Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород
Подождите немного. Документ загружается.
131
При положительных значениях коэффициента A
коэффициент трения снижается с увеличением скорости смещения
берегов. Этот эффект называется
«скоростное разупрочнение».(
velocity weakening). При определенных условиях коэффициент A в
(3.28) бывает отрицательным, т.е. сопротивление сдвигу снижается с
ростом скорости смещения. В этом случае говорят о
«скоростном
упрочнении»
. ( velocity strengthening)
Перемещение, мм
b
a
Рис.3.16
Изменение трения в процессе сдвига. Участок а – скорость
смещения берегов трещины 0.4мм/c, участок
b – 4мм/с (Marone, 1998)
Детальное изучение динамики изменения силы сопротивления
сдвигу при резком изменении скорости показывает (рис.3.16), что
вначале сила трения резко возрастает (
кратковременный эффект
увеличения скорости)
, а затем постепенно снижается до величины μ
d
(стационарный эффект увеличения скорости). Если
кратковременное увеличение трения происходит почти сразу после
приложения нагрузки, то стационарный эффект развивается на
протяжении конечного смещения
d
c
. Как отмечалось выше, в
зависимости от условий может наблюдаться как снижение, так и
увеличение
μ
d
по сравнению с μ
s
.
132
В экспериментах с трением металлов было показано, что
существует некоторая «критическая» величина перемещения
необходимая для того, чтобы трение изменилось с одной величины
на другую. Для металлов было установлено, что величина этого
перемещения приблизительно равна среднему диаметру контактного
соединения. Из этого был сделан вывод о том, что контакт обладает
памятью о своем
предыдущем состоянии, которая исчезает на
протяжении критического перемещения. Это позволило объединить
влияние скорости на μ
s
и μ
d
.
Связать статические и динамические наблюдения позволил, так
называемый,
“the rate and state friction law”, который схематично
формулируется следующим образом:
• если скорость скольжения изменяется, то сопротивление
скольжению резко изменяется – зависимость трения от
скорости (rate effect) – верхний рисунок на диаграмме 3.17;
• если скорость скольжения изменилась, поверхность
скольжения «помнит» о прежнем значении, но постепенно
«эволюционирует» к новому значению прочности на
протяжении некоторого перемещения D
c
– зависимость
трения от перемещения и времени (state effect) – средний
рисунок на диаграмме 3.17;
• комбинация этих эффектов дает зависимость трения от
скорости и состояния контакта (
rate and state friction law) –
нижний рисунок.
Аналитически этот эволюционный закон фрикционного
сопротивления записывается следующим образом:
]lnln[
0
0
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
c
n
D
V
b
V
V
a
θ
μστ
, (3.29)
где μ
0
– константа, соответствующая стабильному скольжению со
скоростью V
0
, V – скорость смещения, θ – переменная состояния
(
state variable), a, b, D
c
– эмпирические константы.
133
a-b
b
a
Скольжение
μ
D
c
D
c
Быстрое скольжение V
Медленное
скольжение V
0
Медленное
скольжение V
0
Рис.3.17 Схема поясняющая эволюционный закон фрикционного
сопротивления
Величина θ изменяется со временем и перемещением по
определенному закону (эволюционный закон) в процессе перехода
контакта к новому стабильному состоянию.
Наиболее известным является закон Дитриха:
c
D
V
dt
d
θ
θ
−= 1 , (3.30)
или
c
Ddtdudu
d
θ
θ
−=
/
1
, (3.30а)
где
dt
du
V =
.
134
Второе слагаемое в (3.29) характеризует «мгновенное»
увеличение сопротивления трению, а третий член – постепенный
спад в процессе эволюции контакта.
Переменная состояния θ имеет размерность времени, является
функцией времени, перемещения и напряженного состояния, может
быть интерпретировано, как «время жизни» популяции
микроконтактов. «Критическое» перемещение
Dc – величина
относительного перемещения блоков на которой коэффициент
трения переходит к новому значению (меняется популяция
контактов).
В состоянии стабильного скольжения (
steady-state sliding)
VDет
dt
d
c
/..,0 ==
θ
θ
.
Отсюда, из (4.29) имеем:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==
0
0
0
0
0
ln)(]lnln[/
V
V
ba
V
V
b
V
V
a
n
μμμστ
Рассмотрим частный случай, когда V изменяется ступенчатым
образом с
V
0
до V. При этом полагаем, что величина V
0
очень мала.
При
V=const, имеем из (3.30а):
c
DVdu
d
θ
θ
−=
1
или
VDdu
d
c
1
=+
θ
θ
.
Решение этого уравнения:
V
D
eС
c
c
D
u
+⋅=
−
θ
Если
θ
0
– значение θ при u=0, то
V
D
e
V
D
c
c
D
u
c
+⋅−=
−
)(
0
θθ
.
135
-202468
u/D
c
Δμ
a
ln
(V/V
0
)
b
ln
(V/V
0
)
(b-a)
ln
(V/V
0
)
Рис.3.18 Иллюстрация эффекта скоростного разупрочнения контакта
При нулевом смещении, в начальный момент времени
0
0
V
D
c
=
θ
, т.е.
)(
00
0
V
V
e
V
VV
V
D
c
D
u
c
+⋅
−
=
−
θ
, подставляя в (3.29),
имеем:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=Δ∞→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=Δ→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=Δ
−
−
00
0
0
0
00
0
ln)(,;ln,0
)31.3()1(1lnln
lnln
V
V
bauпри
V
V
auпри
e
V
V
V
V
b
V
V
a
V
V
e
V
VV
b
V
V
a
c
c
D
u
D
u
μμ
μ
Вид решения (3.31) показан на рис.3.18. Можно видеть, что
«критическим» для характера изменения фрикционного
136
сопротивления является значение разности параметров (a-b). При
a>b, коэффициент трения при перемещениях больше критического
остается больше исходного значения, т.е. наблюдается скоростное
упрочнение, а при
a<b (этот случай показан на рис.3.18),
коэффициент трения при перемещениях больше критического
становится меньше исходного значения, т.е. наблюдается скоростное
разупрочнение.
В состоянии покоя
V=0, т.е. из (3.30а) имеем
1=
dt
d
θ
, т.е. θ
растет пропорционально времени стационарного контакта, или из
(3.29) при
V=V
0
получаем ln(t)~
μ
Δ
.
Понятно, что при (a-b)>0, т.е. при скоростном упрочнении,
система будет оставаться стабильной. Условие
(a-b)<0, т.е.
скоростное разупрочнение, обеспечивает условия для возникновения
прерывистого скольжения.
Рассмотрим условия возникновения нестабильности на примере
«слайдер» модели (рис.3.2). Положим, что скорость в момент начала
движения достаточна велика.
1>>
c
D
V
θ
. Тогда из (3.30)
c
D
V
dt
d
θ
θ
−= ,
откуда
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅=
c
D
u
exp
0
θθ
. Подставляя в (3.29), получаем:
u
D
BBVA
D
u
D
V
b
V
V
a
c
ccn
−++=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
00
00
0
0
ln)ln(
explnln
θμ
θ
μ
σ
τ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−++⋅=+−=
u
D
BBVAKuKu
c
n 000
ln)ln(
θμστ
. (3.32)
В случае постоянного уровня приложенной нагрузки
00
τ
=Ku
, интегрируя (3.32), с начальными условиями
0=u
и
0
uu
&&
= при t=0, получаем:
137
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
A
Htu
H
A
u
0
1ln
&
, (3.33)
1
0
1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
A
Ht
u
u
&
&
, (3.34)
где
cn
D
Bk
H +−=
σ
. Таким образом, при H>0, в соответствии с
(3.34) скорость скольжения возрастает со временем и в момент
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
1
δ
&
H
A
t
значение u
&
становится бесконечно большим, т.е.
система теряет устойчивость (рис.3.19).
Обычно контакты скальных пород демонстрируют скоростное
разупрочнение в диапазоне изменения скоростей скольжения до
метров в секунду. В некоторых случаях при более высоких
скоростях, трение скальных пород показывает переход к
Рис.3.19 Эволюция со временем перемещения
u и скорости u
&
блока
138
скоростному упрочнению, что, как предполагается, является
результатом фрикционного нагрева.
Сдвиговое перемещение, мм
Па
р
амет
р
(
a
-b
)
Рис.3.20. Зависимость фрикционного параметра (a-b) от амплитуды
перемещения при различных значениях нормальных напряжений.
Межблоковый контакт представлял собой слой кварцевого песка
(Marone, 1998)
Недавние эксперименты показали, что параметр (a-b)
испытывает постепенный переход от скоростного упрочнения (a-b)
>0 к скоростному ослаблению (a-b) < 0 по мере накопления
перемещения (рис.3.20). Эти изменения интерпретируются авторами
экспериментов как переход от распределенного к локализованному
сдвигу.
Поскольку a и b определяются свойствами материала, то они
должны зависеть от температуры и от давления. На рис.3.21 вверху
показано изменение
параметра (a-b) с температурой для гранита.
Параметр отрицательный при низких температурах и становится
положительным при t~300
0
C. Эта температура соответствует началу
кристаллической пластичности кварца – наиболее пластичного из
основных минералов гранита. (Для галита (каменная соль), намного
139
более пластичного минерала, такой переход происходит при 25
0
С и
давлениях около 70 МПа.) Это означает, что для пород находящихся
в Земле на больших глубинах неустойчивого скольжения не
происходит. Эта граница называется
нижний предел
нестабильности (lower stability transition)
.
Температура, С
0
Нормальное напряжение, МПа
Гранит
a - b a - b
Рис.3.21 Зависимость параметра (a-b) от температуры и нормального
напряжения (
Scholz, 2002)
Для разрывов с гранулированным заполнителем при сдвиге
существуют дополнительные механизмы упрочнения, например
дилатансия, что стремится сделать параметр (a-b) более
140
положительным. Для таких материалов (a-b) положителен когда
материал слабо консолидирован и снижается с повышением
давления, когда материал литифицируется (отверждается). Эта
тенденция отчетливо видна на рис.3.21 (нижний рисунок). Таким
образом, разломы вблизи поверхности скорее всего стабильны из-за
того, что заполнитель слабо консолидирован.
σ
Δ
V
σ
c
Нестабильность
Стабильность
Автоколебания
Рис.3.22 Амплитуда скачка скорости, необходимая для дестабилизации
системы в зависимости от уровня приложенного нормального
напряжения
Кроме того, из-за конечной жесткости нагружения K
существуют ограничения по уровню напряжений, при которых
может возникнуть нестабильность. Если изменение коэффициента
трения
Δμ происходит на протяжении критического перемещения D
c
,
то из условия возникновения прерывистого скольжения (3.24),
получаем:
K
D
c
n
≥
Δ
μ
σ
или
μ
σ
Δ
≥
c
n
KD
. (3.35)
Поскольку изменение коэффициента трения
(
)
0
/ln() VVab
−
=
Δ
μ
,
то из (3.35) получаем условие возникновения нестабильности,
налагаемое на жесткость нагружения и : уровень нормальных
напряжений