Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму
Подождите немного. Документ загружается.
4. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым
проводником с током 5 А. Сторона рамки 8 см. Проходящая через середину
противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на
расстояние, которое в 2 раза больше стороны рамки. Найти поток вектора В через
поверхность рамки.
Ответ: 41 нВб.
5. Найти плотность как функцию расстояния r от оси аксиально-симметричного
параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока
зависит от r как
brB
, где b и
- положительные постоянные.
Ответ:
0
1
/r)1(b
.
6. На постоянныё магнит, имеющий форму цилиндра длиной 15 см, намотали
равномерно 300 витков тонкого провода. При пропускании тока 3 А поле вне
магнита исчезло. Найти коэрцитивную силу
k
H
материала, из которого изготовлен
магнит.
Ответ: 6 кА/м.
6. Бесконечная пластина толщиной a из изотропного магнетика помещена в
перпендикулярное к ней однородное магнитное внешнее поле с индукцией
iBB
x0
.
Магнитная проницаемость пластины является линейной функцией расстояния и
меняется от значения
1
на левой границе до
2
на правой границе. Найти
магнитный поток через воображаемую цилиндрическую поверхность с
образующими, параллельными
0
B
. Основания цилиндра расположены в точках с
координатами
1
x
a/2 и
2
x
3a/2 . Площадь основания цилиндра S.
Ответ:
210
0
2
1
SB
.
7. Между полюсами электромагнита требуется создать электромагнитное поле с
индукцией 1,4 Тл. Длина железного сердечника 40 см, а его диаметр 5 см. Длина
воздушного пространства 1 см. Какую ЭДС надо взять для питания обмотки
электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя медную
проволоку площадью сечения 1 мм
2
?
Ответ: 31 В.
5.4. Задачи для самостоятельного решения
501. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом
450 нм со скоростью 10
6
м/с. Вычислить магнитный момент электрона.
502. Магнитный момент витка 0,2 А
2
м
. Какова сила тока в витке, если его
диаметр равен 10 см ?
503. По витку радиусом 5 см течёт ток 10 А. Чему равен магнитный момент
кругового тока?
504. Рамка с площадью сечения 400 см
2
помещена в однородное магнитное поле
с индукцией 0,1 Тл так, что нормаль к рамке составляет угол 30
0
с линиями
магнитной индукции. При какой силе тока на рамку действует вращающий момент
20 мНм ?
71
505. Плоская прямоугольная рамка со сторонами 10 и 5 см содержит 200 витков и
находится в однородном поле с индукцией 50 мТл. Какой вращающий момент
должен действовать на рамку в этом поле, если сила тока 2 А, а плоскость рамки
составляет угол 30
о
с линиями индукции ?
506. Найти вращающий момент, действующий на катушку с квадратным
сечением со стороной 10 см при силе тока 1 А. Катушка содержит 10
3
витков
провода. Ось катушки расположена параллельно силовым линиям магнитного поля
с индукцией 0,2 Тл.
507. Квадратная рамка со стороной 4 см, содержащая 10 витков, подвешена на
упругой нити с постоянным модулем кручения
5
10C
Нм/град. Плоскость рамки
совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить
индукцию магнитного поля, если при пропускании тока 10 А рамка повернулась на
угол 30
о
.
508. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом 50 см.
Определить силу тока в проводнике, если известно, что в центре петли индукция
поля равна 12,5 мкТл.
509. По двум длинным взаимно перпендикулярным проводам текут токи силой
5 и 10 А. Расстояние между проводами 0,5 м. Определить индукцию магнитного
поля в точке, расположенной посередине между проводами.
510. Определить индукцию магнитного поля в центре квадратной рамки со
стороной 10 см, если по рамке течёт ток 20 А.
511. Ток течёт по длинному проводнику, согнутому под прямым углом.
Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла
и отстоящей от вершины угла на расстоянии 20 см. Сила тока в проводнике 5 А.
512. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной 10 см, течёт
ток 5 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, равноудалённой от вершин
квадрата на расстояние, равное его стороне.
513. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца
радиусом 5 см, по которому течёт ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии
10 см от центра кольца.
514. Два круговых витка с токами 1 и 10 А лежат в параллельных плоскостях на
расстоянии 10 см друг от друга. Найти индукцию магнитного поля в центре первого
тока, если радиусы витков соответственно равны 10 и 1 см. Токи текут в разных
направлениях.
515. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если бесконечно длинный
проводник с током 10 А имеет вид, показанный на рис 5.10. Радиус изогнутой части
проводника 20 см.
72
O
a
I
Рис. 5.11
I
R
O
Рис. 5.10
516. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если бесконечно длинный
проводник с током 5 А имеет вид, показанный на рис. 5.11. Изгиб проводника
квадратной формы. Величина a = 10 см.
517. По тонкому проволочному кольцу течёт ток. Не изменяя силы тока в
проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная
индукция в центре контура?
518. Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током 5 А,
указанным на рис. 5.12. a =20 см, b = 40 см,
o
90
.
519. Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током 10 А,
указанным на рис. 5.13. a = 20 см, b = 40 см.
520. Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током 10 А,
указанным на рис. 5.14. Сторона равностороннего прямоугольника 60 см.
521. Определить индукцию магнитного поля в точке О (рис. 5.15). Радиус
изогнутой части бесконечно длинного проводника с током 20 А равен 5 см.
522. Определить индукцию магнитного поля в точке О (рис. 5.16). Радиус
изогнутой части бесконечно длинного проводника с током 20 А равен 5 см.
523. Определить индукцию магнитного поля в точке О (рис. 5.17). Радиус
изогнутой части бесконечно длинного проводника с током 20 А равен 5 см.
524. Найти индукцию магнитного поля от бесконечно длинного проводника в
точке О, если он изогнут, как показано на рис. 5.18. Сила тока 10 А, радиус
изогнутой части 10 см.
73
I
Рис. 5.13
a
b
O
I
O
a
b
a
I
I aO
Рис. 5.12
Рис. 5.14
O
R
R
O
I
I
R
I
O
рис. 5.17рис. 5.16рис. 5.15
525. Найти индукцию магнитного поля от бесконечно длинного проводника в
точке О, если он изогнут, как показано на рис. 5.19. Сила тока 10 А, радиус
изогнутой части 10 см.
526. Найти индукцию магнитного поля от бесконечно длинного проводника в
точке О, если он изогнут, как показано на рис. 5.20. Сила тока 10 А, радиус
изогнутой части 10 см.
527 Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом.
По проводникам текут токи 80 и 60 А. Расстояние между проводниками d = 20 см.
Чему равна индукция B магнитного поля в точках С и Д (рис. 5.21)?
528. По двум бесконечно длинным прямым проводникам текут токи 100 и 50 А в
противоположных направлениях. Расстояние между проводниками равно d =20 см.
Определить индукцию магнитного поля в точках А и С.
529. Тонкая лента шириной 40 см свёрнута в трубку радиусом 30 см. По ленте
течёт ток 200 А. Определить индукцию магнитного поля на оси трубки в средней
точке.
530. По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределён заряд
0,24 мкКл. Стержень приведён во вращение с постоянной угловой скоростью
10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его
середину. Определить а) индукцию магнитного поля на оси вращения стержня;
б) магнитный момент, обусловленный вращением стержня.
531. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из 100 плотно
расположенных витков, по которым течёт ток 8 мА. Радиусы внутреннего и
внешнего витков равны 50 и 100 мм соответственно. Найти а) индукцию магнитного
поля в центре спирали; б) магнитный момент спирали при данном токе.
532. Однородный ток, плотность которого j , течёт внутри неограниченной
74
С
пластины толщиной 2d параллельно её поверхности. Найти индукцию магнитного
поля этого тока как функцию расстояния x от средней плоскости пластины.
Магнитная проницаемость всюду равна 1.
533. Прямой бесконечно длинный проводник с током I лежит в плоскости
раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями
1
и
2
. Найти
модуль вектора индукции магнитного поля во всём пространстве в зависимости от
расстояния r до провода. Иметь в виду, что линии вектора В являются
окружностями с центром на оси проводника.
534. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской границы магнетика
равна В. Вектор В составляет угол
с нормалью
n
к поверхности раздела
магнетиков (рис. 5.23). Магнитная проницаемость магнетика равна
. Найти поток
вектора Н через поверхность сферы S радиусом R, центр которой лежит на
поверхности магнетика.
535. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской границы магнетика
равна В. Вектор В составляет угол
с нормалью
n
к поверхности раздела
магнетиков (рис. 5.24). Магнитная проницаемость магнетика равна
. Найти
циркуляцию вектора В по квадратному контуру Г со стороной
.
536. Квадратная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым
проводником с током 50 А. Сторона рамки 10 см. Проходящая через середины
противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на
расстоянии, которое в 3 раза больше стороны рамки. Найти магнитный поток через
поверхность рамки.
537. Квадратная рамка расположена перпендикулярно плоскости с длинным
прямым проводником с током 10 А. Сторона рамки 10 см. Ось рамки, проходящая
через её середину, отстоит от проводника на 6 см. Найти магнитный поток через
поверхность рамки.
538. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами.
Средний диаметр кольца 20 см. Ширина зазора 2 мм, индукция магнитного поля в
зазоре 40 мТл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти
модуль вектора Н магнитного поля внутри магнита.
539. На железном сердечнике вида тора со средним радиусом 250 мм имеется
обмотка с числом витков 1000. В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной
1 мм. При токе I = 0,85 А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре
Be=e0,75eТл. Пренебрегая расстоянием магнитного потока на краях зазора, найти
магнитную проницаемость железа в этих условиях.
75
540. Железный сердечник в виде кольца со средним диаметром 50 см несёт на
себе обмотку из 800 витков с током 3 А. В кольце имеется поперечная прорезь
шириной 2 мм. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти с
помощью графика (рис.5.8) магнитную проницаемость железа в этих условиях.
541. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течёт ток
50 А, расположена прямоугольная рамка, так что две большие стороны её длиной
65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон
равно её ширине. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.
542. Тороид квадратного сечения содержит 1000 витков. Наружный диаметр
тороида 40 см, внутренний 20 см. Найти магнитный поток в тороиде при силе тока в
обмотке 10 А.
543. Найти магнитный поток через поперечное сечение тороида, если ток в
обмотке 1,7 А, полное число витков 1000, отношение внешнего диаметра к
внутреннему равно 1,6 и толщина 5 см. Сердечник тороида прямоугольного сечения,
магнитная проницаемость равна 20.
544. Имеется тороид прямоугольного сечения. Найти магнитный поток через это
сечение, если ток в обмотке 1,7 А, полное число витков 1000, отношение внешнего
диаметра к внутреннему равно 1,6 и толщина 5 см.
545. На тороид малого поперечного сечения намотано равномерно 2500 витков
провода, по которому течёт ток. Найти отношение
индукции магнитного поля
внутри тороида к индукции магнитного поля в центре тороида.
546. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное
сечение которой 1 мм
2
. Длина соленоида 20 см. Определить напряжённость и
индукцию магнитного поля внутри соленоида при силе тока 5 А, если
сопротивление всей проволоки соленоида 2 Ом.
547. Внутри соленоида с числом витков 500 напряжённость однородного
магнитного поля 10 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника 12 см
2
.
Определить магнитную индукцию внутри соленоида и потокосцепление. Магнитная
проницаемость сердечника равна 300.
548. Тороид намотан на железное кольцо сечением 5 см
2
. При силе тока 1 А
магнитный поток равен 500 мкВт. Определить число витков тороида, приходящихся
на единицу длины средней линии тороида.
549. Внутри соленоида длиной 30 см и диаметром 5 см помещён железный
сердечник. Соленоид имеет 400 витков. Определить магнитный поток, если ток в
соленоиде 2 А.
550. Магнитная индукция на оси тороида без сердечника равна 0,2 мТл.
Внешний диаметр тороида 50 см, внутренний 30 см. Пользуясь теоремой о
циркуляции вектора В, определить силу тока в обмотке тороида.
6. СИЛЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. РАБОТА СИЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
6.1 Основные формулы
76
1. Сила Ампера, действующая на элемент тока d
в магнитном поле с индукцией
В:
dF
A
= I d
B sin
,
где I-сила тока,
- угол между направлением вектора
В
и силы тока.
2. Сила Ампера, действующая на все элементы тока сложной формы
проводника:
dFF
A
3. Сила Лоренца, действующая на заряд q, движущийся со скоростью V в
магнитном поле с индукцией B:
F
Л
= q V B sin
,
где
- угол между направлениями векторов
V
и
В
.
4. Сила взаимодействия параллельных проводников с токами I
1
и I
2
F =
d2
II
210
,
где
- длина проводников, d - расстояние между ними,
0
= 4
7
10
Н/А
2
–
магнитная постоянная вакуума.
5. Сила, действующая на рамку с током в неоднородном магнитном поле:
F
=
m
P
dr
Bd
,
где Р
m
– магнитный момент рамки с током, d
B
/d
r
- градиент индукции магнитного
поля.
6. Работа магнитных сил по перемещению проводника с током
A = I
.
7. Работа магнитных сил по перемещению замкнутого контура c током
A = I (Ф
2
–Ф
1
),
где Ф
1
и Ф
2
- магнитный поток через площадь, ограниченную контуром с током в
начальном и конечном состояниях.
6.2. Примеры решения задач
Задача 1. Квадратная рамка с током 2 А расположена в одной плоскости с
длинным прямым проводником, по которому течёт ток 10 А. Сторона рамки 15 см.
Ближайшая сторона рамки отстоит от проводника на расстоянии 10 см. Найти силу,
действующую на рамку.
Дано:
I
1
= 2 A
I
2
= 10 A
a = 5 см = 0,15 м
Решение
Прямой проводник с током I
1
создаёт вокруг себя
неоднородное магнитное поле, индукция которого
уменьшается с увеличением расстояния r согласно формуле
77
в = 10 см = 0,1 м
F-?
В
1
=
r2
I
10
. (1)
В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током I
2
будет
действовать сила Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки
(рис. 6.1).
Силы F
1
и F
3
можно найти, используя закон взаимодействия параллельных токов:
F
1
=
b2
аII
210
,
F
3
=
)ab(2
aII
210
.
Для нахождения силы F
2
разобьём проводник на элементы тока I
2
d
(рис. 6.2).
Пусть некоторый элемент расположен на расстоянии r от тока I
1
. В месте
расположения элемента тока I
2
d
индукция поля
В
направлена к нам и
определяется формулой (1). Сила Ампера, действующая на элемент тока I
2
d
(d
=
dr):
.90sindrBIdF
0
12A
Поскольку все силы d
F
A
направлены в одну сторону, то вся сила
ba
a
210210
A
a
ba
ln
2
aII
dr
r2
II
F
.
Заметим, что сила F
4
= F
2
, но противоположно направлена.
Результирующая сила, действующая на рамку с током I
2
:
F = F
1
- F
3
+ F
2
- F
4
= F
1
- F
3
.
F =
2
аII
210
ab
1
b
1
=
)ab(b2
аII
2
210
.
Подставим числовые значения:
F =
H106,3
)15,01,0(1,02
15,0102104
7
27
= 0,36
мкH
.
Задача 2. Проводник в виде тонкого полукольца радиусом 0,1 м находится в
однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл. По проводнику течёт ток 10 А.
Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца
перпендикулярна линиям индукции.
Дано:
78
Рис. 6.1
Рис. 6.2
dF
2
F
2
R = 0,1 м
В = 510
2
Тл
I = 10 А
F - ?
Решение
Разобьем проводник на элементы тока Id
, причем d
= Rd
(рис. 6.3).
Рис. 6.3
Положение элемента на окружности будем углом
. Со стороны магнитного
поля на элемент тока будет действовать сила Ампера dF:
sinBIddF
, (1)
где угол между элементом тока и магнитной индукцией
0
90
.
Разложим силу dF на две составляющие силы dF
Y
и dF
X
.
cosdFdF
X
,
sindFdF
Y
.
Заметим, что ввиду симметрии силы dF
Xi
от всех элементов проводника уничтожат
друг друга, а результирующая сила по оси Y будет отлична от нуля.
sindFdFFF
YY
. (2)
Подставим в выражение (2) формулу (1) и после интегрирования получим
cosIBRdsinIBRF
0
=
IBR2
.
Подставим числовые значения:
1,01,0105102F
2
Н.
Задача 3. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент 2 А/м
2
,
находится на оси кругового витка радиусом 20 см, по которому идёт ток 10 А.
Найти модуль силы, действующей на катушку, если её расстояние от центра витка
равно 10 см. Вектор магнитного момента совпадает по направлению с осью витка.
Дано:
Р
м
= 2 А/ м
2
R = 20 см=0,2 м
I = 10 А
А=10 см=0,1 м
F - ?
Решение
Магнитное поле кругового витка является неоднородным. В
таком поле на магнитный момент катушки будет действовать
сила
rd
Bd
PF
m
(1)
Градиент индукции
rd/Bd
направлен в сторону возрастания
индукции (рис 6.4), направление магнитной индукции В
определяется по правилу буравчика.
Рис. 6.4
Выберем ось X вдоль оси витка и спроецируем выражение (1) на эту ось.
79
.
xd
Bd
PF
mxx
. (2)
Индукция магнитного поля от кругового тока
2
3
22
2
0
XR2
IR
B
. (3)
Возьмём производную от выражения (3) по переменной X:
2
5
22
2
0
XR
XRI
2
3
dX
dB
.
Окончательно для силы F
X
имеем при X = а
25
22
m
2
0
X
aR2
aPRI3
F
.
Знак минус означает, что катушка будет втягиваться в область сильного поля.
Подставим числовые значения:
2
5
22
27
1,02,02
1,022,0101043
F
=
7,2
4
10
Н =
27,0
мН.
Задача 4. Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков,
подвешена на упругой нити с постоянной кручения 10 мкН/град. Плоскость
рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля.
Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке тока 1 А
она повернулась на угол 60
0
, а также определить работу сил, действующих со
стороны магнитного поля (рис. 6.5).
Дано: Решение
а = 2 см = 2
2
10
м
N = 100 витков
C = 10
-5
Н/град
= 90
0
I = 1 А
= 60
0
B-? А-?
Рис. 6.5
Рамка с током находится в равновесии при выполнении условия:
0ММ
21
, где
1
М
-момент сил, действующих на рамку с током,
2
М
- момент упругих сил,
действующих на рамку.
Известно, что
M
1
=
sinBP
m
,
M
2
=
C
,
CsinBP
m
.
Магнитный момент рамки
NaINSIP
2
m
.
Учитывая, что
2
, получим
CcosBNaI
2
.
Теперь можно найти величину индукции магнитного поля:
80