Назад
71
3. Какому закону распределения подчиняется вероятность
безотказной работы в период нормальной эксплуатации?
4. Что выражает квантиль и как с ее помощью определяют
вероятность безотказной работы?
5. Какое распределение рациональнее применять, когда от-
казы представляют собой произведение (сумму) значительного
числа случайных событий?
6. Какими параметрами характеризуется распределение
Вейбула?
7. Изложите последовательность обработки результатов
испытаний для распределения Вейбулла.
8. Что показывает параметр потока отказов в случае вос-
станавливаемых изделий?
72
ГЛАВА 5
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
5.1 Определение закона распределения функций по законам
распределения аргументов [2]
Исследование законов распределения и накопления число-
вых значений параметров распределения аргументов в теории
надежности, как и в других областях техники, гораздо проще, чем
функций. Поэтому расчет параметров распределений функций
весьма актуален. В теории надежности он также нужен для оцен-
ки надежности систем по параметрам надежности элементов.
Распределение функций одного аргумента. Одним из
типичных примеров этого расчета в области прочности является
определение закона распределения напряжения в опасном сече-
нии детали по закону распределения нагрузки.
Пусть задана плотность распределения f
1
(t) случайной ве-
личины X и требуется определить плотность распределения f
2
(t)
случайной величины У, являющейся известной функцией ϕ от Х,
т.е. Y=ϕ(X)
Очевидно, что вероятность попадания случайной величи-
ны Y на элементарный отрезок dу равна вероятности попадания
на dx случайной величины X,т.е.
)()( dxxXxBepyYyBep == <<<<
или
dxxfdyyf )()(
12
=
Тогда плотность распределения случайной величины Y
принимает положительные значения, определяемые но формуле
73
[ ]
dy
yd
yf
dy
dx
xfyf
)(
)()()(
112
Ψ
Ψ==
,
где )(y
Ψ
- функция обратная заданной функции ϕ(x).
Рассмотрим линейную функцию Y = a + bX, где а и b -
заданные константы.
Находим обратную функцию X = (Y-а) / b и ее производ-
ную dx/dy=1/b. Искомая функция плотности случайной величины
Y определяется выражением
=
b
ay
f
b
yf
12
1
)(
В случае нормального распределения случайного аргумен-
та X плотность распределения f
2
(x) равна
2
2
2
)(
2
2
1
)(
x
x
S
mx
x
e
S
xf
=
π
где m
x
и S
ч
параметры распределения.
Тогда плотность распределения для Y
[
]
2
2
)(2
)(
2
2
1
)(
x
x
bS
bmay
x
e
bS
yf
+
=
π
Последнее выражение показывает, что случайная величина
Y, являющаяся линейной функцией нормально распределенного
аргумента, распределяется по нормальному закону с параметрами
74
m
y
и S
y
равными
x
bS
y
S
x
bma
y
m =+= ,
Пример. Контактные напряжения
H
σ на рабочих по-
верхностях зубьев прямо пропорциональны корню квадратному
крутящего момента Т, т. е. где Tb
H
=σ , где b - коэффициент
пропорциональности.
Определить плотность распределения контактных напря-
жений, если крутящий момент является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону с параметрами m
T
и S
T
.
Р е ш е н и е. Плотность распределения крутящего момента
как случайной величины, распределенной но нормальному зако-
ну, определяется выражением
2
2
2
)(
1
2
1
)(
T
T
S
mT
T
e
S
Tf
=
π
Находим функцию, обратную Tb
H
=σ
22
/bT
H
σ=
Тогда плотность распределения контактных напряжений
22
22
2
)(
2
2
2
12
2
2
)(
t
TH
Sb
mb
T
H
H
H
H
e
Sb
d
dT
b
ff
=
=
σ
π
σ
σ
σ
σ
Таким образом, распределение контактных напряжений
отличается от нормального закона, несмотря на то, что распреде-
75
ление нагрузки нормально.
Распределение функции нескольких аргументов. Пря-
мой аналитический метод заключается в непосредственном опре-
делении интегрированием (по общим зависимостям теории веро-
ятностей) плотности распределения функции по выражениям
функции плотности распределений аргументов. Однако результат
в конечной форме может быть получен только в некоторых част-
ных случаях.
Рассмотрим один простейший случай - композицию двух
законов распределения, т. е. закон распределения суммы Z двух
независимых случайных величин Х и Y при известных плотностях
их распределений f
1
(x) и f
2
(x)
= dyyfyzfилиdxxzfxfzg
x
)()()()()(
221
.
Композиции нормальных распределений имеют также
нормальный закон распределения.
Установить закон распределения функции можно обыч-
ными методами математической статистики по отдельным число-
вым значениям функции, вычисленным при значениях аргумен-
тов из ряда случайных чисел, например методом Монте-Карло
(см. ниже).
Пример . Несущая способность детали R и действующая
нагрузка F распределены по нормальному закону. Определить
плотность распределения функции Z=R-F. Вычислить вероят-
ность P(Z>0), называемую вероятностью неразрушения или ве-
роятностью безотказной работы, если средние значения (матема-
тические ожидания) несущей способности и нагрузки соответст-
венно равны m
R
=3 10
2
H, m
R
=1,6 10
3
H; средние квадратиче-
76
ские отклонения R и F соответственно равны S
R
= 0,5 10
3
H и S
F
= 0,3 10
3
H.
Р е ш е н и е. Распределение разности Z описывается
нормальным законом с параметрами
;104,1106,1103
333
Нmmm
FRZ
===
.10583,0)103,0()105,0(
3232322
НSSS
FRZ
=+=+=
Плотность распределения разности Z:
2
2
2
)(
2
1
)(
Z
Z
S
mz
Z
e
S
zf
=
π
Функция распределения
),()()(
0 p
z
uFdzzfzF ==
где u
p
- квантиль нормированного нормального распределения
Z
z
p
S
mz
u
= (при z = 0 квантиль
)40,2
10583,0
104,1
3
3
=
==
Z
z
p
S
m
u
;
pO
uF - табулированная функция нормального распределения
(при ).0082,04,2 ==
op
Fu
Учитывая, что Р (Z<z)=F(z), получим
0082,0)4,2()0( ==
O
FZP ,
77
тогда вероятность безотказной работы (см. табл. 4.1)
9918,00082,01)0(1)0( ==<=> ZPZP
Ввиду сложности общих аналитических методов широкое
практическое применение получил также метод определения па-
раметров распределения функции на основе ее линеаризации в
достаточно узких пределах изменения аргументов. Для этого
функция раскладывается в ряд Тейлора с сохранением первых
двух членов. Предполагается, что функция непрерывная и диф-
ференцируемая.
Для функции Y= )...,,,(
221 n
XXXXϕ математическое ожи-
дание ),...,,,(
321 xnxxxy
mmmmm ϕ= а дисперсия
=
222
)(
ximxi
i
y
S
x
y
S
,
где
n
XXX ...,,
21
- независимые случайные величины;
xnxxі
mmm ,...,,
2
- их математические ожидания;
XNXX
SSS .,..,,
21
- их дисперсии.
Индекс у производной
mxi
i
Χ
Υ
означает, что ее чи-
словое значение определяют при .
xii
mx =
Если математические ожидания аргументов не совпадают с
их номинальными значениями, указываемыми в технической до-
кументации, то параметры распределения функции можно опре-
делить через номинальные значения функции у
н
и аргументов
x
1н
, x
2н
…x
nн
И значения частных производных функций при
номинальных значениях аргументов.
78
Тогда
+= );(
xiiн
xiн
i
нy
mx
X
Y
ym
Пример. Оценить методом линеаризации числовые харак-
теристики коэффициента запаса прочности n, равного отношению
несущей способности R и действующей нагрузки F. Средние зна-
чения R и F соответственно НmиНm
FR
33
102104 == ;
коэффициенты вариации 15,012,0 ==
F
R
и υυ .
Р е ш е н и е. Среднее значение (математическое ожида-
ние) коэффициента запаса прочности, называемого также коэф-
фициентом запаса по средним нагрузкам,
2
102
104
3
3
=
==
F
R
m
m
n .
Среднее квадратическое отклонение функции
F
R
n =
4
22
2
2
2
2
2
F
RF
F
R
m
R
m
n
m
mS
m
S
F
n
S
R
n
S
FR
+=
+
= .
Учитывая, что
F
F
F
R
R
R
m
S
и
m
S
== υυ , получаем выраже-
ние для среднего квадратического отклонения коэффициента за-
паса прочности и вычисляем его значение
384,015,012,02
2222
=+=+=
FRn
nS υυ
79
5.2. Корреляционный анализ в теории надежности.
В связи с тем, что теория надежности оперирует со слу-
чайными величинами, в ней широко используют вероятностные
стохастические зависимости вместо функциональных.
Такими величинами можно считать, например, предел вы-
носливости материала детали и теоретический коэффициент
концентрации напряжений в опасном сечении детали.
Величины являются функционально зависимыми, если
при известном значении одной можно точно указать значение
другой. Так связаны, например, напряжение и деформация в уп-
ругодеформируемых деталях.
Вероятностные зависимости имеют место, когда величины
зависят не только от общих для них, но и от разных случайных
факторов. Вероятностные зависимости характеризуют тенденции
изменения одной случайной величины в зависимости от измене-
ния другой. Они могут быть более или менее тесными в пределах
отсутствия зависимости и функциональной зависимости. Очень
наглядным примером вероятностной связи может служить зави-
симость между массой и ростом человека.
В технике вероятностные связи распространены очень
широко (например, связи между характеристиками материа-
Две случайные величины, как известно, являются
независимыми, если закон распределения каждой из них не
зависит от значения, которое приняла другая.
Величины являются связанными вероятностной
или стохастической зависимостью, если известному зна-
чению одной величины соответствует нс конкретное зна-
чение, а закон распределения другой.
80
лов и между параметрами отдельных узлов машины).
Изучение вероятностных зависимостей между случайными
величинами предмет корреляционного анализа (от лат. correla-
tio соотношение).
Совместная плотность и условные плотности распределе-
ния связаны следующими соотношениями:
.),()/(),(
;),()/(),(
=
=
dxyxfyxfyxf
dyyxfxyfyxf
Для независимых случайных величин совместная плот-
ность распределения f(x, y) равна произведению плотностей рас-
пределения случайных величин Х и Y:
).()(),( yfxfyxf
yx
=
Основными характеристиками вероятностных зависимо-
стей являются корреляционный момент и коэффициент корреля-
Полная информация о вероятностной связи двух
случайных величин представляется совместной плотно-
стью распределения f(x,y) или условными плотностями
распределения f(x/y), f(y/x), т. е. плотностями распределе-
ния случайных величин Х и Y при задании конкретных
значений у и х соответственно.