Косчинский С.Л. Основы автоматики и системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
2
2
1
)()(
1
x
y
mdyypy
D
K
2
1
2
0
41
1)(;www
;w·2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yx
D
m
Ф
D
m
Ф
D
B
K
dyypB
D
m
Ф
D
m
ФmKm
B
Пример:
3
)( Kyyx
2
42
1
2
0
93615w·);wwwwwwww3(w·
y
y
y
y
y
y
y
y
D
m
D
m
DKK
D
m
DKK
Пример:
G(t)
(t) U(t) X(t)
W(S)
81
222
222
2
22
2
22
2
3
))()1((
)())()1((
|)(|
;
)()1(
)()1(
)()1(
))1)((21(
)1(
1
)(
5,0w·1,0)0(·
:,www5,025,0w·2;www5,0;ww5ww
)(
1
1
1
1
1
)(
1,0;wwww10
ww·
1
1
)(
TwK
KTwTwK
jwW
Twk
jKTwTwK
TwK
jTwKjTw
jTwK
jTw
jwW
BmWmm
получимBSBDBmПриняв
SW
KTS
TS
TS
K
S
TK
K
TS
SW
gg
gggg
Пример:
G(t)
(t) U(t) X(t)
W(S)
),w(1
),w(
w·
1
),w(
1
1
),w(
)(
)0(·
93615w·);wwwwwwww3(w·
25,0·;www5,0;ww5w
w1,0;wwww10
·wwww·
1
1
)(
0
0
0
0
2
42
1
2
0
33
gg
gg
gx
gg
gg
g
g
y
y
y
y
y
y
y
y
gggg
DmK
DmK
mm
TS
DmK
TS
DmK
SW
Wmm
D
m
D
m
DKK
D
m
DKK
SDm
cTK
yKK
TS
SW
22
1
2
1
222
1
22
1
2
1
2
22
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
2
)()1(|)()1(|
])()1w·[(
|)(|
;
)()1(
])1[(
)1(
)(
;
)1(1)(·1
)(·
)(
);(·|)(|)(
TwK
K
TwK
TwKK
jwW
TwK
jTwKK
jTwK
K
jwW
TSK
K
KTS
K
SWK
SWK
SW
wSjwWwS
xg
xg
xg
Gxgx
82
1
1
22
1
1
2
1
1
22
1
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
w·
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
ww
w
)()1(
)2(
1
)()1(
)(1
w·w·
)()1(
w·)(1
w·
1
);)(1w·(
;
)(1
w·
1)(
1
w·
2)w·1(2
ww
ww
1
)1(
2
w·
)1(2w·
w·
1
1
w·w|)(|
;64;www412,4
.25,0;www0
|)(|25,0)(
2
1
)0(
1
KD
KD
TwK
KK
KD
TwK
Tw
KDD
TwK
KTw
K
S
Tw
K
S
S
Tw
S
K
Tw
jwT
SKS
e
KT
K
w
T
K
T
K
KT
TK
w
T
K
T
K
jwW
Dm
Dm
dwjwWdwwSRD
g
g
ggg
x
x
t
T
K
xg
xx
xgxxx
Основы теории оптимальных САУ
83
ОР – объект регулирования;
Х – регулируемая величина;
U – управление.
В общем случае задача проектирования системы - это задача
оптимизации. Под оптимизацией понимают процесс достижения кокой либо
совокупности характеристик систем наилучших показателей с точки зрения
ТЗ.
Пусть задачей в ТЗ является спроектировать САУ, удовлетворяющую
ряду требований – определенные параметры регулируемых величин
(показатели качества) должны иметь определенные значения. Тогда
оптимальной САУ будет та, у которой расхождение между требуемыми
показателями и реально осуществимыми – наименьшие. Процесс
оптимизации подразумевается сравнение различных вариантов реализации
САУ, значит необходимо вводить критерий для оценки «какая реализация
САУ наилучшая». Оптимизационный критерий – это функционал J от
переменных состояний САУ, управления и времени:
),,( tuxfJ
Оптимизационный функционал обычно формируют таким образом,
чтобы оптимальный реализации САУ, соответствовал минимум J.
В зависимости от вида функционала критерия оптимальности
различают:
а) задачу Лагранжа
T
t
dttutxtFJ
0
))(),(,(
б) задача Майера
))(,( TxTJ
в) задача Больца
T
t
TxTdtTutxtFJ
0
))(,())(),(,(
В (1) графическая интерпретация, метод наискорейшего спуска
(направление антиградиента). В зависимости от того, какая априорная
информация о состоянии САУ используется, различают задачи
формирования оптимального сравнения при:
1) заданных состояний САУ в начальные и конечные моменты
времени приложения управляющего воздействия – «задача с
закрепленными концами».
2) Отсутствие информации о состоянии САУ в начальные и конечные
моменты времени приложения управляющего воздействия –
«задача с подвижными концами». В этой формулировке начальные
84
и конечные условия принадлежат определенным Функциональным
зависимостям. (пример с кораблем, терпящем крушение).
При проектировании реальных систем, всегда имеются определенные
ограничения (например, накладываемые принципом физической
реализуемости САУ, условиями обеспечения устойчивости и др.)
Поэтому при оптимизации САУ наряду с функционалом,
определяющим «качество» оптимизированной системы, вводят зависимости,
определяющие ограничения на структуру САУ, на допустимое управление и
др.
Т. о. Оптимизация подразумевает:
1) Критерий оптимальности качества САУ – функционал;
2) Ограничения на реализацию САУ;
В теории оптимальных САУ различают задачу:
1) Синтеза оптимального регулятора (Р);
2) Формирования оптимального управления u(t).
Первая задача (1) также может быть разделена на структурную и
параметрическую оптимизацию.
Задача (2), формируемая как выбор оптимального управления, в общем
виде, может быть записана
),,( tUXf
dt
xd
- уравнение динамики САУ;
),,( tXUJJ
- критерий оптимальности;
0),( XU
- ограничения.
Пример
)(
)()(1
1
)( SU
SWSW
S
pop
,
S
U
sU
у
)(
)0()0(1
)(lim)(
0
рор
у
S
t
WW
U
sSt
Критерий оптимизации:
Минимум статической ошибки + минимум времени регулирования.
Пусть
aS
SW
op
1
)(
, тогда использование П-звена в качестве регулятора
приводит:
85
KSW
p
)(
Параметрическая оптимизация
KaS
Kd
S
Kd
U
SKaS
KU
S
U
aS
K
aS
K
SX
у
уу
11
)(
1
)(
tKa
у
tKa
у
e
K
a
U
e
Ka
KU
)()(
1
1
1
.
K
a
U
tX
у
t
1
)(
;
a
K
U
tXUt
у
t
у
t
1
)()(
;
Ka
t
Ka
пр
3
3,
)(
1
0min,0min)(,
пр
ttK
Метод решения оптимизационных задач нахождение оптимального
уравнения:
1. Метод вариационного исчисления (метод множителей Лагранжа);
2. Метод динамического программирования Беллмана.
Метод вариационного исчисления
Рассмотрим задачу с закрепленными концами, и функционал в форме
Лагранжа.
T
t
dtUXtFJ
0
),,(
, задача Y-? Min J.
Существует теорема Эйлера, которая гласит, что если некоторая
функция Y составляет экстремум функционалу J, то она должна
удовлетворять уравнению:
0
Yd
dF
dt
d
Y
F
(1)
решения уравнения (1) называют экстремалями.
Пример: Пусть необходимо переместиться по кратчайшей траектории
из точки
)0(
1
yy
в точку
).(
2
Tyy
Длина элементарного участка кривой
,1
2
dtyF
,0
y
F
y
y
y
F
1
уравнение Эйлера будет иметь вид:
86
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
y
yy
y
y
y
y
yy
yyy
y
y
dt
d
;
11
1
3
2
3
2
22
y
y
y
yyy
;0
y
.
)0()(
),0(,,
21121
T
yTy
CyCCCyCy
По уравнению Эйлера невозможно решить, является ли найденный
экстремум минимумом или максимумом. Поэтому в вариационном
исчислении в дополнение к уравнению Эйлера используется так называемое
условие Лежандра.
0
2
yy
F
- гарантирует минимум функционала J на экстремуме.
Пример:
1)(,)1(,
22
yydtytJ
T
yt
y
F
y
F
ytF
222
2,0,
по уравнению Эйлера:
0
y
F
dt
d
значит
0
const
y
F
.
Cyt
2
2
1
1
2
2
,
2
t
C
Cy
t
C
y
- гиперболы – экстремумы
из граничных условий:
.8;0;1
8
;4
2
111
CC
C
C
C
C
t
y
4
.
02
12
164
2
2
4
1
2
4
1
2
2
2
t
yy
F
dt
t
dt
t
tJ
Э
т.е. минимум.
Для сравнения рассмотрим функционал от прямой, составим эти точки,
прямой, составим эти точки, y=5-t.
87
4
1
22
1
21)1( dttJ
Для случая Y – вектор Y={X,U}, то для отыскания экстремума такого
функционала приходится решать систему уравнений.
0
.
.
.
0
1
1
n
n
y
F
dt
d
y
F
y
F
dt
d
y
F
тогда, условие минимума в экстремуме (условие Лежандра) будет иметь
вид:
0
)()(
2
nn
yy
F
Для более общей постановки задачи оптимизации – при наличии
ограничений в вариационном исчислении используют следующие
преобразование.
),()( YttFL
,
где
)(t
- функция, называемая множителем Лагранжа:
T
t
dtYYtFJ
0
),,(
T
t
LdtJ
0
тогда уравнение Эйлера трансформируется в
0
Y
Y
F
dt
d
Y
F
и дополняется уравнением
0),( Yt
.
Для случая m ограничений имеем:
0),(
0),(
...
0),,(
1
1
Yt
Yt
Y
YYtFL
m
m
j
i
i
Пример:
Электродвигатель постоянного тока, осуществляющий перемещение
исполнительного механизма. Известно, что нагрев якоря пропорционален
квадрату тока, с другой стороны, момент на валу пропорционален сумме сил
статического сопротивления. Задача: как регулировать ток якоря, чтобы
нагрев за время Т был минимальным.
88
21
2
1
2
0
2
0
2
0
2
11
1
1
1
,,0
02
2,0
,
,
,,
,
,
,
CtCCt
CCtyCyy
ya
Cbyaa
y
F
yd
F
dt
d
y
F
dtbyaQ
y
bzz
dtbadtiQ
k
Mc
b
k
I
a
ba
k
McI
iMcikI
constMcMcM
dt
d
I
ikMconst
ikM
T
TT
Лекция. Адаптивные САУ. Включение ЭВМ в контур.
управления.
Распределенные САУ.
Процесс проектирования САУ предполагает. Что известны
параметры объекта управления, внешние воздействия и режимы
работы. В результате будут определены структура и параметры САУ,
удовлетворяющие заданным требованиям к точности и качеству
процесса управления.
Однако часто значение параметров (или) математическое
описание объекта управления известны лишь приближенно. Или для
определенного объекта управления плохо известны законы
изменения его параметров в процессе управления. В этих случаях
возникает необходимость в создании САУ, в которой параметры (а
иногда и структура) автоматически настраивались таким образом,
чтобы получающийся в ходе эксплуатации процесс управления
удовлетворял заданным требованиям. Подобные САУ называются
самонастраивающимися.
Самонастраивающиеся системы могут использоваться и в
случаях, когда:
89
- САУ работает в условиях больших диапазонов
изменения внешних воздействий (или при значительной их
неопределенности);
- Требование обеспечения заданной точности САУ
связаны с необходимостью изготовления сверхточных –
дорогостоящих элементов.
Самонастраивающиеся системы являются одной из
разновидностей адаптивных САУ. Адаптация – означает
самоприспособление САУ к условиям функционирования, к
неизвестным объектам и путям достижения цели. Кроме
самонастройки. Адаптивные САУ обладают свойством самообучения.
Самонастраивающиеся САУ м/б реализованы с помощью:
- замкнутого контура самонастройки (при этом
самонастройка производится по какому-либо показателю
качества процесса управления, текущее значение которого
определяется в процессе работы). Пример: ЗИУ-683Б
коррекция частоты ШИМ по напряжению на двигателе;
- разомкнутого контура самонастройки (т.е. контру
самонастройки не связан с изменением сигналов основного
контура управления, а реагирует на косвенные величины
)t(z
, от которых зависят параметры объекта). Пример:
автоматическое управление полетом самолета при
изменяющейся массе (расход топлива) требует
соответствующей коррекции регулятора.
90