Ковалюк Д.О., Москвіна С.М. Моделювання теплотехнологічних об’єктів з розподіленими параметрами

Подождите немного. Документ загружается.

120

системи в попередні моменти часу, а тому для її розв’язання доцільно

використовувати багатошарові мережі з прямою передачею сигналу.

Аналіз мереж прямого поширення сигналу, а також робіт

[13,100,154,173], в яких розв’язуються задачі прогнозування якості з

використанням нейромережевих моделей, дозволяє зробити висновок

про доцільність застосування персептрону.

Задача вибору архітектури мережі може бути сформульована

таким чин

ом:

1. В області

визначення SET задано множину точок невідомої

функції

FR R→ , яку необхідно апроксимувати.

2. Точність апроксимації F , мережею NET виражається за до-

помогою середньоквадратичної помилки апроксимації

max

(,)NET SET

≤

. (4.33)

3. Обмеження на архітектуру шуканої нейронної мережі

LIM

NET :

• фіксована множина {}

дозволених функцій активації;

• максимально припустима кількість нейронів мережі:

max

()KN NET KN≤ ;

• максимальна припустима кількість операцій з плаваючою то-

чкою, необхідних для обчислення вихідного сигналу мережі:

max

()

lops NET flops≤

;

• інші обмеження на архітектуру НМ (необхідна кількість ша-

рів, структура зв’язків між шарами та ін.).

Тоді задача вибору структури НМ полягає у мінімізації деякої

функції корисності ()GfLIM= , при зазначених обмеженнях виду:

max

()min;

;

() .

LIM

GNET

NET NET

NET

σσ

→

⎧

⎪

∈

⎨

⎪

≤

⎩

(4.34)

Відомі методи розв’язання задачі синтезу мережі (4.34) ґрунту-

ються на ітеративних процедурах пошуку підходящої архітектури НM

в просторі припустимих архітектур. Найбільш поширеними з них є:

методи перебору по множині допустимих архітектур [87]; пошук у

121

просторі допустимих архітектур з допомогою генетичних алгоритмів

[120]; методи послідовного нарощування та “проріджування мережі”

[171].

Враховуючи відсутність обмежень на архітектуру мережі для

задачі, що розглядається, в роботі запропоновано застосувати перебі-

рні методи побудови мережі. При цьому використано такі теоретичні

положення побудови НМ:

1. Кількість прихованих елементів шару повинна бути достат-

ньою для розв’язання задачі апроксимації із зад

аною точністю, але та-

кож повинна заб

езпечити необхідну узагальнюючу здатність.

2. Для визначення кількості шарів було використано теорему в

[168], згідно з якою будь-яка функція може бути апроксимована з ви-

користанням, принаймні, чотирьох шарів.

3. Для визначення верхньої границі числа нейронів у прихова-

них шарах використано теорему Колмогорова, згідно з якою будь-яка

функція n змінних може бути представлен

а як суперпозиція 21n

одновимірних функцій. Виходячи з цього кількість прихованих еле-

ментів не повинна бути більшою, ніж подвоєне число вхідних елемен-

тів.

Для навчання мережі використано процедуру навчання з учите-

лем, відповідно до якої навчальна множина прикладів потрібної пове-

дінки мережі подана у вигляді пари входів

і виходів t моделі:

11 2 2

{ , }, { , }, ..., { , }

tpt pt. В цьому випадку в процесі навчання ва-

ги та зміщення мережі настроюються так, щоб мінімізувати функціо-

нал помилки, що характеризує якість навчання:

(

)

qqS

Jta

=−

∑∑

, (4.35)

де J – функціонал; Q – об’єм вибірки;

– число шарів мережі; q –

номер вибірки;

S – число нейронів вихідного шару; [ ]

aa= –

вектор сигналу на виході мережі;

[]

tt=

– вектор бажаних (цільо-

вих) значень сигналу на виході мережі для вибірки з номером q.

122

Навчання мережі здійснювалося з використанням методу Леве-

нберга–Марквардта [25], що пояснюється високою збіжністю цього

методу.

Побудова та моделювання нейронної мережі здійснювалися з

використанням інструментарію NN ToolBox, математичного пакета

Matlab 6.0. Ініціалізація, навчання та перевірка адекватності моделі

реалізовані програмним шляхом.

В роботі досліджувалася тришарова мережа, яка згідно з резуль-

татами аналізу даних містить 10 нейронів на вхідному шарі, та 1 ней-

рон на вихідному.

Для знах

одження глобального мінімуму функці

оналу помилки

(4.35), були проведені експериментальні дослідження з мережами різ-

ної конфігурації, шляхом варіювання кількості нейронів на прихова-

ному шарі в межах 13n ≤ . Як функції активації використано сигмої-

дальну та лінійну функції, що забезпечують максимальні апроксиму-

ючі властивості. За показники оцінки якості навчання прийнято сере-

дню квад

ратичну та середню відносну помилку:

SE e

∑

;

∑

, (4.36)

де

– реальне значення виходу.

В результаті експериментів для кожної архітектури мережі було

проведено 20 спроб, внаслідок яких вибиралися мінімальні значення

критеріїв точності, наведені в таблиці 4.7.

Таблиця 4.7

Результати дослідження архітектури нейронної мережі

Архітектура Навчальна вибірка Тестова вибірка

(10-13-1) 7,4416 0,0094 12,8542 0,0470

(10-12-1) 4,1809 0,0140 6,0855 0,0491

(10-11-1) 1,08028 0,0053 5,2181 0,0415

(10-10-1) 1,2606 0,0092 3,482 0,0115

(10-9-1) 4,9320 0,0104 6,2064 0,0124

(10-8-1) 4,8102 0,0153 7,6008 0,0249

(10-7-1) 20,4145 0,0356 24,3925 0,0380

123

В результаті проведених експериментальних досліджень було

отримано залежності середньоквадратичної та середньої відносної по-

хибки від кількості нейронів прихованого шару (рис. 4.6, 4.7, де

SE train– помилка навчальної вибірки, _

SE test – помилка тес-

тової вибірки). З наведених значень випливає, що найменше значення

помилки досягається при використанні мережі, що містить один при-

хований шар з 10-ма нейронами.

Рис. 4.6. Залежність середньоквадратичної помилки від кількості

нейронів прихованого шару

Рис. 4.7. Залежність середньої відносної помилки від кількості

нейронів прихованого шару

Структура мережі, ваги та зміщення нейронів наведені в

табл. 4.8.

124

Таблиця 4.8

Структура нейронної мережі

2,654 0,108 1,635 0,140 0,406 –2,236 –0,960 –0,123 –0,159 0,567

1,308 –0,247 –1,715 –0,553 –0,174 –1,556 0,104 0,213 –0,160 –0,282

1,520 –0,710 1,084 –1,709 –3,352 –0,858 1,160 0,060 –1,117 –0,491

–0,529 –0,477 –1,856 0,961 1,002 0,356 0,480 –2,884 –0,429 –0,078

1,016 2,257 4,629 0,485 –2,086 –1,674 4,474 6,546 2,159 1,752

1,185 0,142 –4,458 –0,670 –0,666 –0,588 0,347 2,193 –2,262 –3,986

–0,495 0,190 0,044 –0,331 –0,421 0,494 0,893 –0,351 –1,088 –0,053

–0,654 0,214 –1,616 5,228 –1,573 0,056 2,920 1,979 0,226 2,425

–7,034 –7,034 0,282 3,810 –3,634 –1,329 4,269 –0,144 –1,662 –0,688

–10,65 9,324 –5,527 2,037 4,837 1,557 –4,971 8,543 –6,553 4,378

–1,413

–1,727 1,424 1,699 0,923 1,050 –1,716 –1,050 1,3273 1,011

3,875

–4,396 1,261 0,254 –2,261 0,564 –0,286 –7,838 –16,30 –5,089

0,153

Для тестової вибірки побудовано лінійну регресію між прогно-

зованими значеннями мережі та цільовими виходами, зображену на

рис. 4.8.

Рис. 4.8. Регресія між реальними та прогнозованими даними

125

На графіку по осі X розміщені реальні значення міцності виро-

бів, по осі

Y – прогнозовані значення. В результаті аналізу даних зна-

чень отримано регресійну залежність:

1, 02 0, 979

прогн

M М

⋅− , (4.37)

де

прогн

M ,

– прогнозоване та виміряне значення міцності та розра-

ховано коефіцієнт кореляції 0,967

, що свідчить про високу точ-

ність моделі.

Для визначення міри “здоров’я мережі” за рекомендаціями, на-

веденими в [87], було побудовано гістограму ваг нейронів (рис. 4.9),

на якій найбільша кількість нейронів лежить в околі нуля в діапазоні

[–2,5; 2,5], а абсолютні значення нейронів не перевищують 10. Це сві-

дчить про відсутність перенавчання мережі.

Рис. 4.9. Діаграма ваг нейронів нейромережі

Таким чином, побудовано математичну модель прогнозування

якості продукції технологічного процесу виготовлення будівельної

кераміки на основі нейронної мережі, що характеризується середнім

квадратичним відхиленням 3,482

та середньою відносною похибкою

0,0115, а тому може бути використана для дослідження цього процесу

та розв’язання задачі оптимізації.

4.2. Аналіз задачі оптимізації та вибір методу її розв’язання

Процес моделювання теплотехнологічного ОРП полягає у ви-

значенні параметрів управління, при яких досягається відповідний те-

мпературний розподіл вздовж всього об’єкта. В цьому випадку задача

126

оптимізації моделі теплотехнологічного ОРП зводиться до заходжен-

ня вектора температурного поля, що забезпечує максимальну якість

продукції.

Згідно з запропонованим методом визначення оптимальних па-

раметрів моделі ТОРП формалізуємо критерій оптимізації (4.1), який

для нашого випадку буде виражати ефективність ТП виготовлення

будівельної кераміки.

Цей критерій, як показано в [64], може бути поданий у вигляді

вартісних критеріїв:

• вартість отриманої продукції (на одній вагонетці) :

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∑

, (4.38)

де m – кількість видів виробів;

C ,

C – вартість i -го та найвищого

сорту виробів відповідно

• вартість витрат при зниженні сортності виробів:

⎡⎤

⎛⎞

=−⋅

⎢⎥

⎜⎟

⎝⎠

⎣⎦

∑

, (4.39)

де

n – кількість виробів кожного сорту.

Недоліками наведених вартісних критеріїв є те, що вони врахо-

вують ціну виробів і не пов’язані з витратами на їх виробництво, що

не дозволяє в повній мірі визначити ефективність всього ТП. Тому ро-

зглянемо критерій, що характеризує собівартість продукції, тобто вра-

ховує виробничі витрати [111]. Нехай

– відповідно початок і

кінець виробничого циклу, тоді середні втрати в проміжку часу (

t і

t ) визначаються як

(,) ()

Ft t f d

−

∫

, (4.40)

де ()

– втрати в момент

Якщо ці втрати можуть бути визначені на основі параметрів

об’єкта управління у вигляді

() ((),(), (),)

Gu v w

ττ ττ

= , (4.41)

127

де ()G ⋅ – задана невід’ємна функція; u – параметри управління; v –

вектор вхідних параметрів; w – збурення, тоді задача моделювання

зводиться до побудови алгоритму, що перетворює отриману від

об’єкта оперативну інформацію в оптимальне управління

()

() ( ())

оп

utUI t= , (4.42)

яке мінімізує функціонал (4.40) при заданих обмеженнях.

Розглянемо детальніше критерій (4.40). Під функцією втрат бу-

демо розуміти собівартість продукції, що складається з прямих вироб-

ничих витрат і для ТП виготовлення будівельної кераміки буде визна-

чатися з формули [63]

111

soNv

iii

SCs CoCv

===

=++

∑∑∑

, (4.43)

де

Cs – вартість сировини та відповідних домішок;

N – кількість

компонентів складу сировини;

– вартість утримання обслуговую-

чого обладнання;

N – кількість обслуговуючого обладнання;

Cv –

вартість енергоносіїв в процесі сушіння і випалювання;

N – кількість

використаних одиниць енергоносіїв.

Оскільки на витрати

∑

та

∑

не можна оперативно

впливати в процесі оптимізації, то для визначення оптимальних пара-

метрів моделі теплотехнологічного ОРП далі будемо розглядати лише

складову

∑

, яка фактично визначає енергетичні витрати, необхід-

ні для протікання процесу.

Ефективність режиму випалювання можна визначити із співвід-

ношення, що в ідеалі повинно прямувати до одиниці:

→ , (4.44)

де

– кількість теплоти, необхідна для випалювання сирцю;

– кі-

лькість теплоти, отриманої внаслідок згорання палива.

Як показано в [28], кожна позиція печі випалювання виступає як

окремий елемент, що характеризується своїм значенням температур-

128

ного поля та параметрів управління, тому тунельну піч можна розгля-

дати як систему послідовно з’єднаних позицій. З урахуванням цього

критерій ефективності можна переписати таким чином:

→

∑

. (4.45)

Для використання формули (4.45) необхідно отримати аналітич-

ні вирази

та

, для чого скористаємося рівняннями теплового

балансу тунельної печі. Згідно з [132] тепловий баланс формується з

складових теплової енергії, що вносяться і виносяться з системи.

Складові теплової енергії, що вносяться в систему:

Теплота горіння палива

пал

Q :

пал і н

QVQ= , (4.46)

де

V – витрати палива на поточній позиції;

Q – найнижча теплотво-

рна здатність робочого палива.

Фізична теплота повітря, що витрачається на горіння палива

пов

Q :

(1 )

пов is пов

QVRXE

, (4.47)

де

– стехіометричне співвідношення повітря/паливо (теоретична

кількість сухого повітря, необхідна для повного горіння палива);

X –

коефіцієнт надлишку повітря на позиції печі;

пов

– ентальпія повіт-

ря, що надходить на горіння;

пов пов пов

E с t

⋅

, (4.48)

де

пов

c – теплоємність повітря при

пов

t ;

пов

t – температура повітря,

що надходить на горіння;

Теплота, що вноситься в газовий простір димовими газами з

наступної позиції тунельної печі:

.. .. .. 1

()

inp

пг пг пг i

QVET

=⋅ , (4.49)

129

де

..пг

V – кількість продуктів горіння, що вносяться з наступної зони;

– температура на наступній позиції;

..пг

– ентальпія продуктів

горіння;

Серед наведених статей теплового балансу складність представ-

ляє лише обчислення ентальпії продуктів горіння заданої температури

в формулі (4.49). Розглянемо це питання детальніше.

Як показано в [74], при хімічній реакції спалювання палива ви-

діляються такі основні продукти горіння, як вміст оксиду вуглецю

CO , азот

N , та волога

O, теплоємність яких можна розрахувати

з інтерполяційного поліному виду [132]:

54321

543210

catatatatata=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

, (4.50)

де значення коефіцієнтів

−

, для

CO ,

N ,

O відповідно дорів-

нюють [74]:

A_H2O

0.356722

0.24795210

4−

⋅

0.57207210

7−

⋅

0.353933− 10

10−

⋅

0.91538810

14−

⋅

0.926814− 10

18−

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

A_CO2

0.038231491

0.2520718410

3−

⋅

0.16633384− 10

6−

0.764271210

10−

⋅

0.20555466− 10

13−

⋅

0.23407210

17−

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:= A_N2

0.309290

0.537391

− 10

5−

⋅

0.62620310

7−

⋅

0.4771010− 10

10−

⋅

0.15436110

13−

⋅

0.18818960− 10

17−

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

Враховуючи об’єм компонентів продуктів горіння

V ,

V , що виділяються при спалюванні 1

палива, запишемо загаль-

ну теплоємність продуктів горіння, що утворюються при спалюванні

палива:

2222 2 2

пг CO CO N N H O H O

с Vc VcVc=⋅+⋅+⋅. (4.51)

Використовуючи коефіцієнти поліномів і значення об’ємів про-

дуктів горіння, та, звівши подібні, отримаємо такий вираз для енталь-

пії продуктів згорання, що утворюється при спалюванні 1

палива: