваля – трубы,

которая служит для перевода дозвукового потока, т. е. поток

а с малой скоро-

стью, в

сверхзвуковой поток. Чтобы получить сверхзвуковой поток, труба

должна иметь суживающуюся (конфузорную) часть, в которой скорость по-

тока увеличивается до скорости звука в минимальном сечении, и затем рас-

ширяющуюся, в которой мог бы ускоряться св

ер

хзвуковой поток.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 155

7

.

4

.

И

с

л

е

д

о

в

а

н

и

е

р

а

с

ч

е

т

н

о

г

о

р

е

ж

и

м

а

д

в

и

ж

е

н

и

я

г

а

з

а

и

г

е

о

м

е

т

р

и

ч

е

с

к

и

х

п

а

р

а

м

е

т

р

о

в

с

о

п

л

а

Л

а

в

а

л

я

Применяемые в газотурбинных установках компрессоры и турбины

представляют собой машины, в которых передача механической энергии ра-

бочему телу осуществляется в процессе взаимодействия лопаток ротора с по-

током газа. Одним из основных элементов турбомашины является неподвиж-

ный статор, в который вмонтированы сопла, преобразующие потенциальную

энергию потока газа в кинетическую и придающие ему целесообразное на-

правление пере

д входом на вращающиеся лопатки.

Лопаточный аппарат компрессора или турбины совместно с выходным

или входным устройством образуют их прочную часть. Сочетание последо-

вательно расположенных направляющего (соплового) аппарата и рабочего

колеса называют ступенью. Совокупность отдельных ступеней образует ло-

паточный аппарат турбины.

Во многих случаях целесообразно использовать в сопловом аппар

а

те

турбины так называемые сопла Лаваля, названные по имени шведского ин-

женера Лаваля, впервые применившего их в паровых турбинах.

На рис. 7.8, а

, показана схема проточной час-

ти осевой ступени активной турбины: 1 – сопловой

аппарат, 2 – рабочее колесо. Сопло Лаваля имеет

начальную суживающуюся (1) и выходную расши-

ряющуюся (2) часть (рис. 7.8, б

). В сопле такого

типа возрастающая скорость газа в суживающейся

части достигает своего критического значения

(скорость газа равна скорости звука) в самом узком

сечении. При дальнейшем расширении газа ско-

рость может стать сверхзвуковой.

Дозвуковых режимов истечений из сопла Ла-

валя заданной формы существует бесчисленное

множество, в то время как сверхзвуковое истечение

единственно и может осуществляться только при

одном значении противодав

ления

н

P

(расчетный

режим).

При расчете сопла Лаваля необходимо при-

нять допущения – газ идеальный; процесс протека-

ет адиабатически, т. е. в сопле отсутствует приток

или отвод тепла, и изоэнтропийно. Движение газа в сопле одномерное, т. е.

параметры меняются только вдоль сопла.

а

б

Рис. 7.8

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 156

7

.

4

.

1

.

В

л

и

я

н

и

е

к

о

н

с

т

р

у

к

т

и

в

н

ы

х

п

а

р

а

м

е

т

р

о

в

и

р

а

з

м

е

р

о

в

с

о

п

е

л

и

с

о

п

л

о

в

ы

х

а

п

а

р

а

т

о

в

н

а

э

ф

е

к

т

и

в

н

о

с

т

ь

р

а

б

о

т

ы

т

у

р

б

и

н

ы

Имеется целый ряд параметров сопел, влияющих на рабочий процесс в

сопловом аппарате, рабочем колесе и, следовательно, во всей турбинной сис-

теме в целом. По условиям применения высокоперепадные турбины с оди-

ночными соплами должны работать в широком диапазоне изменения степени

расширения.

Работа сопел Лаваля на нерасчетных режимах сопровождается возник-

новением системы скачков уплотнения с отрывом потока, что приводит к

существ

е

нному снижению КПД сопла. Отсюда следует, что при определении

размеров сопла должно быть принято компромиссное решение, обеспечи-

вающее приемлемые показатели работы в рассматриваемом диапазоне изме-

нения режима. Расчеты по определению оптимальных размеров сопел долж-

ны основываться на сопоставлении характеристик турбин с различными со-

плами при различных степенях расширения.

Сверхзву

ковые сопла Лаваля более экономичны и имеют больший

КПД по сравнению с комбинированными каналами на всех режимах.

Важные параметры, влияющие на КПД,  степень уширения, угол рас-

крытия

вых



сопла. Согласно результатам исследований

вых



= 610. Наиболее

целесообразным в широком диапазоне режимов является коническое сопло с

цилиндрическим косым срезом. Укороченное сопло предпочтительно с точки

зрения экономичности.

7

.

4

.

2

.

О

п

р

е

д

е

л

е

н

и

е

п

а

р

а

м

е

т

р

о

в

т

о

р

м

о

ж

е

н

и

я

г

а

з

а

в

с

о

п

л

е

Л

а

в

а

л

я

Параметры торможения – это значения энтальпии, температуры, дав-

ления и плотности в той точке, где скорость потока равна нулю, т. е. поток

полностью заторможен. В результате полного торможения вся кинетическая

энергия направленного движения переходит во внутреннюю энергию. При

полном торможении потока совершенного газа температура торможения

0

T

,

как и энтальпия, может иметь только одно определенное значение, в то время

как давление торможения

0

P

и плотность

0



могут принимать любые значе-

ния, но такие, при которых отношение

0



P

остается постоянным. Следует

уяснить, что при определении параметров торможения не имеется в виду ре-

альное торможение потока. Параметры торможения формально вычисляются

в данном сечении потока по соответствующим уравнениям и имеют большое

значение при рассмотрении как теоретических, так и экспериментальных за-

дач газовой динамики.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 157

Параметры изоэнтропийного торможения определяются из уравнения

энергии при постоянной теплоемкости:

0

2

2/1 TCUTС

pp



,

где С

р

 теплоемкость газа при постоянном давлении; Т



температура га-

за в произвольном сечении сопла, К; U



скорость газа в произвольном сечении

сопла, м/с; T

0

 температура торможения газа, К. Тогда температура торможе-

ния

p

CUTT /5,0

2

0



. (7.39)

Давление и плотность заторможенного газа находятся из уравнения

изоэнтропы





ê

PP

00

// 

,

где

P

и



– давление, Па, и плотность газа в произвольном сечении

сопла, кг/м

3

, соответственно; к – показатель изоэнтропы,

vp

CCк /

.









1/1

00

//





к

TT

, (7.40)









1/

00

//





кк

TTPP

, (7.41)

где

TRP  /

, R



газовая постоянная, R = 287 для воздуха [Дж/(кгK)],

vp

CCR





.

Температуру, давление и плотность заторможенного газа можно опре-

делить по формулам (7.40

), (7.41) и по таблицам газодинамических функций

– безразмерных параметров, позволяющих упрощать анализ уравнений газо-

вой динамики, а также расчет (прил. 2

).

Температуру, давление и плотность удобно измерять в долях от их зна-

чений в заторможенном потоке:

0

/TT





;

0

/ PP





;

0

/







.

Сначала определяют число Маха – отношение скорости потока к мест-

ной скорости звука. Для идеального газа скорость распространения звука за-

висит только от его температуры:

кRTa 

;

кRTUaUM // 

. (7.42)

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 158

С помощью линейной интерполяции находят , , , соответствующие

полученному значению

M

, а затем определяют Т

0

, Р

0

,



0

,

Пример. Определить параметры торможения газа Т

0

, Р

0

, 

0

, если из-

вестно, что температура газа на входе в сопло Лаваля Т

1

= 300 К; давление на

входе Р

1

= 0,510

5

Па; скорость газа на входе U = 200 м/с. Газ – воздух,

C

p

= 1004 Дж/(кг·К); R = 287,1 Дж/(кгК);

4,1



к

;

58,0

1





кг/м

3

, давление ок-

ружающей среды за соплом

2000

í



P

Па, массовый расход 15m кг/с.

Температура торможения определяется из выражения (7.39):



К.9,319

1004

200

5,0300

2

0

T

Плотность заторможенного газа находится из выражения (7.40

):







682,09,319/300/58,0

/

14,1/1

1/1

01

1

0









к

TT

кг/м

3

.

Давление заторможенного газа находится из выражения (7.41):







626039,319/300/105,0

/

14,1/4,1

5

1/

01

1

0





кк

TT

P

Па.

Для определения Т

0

, Р

0

, 

0

по таблицам газодинамических функций

найдем

M

из выражения (7.42):

576,03001,2874,1/200

1

M

.

Соответственно

9378,0

1



;

7986,0

1





;

8516,0

1





.

7

.

4

.

3

.

О

п

р

е

д

е

л

е

н

и

е

п

а

р

а

м

е

т

р

о

в

г

а

з

а

в

ы

х

о

д

н

о

м

с

е

ч

е

н

и

с

о

п

л

а

Л

а

в

а

л

я

Примем, что давление за соплом равно давлению окружающей среды

н

P

. Параметры газа в выходном сечении можно определить как с помощью

зависимостей (7.40

), (7.41), так и с помощью газодинамических функций.

Пример. Воспользуемся выражением (7.41

). В нем для определения

температуры на выходе из сопла

2

T

необходимо принять

2000

н

PP

Па.

Тогда

K.89,11962603/20009,319

5,3

0

02



P

TT

н

Плотность газа на выходе

2



определим из выражения (7.40):

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 159











0586,09,319/89,119682,0/

5,21/1

0202



к

TT

кг/м

3

.

Число Маха в выходном сечении

222

/ aUM



.

Скорость газа на выходе

2

U

найдем из выражения (7.39):







74,633

5,0

89,1199,3191004

5,0

20

2











TTC

U

p

м/с.

Скорость звука на выходе

52,21989,1191,2874,1

22

 кRTa

м/с.

Число Маха на выходе

88,2

2



M

. Для определения параметров газово-

го потока в выходном сечении сопла по таблице газодинамических функций

найдем отношение

0319,0102603,6/2000/

4

02

 PP

н

.

С помощью линейной интерполяции найдем в таблице значения

2



,

2



,

2

M

, соответствующие

2



:

2



= 0,3733;

2



= 0,0854;

2

M

= 2,88.

7

.

4

.

4

.

О

п

р

е

д

е

л

е

н

и

е

п

л

о

щ

а

д

и

д

и

а

м

е

т

р

а

в

ы

х

о

д

н

о

г

о

с

е

ч

е

н

и

я

с

о

п

л

а

Л

а

в

а

л

я

Геометрические размеры выходного сечения сопла определяются из

уравнения неразрывности, т. е. закона сохранения массы.

В общем случае течения вдоль трубы с переменной площадью попе-

речного сечения



xFF 

;





xmm



, т. к. масса жидкости, протекающая в

единицу времени через поперечное сечение канала, может меняться вследст-

вие подвода жидкости. Однако в нашем случае

cons

t



m

по условию. Тогда

U

m

F





. (7.43)

Пример.

Для выходного сечения сопла





404,074,6330586,0/15/

222









 UmF

м

2

;

534,014,3/404,04/4

22

 Fd

м.

МОДУЛЬ 2. ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

7.4. Исследование расчетного режима движения газа и геометрических параметров сопла Лаваля



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 160

7

.

4

.

5

.

О

п

р

е

д

е

л

е

н

и

е

п

а

р

а

м

е

т

р

о

в

г

а

з

о

в

о

г

о

п

о

т

о

к

а

в

м

и

н

и

м

а

л

ь

н

о

м

с

е

ч

е

н

и

с

о

п

л

а

Из определения сопла Лаваля следует, что переход через скорость зву-

ка (

1

M

) может произойти только в минимальном сечении трубы, т. к. в

уравнении Гюгонио для сопла, только при

0



d

F

,

1

/

2





M

FdF

U

dU

. (7.44)

Левая часть уравнения (7.44

) не становится бесконечно большой.

Качественный анализ формулы (7.44

) показывает следующее:

Скорость потока меньше местной скорости звука (

1

M

). Если канал

суживается в направлении течения





0



dF

, то скорость потока возрастает,

т. к.

0d

U

. Если канал расширяется





0dF

, то скорость вдоль него

уменьшается (

0d

U

).

Скорость потока больше местной скорости звука (

1

M

). Сверхзвуко-

вой поток ведет себя противоположно дозвуковому. В суживающемся канале



0dF

скорость уменьшается (

0



dU

), в расширяющемся – возрастает

(

0d

U

).

В точке, где

1

M

, скорость потока равна местной скорости звука. Та-

кая скорость называется критической (обозначается индексом *)

**

aU



. В

точке, где скорость равна критической, все параметры также называются

критическими. Критические параметры зависят от физических свойств газа

(показатель

к ) и параметров полного торможения.

Во многих случаях вместо безразмерной скорости

M

удобно исполь-

зовать другую безразмерную скорость:

*

/ aU





,

которая пропорциональна скорости потока, т. к. критическая скорость

постоянна в энергетически изолированных потоках.

Сечение канала, в котором устанавливается критическая скорость, на-

зывается критическим, а его площадь

*

F

критической.

Критическим может быть только то сечение, где площадь трубы





xF

достигает минимума. Но обратное утверждение несправедливо, т. к. мини-

мальное сечение и не может быть критическим, если там не достигается крити-

ческая скорость. Безразмерную площадь канала можно определять отношением

FFq /

*



, т. к. оно изменяется в пределах от 0 до 1. Функция q может быть

определена из таблицы газодинамических функций или из выражения

Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.