Козлов В.В. Надёжность горных машин и оборудования

Подождите немного. Документ загружается.

)lg(lg

4343.0

)(

−

(4.17)

Оценки параметров lgt

и S определяют по результатам

испытании

lglg

=≈

;

)lg(lg

−Σ

−

=≈

Математическое ожидание mt, среднеквадратическое от-

клонение Sе и коэффициент вариации

наработки до отказа

соответственно равны

651.2

etm =

1)/(

−= tm

(4.18

при

3≤

3,2≈

Для вероятностей безотказной работы P(t)≤0,99 и при vt≤

0,3 логарифмически нормальный закон можно заменять нормаль-

ным законом с параметрами mt и St и плотностью

−













)(

−

(4.19)

Вероятность безотказной работы можно находить с помо-

щью специальных таблиц для этого распределения или таблиц

для нормального распределения.

Пример. Оценить вероятность Р(t) отсутствия усталост-

ных повреждений вала в течение t=10

ч, если ресурс распределен

логарифмически нормально с параметрами lg to=4.5; S=0.25.

Решение 9772.0

25.0

5.410lglglg

)(













−













−

= F

FtP

Распределение Вейбулла довольно универсально, охва-

тывает путем варьирования параметров широкий диапазон случа-

ев изменения вероятностей. Наряду с логарифмически нормаль-

ным распределением оно удовлетворительно описывает наработ-

ку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа

подшипников. Используется для оценки надежности деталей и

узлов машин, в частности, автомобилей, подъемно-транспортных

и других горных машин. Применяется также для оценки надеж-

ности по приработочным отказам. Распределение характеризует-

ся следующей функцией вероятности безотказной работы (рис.

4.7)

)(

etP

−

интенсивность отказов

)(

−

tλ

(4.20)

Распределение Вейбулла имеет также два параметра: параметр

формы m>0 и параметр масштаба t

>0.

Рисунок 4.6 - Основные

характеристики логарифмиче-

ски нормального распределе-

ния при разных параметрах:

а – плотность вероятности

f(t); б – вероятность безотказ-

ной работы P(t); в - интенсив-

ность отказов

Рисунок 4.7 - Основные

характеристики распределения

Вейбулла при разных парамет-

рах t0 и m:

а – плотность вероятности f(t);

б – вероятность безотказной

работы P(t); в – вероятность

отказов λ(t)

Математическое ожидание и среднее квадратическое от-

клонение соответственно

tbm

tcS

, 4.21)

где b

и c

– коэффициенты (см. табл. 4.1).

Если в течение времени t* отказы не наступают, то форму-

лы для характеристик надежности несколько модифицируются.

Так, вероятность безотказной работы

*)(

)(

mtt

etP

−

(4.22)

Возможности и универсальность распределения Вейбулла

видны из следующих пояснений (рис. 4.7).

При m<1 функции Х(t) н f(t) от наработки до отказа убы-

вающие.

При m=1 распределение превращается в экспоненциальное

λ(t)=const и f(t)—убывающая функция.

При m>1 функция f(t)—одновершинная, функция λ(t) не-

прерывно возрастающая при 1<m<2 с выпуклостью вверх, а при

m>2 с выпуклостью вниз.

При m=2 (функция λ(t)) является линейной и распределе-

ние Вейбулла превращается в так называемое распределение Рэ-

лея.

При m =3,3 распределение Вейбулла близко к нормально-

му.

Графическая обработка результатов испытаний для рас-

пределения Вейбулла производится так: логарифмируем выраже-

ние для Р (t):

4343.0)(lg

−=

(4.23)

вводим обозначение y=—lg Р (t) и логарифмируем:

Atmy

−

lglg

, где

362

.0lg

+= tA

Откладывая результаты испытаний на графике в координа-

тах lg t—lg y (рис. 4.8) и проводя через полученные точки пря-

мую, получаем m=tg α; lg t

=A—0,362, где α—угол наклона

прямой к оси абсцисс; A — отрезок, отсекаемый прямой на оси

ординат.

Надежность системы из последовательно соединенных

одинаковых элементов, подчиняющихся распределению Вейбул-

ла, также подчиняется распределению Вейбулла.

Пример. Оценить вероятность безотказной работы Р (t)

роликоподшипников и течение t=10

ч, если ресурс подшипников

описывается распределением Вейбулла с параметрами to== 10

ч,

m= 1,5.

Решение

)(

etp

−

95.0

)

10/5.14

10(

)( =

−

= etP

4.4 Совместное действие внезапных и постепенных

отказов

Вероятность безотказной работы изделия за период t, если

до этого оно проработало время Т, по теореме умножения веро-

ятностей равна

)()()( t

PtP =

где P

{t}=e

-λt

и Р

(t)=Р

(Т+t)/Рn (Т) — вероятности отсутствия

внезапных и соответственно постепенных отказов.

Рисунок 4.8 - Графиче-

ское определение параметров

распределения Вейбулла

Рисунок 4.9- Совместное

действие P(t) внезапных и по-

степенных отказов, где верхняя

кривая Р (t) для отсутствия по-

степенных отказов

Для системы из последовательно соединенных элементов

вероятность безотказной работы за период t равна

)(

tTP

ПetP

се

Σ− λ

где знаки Σ и П означают сумму и произведение.

Для новых изделий Т= 0 и Р

(Т)=1.

На рис. 4.9 показаны кривые вероятности отсутствия вне-

запных отказов, постепенных отказов и кривая вероятности без-

отказной работы при совместном действии внезапных и посте-

пенных отказов. Вначале, когда интенсивность постепенных от-

казов низка, кривая соответствует кривой P

(t), а потом резко

снижается.

В период постепенных отказов их интенсивность, как пра-

вило, многократно выше, чем внезапных.

4.5 Особенности надежности восстанавливаемых

изделий

У невосстанавливаемых изделий рассматриваются первич-

ные отказы, у восстанавливаемых — первичные и повторные. Все

рассуждения и термины для невосстанавливаемых изделий рас-

пространяются на первичные отказы восстанавливаемых изде-

лий

a) Раб Раб Раб t

Ост Ост

b) 1 2 3 4 5 t

Рисунок 4.10 График эксплуатации ( а) и работы (б).

Для восстанавливаемых изделий показательны графики

эксплуатации pис.4.10а, и работы рис. 4.10б).

Первые показывают периоды работы, ремонта и профилак-

тики (осмотров), вторые - периоды работы. С течением времени

периоды работы между ремонтами становятся короче, а периоды

ремонта и профилактики возрастают.

У восстанавливаемых изделий свойства безотказности

характеризуются величиной m(t)—средним числом отказов за

время t

tm Σ=

)(

где N - число испытуемых изделии; n - число отказов изделия за

врем t.

В статистической трактовке параметр потока отказов

(t) характеризует среднее число отказов, ожидаемых в малом

интервале времени:

∆

=Λ

)(

где )(tm∆ - приращение среднего числа отказов за время

∆

, т.

е. среднее число отказов от момента t до момента

∆

В вероятностной трактовке параметр потока отказов

tdm

)(

)( =Λ

а) Как известно, при внезапных отказах изделия закон

распределения наработки до отказа экспоненциальный с интен-

сивностью λ.Если изделие при отказе заменяют новым (восста-

навливаемое изделие), то образуется поток отказов, параметр ко-

торого Λ(t) не зависит от t, т. е. Λ(t) =Λ=const и равен интенсив-

ности λ.

Поток внезапных отказов предполагают стационарным, т.

е. среднее число отказов в единицу времени постоянно, орди-

нарным, при котором одновременно возникает не более одного

отказа, и без последействия, что означает взаимную независи-

мость появления отказов в разные (непересекающиеся) проме-

жутки времени.

Для стационарного, ординарного потока отказов Λ(t)

=Λ=1/Т,

где Т— средняя наработка между отказами.

б) Самостоятельное рассмотрение постепенных отказов

восстанавливаемых изделий представляет интерес, потому что

время восстановления после постепенных отказов обычно суще-

ственно больше, чем после внезапных.

При совместном действии внезапных н постепен-

ных отказов параметры потоков отказов складываются.

Поток постепенных (износовых) отказов становится ста-

ционарным при наработке t, значительно большей среднего зна-

чения Т. Так, при нормальном распределении наработки до отка-

за интенсивность отказов возрастает монотонно (см. рис. 4,5, в), а

параметр потока отказов Λ(t) сначала возрастает, потом начина-

ются колебания, которые затухают на уровне 1/Т (рис. 4.11). На-

блюдаемые максимумы Λ(t) соответствуют средней наработке до

отказа первого, второго, третьего и т. д. поколений.

В сложных изделиях (системах) параметр потока отказов

рассматривается как сумма параметров потоков отказов. Состав-

ляющие потоки можно рассматривать по узлам или по типам уст-

ройств, например механическим, гидравлическим, электриче-

ским, электронным и другим Λ(t)= Λ

(t)+ Λ

(t)+ . . . . Соответ-

ственно средняя наработка между отказами изделия (в период

нормальной эксплуатации) Т=1/Λ или 1/Т=1/Т

+1/Т

+ . . . .

Вероятность безотказной работы от момента Т до Т+1

подчиняется экспоненциальному распределению

etP

)(

Λ−

Для системы из последовательно соединенных элементов

ст

Λ∑−

Рисунок 4.11 График частоты отказа объектов с последова-

тельной заменой после отказа

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Выведите формулу функции надежности.

2. Чему равна вероятность безотказной работы сложной

системы состоящей из нескольких элементов?