Ковалюк Д.О., Москвіна С.М. Моделювання теплотехнологічних об’єктів з розподіленими параметрами

Подождите немного. Документ загружается.

110

ОРП, проведений в п. 1.4, для побудови моделі коригування темпера-

турного поля обрано регресійний аналіз.

Відомо [79], що міцність виробів характеризується певним роз-

поділом як по висоті садки, так і по її ширині. Такий факт пояснюєть-

ся нерівномірним розподілом газових потоків, оскільки на міцність

цегли з боків впливає спрацьований стан футерування, що зменшу

аеродинамічний опір, а розп

оділ по висоті (рис. 4.4) обумовлений спо-

собом садки. Як наслідок, найменшу міцність мають вироби в нижніх

рядах садки та по боках, найбільшу – в центрі.

Рис. 4.4. Розподілу міцності по висоті садки

Оскільки на практиці цегла, що знаходиться в нижніх та боко-

вих рядах вагонетки відкидається (використовується в інших цілях), а

решті виробів відповідно до ДСТУ Б В.27-61-97 присвоюється єдина

(усереднена) марка цегли, тому задачу побудови математичної моделі

коригування температурного поля на основі регресійного аналізу за-

пропоновано розглядати як знаходження лінійної багатофакторної ре-

гресійної моделі, що має вигляд:

011

...

yb bx bx

=+ ++ +, (4.22)

де

y – міцність виробів;

, , ...,

xx – фактори моделі, включаючи

температурне поле печі;

, , ...,

bb b – оцінки невідомих параметрів

узагальненої моделі;

– випадкова величина.

Для правомірності використання регресійного аналізу було пе-

ревірено нормальність розподілу вхідних величин. Отримані гістогра-

111

ми розподілу, дві з яких показані на рис. 4.5, не дають підстав відки-

нути висунуте припущення про нормальність.

Рис. 4.5. Гістограми розподілу факторів регресійного аналізу

Отримання кількісних характеристик нормальності розподілу

факторів проведено з використанням тесту Шапіро–Уілка [74], ре-

зультати якого (табл. 4.3), підтверджують нормальність розподілу фа-

кторів моделі, що дозволяє застосувати регресійний аналіз.

Крім того з [24, 26, 77, 80] відомо, що для використання регре-

сійного аналізу необхідне виконання таких припущень:

 розподіл залишків

– нормальний;

 математичне сподівання () 0

, дисперсія

var( )

= ;

 випадкові величини – незалежні між собою, cov( , ) 0

= ;



не залежить від

;

 відсутність мультиколінеарності.

Перевірка перших чотирьох припущень виконується після побу-

дови математичної моделі шляхом аналізу “поведінки” залишків, в

той час мультиколінеарність необхідно перевірити на етапі статистич-

ного аналізу факторів, оскільки це впливає на вибір методу побудови

моделі.

112

Таблиця 4.3

Перевірка нормальності розподілу факторів

Фактор Позначення

Шапіро–Уілка

Статистика Значимість

Вміст оксиду алюмінію Al 0,953 0,001

Вміст оксидів магнію та кальцію Mg 0,981 0,053

Відносна вологість повітря, яке

подається на сушіння

W_pov

0,983 0,089

Час перебування в сушарці Dry_T 0,964 0,002

Вологість сирцю після сушіння W_syr 0,953 0,001

Температура 10-ї зони T10 0,991 0,536

Температура 13-ї зони T13 0,988 0,328

Температура 14-ї зони T14 0,982 0,073

Температура 15-ї зони T15 0,991 0,545

Температура 16-ї зони T16 0,989 0,376

Температура 17-ї зони T17 0,990 0,478

Температура 18-ї зони T18 0,988 0,297

Температура 20-ї зони T20 0,989 0,403

Температура 22-ї зони T22 0,992 0,688

Температура 23-ї зони T23 0,990 0,455

Температура 24-ї зони T24 0,995 0,922

Температура 25-ї зони T25 0,992 0,607

Температура 28-ї зони T28 0,990 0,427

Температура 31-ї зони T31 0,989 0,338

Температура 34-ї зони T34 0,992 0,663

Тестування мультиколінеарності факторів було здійснено на ос-

нові парних коефіцієнтів кореляції Пірсона [77, 114], високі значення

яких є необхідною умовою наявності мультиколінеарності:

11 2 2

12 1 2

11 2 2

()( )

(, )

()( )

YY YY

rrYY

YY YY

−× −

−×−

∑

, (4.23)

де

– середнє значення змінної

Y ;

– середнє значення змінної

Y .

Аналіз кореляційної матриці, наведеної в додатку В, дозволяє

зробити висновок про відсутність мультиколінеарності між факторами

моделі. Зауважимо, що кінцева перевірка на мультиколінеарність буде

проведена через порівняння значень точності моделі та значимості її

коефіцієнтів.

113

Таким чином, для регресійної моделі відібрано такі фактори:

вміст оксиду алюмінію, вміст оксидів магнію та кальцію, час сушіння,

відносна вологістю повітря, вологість сирцю та температури в зонах

печі T10, T13, T14, T15, T16, T17, T18, T20, T22, T24, T25, T28, T31,

T34

Як зазначено в [35], процес побудови багатофакторної регресій-

ної моделі складається з таких етапів: відбір та статистичний аналіз

факторів, вибір методу та побудова регресійної моделі, оцінка невідо-

мих параметрів регресійної моделі, перевірка моделі на адекватність,

розрахунок основних характеристик та побудова інтервалів довіри,

аналіз отриманих результатів.

Серед існуючих алгоритмів побудови регресійних моделей

[35,77,126,137] найбільш розповсюдженими є: метод всі

х можливих

регресій, побудова тільки на

йкращих регресій, покрокова регресія,

гребенева регресія, ступеневий регресійний аналіз. В роботі було об-

рано метод примусового включення факторів, що зумовлене викорис-

танням моделі для розв’язання задачі оптимізації і дозволяє врахувати

всі значення температурного поля. Реалізація методу та дослідження

отриманої моделі проводилися з вико

ристанням пакета прикладних

програм “SPSS”. Фактори, що

увійшли до моделі, загальні та оцінені

коефіцієнти рівняння регресії подані в табл. 4.4.

Для перевірки статистичної значущості всього рівняння регресії

використано коефіцієнт кореляції [71]

()

ˆˆ

−−

∑

∑∑

yyyy

yy yy

(4.24)

де

– значення регресії за даними i -го спостереження; y – середнє

значення результатів, що спостерігалось;

y – реальне значення i -го

спостереження.

114

Таблиця 4.4

Параметри та характеристики регресійної моделі

Нестандартизовані

коефіцієнти

Стандартні

коеф.

95 %-й довірчий

інтервал для B

Стд.

похибка Бета

Нижня

межа

Верхня

межа

(Константа)

33,513 17,199 1,994 –0,561 67,587

Al 1,912 0,107 0,203 17,944 1,701 2,123

Mg –5,803 0,106 –0,653 –54,666 –6,014 –5,593

W_pov 0,364 0,079 0,051 4,593 0,207 0,521

Dry_T –0,083 0,050 –0,019 –1,668 –0,182 0,016

W_syr –3,021 0,079 –0,427 –38,235 -3,177 –2,864

T10 –0,151 0,004 –0,410 –35,910 –0,159 –0,143

T13 0,107 0,004 0,300 25,543 0,099 0,115

T14 –0,017 0,004 –0,048 –4,116 –0,025 –0,009

T15 0,048 0,004 0,153 13,163 0,041 0,055

T16 0,032 0,004 0,091 8,125 0,024 0,040

T17 –0,002 0,004 –0,007 –0,606 –0,010 0,005

T18 –0,007 0,004 –0,018 –1,612 –0,015 0,002

T20 –0,166 0,006 –0,314 –27,734 –0,178 –0,154

T22 –0,186 0,006 –0,395 –33,592 –0,197 –0,175

T23 0,062 0,006 0,110 9,941 0,050 0,074

T24 0,339 0,006 0,686 59,231 0,327 0,350

T25 0,040 0,008 0,056 4,941 0,024 0,055

T28 0,126 0,004 0,386 33,505 0,119 0,134

T31 –0,165 0,004 –0,447 –38,875 –0,174 –0,157

T34 –0,007 0,004 –0,021 –1,848 –0,014 0,000

На його основі розраховано значення F – статистики Фішера,

яке одночасно є мірою адекватності регресійної моделі [137]:

(1)

(1 ) ( )

−

, (4.25)

де

k – кількість параметрів моделі; n – загальна кількість спостере-

жень.

Розраховане значення критерію

F (табл. 4.5) дозволяє зробити

висновок, що модель є адекватною експериментальним даним при рі-

вні значущості

0,05

= .

115

Оскільки у випадку багатофакторної регресії кожний параметр

відповідає

-розподілу, то для перевірки значущості параметрів моде-

лі використано

t -статистику [77] :

∗

−

, (4.26)

де

b – оцінка параметра

, отримана МНК;

•

– гіпотетичне зна-

чення, яке має прийняти параметр

;

– оцінка дисперсії параме-

тра.

Виконавши перевірку статистичних гіпотез:

: 0

•

= проти

: 0

•

≠ (значення

-статистики наведені в табл. 4.4), проаналізо-

вано значущість коефіцієнтів рівняння регресії

Критичне значення

t -статистики для коефіцієнтів регресійної

моделі наведених в табл. 4.4, при рівні значущі

0,05

дорівнює

1, 645

кр

t = . Тому коефіцієнти

T ,

T не є значимими, що свідчить про

наявність мультиколінеарності факторів. Проте, як зазначено в [71],

якщо єдиною метою регресійного аналізу є прогноз, тоді

мультиколінеарність не викликає проблем, оскільки чим вище значен-

ня

, тим точніший прогноз. Це справедливо доти, доки значення

залежних змінних, для яких і здійснюється прогноз, мають однакову

майже лінійну залежність з початковою матрицею даних .X Таким

чином, отримана регресійна модель може бути використана для опису

ТП виготовлення будівельної кераміки.

Для перевірки зроблених припущень, які дозволили використати

регресійний аналіз для отримання моделі, було виконано аналіз зали-

шків.

Для перевірки нульової середньої величини розраховано мате-

матичн

е сподівання залишків

(табл. 4.5). Оскільки значення ()

прямує до нуля, то робимо висновок про виконання припущення про

нульове математичне сподівання.

Для виявлення автокореляції залишків використано статистику

Дарбіна–Уотсона [35], яка представляє собою зважену суму квадратів

різниць послідовних залишків:

116

()

ii i

εε

−

=−

∑∑

. (4.27)

Значення цієї статистики (табл. 4.5) потрапляє в зону прийняття

гіпотези про відсутність автокореляції залишків.

Для виявлення гетероскедастичності було обрано тест Готфелда

та Квондта [77, 146], оскільки він має високу точність, припускає но-

рмальний розподіл та незалежність випадкової величини

, а кіль-

кість спостережень вдвічі більша за кількість оцінюваних параметрів.

Для кожної з вибірок, що містять відповідно найменші та найбільші

значення змінної

l , були побудовані рівняння регресії та розрахова-

на статистика:

[( 2 ) / 2]

enkp e

enk p e

∗

−−

∑∑

, (4.28)

згідно з якою було доведено відсутність гетероскедастичності залиш-

ків моделі.

Таблиця 4.5

Характеристики моделі

Перевірка Статистика Значення

Точність Коефіцієнт кореляції 0,988

Середня відносна похибка 0,01164

Автокореляція Дарбіна–Уотсона 2,048

Гомоскедастичність Готфелда та Квондта 2,39

Випадковість Мат. сподівання 3,48 E-11

Враховуючи результати перевірки залишків моделі, можна кон-

статувати, що вони відповідають всім, висунутим до них вимогам. Та-

ким чином, розроблена на основі регресійного аналізу математична

модель коригування температурного поля є адекватною, що дозволяє

її використання в методі визначення оптимальних параметрів моделі

теплотехнологічного ОРП.

4.1.3. Модель прогнозування якості продукції

Згідно з методом визначення оптимальних параметрів моделі

теплотехнологічного ОРП для врахування поточного стану технологі-

чного процесу необхідна розробка математичної моделі прогнозуван-

117

ня якості продукції. Для ТОРП, що розглядається, це фактично модель

технологічного процесу виготовлення будівельної кераміки.

Беручи до уваги проведений аналіз методів моделювання ТП,

складність ОРП та методи прогнозування якості продукції, для побу-

дови моделі технологічного процесу виготовлення будівельної кера-

міки в роботі запропоновано використати апарат нейронних мереж.

Дослідження, проведені в [120, 168, 171, 173], показали ефекти-

вність застосування нейронних мереж для зада

ч прогнозування та

управління технологічними процесами, можл

ивість побудови на їх

основі достовірних моделей складних нелінійних об’єктів і регулято-

рів, що реалізують різні закони управління. На сьогодні запропонова-

но ряд підходів до побудови систем управління з використанням ней-

ронних мереж: контрольоване, пряме інверсійне, нейромережеве ада-

птивне та гібридне управління.

Незв

ажаючи на різноманітність видів нейронних мереж

[87] та

розв’язуваних ними прикладних задач [43, 100, 171], математичні мо-

делі на основі нейронних мереж будуються за загальним алгоритмом:

підготовка вхідних даних, вибір виду та архітектури мережі, навчання

мережі, аналіз точності та інтерпретація результату.

Відомо, що на адекватність нейромережевої моделі перш за вс

впливає співвідношення обсягу вхідних даних та кілько

сті параметрів

моделі, яке виражається формулою [168]:

/NWe

, (4.29)

де N – розмір навчальної вибірки; W – число вагових коефіцієнтів; e –

точність моделі.

Стандартним підходом для забезпечення необхідної точності

моделі згідно з (4.29) є зменшення розмірності задачі. Найчастіше для

цього використовують метод головних компонент [40], що дозволяє

розв’язати одразу декілька задач: по-перше, виконується ортогоналі-

зація векторів входу, що виключає їх взаємну кореляцію; по-друге,

виконується впорядкування векторів навчальної множини так, щоб

вектори, що охоплюють великий діапазон значень, були першими (го-

ловні компоненти); по-тр

етє, видаляються вектори, діапазон знач

ень

яких незначний.

118

Враховуючи велику кількість факторів задачі, що розглядається,

необхідну високу точність моделі прогнозування якості, повільність

отримання статистичних даних, в роботі визнано доцільним виконати

зменшення розмірності вектора вхідних даних за методом головних

компонент.

Формально задача переходу (з найменшими втратами інформа-

ції) від набору ознак

, ...,

x до нового набору ознак

, ...,

zz може

бути описана таким чином. Нехай ()

– деяка q-вимірна век-

тор-функція вихідних змінних

, , ...,

xx, (qp

) і (())

ZX , пев-

ним чином задана міра інформативності q-вимірної системи ознак

( ) ( ( ),..., ( ))

XzXzX

′

= . Тоді необхідно визначити такий набір ознак



, знайдених в класі

допустимих перетворень вихідних показників

, ...,

x , що

(()) (())

ZX I ZX

extr



(4.30)

Використання методу головних компонент дозволяє отримати

перші q-головних компонент

, ...,

zz багатовимірної ознаки X , як-

що як клас допустимих перетворень

визначити всі можливі лінійні

ортогональні нормовані комбінації вихідних показників, тобто:

() ( )... ( );

1( 1, );

0(, 1, , ),

ij pj p p

zX ux m u x m

ujq

ujkqjk

⎧

⎪

=−++ −

⎪

⎨

⎪

==≠

⎪

⎩

∑

(4.31)

де

– середнє значення ознаки

, а за міру інформативності систе-

ми показників

((),()...,())

zXzX zX узяти величину

(())

qij

Z X Dz Dx

∑∑

, (4.32)

де

z та

Dx – дисперсії відповідних ознак.

119

Для виокремлення значимих факторів в роботі використано такі

критерії [40]:

1. Критерій Кайзера–Дікмана, згідно з яким вклади факторів в

повну дисперсію (власні значення) повинні бути більші за 1, що свід-

чить про велику ймовірність бути загальними факторами.

2. Критерії, основані на дисперсії. Згідно з якими на перші голо-

вні компоненти повинно припадати 90 % повної дисперсії, а кожен з

факторів повинен пояснювати не менше 5 % повної дисперсії вихідної

системи ознак.

Результати методу головних компонент та фактори, що відпові-

дають зазначеним вище критеріям, наведені в таблиці 4.6.

Таблиця 4.6

Власні значення факторів математичної моделі ТП

Власні зна-

чення

Загальна ди-

сперсія, %

Кумулятивні

значення

Кумулятивна

дисперсія, %

1,777992 8,889958 1,77799 8,88996

1,607494 8,037471 3,38549 16,92743

1,437214 7,186069 4,82270 24,11350

1,363978 6,819889 6,18668 30,93339

1,350980 6,754902 7,53766 37,68829

1,231322 6,156610 8,76898 43,84490

1,191780 5,958902 9,96076 49,80380

1,118427 5,592136 11,07919 55,39594

1,115079 5,575395 12,19427 60,97133

1,013212 5,066059 13,20748 66,03739

Таким чином, застосувавши розглянуті критерії до власних зна-

чень набору факторів

{,,,,,,}Al O СaO MgO

ωτ

=XT, в роботі ви-

ділено 10 факторів, що будуть входити до моделі прогнозування якос-

ті продукції.

Всі нейронні мережі характеризуються сильними апроксимую-

чими властивостями, що здатні відтворити відображення довільної

складності, тому вибір конкретного типу мережі повинен базуватися

на особливостях та специфіці розв’язуваної задачі. Зауважимо, що за-

дача прогнозування якості не є рекурентною і не враховує знач

ення