Косчинский С.Л. Основы автоматики и системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Таким образом, длительность переходного процесса сократилась в 5 раз. Величина
перерегулирования
%36
3
399,3
Рассмотрим коррекцию САУ с помощью пропорционально-интегрирующего (ПИ)
звена.
1
1
)(
S
SK
SW
ПИ
Общие правила коррекции:
1) Определяем интервал
];[
21
ww
, в котором
)(SW
P
имеет наклон –20дБ/дек;
2) Выбираем частоту корректирующего звена
K
1
и значение К так, чтобы
1
1
ww;www1|)()·(|wwwwww1|)()·(|
21
w
K
jwWjwWиjwWjwW
ww
ПИP
ww
ПИP
41
В данном случае К=-40дБ (т.к. в диапазоне [6,25;12,5]
)(SW
P
изменяется на
–6 дБ. А
16
0625,0
1
;wwww01,0;wwww25,6
1
K
K
116
116,0
)(
S
S
SW
ПИ
;
))391,9()281,6)·((25,6(
)116,0(25,761
)133,786297,2048125,18(2048,0
)116,0(160
)116,0(16)124,00128,0)(116(
)116,0(160
1)()·(
)()·(
)(
2223
2
SS
S
SSS
S
SSSS
SWSW
SWSW
SW
ПИP
ПИP
З
Реакция САУ на постоянное входное воздействие
S
U
SU
У
)(
:
;
)391,9()281,6(
)562,12(3
3
)(w
22
S
S
S
Sx
)391,9cos1(3)(w
281,6
tetx
t
- для ПИ-звена;
)4,111cos1(3)(w
4,9
tetx
t
- для ПД-звена.
42
В этом случае перерегулирование
%94,11
, а время регулирования
ct
P
477,0
281,6
3
ww3
, то есть регулирование по сравнению с ПД-звеном
увеличилось в 1,5 раза, а перерегулирование уменьшилось в 5,6 раза.
Лекция № 9. Графические методы синтеза линейных
САУ
Как мы уже отмечали, все методы синтеза можно разделить на 3 группы:
- синтез с помощью КУ;
- графические методы синтеза САУ;
- аналитические методы синтеза САУ.
Отличие метода синтеза с помощью КУ от методов двух других групп
заключается в поэтапном синтезе желаемого регулятора. Причём на каждом этапе
синтезируется определённое звено регулятора, призванное решить определенные
требования технического задания.
Графические и аналитические методы синтеза САУ характеризуются
одновременным синтезом всей структуры регулятора.
Из графических методов синтеза линейных САУ можно выделить:
- метод корневого годографа;
- методы синтеза по логарифмическим частотным характеристикам.
Мы будем рассматривать метод корневого годографа как более наглядный и
формализованный.
Пусть
))((
))((
)(
21
21
CSCS
CSCS
KSW
З
.
Предположим, что переходный процесс определяется в основном наиболее
правыми корнями. Тогда
jbac
и приближенно можно считать, что переходный
процесс описывается выражением
btetx
at
cos1)(
при
)(1)( ttu
.
43
Геометрическое место корней полинома знаменателя
)(SW
З
определяется из
требований к
wwwwиt
P
:
max
a
определяется из требований к длительности переходного
процесса, а угол
MAX
- из трабований к перерегулированию.
iiiP
Caгдеat minwRewwwwww3
;
ln
;;wwwwln
arctg
a
b
b
a
e
b
a
0,5% 1% 5% 10% 30%
MAX
30,7° 34,3° 46° 53° 69°
Корневым годографом называются траектории, описываемые на комплексной
плоскости корнями характеристического уравнения замкнутой САУ при изменении
одного из её параметров от
wwww0 до
. В качестве варьируемого папраметра обычно
рассматривают коэффициент усиления разомкнутой САУ по постоянному току.
.
)(1
)(
)();www()()(
21
SW
SW
SWSWSWSW
P
P
ЗP
Характеристическое уравнение замкнутой САУ
.1)()()(ww
0)()(1)(wwwwww
21
21
SWSWSWили
SWSWSD
З
(9.1)
Запишем для (9.1) отдельно уравнения амплитуд и уравнения
фаз:
1|w)()(||w)(|
21
SWSWSW
P
(9.2)
2,ww1,ww0w,wwwww)12()(argww iiSW
P
(9.3)
(9.2) и (9.3) являются основой для построения корневых годографов.
Пусть известны нули
),,,(
321
SSS
и полюсы
),,,(
321
SSS
передаточной
функции
)(SW
З
САУ. Тогда
)())((
)())((
)(
21
21
n
M
P
SSSSSS
SSSSSS
aKSW
,
где а – произвольный множитель; К – варьируемый параметр (так называемый
общий коэффициент усиления).
44
Сомножители числителя
)(
i
SS
и сомножители знаменателя
)(
i
SS
на
комплексной плоскости корней изображаются векторами
)(
i
SS
и
)(
i
SS
, которые
образуют с вещественной осью углы
ij
и wwww
.
Тогда из (9.3) аргумент
)(SW
P
будет иметь вид:
,w2,w1,w0,www)12(
1 1
M
j
N
i
ij
(9.4)
а уравнение амплитуд может быть переписано в виде:
N
i
i
M
j
j
P
l
l
llKaSW
1
1
,wwww1ww|w)(|
,
где
ji
lиl wwww
- длины соответствующих векторов. Отсюда
la
K
w
1
.
Для построения корневых годографов используют ряд их свойств:
1) Комплексные части годографов попарно сопряжены и ветви годографа симметричны
относительно вещественной оси;
2) Число ветвей корневого годографа равно порядку уравнения D(S) = 0, т. е. числу
полюсов
)(SW
З
;
3) Ветви годографа начинаются при К = 0 в полюсах
)(SW
P
;
4) При
K
m ветвей годографа стремятся к m нулям
)(SW
P
, а остальные n-m
ветвей годографа уходят в бесконечность;
5) n-m ветвей годографа, уходящие в бесконечность имеют асимптоты (число которых
n-m). Асимптоты выходят из одной точки на вещественной отрицательной полуоси с
абсциссой
)(
11
mn
SS
O
m
j
j
N
i
i
a
под углами
1,w,w1,w0,www
)(
)12(
mni
mn
i
a
.
6) Ветви годографа, совпадающие с отрезками действительной оси,
располагаются в тех её частях, справа от которых находится нечётное число
действительных нулей и полюсов
)(SW
P
.
7) Углы выхода из комплексного полюса и углы входа в комплексный нуль,
определяются из условия баланса фаз (9.4), записанного для этого полюса или нуля, т.
е.
180)·12(
X
.
Пример построения корневого годографа для систем из практического занятия №1 и
лекции №8.
45
.
)25,6)(5,12(
)(
;
)25,6)(5,12(
12500
)25,6)(5,12(08,0
1000
)116,0)(108,0(
160
)(
SS
K
SW
SSSSSS
SW
P
P
Асимптот – 2. Асимптоты выходят из точки
38,9
2
5,1225,6
a
под углами
2
3
;ww
2
21
aa
.
Определим граничное значение К, при котором оба корня знаменателя
)(SW
P
действительны.
765,925,6w·5,12
4
75,18
0)25,6w·5,12(475,18
2
2
ГР
ГР
K
KD
Статическая ошибка t) = 89%. Для перерегулирования 5% сектор
46|w|
.
4,12725,6w·5,12w·475,184,9
)25,6w·5,12w·(475,184,9
22
2
К
К
Статическая ошибка (t) = 38%.
Синтез КУ с помощью корневого годографа.
Как уже отмечалось, задачей синтеза последовательного КУ является обеспечение
заданного положения полюсов и нулей
)(SW
З
. При этом полагают, что переходный
процесс определяется ближайшим к мнимой оси полюсом (или считают, что переходный
процесс определяется ближайшей парой комплексно-сопряженных полюсов и
ближайшим действительным полюсом).
Порядок синтеза КУ по корневому годографу следующий:
1) Строится годограф для нескорректированной САУ , и на нем обозначаются точки,
отвечающие требуемым показателям качества;
2) Добиваются прохождения годографа через выбранные точки (или вблизи от них)
путем введения дополнительных полюсов и нулей в
)(SW
P
. При необходимости
компенсации одного из полюсов
)(SW
P
вводят нуль вблизи от данного полюса.
Такая конструкция называется диполем. Как правило, нулями компенсируют
ближайшие к мнимой оси полюсынеизменяемой части
)(SW
P
САУ. Введение
диполей позволяет значительно увеличить коэффициент К, что используется для
удовлетворения требований статики.
46
3) После коррекции составляют передаточную функцию
)(SW
КУ
и проверяют её на
физическую реализуемость.
4) Строят переходный процесс полученной скорректированной САУ и проверяют
удовлетворение требований ТЗ. В случае неудовлетворения требований к показателям
качества переходного процесса повторяют п.1-п.4.
Практическое занятие №4
Проанализируем решения, принятые при коррекции САУ из ПЗ №3 с помощью
корневого годографа.
Рассмотрим коррекцию ПИ-звеном.
)0625,0)(5,12w·w(16
16,0w·w12500
)0625,0)(25,6)(5,12(
)116,0w·w(12500
)(
SSSSS
S
SW
P
25,6;www0625,0;ww5,12;ww25,6
1
32!
SSSS
Введём диполь путем закрытия нулем полюса 6,25. Тогда
)0625,0)(5,12(
)(
SS
K
SW
P
Годограф имеет 2 асимптоты.
765,9)8,0w·w(456,12
2
1
)8,0w·w(456,12
2
2
K
KD
Перерегулирование составляет 10%,
53
. Граничное значение коэффицинта
усиления
1348,0
4
56.12)765,9w·w2(
22
ГР
K
Рассмотрим коррекцию с помощью ПД-звена.
)500)(25,6)(5,12(
)125w·w(12500
)500(002,0)w·w25,6)(5,12(
)125(008,0w·w25,0w·w12500
)(
SSS
S
SSS
S
SW
P
Точка выхода ветвей годографа
200
2
125)25,65,12500(
a
2
3
;ww
2
21
aa
.
47
Лекция № 10.Синтез линейных САУ с помощью метода модального
управления.
Метод модального управления – аналитический метод синтеза линейных САУ.
Указанный метод обеспечивает заданное распределение полюсов передаточных функций
замкнутой САУ на комплексной плоскости. Естественно, возможность решения
48
указанной задачи зависит от степени наблюдаемости и управляемости САУ (строгие
определения наблюдаемости и управляемости выходят за рамки этого курса).
Постановка задачи. Пусть имеется ОУ
BUAX
dt
dX
где
nn
RA
,
,
1,n
RB
,
1,n
RX
. Причем А и В удовлетворяют условию полной
управляемости (полная управляемрсть означает
)0(
1
BAABBdef
n
.
Требуется найти управление
XCu
T
, где
1,n
RC
,такая, чтобы все или часть
собственных чисел (мод) матрицы
T
BCA
замкнутой САУ имели заданные значенияю
Алгоритм метода модального управления состоит из следующих этапов:
1. Задаемся характеристическим полиномом замкнутой САУ
0)det()( EsBCASD
T
,
01
1
1
)( dSdSdSSD
n
n
n
.
2. Вычисляем характеристический полином ОУ (разомкнутая САУ).
01
1
1
)det()( dSdSdSesASd
n
n
n
3. Из коэффициентов полиномов D(S) и d(S) сформируем вектор
T
nn
ddl
1100
.
4. Найдем искомый вектор управления
1
11
BAABBBABABlC
nnTT
, где
Пример. Синтезируем структуру САУ из ПЗ№1 с помощью метода модального
управления.
вНе
НЯ
НЯ
Я
Я
в
в
ввевр
TnRc
RR
K
RR
L
T
R
L
TniLcE
,,,
1
.
Математическая модель ОУ САУ имеет вид:
Н
ЯЯве
вв
R
u
iuiR
dt
di
LniLc
uiR
dt
di
L
2
222
2
1
11
1
,
.12
2
1
1
1
1 niLcu
R
R
dt
du
R
L
R
u
i
dt
di
R
L
ве
H
Я
H
Я
вв
в
12
2
1
1
1
i
K
R
u
dt
du
T
R
u
i
dt
di
T
в
Я
в
в
49
вв
Я
в
Я
L
u
T
i
dt
di
KT
iR
T
u
dt
du
111
122
1.Введем в систему предварительный усилитель для коррекции статической
ошибки.
РИСУНОК
Uу=3, Тя=0,08 с., Тв=0,16 с., К1=200=1/К.
Пусть Lв=0,016 Гн, Rв=0,1 Ом, U2ном=300 В => =0,01. Установившиеся значение
ошибки Еуст=Uу-U2 .
1
2
1
1
2
,
1
0
K
u
i
T
K
u
T
ЯЯ
ecnуст
вв
E
K
u
E
LT
i
1
21
,0
уст
устуусту
E
K
EuEu
u
1
2
)(
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
K
K
K
E
k
K
u
E
уст
у
уст
в относительных еденицах
Еуст=0,01, 50, примем =70.
Тогда ММ будет иметь вид:
3131
1
12
2
7070
25,6)(
70
25,6
250025,1
u
L
u
L
iuu
L
i
dt
di
iRu
dt
du
в
у
в
у
в
в
T
iuX
12
,
PBuAX
dt
dX
3
, где
3
u
- это вектор управления (без учета масштабного
усилителя)
25,60
25005,12
в
R
A
,
в
L
B
70
0
,
в
у
L
u
P
70
0
.
XCu
T
3
.
50