Козлов В.В. Надёжность горных машин и оборудования
Подождите немного. Документ загружается.
21
4. В чем разница между отказом и повреждением?
5. Как классифицируются изделия по признаку ремонто-
пригодности?
6. Перечислите показатели безотказности.
7. Сформулируйте понятие вероятности безотказной рабо-
ты изделия.
8. Чем отличается ресурс изделия от срока службы?
9. Что характеризует коэффициент готовности К
г
?
10. Чем характеризуется ремонтопригодность изделия?
22
ГЛАВА 2
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1 Классификация событий [1]
В теории вероятностей широко используется понятие со-
бытие, т. е. всякий факт, который в результате опыта может про-
изойти или не произойти. Физический процесс, в ходе которого
осуществляется (или не осуществляется) событие, называется
опытом.
Событие, которое в определенных условиях происходит
обязательно, называется достоверным; не может произойти –
невозможным; может произойти, но может и не произойти –
случайным.
Численной мерой степени возможности появления
события в тех или иных условиях, которые могут повто-
ряться неограниченное число раз, является вероят-
ность.
Вероятности достоверного и невозможного события при-
нимаются соответственно равными 1 и 0, поэтому диапазон из-
мерения вероятностей любых случайных событий заключен меж-
ду 0 и 1.
Если в данном опыте появление события А исключает воз-
можность появления события В, то такие события называются
несовместными. Если в данном опыте при осуществлении собы-
тия А возможно осуществление события В, то такие события на-
зываются совместными.
Событие
А
, состоящее в том, что событие А в опыте не
осуществляется, называется противоположным событию А. При-
23
мерами таких событий могут быть отказ и безотказная работа
горной машины в период рабочей смены.
Если вероятность осуществления одного события не зави-
сит от того, осуществилось или нет другое событие, то такие со-
бытия называются независимыми. В противном случае события
называются зависимыми.
Вероятность осуществления события А при условии,
что произошло событие В, обозначается Р(А/В) и называ-
ется условной вероятностью события А.
События в данном опыте образуют полную группу, если в
результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из
них.
При проведении опытов, когда заранее сознательно обес-
печена определенная возможность их исхода (схема случаев),
вероятность некоторого события А вычисляется как отношение
числа случаев N
б
благоприятных появлению события А, к общему
числу случаев N
о
(возможных исходов опыта):
.
o
NNAP
б
)( =
Для событий, не сводящихся к схеме случаев, т. с. когда в
результате проведения п опытов заранее неизвестно, сколько раз
может произойти событие А, существует понятие частоты собы-
тия Р* (А), называемой также статистической вероятностью
P*(A)=m/n, где т - число появлений события А в п опытах.
При небольшом числе опытов частота события А носит в
значительной мере случайный характер и может заметно изме-
няться от одной группы опытов к другой. При увеличении числа
опытов частота приобретает тенденцию стабилизироваться, при-
24
ближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней,
постоянной величине.
Значение вероятности какого-либо случайного события не
даст однозначного ответа на вопрос, произойдет указанное со-
бытие при проведении данного опыта или нет. Вероятность по-
зволяет лишь оценить степень возможности появления интере-
сующего нас события.
2.2. Основные теоремы теории вероятностей
При расчетах надежности различных объектов часто ис-
пользуются теоремы сложения и умножения вероятностей, кото-
рые формулируют способы определения вероятностей суммы н
произведения событий.
Суммой событий А
1
, А
2
, ..., An называется сложное собы-
тие, состоящее в том, что происходит или событие А
1
, или А
2
и т.
д. или А
n
(осуществляется хотя бы одно из событий):
.
1
...
21
∑
=
=+++
n
i
i
A
n
AAA
Произведением событий A
1
, A
2
,…A
n
называется сложное
событие, состоящее в том, что происходят и событие A
1
, и A
2
и т.
д. и Аn (осуществляются все события):
∏
=
=
n
i
i
A
n
AAA
1
....
21
25
Теорема сложения вероятностей. Вероятность сум-
мы n несовместных событий А
i
равна сумме вероятностей
этих событий
( )
∑
=
=
∑
=
n
i
i
AP
n
i
i
AP
1
.
1
(2.1)
Следствие 1. Если события A
1
, A
2
,…A
n
образуют полную
группу несовместных событий (появление хотя бы одного из не-
совместных событий является достоверным фактом), то сумма их
вероятностей равна единице:
( )
.1
1
=
∑
=
n
i
i
AP
(2.2)
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных со-
бытий, поскольку они образуют полную группу несовместных
событий, равна единице:
(
)
(
)
.1=+ APAP
(2.3)
Вероятность суммы двух совместных событий A
1
и А
2
оп-
ределяется по формуле
(
)
(
)
(
)
(
)
;
212121
AAPAPAPAAP −+=+
трех совместных событий
26
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
);(
32132
3121321321
AAAPAAP
AAAAPAPAPAPAAAP
++−
−−++=++ ρ
п совместных событий
( )
( )
(
)
( ) ( )
....1
...
21
1
1
n
n
ijk
kji
ij
ji
i
i
n
i
i
AAAP
AAAPAAPAPAP
−
=
−+
−+−=
∑∑∑∑
(2.4)
Из формулы (2.4) следует, что для определения вероят-
ности суммы совместных событии, кроме понятия «сумма собы-
тий» используется также и понятие «произведение событий».
Теорема умножения вероятностей. Вероятность
произведения п независимых событий равна произведе-
нию вероятностей этих событий:
( )
.
11
∏∏
==
=
n
i
i
n
i
i
APAP (2.5)
Если два события A
1
и А
2
являются зависимыми, то вероят-
ность их произведения равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого, вычисленную при усло-
вии, что первое имело место:
(
)
(
)
(
)
./
21
ABPAPAAP
=
В общем случае для n зависимых событий
27
( )( )( )
( )
,.../...
...//
121
123121
1
−
=
=
∏
nn
n
i
i
AAAAP
AAAPAAPAPAP
(2.6)
где
(
)
(
)
12112
.../,/
−nn
AAAAPAAP - условные вероятности зави-
симых событий, вычисленные при условии, что произошли все
предшествующие
Следствием теорем сложения и умножения вероятно-
стей является формула полной вероятности. Требуется опреде-
лить вероятность события А, которое может произойти вместе с
одним из событий H
1
, Н
2
, ..., Нп, называемых гипотезами и обра-
зующих полную группу несовместных событий. Так как события
H
i
образуют полную группу, то событие А может произойти
только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:
....
2
1
A
n
HAHAHA +++=
Комбинации Н
1
А, Н
2
А, НпА несовместны, поскольку несо-
вместны гипотезы Hi. Применив к ним теорему сложения, полу-
чим
.)()(...)()()(
1
21
∑
=
=+++=
n
i
in
AHPAHPAHPAHPAP
Применив далее к событию Н
i
А теорему умножения для
зависимых событий, получим формулу полной вероятности
28
∑
=
=
n
i
ii
HAPHPAP
1
)()()(
. (2.7)
Пример. При работе очистного механизированного ком-
плекса (МК) в различные моменты времени смены согласно тех-
нологии работ могут функционировать: выемочная В, доставоч-
ная Д машины и крепь К - гипотеза Н
1
; доставочная машина Д и
крепь К - гипотеза Н
2
; только механизированная крепь К - гипо-
теза Н
3
.
Обычно В и Д и К функционируют 40% времени смены, т.
е. ;4,0)
1
( =Hp Д и К - 5% времени,
т. е. 05,0)
1
( =HP ; К - 55% времени, т. е. .55,0)
3
( =HP
Условные вероятности появления опасных отказов обору-
дования (события А) соответственно равны:
;03,0)
1
( =HAP ;02,0)
2
( =HAP ;01,0)
3
( =HAP
Требуется определить вероятность )(AP события А (не по-
явления опасного отказа) в любой момент времени смены.
По формуле (2.7)
0185,001,055,002,005,003,04,0
)
3
/()
3
()
2
/()
2
()
1
/()
1
()(
=⋅+⋅+⋅=
=++= HAPHPHAPHPHAPHPAP
На основании следствия 2 из теоремы сложения вероятно-
стей получим вероятность не появления опасного отказа
.9815,00185,01)(1)( =−=−= APAP
29
В теории и практических вопросах надежности горно-
шахтного оборудования приходится встречаться с задачами, в
которых аналогичные опыты (испытания) повторяются неодно-
кратно. В результате каждого опыта может появится или не поя-
виться некоторое событие А (например отказ горной машины в
период рабочей смены), причем интерес представляет не резуль-
тат каждого отдельного опыта, а общее число появления события
А.
Вероятность )(k
n
P того, что в n независимых опы-
тах, в каждом из которых вероятность появления события
А равна р, событие наступит ровно k раз (безразлично в
какой последовательности) может быть определена по
формуле Бернулли:
,)(
kn
q
k
p
k
n
Ck
n
P
−
=
(2.8)
где
)!(!
!
knk
n
C
k
n
−
= – число сочетаний из n и k (при этом k - ноль
или целое положительное число не больше n); q=1-p.
Вероятность того, что событие наступит: менее k раз; бо-
лее k раз; не менее k раз; не более k раз определяются соответст-
венно по формулам:
).(...)1()0(
);(...)1()(
);(...)2()1(
);1(...)1()0(
k
n
P
n
P
n
P
n
n
Pk
n
Pk
n
P
n
n
pk
n
Pk
n
P
k
n
P
n
P
n
P
+++
++++
+++++
−++
30
Формула Бернулли используется для расчета количества
запасных частей для горных машин и другого горно-шахтного
оборудования.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Вероятностное определение понятия “событие”.
2. Перечислите виды событий.
3. Что является численной мерой появления события?
4. Дайте определение условной вероятности события А.
5. Объясните понятие статистической вероятности.
6. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.
7. Чему равна сумма вероятностей противоположных со-
бытий.?
8. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
9. Напишите формулу полной вероятности.
10. Что можно определить с помощью формулы Бернул-
ли?