Козлов В.В. Надёжность горных машин и оборудования

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 3

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (СВ)

И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

3.1 Распределение и числовые характеристики СВ [1]

Важным в теории надежности является понятие случай-

ной или стохастической величины (СВ), т.е. величины, которая

в результате опыта может принять или не принять то или иное

неизвестное заранее значение. СВ могут быть дискретными и

непрерывными.

В отличие от неслучайных (детерминированных) величин

для СВ нельзя предсказать точно, какое она примет значение в

определенных условиях, а можно только указать закон распреде-

ления СВ.

Наиболее простой формой задания закона распределения

дискретных СВ является запись, в которой против каждого из

возможных значений x случайной величины Х указываются соот-

ветствующие вероятности р:

pppp

xxx

,...,

−

Соотношение, устанавливающее связь между воз-

можными значениями случайной величины и соответст-

вующими вероятностями называется законом распреде-

ления.

Рисунок 3.1 - Многоугольник распределения СВ

Для наглядности дискретное распределение изображают в

виде многоугольника распределения (рис. 3.1). При этом необхо-

димо, чтобы

∑

Универсальной характеристикой дискретных и непрерыв-

ных СВ является функция распределения, называемая также ин-

тегральной функцией распределения или интегральным зако-

ном распределения.

Для дискретных СВ функция распределения F(х)имеет

вид:

∑

xXpxF ),()(

где неравенство <

x х под знаком суммы указывает на то, что

суммирование распространяется на все те значения x

которые

меньше х.

Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь

из возможных значений дискретной СВ, функция распределения

F(х) меняется скачкообразно (рис. 3.2,а), а величина скачка соот-

ветствует вероятности Р(Х=х

). Сумма всех возможных скачков

функции F(x) равна единице. Для непрерывной СВ нельзя пере-

числить все ее возможные значения, поэтому для количествен-

ной характеристики непрерывного распределения пользуются не

вероятностью события Х=х

а вероятностью события Х < х .

Функция распределения F(х) непрерывной СВ записыва-

ется следующим образом

,)()( xXPxF

(3.1)

а - функция распределения дискретной случайной величины

б - функция распределения непрерывной случайной величины

Рисунок 3.2 – Графики функции распределения дискрет-

ной и непрерывной случайных величин

Функция распределения является неубывающей функцией,

т. е. )

()

( xFxF ≥ при

xx > .

Функция F(х) стремится к нулю, если х стремится к - ∞,

и F (х) стремится к единице, если х → + ∞..

Вероятность попадания случайной величины Х на участок

(α, β) равна приращению функции распределения на этом участ-

ке.

Для вероятного описания непрерывных СВ наряду с функ-

цией распределения широко используется также плотность

распределения (плотность вероятности) f(x), называемая также

дифференциальным законом распределения величины Х и пред-

ставляющая собой производную функции распределения

f(x} =F'(x).

График плотности распределения называется кривой рас-

пределения (рис. 3.3, а).

а - кривая распределения, б - характеристики случайной величины

Рисунок З.3 – Кривая распределения и характеристики

случайной величины

Плотность распределения - функция ),0)(( ≥xf так как

функция распределения F (х) является неубывающей.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности

распределения равен единице:

∫

∞

∞−

= 1)( dxxf

, т.

е. площадь, ограниченная кривой распределения и

осью абсцисс, равна единице.

Функция распределения может быть выражена через плот-

ность распределения:

.)()(

∫

∞−

dxxfxF

(3.2)

Геометрически F (х) есть площадь под кривой распределе-

ния, лежащая левее точки х (рис.3.3,а). Вероятность попадания

случайной величины Х на участок от α до β может быть опре-

делена через плотность вероятности:

.)()(

∫

=<≤

βα dxxfxp

Для вероятностного описания СВ широко используются

также числовые характеристики, которые предназначены для

выражения в сжатой форме наиболее существенных особенно-

стей распределения СВ. Числовыми характеристиками СВ яв-

ляются математическое ожидание, мода и медиана, диспер-

сия, среднее квадратическое отклонение, моменты (рис. 3.3,

б).

Математическим ожиданием m

дискретной СВ, или ее

средним значением, называется сумма произведений всех воз-

можных значений случайной величины на вероятность этих зна-

чений:

∑

Для непрерывных СВ

.)(

∫

∞

∞−

= dxxxf

Модой М называется такое значение СВ, в котором плот-

ность вероятности максимальна.

Медианой Мe является такое значение СВ, для которого

одинаково вероятно окажется СВ меньше или больше Me, т. е.

ордината, восстановленная из медианного значения СВ, делит

площадь под кривой распределения на две равные части.

Начальным моментом k-гo порядка дискретной СВ на-

зывается сумма вида

∑

−

, а непрерывной СВ интеграл вида

∫

∞

∞−

= .)( dxxf

В отличие от начальных центральные моменты относятся к

центрированным СВ.

Центрированной СВ

•

называется отклонение СВ от ее

математического ожидания:

mXX −=

•

Центральные моменты k-го порядка дискретной СВ

представляют собой сумму ви- вида

∑

−=

,)(µ

непрерывной СВ - интеграл вида

∫

∞

∞−

−= .)()( dxxf

Наиболее часто для характеристики СВ используются пер-

вый начальный момент, являющийся математическим ожиданием

m , и второй центральный момент цг, называемый дисперсной

СВ Dx.

Дисперсия является характеристикой рассеивания СВ -

разбросанности ее значений около математического ожидания.

Для дискретной

)(

∑

−=

для непрерывной СВ

.)(

)(

∫

∞

∞−

−= dxxf

Наряду с дисперсией пользуются также среднеквадрати-

ческим отклонением (СКО) случайной величины σ

, имеющим

размерность математического ожидания: .

=σ

Отношение вида

/σν =

называется коэффи-

циентом вариации СВ.

Другими, часто применяемыми СВ, являются асимметрия

и эксцесс.

Асимметрия S

представляет собой отношение третьего

центрального момента и СКО в кубе и характеризует

скошенность распределения вероятностей СВ:

к x

S σµ=

Для симметричных распределений S

=0. Асимметрия

называется положительной (отрицательной), если мода предше-

ствует медиане (следует за медианой) (рис.3.4,а).

а - изменение формы кривой распределения в зависимости

от асимметрии S

к.,

б - изменение формы кривой распределения в

зависимости от эксцесса

Рисунок 3.4. – Изменение формы кривой распределения в

зависимости от асимметрии и эксцесса

Четвертый центральный момент служит для характеристи-

ки крутости распределения и описывается с помощью эксцесса.

−==

Для островершинных кривых ,0>

ε для плосковершин-

ных ,0<

ε (рис. 3.4, б).При описании непрерывных распреде-

лений используют понятие квантили.

Квантиль, отвечающая заданному уровню веро-

ятности р, называется та- такое значение х=х

, при

котором функция распределения принимает значение,

равное р

)(

Так, например, медианой распределения называют кван-

тиль, отвечающий значению р=0,5. Квантили, соответствующие

значениям р=0,25 и р=0,75, называются соответственно нижним и

верхним.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какая случайная величина называется стохастической?

2. Что показывает закон распределения случайной величи-

ны?

3. Физический смысл функции распределения случайной

величины.

4. Какое свойство случайной величины характеризует

дифференциальный закон распределения (плотность распределе-

ния)?

5. Перечислите числовые характеристики случайных ве-

личин.

6. Что характеризует квантиль?

7. Сформулируйте вероятностное определение исправной

работы объекта.

8. Перечислите законы распределения случайных величин.

9. Запишите формулу плотности распределения нормаль-

ного закона.

ГЛАВА 4

ОБЩИЕ ЗАВИСИМОСТИ НАДЕЖНОСТИ

4.1Функция надежности [2]

Существенное рассеяние основных параметров надежно-

сти предопределяет необходимость рассматривать все в вероят-

ностном аспекте.

Рассмотрим проведенные для оценки надежности испыта-

ния или эксплуатацию значительного числа N элементов в тече-

ние времени t (или наработки в других единицах). Пусть к концу

испытания или срока эксплуатации останется N

работоспособ-

ных (не отказавших) элементов и п отказавших. Тогда относи-

тельное количество отказов: .

NntQ =)(

Если испытание проводится как выборочное, то )(tQ

можно рассматривать как статистическую оценку вероятности

отказа или, если N достаточно велико, как вероятность отказа.

В дальнейшем в случаях, когда необходимо подчеркивать

отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности,

оценка будет дополнительно снабжаться знаком звездочки, в ча-

стности

)(

Вероятность безотказной работы оценивается относитель-

ным количеством работоспособных элементов

tP −== 1)(

. (4.1)

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противопо-

ложные события, то сумма их вероятностей равна 1: