Косчинский С.Л. Основы автоматики и системы автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
В случае если все собственные числа (мультипликаторы) матрицы Якоби J,
0det
EJ
,
1
i
, то
1
всегда меньше
0
.
РИСУНОК
Аналогично и для более сложного периодического движения(для одного из
рисунков).
точекхнеподвижныmдляQFFFQ
QFFQFQ
QFQ
kkk
kk
)),)(((
))(()(
)(
**
1
1
Периодическое движение с периодом
m
k
k
tT
1
, где
k
t
время на отображение
k
Q
в
1k
Q
. Обозначим
)(
**
QQ
, где Ф(.)=F(F(…F(.)…)) [m-раз], тогда
m
k
QQ
k
Q
F
Q
J
1
.
.
Алгоритм метода точечных отображений:
1. Определить состояние равновесия для ММ нелинейной САУ (если они есть). Для
системы стабилизации.
2. Провести в фазовом пространстве секущую поверхность П(X), так, чтоба она не
пересекла ни одной особой точки .
3. Найти точки пересечения фазовых траекторий с секущей поверхностью (например, в
направлении gradП). – построить отображение.
4. Найти неподвижные точки отображения. Им будут соответствовать периодические
движения. Определить период периодических движений, построить их форму X(t).
5. Оценить устойчивость периодических движений.
1) Состояние равновесия
0)( XG
dt
dX
определяется с помощью методов решения
систем нелинейных уравнений.
2) Очевидно
3) Фазовые траектории X(t) получаем численным решением
)( XG
dt
dX
(например,
методом Эйлерка и методами Рунге-Кутты)
61
РИСУНОК
)(
)(
1
1
kkk
k
kk
XhGXX
XG
h
XX
0h
обеспечит сходимость метода к X(t).
Точки пересечения с поверхностью
cXП
k
)(
в направлении gradП определяем
из условия
ccXП
k
1
)(
и
ccXП
k
21
)(
.
Тогда дробим шаг h (например, делением пополам), до тех пор, пока не будет
удовлетворяться
k
QcXП ,)(
, где
- точность определения точки
пересечения с поверхностью.
4) Для всех точек = плоскости Х определяем неподвижные точки
*
Q
из условия
)(
**
QFQ
или
)(
**
QQ
.
5) Оцениваем устойчивость. Матрицу Якоби можно аппроксимировать численно.
)()(
**
.
QFеQF
J
i
i
, i-ый столбец.
- шаг, выбирается исходя из точности представления чисел в ЭВМ,
i
е
-
вектор i-ый элемент которого равен 1, а остальные равны 0.
62
Случайные величины
Случайная величина – величина, которая в результате опыта
принимает то или иное значение, зависящее от обстоятельств и
заранее не предсказуемое.
Для задания случайной величины необходимо указать:
1) все ее возможные значения;
2) вероятности этих значений.
63
Случайная величина
- является заданной, если определена
ее функция распределения вероятности:
)x(P)x(F
, где F(x) –
неотрицательная, неубывающая,
1)(F,0)(F
. Также
случайная величина может быть определена если задана ее
плотность вероятности
dx
)x(dF
)x(P
,.
x
d)(P)x(F
P(x) – неотрицательна, нормирована к 1
1dx)x(P
. Для
некоторых характерных плотностей вероятности (например, для
нормальной) случайную величину можно охарактеризовать числовыми
характеристиками, в частности математическим ожиданием и
дисперсией.
dx)x(xP)x(Mm
,
dx)x(P)mx())mx((MD
22
,
то есть математическое ожидание характеризует
геометрическое расположение центра тяжести плотности вероятности
случайной величины, а дисперсия характеризует степень
концентрации случайной величины вокруг математического ожидания.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Случайным процессом X(t) (или стохастическим процессом)
называют функцию времени t значение которой, при каждом
конкретном t=const является случайной величиной.
То есть значение случайного процесса при t=const
представляет собой случайную величину и описывается ее
плотностью вероятности. При анализе САУ обычно рассматривают
нормальный закон распределения вероятности. Это обусловлено
центральной предельной теоремой теории вероятности, согласно
которой плотность вероятности суммы различных случайных величин
(с разными плотностями распределения вероятности) стремится к
нормальной с увеличением числа слагаемых в общем случае
плотность вероятности случайного процесса является функцией
времени:
),())(( txPtxP
64
Математическое ожидание для случайного процесса
dx)t,x(xP))t(X(M)t(m
x
. Для каждого t,
)t(m
x
равно m
соотвующей случайной величины. В теории стохастичиских САУ (или
в теории САУ со случайными воздействиями) рассматривают так
называемые центрированные случайные процессы:
)t(m0t(X)t(X
x
, то
есть случайный процесс рассматривается как сумма регулярной
составляющей
)t(m
x
и случайной составляющей
)t(X
с нулевым
математическим ожиданием.
Дисперсия случайного процесса:
dx)t,x(P))t(mx())t(X(M]))t(m)t(X[(M)t(D
2
x
22
xx
.
Дисперсия (Д) и математическое ожидание (МО) являются
регулярными не случайными (детерминированными) функциями. МО и
Д – это точечные числовые характеристики случайного процесса, но
кроме них необходимо иметь представление о взаимосвязи, то есть
корреляции, отдельных реализаций случайного процесса.
а. б.
Например, для двух случайных процессов с одинаковыми
)t(m
x
и
)t(D
x
для рис.а для соседних t1 и t2 зависит сильно, а для
рис. б нет.
65
Информацию о взаимосвязи (корреляции) отдельных реализаций
случайного процесса можно получить с помощью корреляционной
функции:
2dx1dx)2t.2x;1t,1x(p))2t(m2x()1t(m1x(
))2t(X),1t(X(M)2t,1t(R
xx
x
,
где
)2t,2x;1t,1x(p
- двумерная плотность вероятности.
Случайные процессы делятся на стационарные и
нестационарные. Стационарные случайные процессы – тот случайный
процесс плотность вероятности и функция распределения которого
не зависят от сдвига по оси времени на произвольную величину. То
есть стационарный случайный процесс это своего рода аналог
установившегося процесса в детерминированныых системах.
Для стационарного случайного процесса
constm))t(X(M
x
, и
.21),2,1())1(2))(1(1(
))1(),1(()1,1()(
dxdxxxPtmxtmx
tXtXMttRR
xx
xx
Для
0
xx
D)0(R
.
Теория случайных процессов, описывающая их через МО и
корреляционную функцию - называют корреляционной теорией.
В теории случайных процессов кроме статических средних
числовых характеристик случайных величин (или средних по
множеству) используют средние величены по времени:
T
T
T
dt)t(x
T2
1
lim)t(x
. Средне значение по времени в общем случае
различно для отдельных реализаций случайного процесса. Однако
существует класс стационарных случайных процессов, называемых
эргодическими, для которых статическое среднее равно среднему о
времени
)t(x)t(m
x
.
Для эргодического случайного процесса:
T
T
T
x
.dt)x)t(x)(x)t(x(
T2
1
iml
)x)t(x)(x)t(x())t(X),t(X(M)(R
если
0x
, то
T
T
T
x
dt)t(x)t(x
T2
1
iml)t(x)t(x)(R
Линейные САУ при случайных воздействиях.
До сегодняшнего дня предполагалось, что внешние
воздействия, приложенные к САУ являются детерминированными (то
есть определенными) функциями времени. Однако, на практике часто
встречаются случаи, когда пренебречь случайной составляющей
воздействия нельзя (например, системы приема-передачи сигналов;
системы, работающие в условиях сильного шума или помех).
Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне, или
возникать внутри нее (внутренние шумы).
Исследование САУ при случайных воздействиях проводят с
помощью специальных статистических методов, вводя в рассмотрение
66
определенные статистические характеристики случайных величин.
Естественно, с помощью статистических методов невозможно
предсказать значение той или иной переменной САУ в конкретный
момент времени. Поэтому, необходимо помнить, что исследование
САУ статистическими методами дает представление о средних
значениях (наиболее вероятно воспроизводимых, носящих массовый
характер). То есть исследование САУ статистическими методами
сводится к исследованию преобразований некоторых средних
величин, характеризующих случайный процесс.
Анализ линейных САУ при случайных воздействиях
Принимаются предположения о стационарности случайного
процесса. Если САУ устойчива и стационарна, то выходной
случайный процесс – стационарен.
По формуле свертки реализация случайного процесса на выходе
САУ будет иметь вид:
d)(k)t(g)t(x
, где
- независимая
переменная интегрирования.
T
T
T
x
dt)t(x)t(x
T2
1
iml)(R
d)(k)t(g)t(x
ddt)t(g)t(g
T2
1
iml)(kd)(k
dtd)(k)t(gd)(k)t(g
T2
1
lim)(R
T
T
T
T
T
T
x
T
T
G
T
)(Rdt)t(g)t(g
T2
1
iml
d)(R)(kd)(k)(R
Gx
(1)
Данное соотношение позволяет по известной корреляционной
функции
)(R
G
определить корреляционную функцию на выходе
линейной САУ
).(R
x
Аналогичное (1) соотношение можно получить для частотной
области:
Преобразование Фурье от корреляционной функции
)(R
x
называется спектральной плотностью мощности случайного процесса
)(S
x
:
67
de)(R)(S
j
xx
(Общий вид преобразования Фурье
de)t(x)(X
j
)
вычислим преобразование Фурье от (1):
de)(R)(k)(kdd)(S
j
Gx
deee)(R)(k)(kdd
jj)(j
G
)(S)j(W)(S0j(W)j(W
G
2
вхxвхвх
Рассмотрим случай, когда на САУ действуют 2-а случайных
сигнала, полезный сигнал G(t) и помеха F(t).
)(S)j(W)(S)j(W)(S
F
2
2G
2
1x
))(R(F)j(W
G1
,
))(R(F)j(W
F2
.
Тепловой шум (шум Джонсона)
R
kT2
)(S
j
К
сВт
1038,1k
23
- постоянная Больцмона.
Т – абсолютная температура.
R)j(H
68
R
kT2
R)(S)j(H)(S
2
i
2
U
de)(S
2
1
)(R
tj
UU
Дисперсия:
d)(S
2
1
)0(RD
UUU
, то есть естественно шумы
не может быть идеально «белый», то он ограничен некоторой
полосой частот
kTRB4B4
2
1
kTR2D
U
Эффективное значение шума на резисторе –
среднеквадратическое отклонение:
kTRB4DU
Uшэфф
ОмГц
В
1062,1kT4
2
20
,
Гц
мкВ
R1027б1
Гц
В
R1027,1kTR4
410
.
Т=20 С=293 К, R=100 кОм, В=10 кГц.
мкВ40В1041062,1U
511
шэфф
Найти корреляционную функцию для периодического сигнала
t),tcos(A)t(x
0
0
2
0
000
2
0
0
T
0
x
dt)tcos()tcos(
A
2
2
Tdt)t(x)t(x
T
1
)t(x)t(x)t(R
69
0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
000
2
0
cos
2
A
2
)cos(
4
A
dt)cos(dt)t2cos(
2
1
2
A
0 0
N)(S
f
,
Vta)t(G
a=10В, V=1В/с.
)ST1(S
k
)S(W
.
N=0,01
Гц
В
2
, Т=0.1 с, к=5 1/с.
F(t) и G(t) не коррелированы. Определить среднюю
квадратичную ошибку системы.
Квадрат ошибки будет определяться:
f
2
2
g
2
)t(
,
где
)t(
g
- динамическая составляющая ошибки, обусловленная
регулярным сигналом:
70