Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

Подождите немного. Документ загружается.







cosNaI

Подставим числовые значения:

мТл 300Тл103

5,0101041

6010











Найдём работу сил магнитного поля по повороту рамки на угол

60

  

 dsinBNaIMddAA

 

Дж1087,0103101021A

422

2 



Знак минус в выражении для

означает, что под действием момента сил М

происходит убыль угла α.

Работу сил магнитного поля можно вычислить и другим способом:

ФIA 

где

Ф

- приращение потока вектора



через поверхность контура с током I.

   

 sinBINacoscosBaNIФФIA

Задача 5. Протон движется в магнитном поле с индукцией



Тл по

винтовой линии радиусом 2 см и шагом 5 см. Определить скорость протона и угол

её наклона к линиям индукции.

Дано:

R = 210

-2

В = 10

-2

Тл

= 1,.610

-19

Кл

= 1,6710

-27

кг

h = 5 см = 510

-2

V - ?  - ?

Решение

Заряженная частица движется в магнитном поле по винтовой

линии, если она в него влетает под углом  к линиям индукции

(рис 6.6).

Движение по винтовой линии считается двумерным. Введём оси координат X и Y .

Поскольку магнитное поле однородное, то движение вдоль общих осей будет

равномерным. Скорость частицы

раскладываем на две проекции V

и V

, причём

 cosVV

, (1)

 sinVV

. (2)

Шаг винтовой линии (расстояние между витками) определяется как

TVh



, (3)

где Т – период обращения по окружности, которая расположена в плоскости Y.

Движение по окружности происходит со скоростью

. Период обращения

Рис. 6.6





. (4)

Выражение (4) подставим в формулу (3):











 ctgR2

sinV

R2cosV

R2V

Из последнего выражения определим угол наклона скорости V к оси X:

ctg





4,0

10214,32

105

ctg











68

Радиус винтовой линии определяется выражением



из которого определим скорость V

RqB



2192

102

1067,1

10106,1102

V 











м/с.

Искомую скорость V определим по формуле (2):

1016,2

927,0

102

sin

V 









м/с.

Задача 6. Квадратная рамка с током 5 А расположена в одной плоскости с

длинным проводником, по которому течёт ток 15 А. Сторона рамки 50 см.

Ближайшая сторона рамки расположена на расстоянии 10 см от длинного

проводника. Найти работу, которую нужно совершить для поворота рамки на угол

, если силу тока поддерживать неизменной.

Дано:

= 5 A

= 15 A

a = 50 см = 0,5 м

в = 10 см = 0,1 м

90

Так как магнитное поле проводника с током I

неоднородное, сначала определим

элементарный поток dФ через площадку dS =

drа 

, в пределах которой

индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной (рис. 6.7):

 cosdSBdФ

А - ?

Решение

Работу, необходимую для поворота рамки с током I

можно определить по формуле

 

121

ФФIА 

, (1)

где Ф

и Ф

– магнитные потоки, пронизывающие

рамку в начальном и конечном состояниях.

где



- угол между нормалью к элементу dS и вектором индукции





Полный магнитный поток через площадь всей рамки найдём суммированием всех

dФ:











ab

120

121

cosaI

cosdSBdФФ

cosaI

120









Соответственно после поворота магнитный поток

cosaI

220











Так как



= 0,

90

, то Ф

= 0. Окончательно работа по повороту рамки

aII

ФIA

210











Подставим числовые значения:

Дж1037,1

5,0

1,05,0

5,0155104















6.3. Задачи для аудиторных занятий

1. По прямому горизонтальному проводнику пропускают ток 10 А. Под ним на

расстоянии 1,5 см находится параллельный ему алюминиевый провод с током 1,5 А.

Определить, какова должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого

провода, чтобы он удерживался незакреплённым. Плотность алюминия 2700 кг/м

Ответ: 7,55

м10





2. По тонкому проволочному полукольцу радиусом 50 см течёт ток 1 А.

Перпендикулярно плоскости полукольца возбуждено однородное магнитное поле с

индукцией 10

-2

Тл. Найти силу, растягивающую полукольцо.

Ответ: 10 мН.

3. Квадратная рамка с током 0,90 А расположена в одной плоскости с длинным

прямым проводником, по которому течёт ток 5 А. Сторона рамки 8 см. Проходящая

через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит

от него на расстоянии, которое в 1,5 раза больше стороны рамки. Найти: а) силу

Рис. 6.7

Ампера, действующую на рамку; б) механическую работу, которую нужно

совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180

, если токи поддерживают

неизменными.

Ответ: 0,4 мкДж, 0,1 мкДж.

4. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы по

2 м, отстоящие друг от друга на расстоянии 20 см. Определить силу взаимного

отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним течёт ток силой

А.

Ответ: 200 Н.

5. Электрон, движущийся со скоростью 10

м/с, влетает в однородное магнитное

поле и начинает двигаться по винтовой линии. Напряжённость магнитного поля

1,5 кА/м. Определить шаг и радиус винтовой линии.

Ответ: 0,95 см, 0,62 см.

6. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, движется параллельно

прямому проводнику на расстоянии 1 см от него. Определить действующую на

электрон силу, если через проводник пропустить ток 10 А.

Ответ: 4,24 мкН.

7. Протон с кинетической энергией 1 МэВ влетел в однородное магнитное поле с

индукцией 1 Тл перпендикулярно линиям поля. Какова должна быть протяжённость

поля, чтобы оно изменило направление движения протона на противоположное?

Ответ: 14,5 см.

8. Круговой контур радиусом 2 см помещён в магнитное поле так, что плоскость

контура перпендикулярна к направлению магнитного поля с напряжённостью

150 кА/м. По контуру течёт ток 2 А. Какую работу надо совершить, чтобы

повернуть контур на 90

вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?

Ответ: 1,5 мДж.

6.4. Задачи для самостоятельного решения

601. Найти силу, действующую на единицу длины тонкого проводника с током

8 А в точке О, если проводник изогнут, как показано на рис. 6. 8. Радиус изогнутой

части 10 см.

602. Найти силу, действующую на единицу длины тонкого проводника с током

Рис. 6.8

Рис. 6.10

Рис. 6.9

10 А в точке О, если проводник согнут, как показано на рис. 6.9.



= 20 см.

603. Найти силу, действующую на единицу длины тонкого проводника с током

20 А в точке О, если проводник согнут в виде квадрата, как показано на рис. 6.10.

аe=e10 см.

604. Ток I течет по длинному прямому проводу, имеющему форму желоба с

поперечным сечением в виде тонкого полукольца радиусом R. Найти силу,

приходящуюся на единицу длины, действующую на длинный проводник с током I,

расположенный на оси желоба (рис. 6.11).

605. Два бесконечных прямых параллельных провода с токами 10 и 20 А

находятся на расстоянии 50 см друг от друга. Найти силу их взаимодействия на

единицу длины.

606. Найти силу взаимодействия проводников с током в расчёте на единицу

длины (рис. 6.12). Сила тока в проводниках одинакова и равна 100 А. Расстояние

аe=eвe=e10 см.

607. В вершинах равностороннего треугольника находятся параллельные

бесконечно длинные проводники с одинаковыми токами по 50 А. Сторона

треугольника равна 5 см (рис. 6.13). Найти силу, действующую на единицу длины

каждого проводника.

608. По трём параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом

расстоянии 10 см друг от друга, текут одинаковые токи 100 А. В двух крайних

проводниках направления токов совпадают. Найти силу, действующую на единицу

длины каждого провода.

609. Медный провод сечением 2,5 см

согнут в виде трёх сторон квадрата, может

Рис. 6.11

Рис. 6.12

Рис. 6.13 Рис. 6.14

поворачиваться вокруг горизонтальной оси OO

(рис. 6.14). Провод находится в

однородном вертикально направленном магнитном поле. Найти индукцию поля,

если при пропускании по данному проводнику тока 10 А угол отклонения составил

610. Прямой проводник длиной 0,3 м и массой 20 г подвешен горизонтально на

двух нитях в однородном магнитном поле с индукцией 100 мТл. Какой силы ток

надо пропустить через проводник, чтобы обе нити выдержали нагрузку в 80 мН?

611. В вертикальном магнитном поле с индукцией 50 мТл на двух нитях

подвешен горизонтально прямой проводник длиной 0,2 м и массой 20 г. На какой

угол от вертикали отклонятся нити, если по проводнику пропустить ток 2 А?

612. Проводник массой 5 г и длиной 10 см висит на двух одинаковых пружинах и

находится в вертикально направленном однородном магнитном поле с индукцией

0,2 Тл. На сколько сантиметров изменится удлинение каждой пружины, если по

проводнику пропустить ток силой 5 А? Жёсткость пружин одинакова и равна

0,1 Н/м.

613. В однородном магнитном поле с индукцией 400 Тл, направленной под углом

к вертикали, движется вертикально вверх прямой проводник массой 10 г, по

которому течёт ток 3 А. Через 5 с после начала движения проводник имеет

скорость 20 м/с. Определить длину проводника.

614. Металлическая пластинка массой 100 г скатывается с наклонной плоскости,

образованной двумя металлическими рельсами длиной 5 м, замкнутым наверху

проводником с сопротивлением 2 Ом. Расстояние между рельсами 2 м, угол наклона

рельс к горизонту 60

. Вся система находится в магнитном однородном поле с

индукцией 1 Тл, направленной вертикально вверх. За какое время планка скатится

вниз?

615. По двум тонким проводам, согнутым в виде колец радиусом 20 см, текут

одинаковые токи 20 А в каждом. Найти силу взаимодействия этих колец, если

плоскости колец параллельны и расположены друг от друга на расстоянии 1 см.

616. По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток 20 А.

Под ним на расстоянии 2 см находится параллельный ему медный провод, по

которому пропускают ток 10 А. Определить площадь поперечного сечения медного

провода, чтобы он удерживался незакреплённым (плотность меди 7800 кг/м

617. Небольшой виток с током находится на расстоянии r от длинного прямого

проводника с током I. Магнитный момент витка равен P

. Найти модуль и

направление вектора силы, действующей на виток, если вектор P

: а) параллелен

прямому проводнику; б) направлен по радиусу-вектору

; в) совпадает по

направлению с вектором

тока I в месте расположения витка.

618. Найти силу взаимодействия двух катушек с магнитными моментами 4eмА

м

и 6 мА

м

, если их оси лежат на одной прямой и расстояние между

катушками равно 20 см, что значительно превышает их линейные размеры.

619. Короткий прямой магнит расположен перпендикулярно к плоскости

магнитного меридиана. На оси магнита на расстоянии 50 см от его сердцевины

(которое много больше длины магнита) находится магнитная стрелка. Вычислить

магнитный момент P

магнита, если стрелка отклонена на угол 6

от плоскости

магнитного меридиана. Принять горизонтальную составляющую индукции

магнитного поля Земли равной

102





Тл.

620. По кольцу диаметром 10 см из свинцовой проволоки с поперечным сечением

0,7 мм

идёт ток 7 А. Температура проволоки повышается до температуры, близкой

к температуре плавления 327

С. Прочность свинца на разрыв при этой температуре

равна 2 Н/мм

. Разорвётся ли это кольцо, если его поместить в магнитное поле с

индукцией 1 Тл, перпендикулярное плоскости кольца?

621. Катушка, по которой течёт ток 1 А, помещена в магнитное поле так, что её

ось совпадает с направлением поля. Обмотка катушки выполнена из медной

проволоки диаметром 1 мм, радиус витков 100 мм. При каком значении магнитной

индукции внешнего поля обмотка катушки будет разорвана? Прочность меди на

разрыв 230 МПа.

622. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат

на одной прямой. Расстояние между катушками 20 см и оно значительно превышает

их размеры. Число витков в каждой катушке 50, радиус витков 1 см. С какой силой

взаимодействуют катушки, если по ним пропустить одинаковый ток 0,1 А?

623. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 кВ, влетает в однородное

магнитное поле, перпендикулярное его движению. Индукция магнитного поля 1,19





Тл. Найти радиус кривизны траектории электрона и период обращения его по

окружности.

624. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, влетает параллельно

прямолинейному длинному проводнику на расстоянии 4 мм от него. Какая сила

подействует на электрон, если по проводнику пустить ток 5 А?

625. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов,

влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории

протона R

больше радиуса кривизны траектории электрона R

626. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов 300 В, влетает в

однородное магнитное поле с индукцией 1,46





Тл, направленное от чертежа к

нам, ширина поля

5,2

см, L = 5 см. Найти смещение пучка электронов СВ

(рис.e6.15).

627. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле со

скоростью V = 0,8с (с – скорость света в вакууме). Магнитная индукция поля равна

0,01 Тл. Определить радиус окружности в двух случаях: 1) без учёта релятивистских

эффектов, 2) учитывая изменение массы со скоростью.

628. Электрон, влетающий в камеру Вильсона, оставил след в виде дуги

окружности радиусом 10 см. Камера находится в однородном магнитном поле с

индукцией 10 Тл. Определить кинетическую энергию электрона (учесть изменение

Рис. 6.15

массы со скоростью).

629. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его

пластинам со скоростью 10

м/с. Длина конденсатора 5 см; напряжённость

электрического поля конденсатора 100 В/cм. При вылете из конденсатора электрон

попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым

линиям электрического поля. Индукция магнитного поля 10

-2

Тл. Найти радиус и

шаг винтовой траектории электрона.

630. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов 104 В и

влетает в скрещённое под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное

(В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда частицы к её массе, если, двигаясь

перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямой

траектории.

631. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное

магнитное поле под углом 30

к направлению поля 30 мТл. Определить радиус и шаг

винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

632. Небольшое заряженное тело массой 1 г, прикреплённое к нити длиной 1 м,

может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Однородное магнитное

поле перпендикулярно этой плоскости. При какой наименьшей скорости тела в

нижней точке окружности оно сможет совершить полный оборот? Заряд тела

1eмкКл.

633. Электронно-лучевую трубку с отключенной системой поместили в

однородное магнитное поле с индукцией 25 мкТл, перпендикулярное скорости

электрона. След пучка на экране, отдалённом от места вылета электрона на 14 см,

смещается на 2 см. Найти скорость электрона.

634. Протон влетает в область однородного магнитного поля с индукцией 10

-2

Тл,

где движется по окружности радиусом 20 см. Затем он попадает в однородное

электрическое поле, где пролетает вдоль силовых линий участок с разностью

потенциалов 10

В, при этом скорость протона увеличивается в 2 раза. Определить

конечную скорость протона.

635. Протон влетает в область однородного магнитного поля шириной 10 см.

Индукция поля 10

-2

Тл. Предварительно протон прошёл ускоренную разность

потенциалов 10

В. Под каким углом к первоначальному направлению протон

вылетит из области поля?

636. Электрон движется по окружности радиусом 1 см в однородном магнитном

поле с индукцией 0,1 Тл. Параллельно магнитному полю возбуждено электрическое

поле напряжённостью 100 В/м. Найти промежуток времени, в течение которого

должно действовать электрическое поле, чтобы кинетическая энергия электрона

возросла в 2 раза.

637. Электрон влетает в плоский конденсатор со скоростью 5

10

м/с

параллельно пластинам, длина которых 3 см. Напряжённость поля 100 В/м. При

вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, направление индукции

которого перпендикулярно силовым линиям электрического поля конденсатора, но

находится в одной плоскости. Найти шаг и радиус винтовой линии электрона в

магнитном поле с индукцией 0,05 Тл.

638. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ влетает в однородное

магнитное поле под углом 30

к направлению вектора индукции. Найти радиус и

шаг винтовой линии.

639. Протон влетает перпендикулярно силовым линиям магнитного поля с

индукцией 0,5 Тл и стал двигаться по окружности радиусом 0,2 см. Определить

импульс и момент импульса электрона.

640 Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,05 Тл

перпендикулярно его силовым линиям. Определить радиус окружности, период и

частоту вращения. Электрон предварительно прошёл ускоряющую разность

потенциалов 100 В.

641. Ось катушки, имеющей 1000 витков диаметром 10 см, расположена

горизонтально по земному магнитному меридиану. По катушке идёт ток 0,5 А.

Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли равна 20 мкТл.

Какую работу надо совершить, чтобы повернуть катушку на 180

642. Круговой контур помещён в однородное магнитное поле так, что плоскость

контура перпендикулярна силовым линиям поля. Напряжённость магнитного поля

160 000 А/м. По контуру течёт ток силой 2 А. Радиус контура 2 см. Какую работу

надо совершить, чтобы повернуть контур на 90

вокруг оси, совпадающей с

диаметром контура?

643. Два прямолинейных длинных параллельных провода находятся на

расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам течёт ток в одном направлении

20eА и 30 А. Какую работу надо совершить (на единицу длины проводника), чтобы

раздвинуть эти проводники на расстояние 20 см?

644. Два бесконечно прямолинейных проводника с одинаковыми токами,

текущими в одном направлении, находятся на расстоянии d друг от друга. Чтобы их

раздвинуть до расстояния 2d, на каждый сантиметр длины проводника была

затрачена работа 140 мДж. Определить силу тока в проводниках.

645. Квадратный проводящий контур со стороной, равной 30 см, и током 20 А

свободно подвешен в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. Определить

работу, которую нужно совершить, чтобы повернуть контур на 180

вокруг оси,

перпендикулярной направлению магнитного поля.

646. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равномерно со скоростью

0,2 м/с движется проводник длиной 0,5 м. По проводнику течёт ток 2 А. Найти

работу перемещения проводника за 10 с.

647. Круговой контур радиусом 5 см помещён в магнитное поле так, что

плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля с индукцией

1,5 Тл. По контуру течёт ток 3 А. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть

контур на 90

вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?

648. Контур с током 1 А из провода, изогнутого в форме квадрата со стороной

50 см, расположен в одной плоскости с бесконечным прямым проводом с током

10 А. Ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоянии 10 см. Найти

работу по повороту рамки вокруг дальней стороны контура.

649. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода, радиусом 10 см течёт

ток 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с

индукцией 0,1 Тл, по направлению совпадающей с индукцией собственного

магнитного поля кольца. Определить работу внешних сил, которые кольцу придали

форму квадрата.

650. В однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл находится квадратный

контур со стороной 20 см и током 10 А. Плоскость контура составляет угол α с

линиями поля. Найти работу по удалению контура за пределы поля.

651. Найти работу по перевороту кольца с током 2 А и радиусом 10 см в

магнитном однородном поле с индукцией 2 Тл. Индукция поля перпендикулярна

плоскости кольца.

652. В однородном магнитном поле находится прямой провод длиной 15 см,

расположенный перпендикулярно линиям индукции. По проводу течёт ток 20 А.

Найти расстояние, на которое был перемещён провод, если совершённая при этом

работа оказалась равной 150 мкДж.

7. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ.

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

7.1. Основные формулы

1. Закон Фарадея для электромагнитной индукции





2. Максвелловская формула явления электромагнитной индукции

, Sd B

вихр











где S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур l.

3. ЭДС индукции в движущемся проводнике

. B l



4. ЭДС индукции во вращающемся проводнике

. B l



5. Переменная ЭДС

. t sin N S B



6. Самоиндукция















7. Взаимная индукция

1212



8. Коэффициент самоиндукции и взаимной индукции

, S



. S

012



