Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

Подождите немного. Документ загружается.

352. Шесть элементов с ЭДС по 1,1 В и внутренним сопротивлением по 3 Ом

соединяют по два последовательно в три параллельные группы. Определить силу

тока, если сопротивление внешней цепи 2 Ом.

353. Батарея, составленная из трех последовательно соединенных

аккумуляторов с ЭДС по 2 В и внутренним сопротивлением 0,25 Ом каждый,

питает внешнюю цепь, состоящую из двух параллельно соединенных проводников

с сопротивлениями 3 и 9 Ом. Определить разность потенциалов на зажимах

батареи и токи в проводниках.

354. Два элемента с ЭДС 1,7 и 1,4 В и внутренними сопротивлениями 0,8 и

0,4 Ом соединены последовательно и подключены к сопротивлению 5 Ом.

Определить ток в цепи, напряжение на внешней части цепи и напряжение на

зажимах каждого элемента.

355. Два источника с ЭДС 6,5 и 3,9 В и одинаковыми внутренними

сопротивлениями по 2 Ом соединены параллельно и подключены к внешней цепи

сопротивлением 9 Ом. Определить токи в элементах и во внешней цепи.

356. Два источника с ЭДС 2 и 1,8 В и внутренними сопротивлениями 0,5 и 0,3

Ом соединены, как показано на рис. 3.22, и подключены к сопротивлению R =3 Ом.

Найти токи в элементах и в сопротивлении R.

357. При каком значении ЭДС 

ток I через сопротивление R (рис. 3.23) будет

равен нулю? Сопротивление соединительных проводов и внутренние

сопротивления источников тока не учитывать, сопротивления R

и R

известны.

358. Два элемента с ЭДС 1,3 и 1,5 соединены по схеме, изображенной на

рис. 3.24. Вольтметр показывает 1,45 В. У какого элемента внутреннее

сопротивление больше и во сколько раз? Сопротивление вольтметра считать очень

большим.

359. Два элемента с ЭДС 1,8 и 2 В и внутренними сопротивлениями 0,6 и

0,4 Ом соединены, как показано на рис. 3.25. Каково будет показание вольтметра,

если его сопротивление во много раз больше внутренних сопротивлений

элементов?

360. Несколько одинаковых элементов соединены, как показано на рис. 3.26.

Какова разность потенциалов между точками А и В? А и С?

361. В цепи, изображенной на рис. 3.27, ε

= 1,8 В, ε

= ε

= 1,7 В, ε

1,5eВ, r

= 0,2 Ом, r

= r

= 0,1 Ом. Определить сопротивление R и токи во всех

участках, если известно, что в третьем элементе ток равен нулю.

4. РАБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА

4.1. Основные формулы

1. Работа электрических сил по переносу заряда q на однородном участке цепи

dA = q· U = IU·dt.

2. Закон Джоуля – Ленца в интегральной форме:

dQ = I

Rdt ; dQ =

dtU



3. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:

ω = σ Е

где ω – удельная тепловая мощность тока в данной точке проводника, σ –

проводимость, Е - напряженность электрического поля в проводнике.

4. Работа, совершаемая источником электрической энергии за время t:

A =

полн

t

где ε – ЭДС источника, R

полн

– полное сопротивление цепи.

5. Электрическая мощность, отдаваемая источником во внешнюю цепь (так

называемая полезная мощность):

P = U·I = I

R или P

пол

)rR(





где r – внутреннее сопротивление источника, R - внешнее сопротивление цепи.

6. Полная мощность всей цепи

= I

R + I

r = I·ε или P

затр





7. Коэффициент полезного действия источника тока

η =



; η =



; η =

затр

пол

4.2. Примеры решения задач

Задача 1. Определить работу электрических сил и количество теплоты,

выделяемое ежесекундно: 1) в резисторе, по которому идет ток силой 1 А (разность

потенциалов между концами резистора 2 В); 2) в аккумуляторе, который заряжается

током силой 1 А (Разность потенциалов на его зажимах 2 В), ЭДС аккумулятора

1,3 В; 3) в батарее аккумуляторов, которая дает ток силой 1А на внешнюю

нагрузку, разность потенциалов на зажимах батарей 2 В. ЭДС 2,6 В.

Дано:

1) I = 1А; φ

- φ

= 2В.

2) I = 1А; φ

- φ

= 2В ε = 1,3 В.

3) I = 1А; φ

- φ

= 2В ε = 2,6 В

А - ? Q - ?

Решение

Рис. 4.1

1. Так как рассматриваемый участок не содержит ЭДС, то он является

однородным. По закону Ома для такого участка цепи имеем φ

- φ

= IR. Значит, вся

работа электрических сил идет на нагревание резистора.

A = Q = (φ

- φ

) I·t = 2·1·1 = 2 Дж.

2. При зарядке аккумулятора его зажимы присоединяют к источнику, разность

потенциалов на полюсах которого постоянна. При этом ток внутри аккумулятора

идет от положительного полюса к отрицательному (рис. 4.1), т.е. в направлении,

обратном току разряда. Работу электрических сил снова вычислим по формуле

A = Q = (φ

- φ

) I·t = 3 Дж.

Чтобы определить количество выделенной теплоты, найдем сопротивление R

участка А ε В. Поскольку он содержит источник тока, то участок является

неоднородным. Применим закон Ома для неоднородного участка с учетом правила

знаков.

I =



, R =



Подставив значение R в закон Джоуля – Ленца, получим

Q = I

R t = I



= (φ

- φ

- ε) It = 0,7 Дж.

В данном случае лишь часть работы электрических сил идет на нагревание

аккумулятора, остальная же часть A – Q = 1,3 Дж превращается в химическую

энергию заряжаемого аккумулятора.

3.Работу электрических сил также найдем по формуле

А =(φ

- φ

) It.

При этом обратим внимание на отличие данного случая от предыдущего. Если

положительный знак разности φ

- φ

сохранился, то направление тока на участке

А ε В изменилось на противоположное (рис. 4.2), следовательно:

А =(φ

- φ

) (- I) t = - (φ

- φ

) It = 2 Дж.

Отрицательный знак ответа выражает то обстоятельство, что положительные

заряды движутся внутри каждого аккумулятора от его низшего потенциала к

высшему, т.е. против электрических сил. При этом положительную работу

совершают сторонние (рис. 4.2) силы, перемещая заряды внутри аккумуляторов.

Найдем количество теплоты, выделенное в батарее. При этом сопротивление

батареи r можно вычислить по закону Ома для неоднородного участка цепи А ε В.

Теперь, учитывая направление тока и ЭДС, запишем

-I =



Сопротивление батареи r можно найти как разность потенциалов между

сопротивлением всей цепи и сопротивлением внешнего участка цепи:

r = R

полн

– R =

)(

baba











Подставив найденное значение r, получим

Q = I

r t = [ε – (φ

- φ

)]·I·t = 0,6 Дж.

Этот вариант задачи можно решать по-другому. Найдем работу электрических

сил на внешнем участке цепи A-R-B:

внеш

=(φ

- φ

) It = 2 Дж.

Однако работа электрических, т.е. кулоновских (но не сторонних), сил по

перемещению зарядов по замкнутому пути всегда равна нулю. Значит,

внутр

+А

внеш

= 0.

Отсюда А

внутр

= - А

внеш

= - 2 Дж, что совпадает с решением второй части задачи.

Вся энергия, расходуемая батареей, превращается (посредством работы

электрических сил) в тепло Q

общ

, выделяющееся во всей цепи:

батареи

= Q

общ

= ε I t = 2,6 Дж.

Так как на внешнем участке выделяется количество теплоты

внеш

= А

внеш

=2 Дж, то для батареи Q = Q

общ

- Q

внеш

= 0,6 Дж.

Рис . 4.2

Задача 2. ЭДС батареи 12 В. Наибольшая сила тока, которую может дать

батарея, равна 5 А. Какая наибольшая мощность может выделиться на

подключенном к батарее резисторе с переменным сопротивлением?

Дано:

Ε = 12 В

max

= 5 А

max

- ?

Решение

Полезная мощность выделяемая в резисторе, определяется

формулой

P = I

R. (1)

По закону Ома

I =

rR 



. (2)

Подставим выражение (2) в формулу (1).

P =

)rR(





где R, r – сопротивление внешнего и внутреннего участка цепи соответственно.

Отсюда видно, что при постоянных величинах ε, r мощность Р является функцией

одной переменной – внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция дает

максимум при условии R= r. Следовательно,

max

r4)rR(









Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивлений r внутреннего

участка цепи (батареи). Если учесть, что согласно закону Ома для замкнутой цепи

наибольшая сила тока I

max

будет при внешнем сопротивлении R=0 (ток короткого

замыкания), то

max



или r =

max



Отсюда P

max



Подставим числовые значения:

max

512





Вт.

Задача 3. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление 2 Ом, а затем на

внешнее сопротивление 0,5 Ом. Найти ЭДС элемента ε и его внутреннее

сопротивление r, если известно, что в каждом из этих случаев мощность,

выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и равна 2,54 Вт.

Дано:

= 2 Ом

= 0,5 Ом

= Р

Р = 2,54 Вт

Ε-? r - ?

Решение

Согласно закону Ома для полной цепи сила тока

I =

rR 



Тогда мощность, выделяющаяся во внешней цепи:

)rR(

RIP







По условию задачи P

)rR(





, (1)

)rR(







. (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ε и r.

Приравнивая эти уравнения, поскольку Р

= Р

тогда







или

212212

RrRRRrRR 

или

.RRRR)RR(r

12221



Тогда

1212

RRRR

r 







Подставляя числовые значения, получим

 5,02RRr

1 Ом.

Зная внутреннее сопротивление, найдем ε из уравнения (1) системы уравнений:

)rR(







;

ε =

)rR(

)rR(P





Подставим числовые значения:

4,3

54,2

)12( 

В.

Задача 4. От батареи с ЭДС 500 В требуется передать энергию на расстояние

2,5 км. Потребляемая мощность 10 кВт. Найти минимальные потери мощности

Р

в сети, если диаметр медных проводов 1,5 см. Удельное сопротивление меди

1,7·10

-8

Ом·м.

Дано:

Ε = 500 В

Р =10 кВт =10

Вт

l = 2,5 км =2,5·10

d =1,5 см =1,5·10

-2

ρ =1,7·10

-8

Ом·м

Р

Решение

Ток передается по двухпроводной линии к потребителю

(рис.4.3). Потеря мощности происходит в подводящих

проводах.

Рис. 4.3

Тогда

Р

= I

∙R, где I =



- сила тока в проводах, а R – сопротивление

проводов.

R =





где ρ- удельное сопротивление, 2l – длина двухпроводной линии электропередачи,

S = π d

/4 –площадь сечения проводов, диаметр которых d.

Тогда

lP8







Подставляя числовые значения, получим

368

105,1102514,3

105,210017,0108









≈ 193 Вт.

4.3 Задачи для аудиторных занятий

1. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение 2 с по

линейному закону от нуля до 6 А. Определить теплоту, выделившуюся в этом

проводнике за первую секунду, за вторую, а также найти их отношение.

Ответ: 60 Дж, 420 Дж, 7.

2. От батареи, ЭДС которой 600 В, требуется передать энергию на расстояние

1км. Потребляемая мощность 5 кВт. Найти минимальную мощность в проводах

сети, если диаметр медных подводящих проводов 0,5 см.

Ответ: 126 Вт.

3. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если включена одна

секция, то вода закипает через 10 мин, если другая - то через 20 мин. Через

сколько минут закипит вода, если обе секции включить: а) параллельно,

б) последовательно?

Ответ: 6,7 мин, 30 мин.

4. К батарее, ЭДС которой 2 В и внутреннее сопротивление 0,5 Ом, присоединен

проводник. Определить сопротивление проводника, при котором выделяемая в нем

мощность максимальна. Чему равна эта мощность?

Ответ: 0,5 Ом, 2 Вт.

5. Две медные проволоки одинаковой длиной в 1 м и диаметрами 0,1 и 0,2 мм,

подключенные (поочередно) к зажимам гальванического элемента, нагреваются до

одной и той же температуры. Определить его внутреннее сопротивление. Считать

отдачу теплоты проволокой в окружающее пространство при постоянной

температуре пропорциональной площади её поверхности.

Ответ: 0,3 Ом.

6. При силе тока 3 А во внешней цепи батареи выделяется мощность 18 Вт, при

силе тока 1 А- 10 Вт. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление r батареи.

Ответ: 12 В, 2 Ом.

4.4 Задачи для самостоятельного решения

401. Лампочка и реостат соединены последовательно и присоединены к источнику

тока. Напряжение на зажимах лампочки 40 В, сопротивление реостата 10 Ом.

Внешняя цепь потребляет мощность 120 Вт. Найти силу тока в цепи.

402. ЭДС батареи 12 В, сила тока короткого замыкания 5 А. Какую наибольшую

мощность может дать батарея во внешней цепи?

403. ЭДС батареи 20 В. Сопротивление внешней цепи 2 Ом, сила тока 4 А.

Определить КПД батареи. При каком значении внешнего сопротивления КПД будет

99 %?

404. Требуется изготовить нагревательную спираль для электрической плитки

мощностью 0,50 кВт, предназначенной для включения в цепь напряжением 220 В.

Сколько (в метрах) нужно взять для этого нихромовой проволоки диаметром

0,40 мм? Удельное сопротивление нихрома в нагретом состоянии 1,05·10

-6

Ом·м.

405. К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагреватель. ЭДС батареи

24 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет

мощность 80 Вт. Вычислить силу тока в цепи и КПД нагревателя.

406. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если включена

только первая секция, то вода закипает через 15 мин, а если только вторая, то через

30 мин. Через сколько минут закипит вода, если обе секции включить:

а) последовательно, б)последовательно?

407. Ток в проводнике сопротивлением 100 Ом равномерно нарастает от нуля до

10 А в течение 30 с. Найти количество теплоты, выделившееся за это время в

проводнике.

408. Ток в проводнике сопротивлением 12 Ом равномерно убывает от 5 А до нуля

в течение 10 с. Найти количество теплоты, выделенное в этом проводнике за

указанный промежуток времени.

409. По проводнику сопротивлением 3 Ом течет равномерно нарастающий ток.

Количество теплоты, выделившееся в проводнике за 8 с, равно 200 Дж. Определить

количество электричества, протекшее за это время по проводнику. В начальный

момент времени ток в проводнике был равен нулю.

410. Ток в проводнике сопротивлением 15 Ом равномерно возрастает от нуля до

некоторого максимума в течение 3 с. За это время в проводнике выделилось

количество теплоты 10 кДж. Найти среднее значение силы тока в проводнике за этот

промежуток времени.

411. Ток в проводнике равномерно увеличивается от нуля до некоторого

максимального значения в течение 10 с. За это время в проводнике выделилось

количество теплоты 1 кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике,

если сопротивление его 3 Ом.

412. Генератор с напряжением на зажимах 220 В передает во внешнюю цепь

мощность 11кВт. Какого минимального сечения должны быть медные провода

линии передачи длиной 50 м, чтобы потеря напряжения в них не превышала 2 % от

указанного напряжения?

413. Мощность тока у потребителя 10 кВт при напряжении 400 В. Определить

падение напряжения в медных проводах линии электропередачи, если их сечение

26 мм

, а расстояние он генератора до потребителя 500 м.

414. В сеть с напряжением 220 В параллельно включены пять электродвигателей

электрической мощностью 1,5 кВт каждый. Длина подводящих медных проводов

250 м, а их сечение 25 мм

. Определить ток в цепи, напряжение на зажимах

генератора и потерю мощности в подводящих проводах.

415. Источник электрической энергии с ЭДС 1,6 В и внутренним сопротивлением

0,8 Ом замыкается проводником. Определить силу тока и сопротивление

проводника, если мощность тока во внешней цепи 0,6 Вт.

416. При внешнем сопротивлении 8 Ом сила тока в цепи 0,8 А, при

сопротивлении 15 Ом сила тока 0,5 А. Определить силу тока

короткого

замыкания.

417. Имеются 24 одинаковых источника тока с ЭДС 1 В и внутренним

сопротивлением 0,2 Ом. Эти источники соединены так, что образуют батарею из n

последовательных секций, каждая из которых состоит из соединенных параллельно

источников. К батарее подключен прибор, обладающий сопротивлением 0,3 Ом.

При каком n мощность , отбираемая прибором, будет максимальной? Чему равно

максимальное значение мощности?

418. Какую максимальную полезную мощность может выделить аккумулятор с

ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 1 Ом? Каково при этом сопротивление

внешней цепи и КПД аккумулятора?

419. От батареи с ЭДС 500 В требуется передать энергию на расстояние 2,5 км.

Потребляемая мощность 10 кВт. Найти минимальные потери мощности (в

процентах) в сети, если диаметр медных подводящих проводов 1,5 см.

420. Батарея с ЭДС 240 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнута на

внешнем сопротивлении 23 Ом. Найти полную мощность, полезную мощность и

КДП батареи.

421. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность,

выделяющаяся во внешней цепи, одинакова при внешних сопротивлениях 5 и

0,2 Ом. Найти КПД генератора в каждом из этих случаев.

422. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление 2 Ом, а затем на

внешнее сопротивление 0,5 Ом. Найти ЭДС элемента и внутреннее сопротивление,

если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во внешней

цепи, одинакова и равна 2,5 Вт.

423. Три лампы сопротивлением 240 Ом каждая соединены параллельно и

включены в сеть с напряжением 120 В. Определить мощность, потребляемую всеми

лампами, общий ток и энергию, израсходованную за 8 ч горения ламп.

424. Электродвигатель, сопротивление обмотки которого 0,40 Ом, работает от

сети с напряжением 300 В при токе 50 А. Определить энергию, израсходованную за

5 ч, механическую работу и потери на нагревание обмотки.

425. Лампа мощностью 500 В рассчитана на напряжение 110 В. Определить

сопротивление лампы в рабочем состоянии. Определить дополнительное

сопротивление, требуемое для включения ее в сеть с напряжением 127 В.

426. Дуговая лампа включена последовательно с сопротивлением 7,3 Ом в сеть с

напряжением 110 В. Потребляемая лампой мощность составляет 410 Вт. Определить

ток в лампе и ее сопротивление в рабочем состоянии.

427. Определить стоимость израсходованной энергии за 22 рабочих дня при

восьмичасовой продолжительности рабочего дня, если в мастерской работают 4

электродвигателя мощностью 5,0 л.с. каждый. Тариф 4 коп. за 1 кВтч

(1л.с. = 750 Вт).

428. Определить общую силу тока в шести электродвигателях, установленных на

электровозе, если напряжение на линии 3 кВ, механическая мощность каждого

двигателя 350 кВт и КПД 92 %.

429. Две лампы накаливания мощностью 100 и 80 Вт рассчитаны на напряжение

120 В. Какую мощность будет потреблять каждая лампа, если их включить в сеть не

параллельно, а последовательно? Какая лампа будет гореть ярче? Как распределится

напряжение между лампами?

430. Напряжение на зажимах генератора 132 В, а у потребителя 127 В.

Определить падение напряжения в магистральных проводах и их сопротивление,

если мощность у потребителя 5,0 кВт.

431. Электрический подогреватель воды для аквариума, присоединенный к

источнику электрической энергии с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 3,2

Ом, потребляет мощность 10 Вт. Определить ток в цепи и КПД установки.

432. Генератор с напряжением на зажимах 220 В передает во внешнюю цепь

мощность 11 кВт. Какого минимального сечения должны быть медные провода

линии передачи длиной 50 м, чтобы потеря напряжения в них не превышала 2 % от

указанного напряжения?

433. Сопротивление одной электрической лампочки в рабочем состоянии 420 Ом.

Какое количество ламп включено параллельно в цепь, если при напряжении 127 В

мощность, потребляемая лампами, равна 1,52 кВт? Сопротивление соединительных

проводов не учитывать.

434. Мощность тока у потребителя 10 кВт при напряжении 400 В. Определить

падение напряжения в подводящих медных проводах, если их сечение 26 мм

, а

расстояние от генератора до потребителя 500 м.

435. Электровоз движется с постоянной скоростью 43,2 км/ч, развивая при этом

среднюю силу тяги 43,7 кН. Определить ток в двигателе электровоза, если

напряжение на коллекторе двигателя 1500 В, а КПД двигателя 92 %.

436. От генератора с напряжением 20 000 В требуется передать потребителю

мощность 100 кВт на расстояние 2,5 км. Определить минимальное сечение медных

проводов, если потери напряжения в линии не должны превышать 2 %.

437. В сеть с напряжением 220 В параллельно включены пять электродвигателей

электрической мощностью 1,5 кВт каждый. Длина подводящих к сети медных

проводов 250 м, а их сечение 25 мм

. Определить ток в цепи, напряжение на

зажимах генератора и потерю мощности в подводящих проводах.

438. Электродвигатели трамвайных вагонов работают при токе 112 А и

напряжении 550 В. С какой скоростью движется трамвай, если двигатели создают

силу тяги 3600 Н, а их КПД 70 %?

439. Скоростной лифт, сила тяжести которого 15,7 кН, поднимается со скоростью

1,0 м/с. Какую мощность потребляет электрический двигатель, приводящий в

движение лифт? Определить силу тока, если напряжение в сети 220 В, а КПД