Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

Подождите немного. Документ загружается.

σ свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также поверхностную плотность

связанных зарядов (зарядов поляризации) на стекле.

213. Конденсатор емкостью 3 мкФ заряжен до разности потенциалов 300 В,

конденсатор ёмкостью 2 мкФ - до 200 В. Оба конденсатора соединены после

зарядки параллельно одноименными полюсами. Какая разность потенциалов

установится на пластинах конденсатора после их соединения?

214. Плоский конденсатор заряжен до некоторой разности потенциалов.

В конденсатор вдвинули диэлектрическую пластинку. После этого для

восстановления прежней разности потенциалов пришлось увеличить заряд

конденсатора в три раза. Найти диэлектрическую проницаемость  пластинки.

215. Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного

плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 6) равна 25 Дж/м.

Найти

давление, производимое пластинами площадью 20 см

на диэлектрик, а также силу,

которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика.

216. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого 400 см

, заполнен

двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам. Первый

слой – прессшпан (= 2) толщиной 0,2 см, второй слой – стекло (= 7) толщиной

0,3 см. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 600 В. Найти энергию

конденсатора.

217. Радиус внутреннего шара воздушного сферического конденсатора 1 cм,

радиус внешнего шара 4 см. Между шарами приложена разность потенциалов

3000 В. Найти напряженность электрического поля на расстоянии 3 см от центра

шаров.

218. Обкладки конденсатора с неизвестной емкостью С

, заряженного до

напряжения 80 В, соединяют с обкладками конденсатора емкостью 60 мкФ,

заряженного до напряжения 16 В. Определить емкость С

, если напряжение на

конденсаторах после их соединения 20 В. Конденсаторы соединяются обкладками,

имеющими: а) одноименные заряды; б) разноименные заряды.

219. Заряженный шар 1 радиусом 2 см приводится в соприкосновение с

незаряженным шаром 2, радиус которого 3 см. После того как шары разъединили,

заряд шара 2 оказался равным 2,7 мкКл. Какой заряд был на шаре 1 до

соприкосновения с шаром 2?

220. Конденсатор емкостью С

, положительно заряженный до напряжения 100 В,

соединяется с конденсатором емкостью С

= 2С

, заряженным до напряжения 200 В

параллельно (положительная обкладка с положительной, отрицательная с

отрицательной). Какое напряжение установится между обкладками?

221. Конденсатор емкостью 10 мкФ заряжен до напряжения 10 В. Определить

заряд на обкладках этого конденсатора после того, как параллельно ему был

подключен другой, незаряженный, конденсатор ёмкостью 2 мкФ.

222. В плоский конденсатор вдвинули пластину парафина толщиной 1 см,

которая вплотную прилегает к пластинам конденсатора (= 2). Насколько нужно

увеличить расстояние между пластинами конденсатора, чтобы получить прежнюю

ёмкость?

223. На плоский воздушный конденсатор с толщиной воздушного слоя 1,2 см

подается напряжение 32 кВ. Будет ли пробит конденсатор, если предельная

напряженность электрического поля в воздухе Е

= 30 кВ/см?

224. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 12,5 см,

а расстояние

между ними 5 мм. Найти изменение ёмкости конденсатора ∆С и изменение

плотности энергии ∆ω электрического поля при увеличении расстояния между

пластинами до 10 мм, если источник напряжения перед этим был отключен.

225. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя

слоями диэлектрика: слой стекла толщиной 0,2 см и слой парафина толщиной

0,3 см. Разность потенциалов между обкладками 300 В. Найти плотность энергии

электрического поля в каждом слое (

СТ

= 9; 

= 3).

226. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Радиус внутренней

сферы 10 см, внешней 10,2 см. Промежуток между сферами заполнен парафином.

Внутренней сфере сообщен заряд 9 мкКл. Определить разность потенциалов между

сферами.

227. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 600 В и

отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй

незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком

(фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после

присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до 100 В.

228. Два конденсатора емкостью 3 и 6 мкФ соединены между собой и

присоединены к батарее с э.д.с. 120 В. Определить заряд каждого конденсатора и

разность потенциалов между его обкладками, если конденсаторы соединены:

а) параллельно; б) последовательно.

229. Конденсатор емкостью 0,2 мкФ был заряжен до напряжения 320 В. После

того как его параллельно соединили со вторым конденсатором, заряженным до

напряжения 450 В, напряжение на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость

второго конденсатора.

230. Конденсатор емкостью 0,6мкФ был заряжен до напряжения 300 В и

соединен со вторым конденсатором емкостью 0,4 мкФ, заряженным до напряжения

150 В. Найти величину заряда, перетекшего с пластин первого конденсатора на

второй.

231. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно.

Емкость такой батареи конденсаторов 90 мкФ. Площадь каждой пластины 100 см

диэлектрик – стекло(ε). Какова толщина стекла?

232. Конденсаторы соединены так, как это показано на рис. 2.8. Электроемкости

конденсаторов: С

= 0,2 мкФ; С

= 0,1 мкФ; С

= 0,3 мкФ;

= 0,4 мкФ. Определить электроемкость батареи конденсаторов.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

233. Конденсаторы С

= 0,2 мкФ; С

= 0,6 мкФ; С

= 0,3 мкФ; С

= 0,5 мкФ

соединены так, как это указано на рис. 2.9. Разность потенциалов U

АВ

= 320 В.

Вычислить напряжение на каждом из конденсаторов и заряд на его пластинах.

234. Эбонитовый шар ( = 5) заряжен равномерно с объемной плотностью заряда

10 нКл/м.

Найти отношение энергий, заключенных в объемах вне и внутри шара.

Рис.2.10 Рис.2.11

235. Конденсаторы С

= 10

-2

мкФ; С

= 4

-2

мкФ; С

= 2

-2

мкФ; С

= 3

-2

мкФ

соединены так, как это показано на рис. 2.10. Определить электроемкость

соединения конденсаторов.

236. Конденсаторы С

= 2 мкФ; С

= 3 мкФ; С

= 1 мкФ соединены

так, как это показано на рис. 2.11. Напряжение на обкладках четвертого

конденсатора U

= 100 В. Найти заряды и разности потенциалов на обкладках

каждого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов батарей

конденсаторов.

237. Металлический сплошно шар имеет заряд 20 нКл. Какова энергия шара

внутри и вне его, если радиус 50 см?

238. Фарфоровый шар радиусом 10 см (= 5) имеет заряд 2 нКл. Найти энергию,

сосредоточенную в области пространства, заключенной между поверхностями с

радиусами 5 и 15 см.

239. Заряженный шар А радиусом 2 см приводится в соприкосновение с

незаряженным шаром В, радиус которого 3 см. После того, как шары разъединили,

энергия шара В оказалась равной 0,4 Дж. Какой заряд был на шаре А до их

соприкосновения?

240. Найти работу, которую можно затратить, чтобы вынуть диэлектрик из

плоского конденсатора, если напряжение на пластинах поддерживается

постоянным и равным 500 В. Площадь пластин 50 cм

, расстояние между

пластинами 0,5 см, а диэлектрическая проницаемость диэлектрика  = 2 (рис. 2.12).

Рис. 2.12 Рис. 2.13

242. Найти работу, которую можно затратить, чтобы вынуть диэлектрик из

плоского конденсатора, если заряд на пластинах поддерживается постоянным и

равным 6 мкКл. Площадь пластин 100 cм

, расстояние между пластинами 0,3 см, а

диэлектрическая проницаемость диэлектрика  = 2 (рис. 2.13).

243. Найти работу А, которую можно затратить, чтобы увеличить расстояние а

между пластинами плоского воздушного конденсатора, заряженного

разноименными зарядами 0,2 мкКл, на величину ∆х = 0,2 мм. Площадь каждой из

пластин конденсатора 400 см.

244. Какую работу нужно затратить, чтобы увеличить расстояние х между

пластинами плоского вакуумного конденсатора с площадью пластин 100 см

от

расстояния 0,1 м? Напряжение между пластинами конденсатора постоянно и равно

220 В.

245. Найти работу, которую можно затратить, чтобы вынуть одну половинку

диэлектрика из плоского конденсатора, если напряжение между пластинами

поддерживается постоянным и равным 300 В. Площадь пластин 250 см

, расстояние

между пластинами 1 см, а диэлектрическая проницаемость = 3 (рис. 2.14).

Рис. 2.14 Рис. 2.15

246. Найти работу, которую можно затратить, чтобы вынуть одну половинку

диэлектрика из плоского конденсатора, если заряд на пластинках поддерживается

одинаковым и равным 5 мкКл. Площадь пластин 50 см

, расстояние между

пластинами 0,3 см, а диэлектрическая проницаемость  = 2 (рис. 2.15).

247. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м

, расстояние

между ними 5 мм. Какая разность потенциалов была приложена к пластинам, если

известно, что при разрядке выделилось 4,19 мДж тепла?

248. Плоский конденсатор, заполненный жидким диэлектриком с

диэлектрической проницаемостью  = 3, разрядили, затратив на это энергию

10 мкДж. Затем конденсатор отсоединили от источника, слили из него диэлектрик и

разрядили. Определить энергию, которая выделилась при разрядке.

249. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластины подана

некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом 70 мкДж. После того как

конденсатор отсоединили от источника напряжения, диэлектрик вынули из

конденсатора. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика , если работа,

которая была совершена против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик,

20 мкДж.

250. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 12,5 см

, расстояние

между ними 5 мм. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов

В. Найти изменение емкости конденсатора и изменение плотности энергии

электрического поля при увеличении расстояния между пластинами до 10 мм, если

источник напряжения не отключается.

251. Конденсатор емкостью 1 мкФ, предварительно заряженный до напряжения

300 В, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкостью 2 мкФ.

Найти приращение электрической энергии этой системы к моменту установления

равновесия.

252. Два металлических шарика радиусами 5 и 10 см имеют заряды 40 нКл и

-20 нКл соответственно. Найти энергию, которая выделится при разрядке, если

шары соединить проводником.

253. Уединенная металлическая сфера емкостью – 10 пФ заряжена до потенциала

3 кВ. Определить энергию поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном

сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в три

раза больше радиуса сферы.

254. Эбонитовый шар радиусом R равномерно заряжен с объемной плотностью

ρ. Сфера каким радиусом R

делит шар на две части, энергии которых равны?

255. Сплошной парафиновый шар ( = 2) радиусом 10 см равномерно заряжен по

объему с объемной плотностью 10 нКл/м.

Определить энергию электрического

поля, сосредоточенную в шаре, и энергию поля вне его.

256. Сфера радиусом 5 см заряжена равномерно с поверхностной плотностью

заряда 10 нКл/м.

Определить энергию электрического поля, сосредоточенную в

окружающем пространстве между сферическими поверхностями радиусами

10 и 20 см.

257. Сфера радиусом 3 см заряжена с поверхностной плотностью заряда 10 нКл/

. Она находится в воде. Определить энергию электрического поля,

сосредоточенную во всем пространстве вне сферы (ε = 81).

258. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский

конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз вертикальное отклонение

протона полем конденсатора будет больше отклонения α-частицы?

259. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его

пластинам со скоростью 6

м/с. Расстояние между пластинами 1 см, разность

потенциалов 600 В. Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора,

если длина его пластин 5 см.

260. В пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью,

направленной параллельно пластинам, влетают в одном случае электрон, а в

другомe– отрицательный ион. Начальную кинетическую энергию ион и электрон

получили, пройдя одинаковую разность потенциалов U

. Расстояние между

пластинами d. Какая из частиц, электрон или ион, пройдет до попадания на

положительную пластину больший путь, если и та, и другая влетают посередине

расстояния между пластинами?

261. Пылинка массой 10

-12

кг падает между пластинами плоского конденсатора на

одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки

постоянна и равна 1 мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения

490 В, и через 10 с пылинка достигает одной из пластин. Определить заряд пылинки.

Расстояние между пластинами конденсатора 0,1 м. Силу сопротивления считать

пропорциональной скорости пылинки.

262. Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе 60 кВ/м.

Расстояние между пластинами 5 см. Электрон летит вдоль линии напряженности от

одной пластины конденсатора к другой. Начальная скорость электрона равна нулю.

Какую скорость приобретет электрон на этом пути за счет работы сил

электрического поля?

263. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора к другой.

Разность потенциалов между пластинами 3 кВ, а расстояние между ними 5 мм.

Найти скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине, и поверхностную

плотность зарядов на пластинах σ.

264. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины к другой,

приобретает скорость V = 10

м/с. Расстояние между пластинами d = 5,3 мм. Найти

разность потенциалов U между пластинами и поверхностную плотность заряда σ на

пластинах.

265. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами,

находящимися на расстоянии 2 см друг от друга. К пластинам приложена разность

потенциалов 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя

вдоль линии напряженности расстояние 3 мм?

267. В однородное электрическое поле напряженностью 200 В/м влетает (вдоль

силовой линии) электрон со скоростью 2

м/с. Определить расстояние, которое

пройдет электрон до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.

3. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

3.1. Основные формулы

1. Сила постоянного тока

I 

где dq - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время dt.

2. Плотность тока

j 

где dS - площадь поперечного сечения проводника.

3. Связь плотности тока со средней скоростью <U> направленного движения

заряженных частиц:

j = qn <U>,

где q - заряд частицы; n - концентрация заряженных частиц.

4. Закон Ома в интегральной форме:

а) для однородного участка цепи

I 





где



– разность потенциалов на концах участка цепи; R- сопротивление

участка;

б) для неоднородного участка цепи

)(











где ε - ЭДС источника тока; R - сопротивление внешнего участка цепи; r -

внутреннее сопротивление;

в) для замкнутой (полной) цепи







где R-внешнее сопротивление цепи; r-внутреннее сопротивление цепи.

5. Сопротивление





где



- удельное сопротивление;



- длина проводника; S - площадь поперечного

сечения проводника.

6. Зависимость удельного сопротивления металла от температуры

)t1(



где



-удельное сопротивление при 0e

С,



- температурный коэффициент

сопротивления, t- температура по шкале Цельсия.

7. Последовательное соединение проводников





const





8. Параллельное соединение проводников





, U=const,





где R

- сопротивление i-го проводника.

9. Закон Ома в дифференциальной форме

j = σE,

где σ - проводимость; E - напряженность электрического поля.

10. Последовательное соединение одинаковых источников тока, имеющих:

rnr 

n 

11. Параллельное соединение одинаковых источников тока

1Б



1Б



где ε

- ЭДС одного источника тока, r

- его внутреннее сопротивление.

3.2. Примеры решения задач

Задача 1. Определить плотность тока в медной проволоке длиной 10 м, если

разность потенциалов на его концах 12 В.

Дано: Решение

L = 10 м Плотность тока определяется выражением

U = 12 В

j 

. (1)

107,1





Ом·м Силу тока находим из закона Ома для однородного участка

цепи

j - ?

I 

. (2)

Сопротивление участка R зависит от размеров проволоки:





. (3)

Выразим из формулы (2) силу тока I, а из формулы (3) сечение проводника S,

подставим эти величины в выражение (1) для плотности тока и получим





Подставим численные значения:

10,7

10107,1

j 







A/м

Задача 2. Какой заряд пройдет по проводнику, если в течение 10 с сила тока

равномерно уменьшилась от 10 А до 5 А?

Дано: Решение

= 10 A Так как сила тока в проводнике изменяется со временем, то

I = 5 A мгновенное значение силы тока

t = 10c

I 

q - ?

Тогда полный заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время t,

выражается интегралом

dtIq





. (1)

Так как сила тока уменьшается равномерно, то ее значение можно представить в

виде линейной функции времени (рис. 3.1): I = I

- kt,

Рис. 3.1

где I, I

- конечное и начальное значения силы тока, k- скорость уменьшения силы

тока.

Интегрируем (1):





tIdt)ktI(dtIq

Учитывая, что





, получим

)II(





)510(

q 





= 75 Кл.

Задача 3. Если вольтметр соединить последовательно с резистором

сопротивлением 10 кОм, то при напряжении 120 В он покажет 50 В (рис. 3.2). Если

его соединить последовательно с резистором неизвестного сопротивления

, то

при том же напряжении (120 В) вольтметр покажет 10 В. Определить сопротивление

Дано:

= 120 В

= 50 В

R = 10 кОм =

Ом

= 10 B

- ?

Решение

Электрическая цепь представляет последовательное

соединение вольтметра и резистора и является однородной.

Заметим, что вольтметр измеряет разность потенциалов

между точками (a ,b), к которым он подключен (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Напряжения на отдельных участках такой цепи распределяются всегда

пропорционально сопротивлениям участков, что следует из закона Ома. Поскольку

сила тока одинакова, то по законам последовательного сопротивления проводников

имеем

,constI 

R10

UUU 

Следовательно,





, (1)

где

- напряжение на вольтметре, и его сопротивление.

10R

UUU 

- напряжение

на резисторе сопротивлением R.

Когда включен резистор с неизвестным сопротивлением R

, можно записать

соотношение

U 



. (2)

Исключив из уравнений (1) и (2) величину Rv, получим

210

120

U)UU(

RU)UU(







Подставим числовые значения:

10)50120(

1050)10120(









кОм.

Задача 4. Два гальванических элемента, имеющих ЭДС 1,5 В и 1,6 В и

внутренние сопротивления 0,6 Ом и 0,4 Ом, соединены разноименными полюсами

(рис. 3.3). Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определить

разность потенциалов на зажимах элементов (между точками А и В).

Дано: Решение

= 1,5 В

= 1,6 В

= 0,6 Ом

= 0,4 Ом

∆

- ?

Рис. 3.3

Разделим замкнутую цепь, в которой течет ток I, на два неоднородных участка

А-ε

-В и А-

-В (рис. 3.3). В самом источнике тока сила тока направлена от

отрицательного полюса источника к его положительному полюсу (направление тока

показано стрелками). По закону Ома для неоднородного участка цепи можно

записать два уравнения для указанных выше участков цепи.

Участок А-ε

-В:

1BA





. (1)

Участок А-ε

-В:

2AB







(2)

Величины ε

и ε

имеют отрицательный знак в силу того, что направление обхода

цепи не совпадает с направлением силы тока в источниках тока.

Складывая уравнения (1) и (2), получим

I(r

+ r

) = (ε

+ ε

) .

Отсюда сила тока в цепи







Подставим числовые значения:

1,3

4,06,0

6,15,1

I 





А.

Из выражения (1) имеем

Δφ = φ

- φ

= I·r

–ε

Подставим численные значения: