Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

Δφ

AB

= 3,1·0,6 – 1,5 = 0,36 В.

Ответ: Δφ

AB

= 0,36 В.

Задача 5. Батарея аккумуляторов с ЭДС 2,8 В включена в цепь по схеме,

изображенной на рис. 3.4. Найти внутреннее сопротивление батареи.

Дано: Решение

ε = 2,8 В Запишем закон Ома для цепи:

R

1

= 1,8 Ом

rR

I

общ







. (1)

R

2

= 2 Ом Внутреннее сопротивление источника тока получим

R

3

= 3 Ом из выражения (1):

I

2

= 0,48 А

I

RI

r

общ





. (2)

r - ?

Рис. 3.4

I = I

1

= I

2

+ I

3

(3)

Поскольку I = I

1

= I

2

+ I

3

, сначала определим ток I

3

в третьем проводнике, а затем

общий ток I .

Для параллельно соединенных сопротивлений R

2

и R

3

имеем

2

3

2

I

R



, отсюда

3

22

3

R

RI

I





. (4)

После подстановки (4) в выражение (3) получим

3

322

R

)RR(I

I





. (5)

Поскольку R

1

соединено последовательно с разветвлением R

3

, то

ЭКВ1общ

RRR 

,

где

32

ЭКВ

RR

R







.

Следовательно,

3

32

32)32(8,1

RR

RR)RR(R

R

32

32321

общ















Ом.

Из выражения (4) сила тока

8,0

3

)32(48,0

I 





А.

41

Подставляя числовые значения в формулу (2), вычислим:

5,0

8,0

38,08,2

r 





А.

Задача 6. В помещении, удаленном от генератора на расстояние 100 м, включены

параллельно 44 лампы накаливания с сопротивлением 440 Ом каждая. Напряжение

на лампах 220 В. Проводка выполнена медным проводом с сечением 17 мм

2

.

Определить падение напряжения в проводящих проводах и напряжение на зажимах

генератора.

Дано:



=100 м

n = 44

R

1

= 440 Ом

U

1

= 220 B

ρ = 1,7·10

-8

Ом·м

25

м107,1S





U

пр

- ? U - ?

Решение

Напряжение на зажимах генератора больше напряжения на

лампах на величину падения напряжения в подводящих

проводах:

U=U

1

+U

пр

, где U

пр

=JR

пр

.

Ток в проводах равен сумме токов, проходящих через все

лампы:

1

R

nU

I 

.

Сопротивление проводов

S

2

R

пр





.

Подставляя в выражение Uпр = IRпр, получим

SR

nU2

U

1

пр









,

.В4,4

107,1440

100107,142202

U

5

8

пр











Задача 7. На рис. 3.5 батареи имеют ЭДС ε

1

= 30 В и ε

2

= 5 В,

сопротивления R

2

= 10 Ом , R

3

= 20 Ом. Через амперметр течет ток I=1А,

направленный от R

3

к R

1

. Найти сопротивление R

1

. Внутренним сопротивлением

источника пренебречь.

Дано:

ε

1

= 30 В

ε

2

= 5 В

R

2

= 10 Ом

R

3

= 20 Ом

I = A

R1 - ?

Решение

Данная электрическая цепь содержит два узла N и M и три

замкнутых контура ABMNA, ABCDA и NDCMN. Для решения

задачи достаточно взять один узел и два замкнутых контура.

Выберем направления токов в электрической цепи и рассмотрим два

контура обхода ABCDA и ABMNA. Пусть направление обхода в

контуре ABCDA по часовой стрелке, а в контуре ABMNA- против

часовой стрелки. (рис. 3.6)

42

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Запишем первое правило Кирхгофа для узла М:

I

2

+ I

1

- I

3

= 0. (1)

Запишем второе правило Кирхгофа для контуров ABMNA и ABCDA:

I

3

R

3

+ I

1

R

1

= ε

1

, (2)

I

2

R

2

- I

1

R

1

= ε

2

. (3)

Подставим числовые значения в уравнения (1), (2) и (3), учитывая, что I

1

= 1А:

I

2

+ I

1

- I

3

= 0, (4)

20 I

3

+ R

1

= 30 , (5)

10 I

2

– R

1

= 5 - 30 = -25. (6)

Математически решаем последнюю систему уравнений (4),(5) и (6).

Исключим неизвестные I

2

и I

3

и найдем сопротивление R

1

.

Из (4) следует, что I

2

= I

3

- 1, тогда

20 I

3

+ R

1

= 30, (7)

10 (I

2

-1) - R

1

= -25. (8)

Из уравнения (7) следует, что I

3

=(30- R

1

)/20.

Тогда 10(I

3

-1)-R

1

=-25. (9)

Из уравнения (9) следует, что R

1

= 20 Ом.

Задача 8. На рис. 3.7 батареи имеют равный ЭДС (ε

1

= ε

2

). Сопротивление

R

2

= 2R

1

. Во сколько раз ток, текущий через вольтметр, больше тока, текущего через

сопротивление R

2

? Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Рис. 3.7

43

Дано:

ε

1

= ε

2

R

2

=2R

1

I

v

/I

2

- ?

Решение

Выберем направление токов I

1

, I

2

и I

v

, как показано на рис. 3.7.

Направление обхода для контура ABCA - против часовой стрелки, а для

контура ACDA- по часовой стрелке. Первое правило Кирхгофа для узла

А запишем в виде

I

1

+ I

2

- I

V

= 0. (1)

Второе правило Кирхгофа для контуров ABCA и ACDA запишем в виде

I

1

R

1

+ I

V

R

V

= ε

1

,

(2)

I

V

R

V

+ I

2

R

2

= ε

2

,

(3)

где I

V

–ток через вольтметр, R

V

- сопротивление вольтметра. Подставим условие

R

2

= 2R

1

в уравнение (3):

I

V

R

V

+ 2I

2

R

1

= ε

2

.

(4)

Подставим в уравнение (2) силу тока I

1

из уравнения (1):

I

1

= I

V

- I

2

,

(I

V

-I

2

)R

1

+ I

V

R

V

= E

1

.

(5)

Так как по условию задачи ε

1

= ε

2

, то приравняем уравнения (5) и (4):

I

V

R

V

+ 2I

2

R

1

= (I

V

-I

2

)R

1

+ I

V

R

V

.

(6)

Преобразуем уравнение (6):

2I

2

R

1

= I

V

R

1

- I

2

R

1,

3I

2

R

1

= I

V

R

1

,

3

I

2

U



.

Ответ: ток текущий через вольтметр в 3 раза больше тока, текущего через

сопротивление R

2

.

3.3. Задачи для аудиторных занятий

1. Определить число электронов, проходящих в секунду через единицу площади

поперечного сечения проволоки длиной 20 м при напряжении на его концах 16 В.

ρ = 9810

-9

Омм.

Ответ: 5·10

25

с

-1

·м

-2

2. Какой заряд пройдет по проводнику, если в течение 10 с. сопротивление

проводника поддерживалось постоянным, ток уменьшался от 10 А до 5 А?

Ответ: 69 Кл.

3.eПространство между обкладками

сферического конденсатора, радиусы которых

равны a и b (рис. 3.8), заполнено слабопроводящей

однородной средой с удельным сопротивлением ρ.

Определить силу тока утечки через конденсатор,

если разность между обкладками U.

Ответ:

 

V

b

1

a

1

U4

R

U

I 







Рис. 3.8

44

4. Два металлических шара радиусом a находятся на расстоянии d в безграничной

проводящей среде, удельное сопротивление которой ρ. Определить сопротивление

среды на участке между шарами при условии, что d>> a.

5. К батарее гальванических элементов через резистор с переменным

сопротивлением R подключен вольтметр (рис. 3.9) Если R уменьшить втрое, то

показания вольтметра возрастут вдвое. Во сколько раз изменятся показания

вольтметра, если R уменьшить до нуля?

Ответ: в четыре раза.

6. Проволочный куб составлен из проводников, сопротивление каждого

проводника, составляющего ребро куба, равно 1Ом. Вычислить сопротивление R

этого куба, если он включен в электрическую цепь (рис. 3.10) .

Ответ: 5/6 Ом.

Задачи для самостоятельного решения

301. Сила тока в проводнике равномерно возрастает от нуля до 5 А в течение

10eс. Определить заряд, прошедший в проводнике.

302. Определить плотность тока в железном проводнике длиной 10 м, если

провод находится под напряжением 6 В.

303. Напряжение на шинах электростанции 6,6 кВ. Потребитель находится на

расстоянии 10 км. Какого сечения нужно взять медный провод для устройства

двухпроводной линии передачи, если сила тока в линии 20 А и потери напряжения в

проводах не должны превышать 3%?

304. Вычислить сопротивления R графического проводника, изготовленного в

виде прямого усеченного конуса длиной 20 см и радиусом оснований 12 мм, 8 мм.

Температура проводника 200

0

С.

305. На одном конце цилиндрического медного проводника сопротивлением 10

Ом при 0

0

С поддерживается температура 200

0

С, на другом – 4 000

0

С. Найти

сопротивление проводника, считая градиент температуры вдоль его оси

постоянным.

306. Проволочный куб составлен из проводников. Сопротивление каждого

проводника, составляющего ребро куба, равно 10 Ом. Вычислить сопротивление

всего этого куба R, если он включен в электрическую цепь (рис. 3.11 а).

45

307. Проволочный куб составлен из проводников. Сопротивление каждого

проводника, составляющего ребро куба, равно 10 Ом. Вычислить сопротивление

всего этого куба R, если он включен в электрическую цепь, как показано на

рис. 3.11 б.

308. Вычислить сопротивление цепи (рис. 3.12). Считать сопротивление каждого

проводника, заключенного между двумя узлами, равным 1 Ом.

309. Вычислить сопротивление цепи (рис. 3.13). Считать сопротивление каждого

проводника, заключенного между двумя узлами, равным 1 Ом.

310. Вычислить сопротивление цепи (рис. 3.14) Считать сопротивление каждого

проводника, заключенного между двумя узлами, равным 1 Ом.

311. Из материала с удельным сопротивлением  изготовлено плоское кольцо

толщиной d. Радиусы кольца равны a и b (a>b). Между внешней и внутренней

цилиндрическими поверхностями кольца поддерживается некоторая разность

потенциалов . Найти сопротивление кольца R в этих условиях.

312. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с

относительной диэлектрической проницаемостью, равной 7, и удельным

сопротивлением 10

11

Ом∙м. Емкость конденсатора 3 000 пФ. Найти ток утечки через

конденсатор при подаче на него напряжения 2 000 В.

46

313. Бумажный конденсатор ( = 2,1) теряет за 5 мин половину сообщенного ему

заряда. Предполагая, что утечка заряда происходит только через диэлектрическую

прокладку, вычислить ее удельное сопротивление.

314. Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до 10 А. Какую

наибольшую силу тока может измерить этот амперметр без шунта, если

сопротивление амперметра 0,02 Ом и сопротивление шунта 5 мОм?

315. Внутреннее сопротивление батареи аккумуляторов 3 Ом. Сколько процентов

от точного значения ЭДС составляет ошибка, если, измеряя разность потенциалов

на зажимах батареи вольтметром с сопротивлением 200 Ом, принять ее равной

ЭДС?

316. К элементу с ЭДС 1,5 В присоединили катушку с сопротивлением 0,1 Ом.

Амперметр показал силу тока, равную 0,5 А. Когда к элементу присоединили

последовательно еще один элемент с такой же ЭДС, то сила тока в этой же катушке

оказалась 0,4 А. Определить внутреннее сопротивление первого и второго

источников.

317. Две группы 2-х последовательно соединенных элементов соединены

параллельно. ЭДС каждого элемента 1,2 В, внутреннее сопротивление 0,2 Ом.

Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление 1,5 Ом. Найти силу тока во

внешней цепи.

318. Имеется N одинаковых элементов с ЭДС  и внутренним сопротивлением r

каждый. Из этих элементов требуется собрать батарею, состоящую из нескольких

параллельно соединенных групп, содержащих по n последовательно соединенных

элементов. При каком значении n сила тока во внешней цепи, имеющей

сопротивление R, будет максимальной? Чему будет равно внутреннее

сопротивление r батареи при этом значении n?

319. Даны 12 элементов с ЭДС 1,5 В и внутренним сопротивлением 0,4 Ом. Как

нужно соединить эти элементы, чтобы получить из собранной из них батареи

наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление 0,3 Ом? Чему

равна наибольшая сила тока?

320. Два одинаковых источника тока с ЭДС 1,2 В и внутренним сопротивлением

0,4 Ом соединены, как показано на рис. 3.16. Какова сила тока в цепи и разность

потенциалов между точками А и В в первом и во втором случаях?

321. Два элемента (ε

1

= 1,2 В; r

1

= 0,1 Ом; ε

2

= 0,9 В; r

2

= 0,3 Ом) соединены

одноименными полюсами. Сопротивление соединительных проводов 0,2 Ом.

Определить силу тока в цепи.

322. Два последовательно соединенных элемента с одинаковыми ЭДС 2 В и

внутренними сопротивлениями 10 Ом и 1,5 Ом замкнуты на внешнее сопротивление

0,5 Ом. Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента.

323. Определить температуру вольфрамовой нити лампы в рабочем состоянии,

если при включении ее в сеть с напряжением 120 В установился ток

0,4 А. Сопротивление нити при 0

0

С считать равным 30 Ом.

324. На лампочке для карманного фонаря написано: 3,5 В, 0,28 А. Температура

накала нити 425

0

С, а ее сопротивление в холодном состоянии 4 Ом. Каков

47

температурный коэффициент сопротивления материала, из которого изготовлена

нить?

325. Сопротивление угольного стержня уменьшилось от 5,0 до 4,5 Ом при

повышении температуры от 50 до 545 С. Каков температурный коэффициент

сопротивления угля? На что указывает знак минус в ответе?

326. При прохождении электрического тока по железной проволоке ее

температура понизилась на 250 С, а сопротивление увеличилось в два раза. Каков

температурный коэффициент сопротивления железа?

327. К дуговой лампе с сопротивлением 5 Ом последовательно присоединен

реостат с сопротивлением 7,5 Ом. Определить ток в лампе, если напряжение на

зажимах генератора 127 В, проводка выполнена медным проводом длиной 20 м и

сечением 18 мм

2

, а реостат введен полностью.

328. В сеть с напряжением 220 В включены последовательно 10 ламп с

сопротивлением по 24 Ом, рассчитанные на напряжение 12 В каждая. Лишнее

напряжение поглощается реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление

реостата, если он введен полностью.

329. Какое дополнительное сопротивление необходимо присоединить к

вольтметру с сопротивлением 1,5 кОм, чтобы цена деления на шкале увеличилась в

пять раз?

330. Во сколько раз увеличится верхний предел шкалы вольтметра с

сопротивлением 1 кОм, если присоединить к нему последовательно добавочное

сопротивление 9 кОм?

331. Вольтметр, рассчитанный на измерение напряжения до 20 В, необходимо

включить в сеть с напряжением 120 В. Какое для этого потребуется

дополнительное сопротивление, если ток в вольтметре не должен превышать 5 мА?

332. Вольтметр, рассчитанный на измерение до 30 В, со шкалой в 150 делений,

использовали для измерения разности потенциалов до 75 В, включив

последовательно с ним сопротивление 3 кОм. Какова цена деления шкалы в обоих

случаях? Каково внутреннее сопротивление вольтметра?

333. Для измерения напряжения в сети в нее включают вольтметр с

сопротивлением 450 Ом. Если последовательно с вольтметром включить

дополнительное сопротивление, он покажет 100 В; если включить еще одно

дополнительное сопротивление, больше первого на 60 Ом, вольтметр покажет

90 В. Определить напряжение в сети и дополнительные сопротивления.

334. На сколько равных частей требуется разрезать проводник сопротивлением

60 Ом, чтобы, соединив эти части параллельно, получить сопротивление 1 Ом?

335. Эквивалентное сопротивление трех параллельно соединенных

потребителей 30 Ом, а их сопротивления относятся как 1:3:5. Определить

сопротивления потребителей.

336. Два проводника при последовательном сопротивлении дают сопротивление

27 Ом, а при параллельном соединении - 6 Ом. Определить их сопротивления.

337. Определить общее сопротивление цепи (рис. 3.15), если напряжение между

точками А и В 110 В. Определить все токи в проводниках и распределение

напряжений.

48

338. К источнику электрической энергии с ЭДС 12 В и внутренним

сопротивлением 0,6 Ом подключается нагрузка, состоящая из трех одинаковых

сопротивлений, соединенных по схеме, приведенной на рис. 3.16. Амперметр

показывает 2 А. Определить каждое сопротивление.

339. Конденсатор емкостью 0,3 мкФ и сопротивление 5 Ом соединены

параллельно и подключены к источнику электрической энергии с ЭДС 12 В и

внутренним сопротивлением 1 Ом (рис. 3.17). Определить заряд, накопленный

конденсатором.

340. К зажимам источника с ЭДС 1,8 В и внутренним

сопротивлением 0,25 Ом подключен реостат. Определить сопротивление реостата и

ток в нем, если падение напряжения на полностью введенном реостате 1,65 В.

Определить длину константановой проволоки, пошедшей на изготовление

реостата, если ее сечение 0,6 мм

2

.

341. Цепь составлена по схеме, изображенной на рис. 3.18, где R

1

= 2,5 Oм,

R

2

= 2 Oм, R

3

= 6 Oм, R

4

= 14 Oм,  = 5,6 В. Какой ток покажет амперметр?

Внутреннее сопротивление источника тока не учитывать.

342. Батарея аккумуляторов с ЭДС 12,4 В и внутренним сопротивлением 0,2 Ом

включена в цепь, как показано на рис. 3.19. Амперметр показывает 2 А при

R

1

= 2,9 Ом, R

2

= 1,6 Ом и R

3

= 6 Ом. Определить сопротивление R

4

, ток,

49

проходящий через него, и напряжение на зажимах батареи.

343. Генератор с ЭДС 130 В и внутренним сопротивлением 1,8 Ом питает током

несколько параллельно соединенных ламп общим сопротивлением 24 Ом.

Сопротивление подводящих проводов 0,2 Ом. Определить ток в цепи, напряжение

на лампах, падение напряжения на подводящих проводах и напряжение на зажимах

генератора.

344. Что покажет вольтметр при подключении его к источнику с ЭДС 150 В и

внутренним сопротивлением 4 Ом? Сопротивление вольтметра 10

2

Ом.

345. Плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами площадью

225 см

2

каждая погружается в жидкий диэлектрик со скоростью 0,6 м/с так, что

пластины перпендикулярны уровню жидкости. Конденсатор подключен к

источнику тока с ЭДС 200 В. Расстояние между пластинами 1,5 мм, относительная

диэлектрическая проницаемость среды 3. Определить ток в соединительных

проводах. Внутреннее сопротивление источника тока не учитывать.

346. Определить ток в цепи и в сопротивлении R

3

(рис. 3.20), если батарея

состоит из трех параллельно соединенных элементов с ЭДС по 1,44 В и

внутренним сопротивлением 0,6 Ом каждый, а R

1

= R

2

= 1,2 Ом, R

3

= 2 Ом, R

4

=3

Ом.

347. Найти распределение токов и напряжений во внешней цепи (рис. 3.21), если

ее питают четыре щелочных аккумулятора с ЭДС по 1,4 В и внутренним

сопротивлением 0,2 Ом каждый, соединенные в батарею последовательно, а

R

1

= 0,9 Ом, R

2

= R

3

= 0,6Ом.

348. Как следует соединить три аккумулятора с ЭДС по 2 В и внутренним

сопротивлением 0,2 Ом каждый, чтобы, замкнув их на сопротивление 0,6 Ом,

получить наибольший ток?

349. При каком способе соединения двух элементов с ЭДС по 1,45 В и

внутренним сопротивлением 0,3 Ом каждый в проводнике с сопротивлением

13,9 Ом будет наибольший ток?

350. Три одинаковых элемента, соединенных последовательно и замкнутых

проводником с сопротивлением 1,5 Ом, дали ток 2 А. При параллельном

соединении элементов в том же проводнике возникает ток 0,9 А. Найти ЭДС и

внутреннее сопротивление каждого элемента.

351. Какое количество аккумуляторов с ЭДС по 2,1 В и внутренним

сопротивлением по 0,2 Ом необходимо соединить в батарею последовательно,

чтобы в проводнике сопротивлением 6 Ом получить ток 1,5 А?

50

Колистратова Л.Ф. Сборник задач по электромагнетизму

Подождите немного. Документ загружается.