Косчинский С.Л. Основы автоматики и системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
)S(G)S(W)S(E
g
kSTS
TSS
)S(W1
1
)S(W
2
2
g
2
S
V
S
a
)S(G
22
2
S
V
S
a
kSTS
STS
)S(E
2,0
k
V
)
S
V
a(
kSTS
STS
lim)S(SElim)t(
2
2
0S0S
t
gпдин
kSTS
k
)S(W1
)S(W
)S(W
2
f
222
2
2
f
)Tk(
)jTk(k
jTk
k
)j(W
2500
2500
2501,0
25
k)kT21(T
k
TkT2k
k
)Tk(
k
)Tk(
)Tk(
k)j(W
44
2242
2
24222
2
222
2
2
222
222
2
2
f
0
44
f
d
2500
251
01,0
2500
d2500
2
1
)0(RD
078,0013,0065,0004,0009,0015,005,0
002,02001,03002,03005,0005,0201,05
2
f
2
В026,0
066,0026,0)2,0(
22
В255,0
2
cк
Преобразование Фурье
deXtx
tj
)(
2
1
)(
dtetxX
tj
)()(
)t(
1
1
)t(
71
2
t
e
2
e
)t(ue
t
0,
j
1
u(t)
j
1
2
)(
sign(t)
j
2
t
1
)(jsign
t
e
22
2
tj
0
e
)(
0
)tsin(
0
))()0((
j2
1
0
)tcos(
0
))()((
2
1
00
0),t(ute
t
2
)j(
1
Теорема
)tt(x
0
)(Xe
0
tj
dt
dx
)(Xj
Лекция. Нелинейные САУ при случайных воздействиях. Метод статистической
линеаризации.
Нелинейное преобразование случайного воздействия изменяет его закон
распределения, т. е. основную статистическую характеристику случайной величины.
72
Точных методов исследования нелинейных САУ при случайных воздействиях не
существует. Для их исследования используют различные приближенные методы.
При рассмотрении нелинейных САУ при случайных воздействиях используют два
подхода:
1). Предположение о малом уровне случайного сигнала. Используют линеаризацию
нелинейной зависимости в точке, соответствующей мат. ожиданию случайной величины.
73
by
byby
byyp
yp
|,www|0
|),www|(
|),www|(
))((
Тогда
)()()w(
00
tXmtYkkmkYYX
Xy
2). В случае, если входной случайный сигнал нельзя считать относительно малым,
используют метод эквивалентной статистической линеаризации.
Метод статистической линеаризации.
Идея метода основана на приближенной замене нелинейных
преобразований процессов, происходящих в системе, статистически
эквивалентными им линейными преобразованиями. В результате такой
замены система линеаризуется и для ее исследования можно применять
аппарат линейной теории. Данный метод может быть применен только для
нелинейных элементов с однозначной характеристикой. При использовании
метода статистической линеаризации предполагают, что закон
распределения случайной величины нормальный. Такое предположение
может быть сделано исходя из того факта, что любое реальное инерционное
звено (т. е. обладающее свойствами фильтра) имеет тенденцию к
«нормализации» закона распределения случайного процесса.
74
Основным критерием при статистической линеаризации является критерий
равенства мат. ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного
элемента и эквивалентного ему линейного элемента.
Y(t) X(t)
Обозначим случайный процесс на входе и на выходе нелинейного элемента как
)()()(
0
tYtmtY
Y
и
)()()(w
0
tXtmtX
X
соответственно, где
YX
mm ,w
- мат. ожидание,
00
)(,w)( tYtX
- центрированный случайный процесс.
При статистической линеаризации сигнал на выходе эквивалентного линейного
элемента представляют как
00
1
)()()()w()( tUtmtYKmtU
UY
, где
)(
0 Y
m
- мат. ожидание нелинейной
функции
)( y
,
1
K
- эквивалентный статистический коэффициент усиления по
случайной центрированной составляющей.
)(tm
y
)()(
0
ttm
U
U(t)
0
)(tY
0
1
0
)()( tYKtU
0
1
K
Если нелинейный элемент имеет нечетную характеристику
)()(
00
tmKm
YY
,
где
0
K
- эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного
элемента по мат. ожиданию (по случайной составляющей). Как видно, в этом случае
нелинейный элемент был заменен двумя линейными элементами с коэффициентами
усиления
10
wwww KиK
.
)(tm
y
)(tm
U
U(t)
0
)(tY )(
0
tU
0
K
1
K
Как было отмечено, критерием статистической эквивалентности является
равенство мат. ожидания и дисперсий на выходе нелинейного элемента и эквивалентного
ему линейного элемента:
)()(;wwww)()(
0
tDtDtmtm
UXYX
.
75
Для нечетных нелинейностей
)(
)(
0
tm
tm
K
Y
X
.
Для определения коэффициента
1
K
рассмотрим уравнение:
)(·}))(·{()}({)(
2
1
2
0
1
2
tDKtYKMtUMtD
YU
откуда
)(
)(
)(
)(
1
t
t
tD
tD
K
Y
X
Y
X
, где
)(w)ww( tиt
YX
- среднеквадратические
отклонения.
Статистические коэффициенты можно также выразить через нелинейную
зависимость и плотность вероятности Ф(Y) случайного сигнала Y(t) на входе
нелинейного элемента.
ww.)()()·(
)(
1
;)()·(
)(
1
)(
)(
;)()·()(
2
2
1
0
0
tmdyypy
tD
K
dyypy
tmtm
tm
K
dyypytm
X
Y
YY
X
X
Метод статистической линеаризации наиболее часто используется при
предположении о стационарности случайного процесса. В этом случае
consttDconstm
YY
)(;www
и коэффициенты статистической линеаризации не зависят от
времени. При этом линеаризованная система является системой с постоянными
параметрами и её исследование может быть проведено сравнительно просто.
При рассмотрении нестационарных процессов статистическая линеаризация не
дает преимуществ в анализе нелинейной системы, так как при этом коэффициенты
линеаризации меняются во времени, то есть линеаризованная система представляет
собой систему с переменными параметрами.
Исследование нелинейных систем методом статистической линеаризации.
Общая формулировка задачи: определение статистических характеристик любой
переменной системы (регулируемой ыеличины X(t), ошибки регулирования E(t) и др.) по
известным статистическим характеристикам входного сигнала и заданным
передаточным характеристикам линейной части W(S) и характеристикам нелинейного
элемента.
Расчет разомкнутых САУ.
G(t) X(t)
W(S)
Расчет ведется при предположении о стационарности процесса в системе.
Пусть на вход САУ действует стационарный случайный процесс с нормальным
законом распределения, который в общем случае представляет собой сумму полезного
сигнала и помехи:
)()()(w
0
tGtmtG
g
.
Случайный процесс на выходе буде иметь вид:
)()()(w
0
tXtmtX
X
. Поскольку в
результате статистической линеаризации мы получаем эквивалентную линейную
76
систему, то, исходя из принципа суперпозиции, мы можем рассматривать независимо
действие мат. ожидания
)(tm
g
и центрированного случайного процесса
0
)(tG
.
)(tm
g
X(t)
0
)(tG
0
K
1
K
W(S)
При этом
.|)(·||),w()·|()(
),0()·,w(·
22
1
0
00
jwWDmKwSwS
WDmKmm
gg
GX
gggX
Соответственно
dwwSRD
XX
X
)(
2
1
)0(
00
.
Расчет замкнутых САУ.
G(t)
(t) U(t) X(t)
W(S)
)()()(w
0
tGtmtG
g
Пусть искомой величиной является ошибка регулирования t.
Основное предположение. Хотя закон распределения случайного процесса на
выходе нелинейного элемента отличен от нормального, однако, проходя через линейную
часть (для реальных систем обладающую свойствами фильтра) он нормализуется и таким
образом закон распределения X(t) близок к нормальному. Поэтому можно считать, что
случайная ошибка на входе нелинейного элемента также имеет нормальный закон
распределения.
)()()(w
0
tEtmtE
Будем полагать, что нелинейный элемент имеет нечетную характеристику, тогда
сигнал на выходе нелинейного элемента
.)()·,ww()·,ww()()(
0
10
0
tEDmKmDmKtUmtU
U
В результате линеаризации у нас получилась линейная система, и поэтому по
принципу суперпозиции мы можем рассматривать независимо действие мат. ожидания
случайного процесса и центрированной случайной составляющей.
Передаточная функция разомкнутой системы по мат. ожиданию:
)()·,w()(
0
SWDmKSW
m
,
а по центрированной случайной составляющей:
77
)()·,w()(
1
0
SWDmKSW
.
Передаточные функции замкнутых линеаризованных систем относительно ошибки
равны:
- по мат. ожиданию:
)()·()( SmSWSm
gmm
g
,
)()·,ww(1
1
)(1
1
)(
0
SWDmKSW
SW
m
mm
g
(1)
- по центрированной случайной составляющей:
)(·|)(|)(
000.0
2
USSWwS
G
jwS
g
)()·,w(1
1
)(1
1
)(
1
0
00
SWDmKSW
SW
g
. (2)
Передаточные характеристики (1) и (2) взаимосвязаны через коэффициенты
10
wwww KиK
, которые являются функциями неизвестных переменных
Dиm wwww
. В
общем случае данные уравнения могут быть решены только совместно. Получаемая при
этом система имеет вид:
dwwSjwWdwwSD
m
WDmK
mWm
gg
ggmm
g
)(·|)(|
2
1
)(
2
1
·
)0()·,w(1
1
)·0(
0000
2
0
При этом получается система:
0)(·|)(|
2
1
0·
)0()·,w(1
1
000
2
0
dwwSjwWD
m
WDmK
m
gg
g
(3)
Система (3) содержит два уравнения относительно двух переменных
Dиm wwww
.
Решается подобная система либо методом последовательных приближений, либо
графоаналитическим методом.
При решении методом последовательных приближений задаются первоначальным
значением
00
wwww
Dиm
в первом приближении, затем находят
11
wwww
Dиm
и так далее
до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность вычислений, то есть
ii
ii
DD
mm
1
1
|
||
При решении системы (3) графоаналитическим методом строят кривые в
координатах (
Dm ,w
) для каждого из уравнений: (рисунок 1 стр.116)
1. Строят семейство кривых
)(
11
mFF
для первого уравнения (3) при различных
фиксированных
consttD )(
.
2. Строят семейство
)(
22
mFF
из второго уравнения (3) при различных
фиксированных значениях
constm
.
78
Точность метода статистической линеаризации тем выше, чем уже полоса
пропускания линейной части САУ. Метод статистической линеаризации может быть
обобщен на случай нескольких нелинейных элементов в САУ.
Пример: На входе нелинейного элемента
2
·)( yKUx
действует случайный
сигнал
)()()(
0
tYtmtY
Y
. Определить коэффициенты эквивалентной статистической
линеаризации
10
,wwK
.
)1()()()(w)()(2
)())((}))(({)}(·{)}({
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
y
y
yyyyy
yyx
D
m
KDDmKdyyptYKdyyptYKmKm
dyyptYmKtYmKMtYKMtxMm
В
последнем уравнении
0w)()(2
0
dyyptYKm
y
как мат. ожидание центрированного
случайного процесса.
ww2
)()()(4)(6)(4(
1
2)())((
1
)()()(
1
2
2
2
2
4
2
0
4
0
3
0
2
2
0
34
2
2
2
2
2
4
24
0
2
2
2
1
yyyy
gyyy
y
yyyyy
y
x
y
DmKDKmK
dyyptYtYmtYmtYmmK
D
DmKDKmKdyyptYmK
D
tmdyypy
D
K
Интеграл
dyyptY
)()(
0
3
эквивалентен преобразованию центрированной
случайной величины через нелинейный элемент с нечетной характеристикой
3
yx
, то
есть мат. ожидание для нечетной характеристики тождественно равно нулю.
С учетом того, что
4322344
464)( babbabaaba
и
)!!w(
!
w(;www)(
0
jnj
n
j
n
CbaCba
j
n
n
j
jjn
j
n
n
- бином Ньютона, получим:
79
yyy
y
yyyyyyyy
y
mKDKm
D
DmKDKmKDKKDmmK
D
K
·24
1
2060
1
2
2
2
2
2
2
4
2
22
1
2
24
2
1
Есл
и
0www,www0
1
Kтоm
y
; если
0www,www0
1
Kтоm
y
.
)(w·2
1 yy
msignKmK
Пример: На вход нелинейного элемента типа идеальное реле с характеристикой
0,www
0,wwwwww
)(w·)(
yB
yB
ysignByx
действует случайный сигнал
)()()(
0
tYtmtY
Y
с нормальным законом
распределения. Определить
10
wwww KиK
.
y
y
y
y
x
y
x
D
m
Ф
D
m
ФBm
m
m
K w·;www
0
U
t
dte
UФ
0
2
2
2
1
)(
;
x
x
D
mx
U
;
y
y
y
y
y
D
m
Ф
D
m
Фm
B
K
0
80