Козлов В.В. Надёжность горных машин и оборудования
Подождите немного. Документ загружается.
91
являющуюся математическим ожиданием случайной функции
X(t) и
)()]([)]()([)()]([
0
22
tdxtxftmtxttxD
∫
∞
⋅−== σ
(6.4)
являющуюся дисперсией случайной функции X(t).
Математическое ожидание m(t) случайной функции Х(t)
является некоторой усредненной функцией, около которой кон-
кретные реализации х
i
(t) случайно колеблются с дисперсией
σ
2
(t).
Математическое ожидание и дисперсия являются важными
характеристиками, но они не характеризуют внутреннюю струк-
туру случайной функции. Например, у случайных функций Х
1
(t) и
X
2
(t), представленных на рисунке примерно одинаковые m и σ,
однако характер функций существенно различен.
Для случайной функции Х
1
(t) характерно плавное, посте-
пенное изменение реализации, а случайная функция Х
2
(t) имеет
резко колебательный характер с беспорядочными колебаниями
Таким образом, математическим ожиданием слу-
чайной функции Х(t) называется функция m(t), которая
при каждом значении параметра t равна математическому
ожиданию соответствующего сечения случайной функции.
Дисперсией случайной величины Х(t) называется
неслучайная функция D[X(t)], значение которой для каж-
дого t равно дисперсии соответствующего сечения случай-
ной функции.
92
реализаций.Эта внутренняя структура случайных функций харак-
теризуется корреляционной функцией К(t
1
; t
2
).
Рисунок 6.2 - Два типа случайных процессов с различной
внутренней структурой
)()()()()()(
212111
tmtXtXЏtmtXtХ −=−=
,
соответствующих сечений случайной функции, т.е.
{
}
)]()()][()([)]()([);(
22112121
tmtXtmtXMtXtXMttж −−==
(6.5)
Х
1
(t
)
M[Х
1
(t
)]
t
Х
2
(t
)
M[Х
2
(
t
)]
t
Корреляционной функцией случайной функции
Х(t) называется неслучайная функция К(t1; t2) двух
аргументов t1 и t2, которая при каждой паре значений
t=t1 и t=t2 равна математическому ожиданию произве-
дений величин
93
При t
1
=t
2
=t корреляционная функция обращается в дис-
персию случайной величины D[X(t)]. Действительно, из (6.5) с
учетом
∑
=
−=
n
i
ixix
pmxD
1
2
)(
имеем
{
}
)()]([)]()([)();(
2
2
21
ttXDtmtXMtжttж σ==−==
Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной
характеристике случайной величины отпадает. Для описания
основных особенностей случайной функции необходимо знать
ее математическое ожидание m(t) и корреляционную функ-
цию К(t
1
; t
2
).
Следовательно, для стационарных процессов:
m(t)=m=const; D(t) = D = const
Для стационарных случайных процессов корреляционная
функция не зависит от положения точек t
1
и t
2
на оси времени t, а
зависит лишь от разности τ=t
2
- t
1
.Приняв t
1
=t; t
2
=t+τ из (6.5),
имеем
Cлучайные функции, для которых математиче-
ское ожидание m(t) и дисперсия D(t) не зависят от вре-
мени, называются стационарными случайными функ-
циями, а характеризуемые ими случайные процессы -
стациона
р
ными проце
с
сами.
94
{
}
)(])(][)([);();(
21
τττ KmtXmtXMttжttж =−+−=+=
(6.6)
Таким образом, корреляционная функция стационар-
ного случайного процесса является функцией не двух, а всего
лишь одного аргумента. Очень важной особенностью стацио-
нарного процесса является то, что для его исследования за
начало отсчета параметра t можно принять любой момент
времени, так как его характеристики не зависят от времени.
Это свойство особенно удобно, когда стационарный про-
цесс является эргодическим процессом, то есть когда по одной
реализации случайного процесса достаточной продолжительности
можно получить достоверные характеристики процесса. В общем
случае они определяются по n реализациям.
Если стационарная функция Х(t) обладает свойством эрго-
дичности, то для нее все средние показатели по времени равны
средним по множеству реализаций. Для эргодической стационар-
ной функции математическое ожидание может быть определено
по формуле.
∫
=
T
o
dttx
T
m )(
1
(6.7)
где Т - достаточно большой промежуток времени, на котором
определена отдельная одна какая-то частная реализация х
i
(t) слу-
чайного процесса Х(t).
Аналогичным образом на основе одной реализации может
быть определена корреляционная функция
95
dtmtxmtx
Т
ж
T
o
])(][)([
1
)( −+−
−
=
∫
−
τ
τ
τ
τ
(6.8)
Свойство эргодичности случайных процессов надежности
машин позволяет заменить дорогостоящие испытания большого
числа однотипных изделий испытанием одного или двух изделий
в течение достаточного времени.
6.2 Спектральное разложение стационарной случайной
функции [6]
Спектральным разложением некоторой функции называ-
ется представление ее в виде суммы гармонических колебаний,
имеющих разные амплитуды и частоты. Зависимость амплитуды
гармоники от частоты называется спектром функции (рис. 6.3)
Рисунок 6.3 - Зависимость амплитуды гармоники от часто-
ты
Пусть дана стационарная случайная функция Х(t). Ее кано-
ническое разложение имеет вид:
D
к
ω
ω
1
ω
2
ω
к
96
∑
∞
=
++=
”ђ
ђђђђx
tеtAtmtX )sincos()()( ωω
( 6.9 )
или в комплексной формме:
)()()(
∑
∞
−∞=
=
к
tj
кx
к
eUtmtX
ω
( 6.10 )
где А
к
; В
к
; U
к
- некоторые коэффициенты ω
к
– частоты.
Корреляционная функция случайной функции Х(t) выража-
ется формулой
∑
∞
−∞=
=
к
j
кx
к
eDК
τω
τ
*
)(
, (6.11)
где τ = t
1
- t
2
; D
к
- дисперсия амплитуд.
Формула (6.11) есть ряд Фурье, поэтому используя форму-
лы коэффициентов ряда Фурье, имеем:
∫
==
T
ђ›ђђ
dж
T
DD
2
0
*
cos)(
2
1
2
1
ττωτ
,
где 2T - интервал изменения функции.
При Т→∞, 0
2
→=
Т
π
ω , это значит что расстояние между
частотами ω
к
, на которых строится спектр, будут при Т→∞ неог-
раниченно уменьшаться, т.е. дискретный спектр разложения
97
переходит в непрерывный и вместо дисперсии амплитуды
гармоники каждой частоты следует рассматривать плотность
дисперсии амплитуд на единицу частоты
т.е.
)(
ђ›
ђ
S
D
ω
ω
=
∆
,
Учитывая, что ∆ω = π/2Т при Т→ ∞, имеем
∫
∞
∞−
= ττωτω dжS
›x
cos)(
2
1
)(
( 6.12 )
Данная функция определяет плотность распределения
дисперсии гармонических колебаний разложения в зависимости
от частоты и поэтому называется спектральной плотностью
стационарной случайной функции.
Соотношение между спектральной плотностью и корре-
ляционной функцией имеет вид:
∫
∞
∞−
= ωωτωτ dSж
››
cos)(
2
1
)(
(6.13 )
Кривая S
x
(ω) на рисунке 6.4 изображает плотность распре-
деления дисперсий по частотам непрерывного спектра.
∫
∞
∞−
= ττωτ
π
ω dжS
›x
cos)(
1
)(
(6.14)
98
Формулы (6.14) и (6.13) определяют собой прямое и обрат-
ное преобразование Фурье.
На практике вместо спектральной плотности S
x
(ω) часто
пользуются нормированной спектральной плотностью
σ
х
(ω) = S
x
(ω) / D
x
; где D
x
- дисперсия СВ.
Рисунок 6.4 - Кривая плотности распределения дисперсий
по частотам непрерывного спектра
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение математического ожидания случай-
ной функции.
Sx(
ω)
ω
99
2. Что характеризует корелляционная функция случайной
функции?
3. Какая случайная функция является стационарной?
4. В чем заключается эргодичность случайного процесса?
5. Запишите формулу математического ожидания эргоди-
ческой стационарной функции.
6. Что характеризует (отражает) спектральная плотность Sк
(ω) стационарной случайной функции?
100
ГЛАВА 7
СБОР И ОБРАБОТКА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕ-
ЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
7.1 Источники информации о надежности [1]
Для получения информации о надежности используются
результаты специальных наблюдений и документация, ведущаяся
на горных и ремонтных предприятиях. Источником получения
достаточно полной информации о надежности забойного обору-
дования и его элементов является << Журнал наблюдений за ра-
ботой оборудования >>, который заполняется силами персонала,
обслуживающего горную технику.
Для определения показателей надежности элементов, лик-
видация отказов которых вызывает длительные простои обору-
дования, могут быть использованы также журналы регистрации
отказов, ведущиеся механиками или диспетчерами шахт.
Наиболее полную и разностороннюю информацию дают
специальные хронометражные наблюдения, преимуществом ко-
торых является непрерывность и целевая направленность. Дли-
тельность наблюдений зависит как от величины параметра пото-
ка отказов оборудования (с уменьшением которой она должна
возрастать), так и от цели наблюдений, нужно ли определить и
насколько достоверно средние значения показателей надежно-
сти, или установить закон распределения случайных величин,
используемых для оценки надежности.
При проведении определительных испытаний с целью
оперативного получения количественных значений показателей
надежности и параметров распределения СВ приходится, как
правило, иметь дело с выборками объектов из генеральной сово-
купности ( всего множества однородных объектов горно-
шахтного оборудования) или с выборочными совокупностями
реализации случайных величин, используемых для оценки на-