Козлов В.В. Надёжность горных машин и оборудования

Подождите немного. Документ загружается.

101

дежности. Вследствие этого, величины показателей надежности,

определенные на основании выборочной совокупности лишь с

некоторой вероятностью количественно характеризуют эти пока-

затели для генеральной совокупности объектов.

Доверительная вероятность

связана с предельной аб-

солютной ошибкой

условием













≤−= εγ XXP

где Х

- генеральная средняя величина изученного признака (на-

пример, наработка на отказ генеральной совокупности однород-

ных. объектов);

X - оценка Х

по результатам опыта (для выборочной сово-

купности тех же объектов).Точность результатов оценивается

обычно относительной предельной ошибкой.

При этом, чем больше γ и меньше δ, тем больше должен

быть объем выборочных данных n, характеризуемый, например,

количеством отказов объекта, числом реализации случайных на-

работок объекта между отказами или случайных величин време-

ни восстановления работоспособного состояния объекта.

Выбор γ и δ для определения объема наблюдений должен

Поэтому при планировании объема распределитель-

ных испытаний задаются показатели, численно характери-

зующие достоверность результатов (доверительная вероят-

ность) и их точность (обычная ошибка)

102

осуществляться с учетом целей исследования надежности, а так-

же степени структурной детализации оборудования при анализе

его надежности. При оценке надежности опытных образцов гор-

ных, транспортных стационарных машин, комплексов и агрега-

тов, а также структурных элементов серийных машин можно

принимать γ≥0,8 и δ≤0,2 ; а при оценке надежности серийных

горных машин, комплексов и агрегатов - γ≥0,9 и δ≤0,1 .

Значения [n] приведены в табл. 7.1, которая составлена в

соответствии с рекомендациями по планированию испытаний.

Календарная продолжительность определенных испыта-

ний (хронометражных наблюдений) может быть найдена из вы-

ражения:

[

]

0. эисп

KTnt =

(7.1)

где Т

- предполагаемая величина средней наработки на отказ

исследуемого объекта, ч;

- коэффициент непрерывности работы объекта при

эксплуатации.

Наблюдения следует вести за группой однородных объек-

тов, работающих примерно в одинаковых условиях эксплуата-

ции, соответствующих паспортным данным. Продолжительность

испытаний (ч) одного объекта

Таблица 7.1 – Количество испытуемых изделий

Минимально необходимый объем выборочных дан-

ных [n] зависит не только от принятых γ и δ, но также и от

вида закона распределения и степени варьирования (дис-

персии) случайной величины, положенной в основу опре-

деления того или иного показателя надежности.

103

[n]

γ = 0,8 γ = 0,9 γ = 0,95

Закон распре-

деления слу-

чайной вели-

чины

Коэффи-

циент

вариа-

ции

случай-

ной

величи-

ны

δ =

0,2

δ =

0,15

δ =

0,15

δ =

0,1

δ =

0,1

δ =

0,095

Нормальный

0,2

0,25

0,3

0,33

100

150

200

Логарифмиче-

ски нормаль-

ный

0,2

0,25

0,3

0,33

122

105

160

202

254

416

640

800

Экспоненци-

альный (пока-

зательный)

1 30 50 100 200 300 1000

[

]

исп

KNK

t =

(7.2)

где N- число однотипных объектов, работающих в одинаковых

условиях;

- коэффициент охвата, равный для серийных горных,

транспортных, стационарных машин, комплексов и агрегатов 0,3

; для опытных партий 0,6; для опытных образцов 1.

Для невосстанавливаемых или неремонтируемых объектов

продолжительность (ч) испытаний (наблюдений)

[

]

исп

t =

7.3)

где [n

] - минимально необходимое число испытуемых объектов,

определяемое по табл. 7.1, для [n];

104

- предполагаемая величина средней наработки до отказа, ч.

Разовая длительность хронометражных наблюдений равна

обычно продолжительности рабочей смены. Требуемое число

смен наблюдений должно составлять ,t/tm

см.исп

≥

где t

см

календарная длительность смены наблюдения, ч.

Заботясь о полноте информации, о надежности, необходи-

мо иметь в виду, что лишние сведения затрудняют сбор данных,

снижают оперативность обработки информации и уменьшают

эффективность ее использования.

При ограниченной продолжительности непрерывных хро-

нометражных наблюдений может быть сделан неправильный вы-

вод, например, о характере изменения во времени величины па-

раметра потока отказов и о виде распределения случайных вели-

чин наработок до отказа.

Если календарная длительность разовых хронометражей не

превышает

э0

КТ3

−

, то может быть сделан вывод о нестацио-

нарности параметра потока отказов, хотя в действительности по-

ток отказов является простейшим, т. е. обладает свойством ста-

ционарности, а случайные наработки объекта между отказами

подчиняются экспоненциальному закону распределения.

смэ

tК

1 +≥

. (7.4)

На основании исследований установлено, что для

подтверждения реально существующего простейшего по-

тока отказов объектов горно-шахтного оборудования чи-

сло смен непрерывных хронометражных наблюдений до-

лжно определяться из условия

105

Условие ( 7.4 ) удовлетворяет также случаям, когда иссле-

дуемая величина подчинена нормальному закону распределения

и другим законам распределения, если коэффициент вариации

случайной величины t не превышает единицы ( )1≤

υ .

Для достаточно уверенного суждения о законе распреде-

ления СВ суммарная длительность непрерывных хронометраж-

ных наблюдений должна быть не менее ( 70 ÷ 100 ) Т

7.2 Статистическая обработка информационного

материала о надежности

Определение показателей надежности связано с решением

двух главных задач математической статистики - оценки неиз-

вестных параметров выборки и проверки статистических гипо-

тез.

Обработка результатов исследований надежности позво-

ляет вычислить числовые характеристики эмпирического рас-

пределения (выборки), называемые статистическими оценками

(эмпирическими или выборочными характеристиками), которые

аналогичны числовым характеристикам СВ: математическое

ожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты раз-

личных порядков. Каждой числовой характеристике СВ соответ-

ствует ее статистическая аналогия.

Аналогией математического ожидания m

случайной

величины X является его статистическая оценка m

, представ-

ляющая собой среднее арифметическое (статистическое сред-

нее) значение, полученное в результате испытаний реализации

СВ:

∑

, (7.5)

106

где n - число реализации (объем выборки) случайной величины;

– i-я реализация (значение) случайной величины X.

При неограниченном увеличении n статистическое сред-

нее приближается (сходится по вероятности) к математическому

ожиданию, о чем наглядно свидетельствуют данные табл. 7.1. С

увеличением объема выборки n возрастает доверительная веро-

ятность (надежность) γ статистического среднего и снижается

величина относительной ошибки δ.

Статистическая оценка дисперсии может быть опреде-

лена по формуле

∑

−=

)mx(

D . (7.6)

Аналогично определяются статистические начальные и

центральные моменты, а также моменты любого порядка:

∑∑

−==

)(

(7.7)

При увеличении п все статистические характеристики бу-

дут сходиться по вероятности к соответствующим математи-

ческим характеристикам.

При больших объемах выборок n вычисление характе-

ристик по формулам (7.5 – 7.7) затрудняется, поэтому получен-

ные эмпирические данные представляют в виде статистиче-

ского ряда. Для этого весь диапазон значений случайной вели-

чины разбивают на интервалы, число которых в зависимости от

объема выборки должно быть не менее 5 - 6 и не более 10 - 12.

Примерная величина интервала ∆I определяется по фор-

107

муле

lg3,31

minmax

−

=∆

, (7.8)

где

minmax

, xx - соответственно максимальное и минимальное

значения исследуемой случайной величины;

n - количество полученных реализации случайной величины

(объем выборки).

Число интервалов k группирования случайной величины

находится из выражения

∆

−

minmax

Интервалы имеют при этом одинаковую длину. Число зна-

чений n случайной величины Х в каждом интервале должно быть

не менее 5.

Рассмотрим формирование статистического ряда на

примере 300 реализации случайных значений t

, времени работы

между отказами очистного комбайнового комплекса, среди кото-

рых t

min

= 1 мин; t

max

= 400 мин. Принимаем t

min

= 0. В этом случае

.3,4

300lg3,31

400

минI ≈

=∆

Можно принять 40

∆

мин, тогда 10

400

==k

Для каждого интервала подсчитываются: n

- число значе-

ний случайной величины, попавших в интервал; n

/n - частота

108

(статистическая вероятность); накопленная частота;

∑

накопленная частота; Inn

∆/ - ємпирическая плотность вероят-

ности, мин

-1

. Данные заносятся в табл. 7.2.

Накопленная частота nn

при

∑

nn для всех интерва-

лов должна быть равна 1, что служит проверкой правильности

вычисления частот для каждого интервала.

Таблица 7.2

Интервалы

l∆

мин

∑

∆

мин

-1

0 - 40 128 0,4275 0,4275 0,01065

40 – 80 70 0,2333 0,6608 0,00583

80 – 120 36 0,1200 0,7808 0,00300

120 – 160 22 0,0734 0,8542 0,00183

160 – 200 14 0,0457

0,8999

0,00114

200 – 240 9 0,0301 0,9300 0,00075

240 – 280 7 0,0234 0,9534 0,00058

280 – 320 6 0,0200 0,9734 0,00050

320 - 360

360 - 400







0,0200

0,9734

0,00033

Как видно из табл. табл. 7.2, в последний интервал попало

менее пяти значений случайной величины, поэтому его следует

объединить с предпоследним интервалом. Тогда длина объеди-

ненного интервала будет равна 80 мин.

На основании данных табл. 7.2 могут быть найдены стати-

стические оценки математического ожидания и дисперсии слу-

чайной величины.

109

Для сгруппированных данных статистические числовые

характеристики выражаются следующими формулами:

∑

;

(7.9)

∑

−=

mxD

~~~

)(

; (7.10)

∑ ∑

= =

−==

1 1

~~~~

.)(, µ

(7.11)

Очевидно, что формулы (7.9) – (7.11) аналогичны форму-

лам, приведенным в 3.1 для дискретных СВ с той лишь разницей,

что вместо вероятностей p

фигурируют частоты nn

вместо ма-

тематического ожидания

m - статистическое среднее

вместо

чисел возможных значений случайной величины n число разря-

дов k и вместо реализации х

случайной величины - значения t

i-x

разрядов (середины интервалов ∆I)

В рассматриваемом примере

txиtx

== , поэтому

∑

После объединения двух последних интервалов в табл. 7.2

число разрядов k=9, а значения 2It

∆= и составляют:

110

.,20

минt = .,60

минt = .,100

минt = … .360

минt =

Тогда статистическое среднее математическое ожидание

.832660,036002,03002340,0260

03,0220457,01807340,014012,01003332,0602754,020

мин

=⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

статистическая средняя дисперсия

.6783

02666,0)83360(02,0)83300(0234,0)83260(03,0)83260(

03,0)83220(0457,0)83180(0734,0)83140(12,0)83140(

12,0)83100(2333,0)8360(4275,0)8320()(

2222

222

~~~

мин

mtD

=−+−+−+−+

+−+−+−+−

+−+−+−=−=

∑

Статистические среднее квадратическое отклонение и ко-

эффициент вариации СВ составят:

.988,0;82

~~~~

====

ttt

mминD σνσ

При необходимости по формулам (7.11) могут быть рас-

считаны также начальные и центральные моменты других поряд-

ков.

Для наглядного представления об эмпирическом распреде-

лении строится гистограмма (ступенчатая диаграмма) эмпириче-

ской плотности распределения случайной величины (рис. 7.1).

Высоты прямоугольников пропорциональны соответст-

вующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности

Inn

∆ для каждого

По оси абсцисс откладываются интервалы (разря-

ды) ∆I случайной величины и на каждом из интервалов

строится прямоугольник с площадью, равной частоте

появления случайной величины в данном интервале