Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

двигателя 92 %.

440. Тяговый электродвигатель подъемного крана работает от сети с

напряжением 220 В при токе 10 А и за 1 ч 20 мин поднимает на высоту 30 м груз

массой 26 т. Определить мощность тока, потерю мощности и КПД установки.

441. Какое максимальное тяговое усилие развивает дизельный электротрактор

при скорости передвижения 2,0 км/ч, если его тяговый электродвигатель с КПД

72 % работает при токе 360 А и напряжении 470 В?

442. Как изменится количество выделяемого тепла, если сопротивление спирали

уменьшить в 2 раза, а ток в 2 раза увеличить?

443. Какое количество тепла выделилось в реостате с сопротивлением 6,0 Ом,

если за 5,0 мин через него прошло 600 Кл электричества?

444. Для нагревания 2,0 л воды от 19 С до температуры кипения израсходовано

0,225 кВтч энергии. Каков КПД нагревателя? Определить сопротивление

нагревательного элемента кипятильника, если напряжение в сети 120 В и нагревание

продолжалось 18 мин.

445. Электрический кипятильник мощностью 1,0 кВт, работающий от сети с

напряжением 220 В, за 12 мин нагревает 1,5 л воды на 88 С . Найти КПД

нагревателя.

446. В электрической печи необходимо за 10 мин довести до кипения и

полностью испарить 1 л воды с начальной температурой 20 С. Какой длины

нихромовый проводник нужно использовать в нагревательном элементе печи, если

его сечение 0,5 мм

2

? Печь рассчитана на напряжение 120 В и имеет КПД 80 %.

447. Из никелиновой проволоки длиной 6 м изготовлен нагреватель, который при

токе 5,0 А за 14 мин нагревает 1,5 л воды на 84 С. Определить диаметр

никелиновой проволоки. Потерями энергии пренебречь.

448. Определить сопротивление нагревательного элемента электрического

чайника, в котором 1,8 л воды с начальной температурой 10 С нагревают до 100 С

за 22,5 мин. Электрический чайник работает от сети с напряжением 120 В и имеет

КПД 80 %. Чему равен ток в нагревательном элементе?

449. Сколько льда при температуре –10 С можно растопить за 10 мин на

электрической плитке, работающей от сети с напряжением 220 В при токе 3,0 А,

если общий КПД установки 80 %?

450. В калориметр с 300 г спирта погружена спираль сопротивлением 5,7 Ом,

подключенная к батарее из трех последовательно соединенных аккумуляторов с

ЭДС по 2 В и внутренним сопротивлением 0,1 Ом каждый. Какова удельная

теплоемкость спирта, если за 3 мин он нагрелся на 1,4 К?

451. Сколько витков никелиновой проволоки надо навить на фарфоровый

цилиндр диаметром 1,5 см, чтобы изготовить электрический нагреватель, который

за 10 мин может нагреть 120 г воды от 10 до 100 С? Диаметр проволоки 0,20 мм,

напряжение в сети 110 В, общие потери энергии 40 %.

452. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов с ЭДС по

1,5 В и внутренним сопротивлением по 0,3 Ом. При какой силе тока мощность,

отдаваемая во внешнюю цепь, будет наибольшей?

61

453. Элемент один раз замыкают сопротивлением 0,64 Ом, а другой –

сопротивлением 2,25 Ом. В обоих случаях мощность тока в проводниках оказалась

одинаковой. Каково внутреннее сопротивление элемента?

454. Источник с ЭДС 1,6 В и внутренним сопротивлением 0,8 Ом замыкают

проводником. Определить силу тока и сопротивление проводника, если мощность

тока во внешней цепи 0,6 Вт.

455. Источник тока при коротком замыкании дает ток 1,5 А. Если его замкнуть на

внешнее сопротивление 4 Ом, то мощность тока во внешней цепи будет равна 1 Вт.

Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.

456. Электрическая печь мощностью 2,15 кВт включена в сеть с напряжением

220 В. Сопротивление подводящих проводов 0,5 Ом. Определить сопротивление

печи и длину медного провода диаметром 2 мм, пошедшего на ее изготовление.

457. Насколько нагреется алюминиевый провод сечением 18 мм

2

при

пропускании по нему тока 3 А в течение 20 с? Считать, что вся выделенная энергия

идет на нагревание провода.

458. Насколько повысится температура медных проводов сечением 3 мм

2

, когда

расплавится свинцовый предохранитель с поперечным сечением 1 мм

2

? Начальная

температура свинца 15 С.

5. МЕТОДЫ РАСЧЁТА МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

5.1. Основные формулы

1. Магнитный момент рамки с током

SIP

m



.

2. Вращающий момент, действующий на рамку с током:

 sinВPМ

mвр

.

3. Вектор индукции

В



и вектор напряжённости

H



магнитного поля и их

циркуляции по замкнутому контуру:

m

max

вр

P

M

B 

,







i0

IdB 



,

J

B

H

0









,







i

IdH 



,

HB

0





,

где

0



- магнитная постоянная вакуума,

7

0

104





H/A

2

;



- магнитная

проницаемость вещества,



i

I

- алгебраическая сумма токов, охватываемых

замкнутым контуром,

J

- намагниченность вещества.

4. Поток вектора

 

HB



через замкнутую поверхность





S

n

0dSB

.

5. Некоторые соотношения для магнетиков:

HJ





,

62



 1

,

где



- восприимчивость вещества.

6. Граничные условия для векторов

B



и

H



:

21

nn

BB 

,

21

HH





,

2

1

2

1

B







,





tg

B

n

,

2

1

2

1

tg







,

где

n

B

- нормальная составляющая вектора

B



,



H

- тангенциальная составляющая

вектора

H



,

21

,

- углы между векторами

 

HB



и перпендикуляром к поверхности

границы раздела в разных средах.

7. Принцип суперпозиции для векторов

 

HB



 ...BBBB

321



,

где

i

B



- индукция от полей, созданных различными источниками.





i

BdB



,

если источники магнитных полей расположены непрерывно .

8. Индукция магнитного поля движущегося заряда

r

sinqV

4

B

2

0















.

9. Индукция магнитного поля элемента тока (закон Био-Савара-Лапласа)

r

sinId

4

Bd

2

0



















.

10. Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с током бесконечной

и конечной длины соответственно

r2

I

B

0







,

)cos(cos

r4

I

B

21

0









.

11. Индукция магнитного поля в центре и на оси кругового тока соответственно

R2

I

B

0





,

2322

2

0

)aR(2

IR

B







.

12. Индукция магнитного поля внутри соленоида и тороида соответственно



IN

B

0





,



IN

B

0





,

где N - общее число витков,



- длина. Длина тороида

ср

r2

, где

ср

r

- радиус

средней линии тороида.

5.2. Примеры решения задач

Задача 1. Бесконечно длинный проводник с током 5 А делает петлю, лежащую в

перпендикулярной току плоскости. Найти напряженность магнитного поля в центре

петли, если её радиус 0,5 м.

Дано:

I = 5 A

63

Решение

В центре петли (точка А) магнитное поле создаётся бесконечно

длинным током и круговым током (рис. 5.1).

R = 0,5м

H - ?

Направление вектора индукции магнитного поля в обоих случаях определяем по

правилу буравчика: от бесконечно длинного тока вектор В

1

направлен к нам, а от

кругового тока вектор В

2

направлен справа налево по оси кругового тока

(рис. 5.1а). В

1

и В

2

перпендикулярны друг к другу. Результирующий вектор В

направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах В

1

и В

2

(рис. 5.1б). Числовое значение В находим по теореме Пифагора

2

1

BBB 

, (1)

причём величины

1

B

и

2

B

находим по соответствующим формулам:

R2

I

B

0

1







,

R2

I

B

0

2





. (2)

В вакууме напряжённость Н и индукция В связаны соотношением

HB

0



. (3)

Подставляя (3) и (2) в (1), для напряжённости получим формулу

1

R2

I

R2

I

R2

I

H

2

22





































.

Подставим числовые значения:

74,51

14,3

1

5,02

5

H

2







A/м.

Задача 2. Ток 5 А течёт по тонкому изогнутому проводнику (рис. 5.2). Радиус

изогнутой части проводника R = 12 см, угол

о

902 

. Найти индукцию магнитного

поля в точке O.

64

Дано:

I = 5 A

R = 12 см = 0,12 м

о

902 

4

В - ?

Решение

Индукция

B

магнитного поля в точке О является векторной суммой индукций В

1

и В

2

, создаваемых током, протекающим по круговому и прямолинейному участкам

проводника. Все элементы тока создают в точке О магнитные поля, векторы

индукции которых направлены в одну сторону (перпендикулярно плоскости (рис.

5.2), “от нас”). Поэтому от векторной суммы можно перейти к алгебраической, т.е.

21

BBB 

.

Вычислим индукцию

1

B



, создаваемую участком кругового тока, используя закон

Био-Савара-Лапласа :









2

0

1

R

)rdsin(Id

4

B









.

Для всех участков кругового тока угол между





d

и

r



равен

2/

, а элемент

длины

Rdd

. Угол



при интегрировании по участку кругового тока изменяется

от 0 до

)22( 

. Вычисление интеграла даёт следующее выражение:

)(

R2

I

d

R4

I

R

IRd

4

B

0

22

0

22

0

2

0

1



























.

Для вычисления индукции

2

B

, создаваемой прямолинейным участком тока BCA,

можно воспользоваться выражением, определяющим индукцию магнитного поля

прямого тока:

)cos(cos

r4

I

B

21

0

2









.

Для данной задачи

 2/

1

;

 2/

2

;

 cosRr

(из треугольников AOC и

COB) . Подстановка значений даёт







 tg

R2

I

B

0

2

.

Учитывая, что

4/

, для величины B окончательно получим

)

1

4

3

(

R2

I

B

0









.

Подставим числовые значения:

28Тл108,2)

14,3

1

75,0(

12,02

5104

B

5

7











мкКл.

Задача 3. Тонкий непроводящий диск радиусом R, равномерно заряженный с

поверхностной плотностью



, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью



65

. Найти: а) индукцию магнитного поля в центре диска; б) магнитный момент диска.

(рис. 5.3).

Дано: Решение

R





?B 

?P

m



Круговой ток создаёт в центре диска магнитное поле с индукцией dB. Используя

принцип суперпозиции и учитывая, что все элементарные кольцевые токи dI

создают в центре диска магнитные поля одного направления, получим

r2

dI

dB

0





.

2

R

dr

2r2

dI

dBB

0

R

0

00













 

.

Магнитный момент тока dI

2

m

rdISdIdP 

.

4

R

drrdIrdPP

4

R

0

32

mm







.

Задача 4. По круглому однородному прямому проводу радиусом 2 см течёт

постоянный ток плотностью j = 10А/м. Найти индукцию магнитного поля в точках,

лежащих внутри и вне соленоида на расстояниях 1 и 5 см соответственно.

Построить график B(r).

Дано:

R = 2

м102cм

2



10j 

A/м

1r

1



см

м10

2



5r

2



см

м105

2



В

1

-?

В

2

- ?

Решение

Величина индукции зависит только от расстояния до оси

провода (рис. 5.4). Вектор

B

направлен к силовой линии,

которая представляет собой окружность с центром на оси

провода. Для вычисления магнитной индукции используем

теорему о циркуляции: циркуляция вектора индукции

магнитного поля по замкнутому контуру равна

алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром,

умноженным на величину

0



:





 IdB

0



.

66

Выделим на расстоянии r от центра диска

кольцевую полоску шириной dr . На этой

полоске находится заряд

rdr2dSdq 

.

Вследствие вращения данный заряд создаёт

электрический круговой ток силой

 2/dqdqdI

.

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Рассмотрим область точек, лежащих внутри провода

 

Rr 

. В качестве контура

интегрирования выберем окружность радиусом r. Направление обхода и

направление вектора j свяжем правилом буравчика. По теореме о циркуляции

вектора В

2

0

rjr2B 

.

2

0

jr

В





(1)

Для точек, лежащих вне провода

 

Rr 

, решение задачи аналогично предыдущему

случаю. Контур интегрирования теперь охватывает площадь сечения проводника,

поэтому сила тока

2

RjI 

.

По теореме о циркуляции вектора В

Rjr2B

2

0



,

.

2

0

r

jR

В





(2)

Произведём расчёт формул (1) и (2) .

8,62Тл1028,6

2

1010104

B

8

27

1











нТл,

2,50Тл1002,5

1052

10410104

B

8

2

27

2













нТл.

График зависимости магнитной индукции B от расстояния r представлен на

рис. 5.5.

Рис. 5.5

Задача 5. Постоянный ток 10 А течёт по прямому проводнику круглого сечения

длиной 50 см (рис. 5.6). Найти поток вектора магнитной индукции через одну из

67

r

B

jR5,0

0



R

r~

r

1

~

половин осевого сечения.

Дано: Решение

I = 10 А

50

см

5,0

м

Ф - ?

Рис. 5.6

Поток вектора индукции определяется интегралом





S

n

S

dSBd

,

где

n

B

- проекция вектора

B



на нормаль к площадке. В нашем случае

BB

n



, т.к.

вектор

n



совпадает по направлению с вектором

B

. Из решения предыдущей задачи

для точек, лежащих внутри проводника, индукция зависит от расстояния.

2

jr

B

0





.

Выделим в сечении полоску шириной dr и длиной



, находящуюся на

расстоянии r от оси провода. В пределах площадки dS

dr

величину индукции

можно считать постоянной, тогда элементарный поток вектора магнитной индукции

через неё

dr

2

jr

dSBd

0





 

.

Полный поток магнитной индукции

4

Rj

drr

2

j

dSB

2

0

R

0

 









.

Учитывая, что

2

RIj 

, получим







4

I

0



.

Подставим числовые значения:

500Вб105

4

5,010104

7











нВб.

Задача 6. Сколько ампер-витков необходимо для получения индукции величиной

1,4 Тл в электромагните с железным сердечником длиной 90 см и воздушным

промежутком длиной 5 мм. Рассеянием магнитного потока в воздушном

промежутке пренебречь (рис. 5.7).

Дано: Решение

4,1B 

Тл

90

см

9,0

м

68

0



Рис. 5.7

5

0



см

м105

3



I∙N - ?

Исходя из граничных условий на границе раздела воздух-железо, в области

воздушного зазора можно записать, что нормальные составляющие вектора

магнитной индукции в двух средах не изменяются. Тогда

BBB

nn



21

.

Применим к данной задаче теорему о циркуляции для магнетика





 IdH



или

INdHdH

воздух

2

магн

1







.

(1)

Величину напряжённости поля

1

H

в магнетике найдём по графику зависимости

)H(B

, которая конкретна для каждого сорта железного магнетика. На рис. 5.8

представлена такая зависимость. При значении B = 1,4 Тл напряжённость

H = 1700

мА

.

В воздушном зазоре величины B и H связаны соотношением

20

HB 

. Тогда из

формулы (1) число ампер-витков

0

1021

B

HHHIN









.

Подставим числовые значения:

7100

1014,34

1054,1

9,01700IN

7

3









.витA 

Задача 7. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым

проводником с током 10 А. Сторона рамки 1м. Ближайшая к проводнику сторона

рамки расположена от него на расстоянии 0,5 м. Найти поток вектора

B



через

69

0,5

2,0

1,5

1,0

B,Тл

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

м/A,10H

3



Рис. 5.8

площадь рамки.

Дано: Решение

A10I 

1a 

м

5,0r

1



м

Ф - ?

Вектор

B



направлен по касательной к силовой линии, а направление тока I и

направление силовой линии связаны правилом буравчика. На рис. 5.9 крестики

означают, что вектор

B



направлен от нас. Нормаль к поверхности S также

направлена от нас.

В пределах рамки магнитное поле неоднородное, поэтому плоскость рамки

разделим на элементарные полоски площадью

.dradS 

Они настолько малы, что в

пределах dS индукцию B можно считать постоянной величиной. Тогда

воспользуемся формулой элементарного потока

d

:

dSBd 

. (2)

Подставим в (2) формулу (1) и учтём, что угол

0

0

.

Тогда

r

dr

2

aI

d

0









.

Полный поток вектора

B



через поверхность S рамки

равен алгебраической сумме элементарных потоков

d

:

ln

2

Ia

r

dr

2

Ia

d

0

r

0

2

1















1

2

r

1

10

r

ra

2

Ia 









.

Подставим числовые значения:

2,2Вб102,2

5,0

5,1

ln

2

1104

6











мкВб.

5.3. Задачи для аудиторных занятий

1. По двум длинным параллельным проводам текут токи в противоположных

направлениях. Расстояние между проводами 1 м. Определить напряжённость поля

в точке, удалённой от первого провода на 60 см, а от второго – на 80 см.

Ответ: 4,78 А/м.

2. Найти индукцию магнитного поля в центре равностороннего треугольника со

стороной 20 см, стороны которого представляют собой проводник с током 5 A.

Ответ: 45 мкТл.

3. Соленоид длиной 20 см содержит 100 витков. По обмотке соленоида идёт ток

5 А. Диаметр соленоида 20 см. Определить индукцию в точке, лежащей на оси

соленоида на расстоянии 10 см от её конца.

Ответ: 0,6 мТл.

70

Магнитное поле бесконечного прямого тока - неоднородное.

Величина индукции уменьшается с увеличением расстояния r.

r2

I

B

0







. (1)

Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

Подождите немного. Документ загружается.