Ковалюк Д.О., Москвіна С.М. Моделювання теплотехнологічних об’єктів з розподіленими параметрами

Подождите немного. Документ загружается.

100

полягає у віднесенні вектора спостережень

( , ,..., )

xx x

до одного

з k класів

W , 1,...,ik

, 2k ≥ :

12 1 2

{ , ,..., } { , ,..., }

nj k

Xxx x wWww w=→∈= . (4.3)

Розроблені методи класифікації мають свої особливості в зале-

жності від підходів і сфери застосування, а тому потребують деталь-

ного аналізу. Відмітимо, що на сьогодні розроблено велику кількість

методів класифікації та їхніх модифікацій, проте, виходячи з аналізу

публікацій [67, 109], найбільш розповсюдженими в управлінні проми-

словими об’єктами є: Байєсовий підхід, дискримінантний аналіз, ме-

тоди, основані на визначенні відстаней, не

чі

тка логіка, логіко-

імовірнісні моделі, нейронні мережі.

Для порівняння розглянутих методів використаємо критерії, за-

пропоновані в роботі [120]. Порівняння методів класифікації подано в

табл. 4.1, де введені такі позначення:

A – Баєсовий підхід; B – метод найближчого сусіда; C – нечітка

логіка; D – логіко-імовірнісні моделі;

“+” – труднощі наявні; “–” – труднощі відсутні.

Таблиця 4.1

Порівняння методів класифікації

Операції

Методи

A B C D

Збір та обробка статистичної інформації + – – +

Поповнення моделі – – – –

Врахування якісних параметрів + + – +

Врахування кількісних параметрів – – – –

Навчання моделі + – + –

Зауважимо, що задача класифікації марки міцності цегли харак-

теризується такими важливими особливостями: в достатній кількості

зібрана статистична інформація, оскільки значення факторів ТП фік-

суються у рапортах та лабораторних звітах; вся інформація подана у

кількісному вигляді.

З огляду на вказані особливості використання апарату нечіткої

логіки є недоцільним, оскільки потребує побудови бази знань, тер

мів

функцій належності та виконання процедур настройки ваг правил.

101

Як відомо [39], застосування Байєсового підходу ґрунтується на

припущенні, що кожен клас має свої набори параметрів стану, які не

перетинаються. Оскільки однакові параметри стану можуть зустріча-

тися в різних класах, то використання цього підходу є неможливим.

Застосування методів класифікації, основаних на знаходженні

відстаней між об’єктом та центрами класів, не уявляється можливим,

оскільки з

начення клас

у вихідної величини представлені у точковому,

а не інтервальному вигляді.

На думку авторів, при визначенні класу якості необхідно врахо-

вувати ризик прийняття рішень в процесі управління, що зумовлено

складністю та аварійністю об’єкта, інерційністю каналів управління

внаслідок необхідного прогрівання значної маси виробів, неможливіс-

тю оперативного контролю властивостей цегли під час випалювання,

розподілом температури газового середовища вздовж випалювального

каналу, великою кі

лькістю

збурень, що призводять до порушення те-

мпературного поля печі, можливими порушеннями, що навіть за коро-

ткий час приводить до значних матеріальних збитків. Тому в роботі

запропоновано використовувати логіко-імовірнісні моделі, які харак-

теризуються високою робастністю, точністю та здатністю навчання

моделі.

Розглянемо етапи побудови моделі класифікації виробів. Як ві-

дмічено в [123, 124], ЛІ-модель ризику (під ризи

ком розуміється ймо-

вірність виникнення несприятливого

результату) будується в такій по-

слідовності: структурна модель ризику, Л-функція ризику, ортогоналі-

зована Л-функція ризику, В-поліном ризику, ідентифікація В-моделі

ризику за статистичними даними.

Структурна модель ризику (рис. 4.2) може бути еквівалентною

реальній системі, асоціативною або зм

іша

ною.

Для розв’язання задачі, що розглядається, вибирається структу-

рна модель типу “вузол”, де стрілки означають логічні зв’язки “OR”, а

події-ознаки

включають події-градації

X , які утворюють групу

несумісних подій. Ознакам і градаціям відповідають випадкові події,

які привели до неуспіху – певного значення результуючої події.

102

Рис. 4.2. Структурна модель ризику типу “вузол” і “міст”

Для опису об’єктів ризику використаємо логічні змінні, запро-

поновані в роботах Соложенцева [129, 130]. Бінарна логічна змінна

X , дорівнює 1 з ймовірністю

P , якщо

-та ознака привела до неус-

піху, і дорівнює 0 з ймовірністю 1

− в протилежному випадку.

Бінарна логічна змінна

X , що відповідає r -й градації

-ї ознаки,

дорівнює 1 з ймовірністю

P і дорівнює 0 з ймовірністю 1

rjr

QP=− .

Тоді вектор

( ) ( ,..., ,..., )

Xi X X X= описує

-й об’єкт з таблиці

“об’єкт-ознаки” [129].

Використовуючи наведені вище позначення, запишемо Л-

функцію ризику неуспіху об’єкта в загальному вигляді:

( , ,..., ,..., )

YYXX X X= . (4.4)

Оскільки відомо, що будь-яку Л-функцію ризику після ортого-

налізації можна записати у вигляді імовірнісного полінома або імовір-

нісної моделі (В-моделі), з якої можна обчислити ризик, то В-функція

неуспіху об’єкта, заданого вектором ()Xi буде мати вигляд:

{ 1| ( )} ( , ,..., ,..., )

ijn

PY Xi PP P P==Ψ , 1,iN= . (4.5)

Для моделі ризику неуспіху типу “вузол” логічна та імовірнісна

функції ризику для кожного з об’єктів будуть дорівнювати:

... ...

YX X X X= ∨ ∨∨ ∨∨ , (4.6)

103

123

{ 1} 1 ...

PY Q Q Q Q==− ⋅ ⋅ ⋅⋅ , (4.7)

де

QP=−

– ймовірність того, що i -й фактор не вплинув на кінце-

вий результат.

Для кожної події-градації в ГНП будемо розглядати 1

P – ймо-

вірність події градації в ГНП;

P – ймовірність події градації, яку під-

ставляємо в формулу (4.5) замість

P . Приведемо формули для розра-

хунку названих характеристики, які будуть використані при побудові

моделі (для

-ї ГНП):

{1}

jr jr

WPX==;

∑

; 1,

rN= . (4.8)

1{1|1}

jr jr j

PPX X===;

∑

; 1,

rN= . (4.9)

1{1| 1}

jr j jr

PPX X===; 1,

rN= (4.10)

Середнє значення характеристик

W , 1

P ,

P для градацій в

ГНП дорівнюють:

WN= ;

jr jr

PPW

∑

;

jr jr

PPW

∑

. (4.11)

Задача класифікації з використанням ЛІ-моделі ризику, як пока-

зано в [96] формулюється таким чином: нехай

– допустимий ри-

зик, що розділяє всі об’єкти на “клас1” і “клас2”: якщо

iad

PP> , то

об’єкт належить до “клас1”; якщо

iad

, то об’єкт належить до

“клас2” (рис. 4.3а). Якщо виконується класифікація об’єктів на більше

число класів, то вводять відповідне число допустимих ризиків:

1ad

P ,

2ad

P ,… (рис. 4.3б).

Таким чином, для проведення класифікації необхідно побудува-

ти ЛІ-модель, яка б визначала значення ймовірностей об’єктів

P та

знайти граничні ризики

P , які б розділяли ці класи. Ризик об’єкта

будемо обчислювати з формули (4.5) при підстановці ймовірностей

P замість

P . Ймовірності

P будемо оцінювати шляхом алгоритмі-

104

чного навчання (ідентифікації) В-моделі ризику з даних таблиці

“об’єкт–ознаки”.

Рис. 4.3. Схема класифікації об’єктів за ризиком: а – на два класи; б –

на декілька класів

Оскільки в розв’язуваній прикладній задачі прогнозування класу

міцності цегли на ВАТ “Керамік” кінцева подія може приймати два

значення (дві марки міцності цегли), то задачу ідентифікації сформу-

льовано таким чином:

Задані: таблиця “об’єкт–ознаки”, що містить

N ,

N об’єктів

відповідно 1-го, 2-го класу і В-модель ризику (4.5);

Потрібно знайти: ймовірності

P для подій-градацій і значення

допустимого ризику

P , що поділяє об’єкти на ці класи за величиною

ризику;

Цільова функція (ЦФ): число коректно класифікованих об’єктів

повинно бути максимальним

12ss

FN N MAX=+ = , (4.12)

де

N ,

N – відповідно кількість об’єктів цих класів, значення яких,

розраховані з В-моделі, дорівнюють статистичним (співпадаючі

оцінки).

Помилки або показники точності В-моделі ризику в класифікації

об’єктів для кожного з класів

і в цілому

дорівнюють [130]:

()/

iiisi

NN N

−

; ()/

NFN

− . (4.13)

"клас1" "клас2"

min

max

Клас1

min

1ad

2ad

3ad

max

Клас4Клас3Клас2

а)

б)

105

Обмеження:

1) ймовірності

P повинні задовольняти умову

P<<, 1,

rN= ,

. (4.14)

2) середні ризики об’єктів згідно з моделлю –

P та таблицею –

P повинні бути рівними; при навчанні коригувати ймовірності

на кроці навчання з формули:

(/)

rjravm

PPPP

, 1,

n= ; 1,

rN= . (4.15)

Сформульована задача ідентифікації В-моделі ризику, як зазна-

чено в [129], має ряд особливостей: 1) ЦФ залежить від великого чис-

ла параметрів

P ; 2) ЦФ приймає цілі значення і є східчастою; 3) по-

хідні ЦФ по

P обчислити неможливо; 4) ЦФ, виходячи з структури

В-моделі ризику, має локальні екстремуми.

Для розв’язання задачі ідентифікації було використано алгорит-

мічний метод, описаний в роботі [130]. Виберемо значення для розра-

хункового числа об’єктів

N ,

21cc

NNN

− . Позначимо номери оп-

тимізації: 0, 1, …, v , …,

opt

N .

Початкові значення:

Задамо початкові значення

P ,

P , 1,

rN= , 1,

n= ;

Обчислимо

P ,

P з (4.11) ;

Задамо

max

F невелике значення, наприклад,

FPN=⋅;

Обчислимо

jm jm

KPP= ;

Оптимізація. Оптимізація ЦФ виконується ітераційно з номе-

рами кроків 1, 2, …, v, …,

opt

N . Номер кроку змінюється при вико-

нанні умови

max

FF> , де

max

F – поточне і отримане раніше зна-

чення цільової функції.

Генеруємо прирости 1

dP , 1,

rN= ,

;

Обчислимо нові нормовані значення 1

P з виразу

106

1(1 1)/(1 1)

vvv vv

rjrjr jrjr

PPdP PdP

=+ +

∑

; (4.16)

Обчислимо

P з виразу 1

rjjr

PKP=⋅ ;

Обчислимо ризики всіх об’єктів

P по нових значеннях

P ;

Обчислимо середній ризик для об’єктів

P по

P і середні

ризики 1

P і

P , використовуючи

P , 1

P ;

10.

Визначимо

P по

, так щоб отримати прийняті

N ,

N ;

11.

Обчислимо

F по

P і

P ,

1,...,iN

;

12.

Якщо

max

FF> , то

max

FF=

; 11

rjr

PP= ;

rjr

PP= ; (4.17)

jm jm

KPP=

;

(/ )

vvv

jmav

KPP

=⋅

. (4.18)

13.

Якщо ЦФ не збільшилася за вибране число спроб

, то

значення

max

F зменшується

max

FF dF

− , і процес оптимізації

продовжується.

Як показано в [129], для обчислення зміни 1

dP можна викори-

стовувати метод випадкового пошуку, реалізований з формули:

1( )

jr opt t

dP K N N K=⋅ − ⋅, (4.19)

де

– коефіцієнт швидкості ідентифікації;

opt

N ,

N – задані макси-

мально можливе і поточне число кроків оптимізації цільової функції;

– випадкове число, рівномірно розподілене в інтервалі [–1, +1].

Нові значення 1

P ,

P , отримані при

max

FF> , вважаємо оптималь-

ними. Якщо деякі 1

P стали від’ємними або більшими 1, то їм як

ймовірностям присвоюються відповідно значення 0 або 1. Збіжність

задачі оптимізації до екстремуму забезпечується другим співмножни-

ком формули (4.19), що прямує до нуля.

Проте подальші дослідження з оптимізації, проведені в роботі

[130], показали ефективність використання модифікованої формули

визначення приростів 1

dP :

107

min min

min

11,11.

11,1

1( )[(1 ) 1 ] ,

jr jr

opt t jr

Якщо AP AP то dP AP

Якщо AP AP то dP

KN N aaP K

=⋅ − ⋅−+⋅ ⋅

(4.20)

де

– коефіцієнт з інтервалу {0 1}a

< ; 1

P – поточна амплітуда

для градації;

min

1AP – мінімальна амплітуда, при якій ще можлива оп-

тимізація.

Для проведення структурної ідентифікації ЛІ-моделі класифіка-

ції марки виробів, розглянемо кінцевий результат ТП. Оскільки згідно

з статистичними даним на виході ТП отримуємо дві марки виробів

“75” і “100”, то кінцева подія

буде мати дві градації. Використову-

ючи терміни ЛІ-теорії ризику, будемо вважати, що неуспіхом є отри-

мання нижчої марки виробів “75”, а успіхом – отримання марки “100”.

Тоді початкові ймовірності неуспіху 1

P ,

P згідно з їх визначення

обчислимо з таких формул:

, (4.21)

де

n – число подій неуспіху r -ї градації

-ї ознаки;

N – загальна

кількість випадків неуспіху (отримання марки “75”);

N – загальна кі-

лькість експериментів.

Градації факторів, їх межі та початкові ймовірності подані в

табл. 4.2. Враховуючи співвідношення кількості факторів та експери-

ментів, було вирішено виділити по дві градації для кожного фактора.

Крім того, враховуючи те, що збільшення кількості градацій факторів

призводить до підвищення точності моделі для найбільш важливих

факторів було виділено по три градації.

Таблиця 4.2

Градації ЛІ-моделі прогнозування марки виробів

Ознака Градації Діапазон

P 1

P Ідент

1 7,1–948 0,253731 0,539683 0,00210665

2 9,49–11,86 0,186567 0,396825 0,00262098

3 11,87–14,23 0,029851 0,063492 0,41781335

1 5,33 –7,87 0,164179 0,349206 0,41094007

2 7,88–10,40 0,201493 0,428571 0,00567930

108

3 10,41–12,94 0,104478 0,222222 0,00000000

W_POV

1 72–77 0,134328 0,285714 0,00000000

2 78–82 0,335821 0,714286 0,00000000

DRY_T

1 41–48 0,231343 0,492063 0,00000000

2 49–56 0,238806 0,507937 0,00000000

W_SYR

1 5,28–8,48 0,283582 0,603175 0,00000000

2 8,49–11,71 0,156716 0,333333 0,24185614

3 11,72–14,94 0,029851 0,063492 0,00000000

T10

1 470–523 0,089552 0,190476 0,00000000

2 524–636 0,380597 0,809524 0,34498296

T13

1 611–676 0,134328 0,285714 0,02519053

2 677–808 0,335821 0,714286 0,10120119

T14

1 663–722 0,119403 0,253968 0,02317662

2 723–840 0,350746 0,746032 0,00000000

T15

1 664–790 0,246269 0,523810 0,00000000

2 791–899 0,223881 0,476190 0,00000000

T16

1 732–820 0,238806 0,507937 0,00000000

2 821–944 0,231343 0,492063 0,00000000

T17

1 787–880 0,283582 0,603175 0,15564333

2 881–961 0,179104 0,380952 0,00000000

T18

1 792–906 0,208955 0,444444 0,00000000

2 907–977 0,261194 0,525216 0,00000000

T20

1 844–906 0,074627 0,158730 0,31581735

2 907–972 0,395522 0,841270 0,21452427

T22

1 825–875 0,014925 0,031746 0,05669206

2 876–925 0,104478 0,232122 0,00000000

3 926–972 0,283582 0,603175 0,08069620

T23

1 882–936 0,121125 0,291242 0,00000000

2 937–986 0,251254 0,642242 0,06301674

T24

1 864–910 0,111940 0,238095 0,04225013

2 911–960 0,298507 0,634921 0,00000000

3 961–1012 0,059701 0,126984 0,08475157

T25

1 847–907 0,283582 0,603175 0,00288990

2 908–961 0,186567 0,396825 0,41778531

T28

1 603–700 0,208955 0,444444 0,04704349

2 701–800 0,261194 0,555556 0,01939677

T31

1 538–646 0,238806 0,507937 0,00000000

2 647–746 0,231343 0,492063 0,41787599

T34

1 447–567 0,291045 0,619048 0,00210665

2 568–670 0,179104 0,380952 0,00262098

109

Межі градацій в переважній більшості випадків визначались ді-

ленням діапазону значень фактора на кількість градацій. Для деяких

факторів розбиття на градації виконувалося з урахуванням того, що

градація повинна містити достатню кількість подій неуспіху.

Для ідентифікації моделі використано розглянутий вище алго-

ритм, який був реалізований програмним шляхом у середовищі про-

грамування Delphi 7.0 на мові програмування Object Pascal. Ідентифі-

кація ЛІ-моделі ризику відбувалася з різних початко

вих точок, тобто

при

різних початкових значеннях цільової функції та кількості “пога-

них” об’єктів марки “75”.

В результаті ідентифікації отримано такі характеристики моделі:

 ймовірності події градації

P , наведені в табл. 4.2;

 допустимий ризик 0,8145

, що розділяє класи об’єктів;

 діапазон ризиків 0,04231

Як показники точності використовувалися помилки класифіка-

ції, розраховані з формул (4.13):

 помилка класифікації об’єктів для 1-го класу

0,3928E = ;

 помилка класифікації об’єктів для 2-го класу

0E = ;

 загальна помилка класифікації 0,071

(точність моделі

≈93%).

Зауважимо, що важливою особливістю отриманої ЛІ-моделі

класифікації є відсутність помилок при класифікації марки “100”, що

в будь-якому випадку забезпечує визначення максимально можливого

класу виробів, тобто виконання поставленої задачі класифікації.

4.1.2. Модель коригування температурного поля

Згідно з методом визначення оптимальних параметрів моделі

теплотехнологічного ОРП у випадку неможливості підтримання роз-

рахованої раніше температурної кривої здійснюється коригування те-

мпературного поля ОРП. Для проведення такого коригування необ-

хідна розробка відповідної математичної моделі, яка, виходячи з свого

призначення, повинна містити як параметри технологічного процесу,

так і значення температурного поля, тобто ф

актично бути моделл

якості. Враховуючи аналіз методів моделювання теплотехнологічних