Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТУ
(ЕКОМЕН)
В. Ю. Клепко
В. Л. Голець
ВИЩА МАТЕМАТИКА
В ПРИКЛАДАХ
І ЗАДАЧАХ
2ге видання
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
як навчальний посібник для студентів
вищих навчальних закладів
Київ
“Центр учбової літератури”
2009
2
Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
ISBN 978-966-364-928-3
Гриф надано
Міністерством освіти і науки України
(Лист № 14/18.2 –516 від 10.03.2005)
Рецензенти:
Майборода Р. Є. — доктор фізико+математичних наук, професор Київського
національного університету імені Тараса Шевченка;
Єфіменко С. В. — кандидат фізико+математичних наук, доцент Київського
національного університету імені Тараса Шевченка.
Клепко В. Ю., Голець В. Л.
К 48 Вища математика в прикладах і задачах: Навчальний посібник.
2+ге видання. – К.: Центр учбової літератури, 2009. – 594 с.
ISBN 978-966-364-928-3
Навчальний посібник містить задачі та приклади до всіх розділів вищої
математики відповідно до програми загального курсу вищої математики для
студентів економічних спеціальностей. Наведено необхідний довідковий
матеріал, розв’язування типових прикладів і задач, набори прикладів і за+
дач для практичних занять та самостійної роботи студентів.
© Клепко В. Ю., Голець В. Л., 2009.
© Центр учбової літератури, 2009.
ББК 51(075.8)
УДК 22.1я73
К 48
3
Передмова
Посібник «Вища математика в прикладах і задачах» для студентів
економічних спеціальностей створено з огляду на сучасні вимоги
щодо істотного підвищення рівня фундаментальної математичної
підготовки таких фахівців і посилення прикладної її спрямованості.
Посібник ставить своєю метою допомогти студенту самостійно
оволодіти розв’язуванням задач та прикладів з курсу вищої мате+
матики. Це визначило структуру посібника. В кожному розділі
(главі, параграфі) подано короткі теоретичні відомості та формули,
необхідні для розв’язку задач, наводиться значне число детально ро+
зібраних задач з указаними методами їх розв’язку; в кінці пропо+
нується ряд задач для самостійного розв’язку з наведеними відпо+
відями. Наприкінці кожного розділу наводиться добірка прикладних
задач економічного змісту з докладними розв’язками, а також про+
понується система вправ для самоконтролю, що мають, зокрема, і
прикладну спрямованість. Серед розв’язаних задач немало таких,
які можна назвати типовими; в будь+якому випадку ознайомлення
з ними дозволяє студенту при самій мінімальній допомозі зі сторо+
ни викладача оволодіти основними методами розв’язку задач дано+
го розділу. Ця обставина особливо важлива для студентів, які нав+
чаються заочно.
Як правило, в посібнику наводяться нескладні задачі. Автори
свідомо намагаються уникнути задач підвищеної складності, так як
ставили перед собою мету навчити студента розв’язувати основні
задачі, дати деякий мінімум, необхідний для засвоєння студентом
вимог вузівської програми курсу вищої математики для економіч+
них спеціальностей. Разом з тим робота з даним посібником дає
можливість більш поглибленого вивчення предмету.
Слід відзначити, що посібник з’явився в результаті досвіду ро+
боти його авторів в вузах. Його автори на протязі багатьох років
працювали на кафедрі вищої математики Київського технологічно+
го інституту легкої промисловості та кафедрі алгебри та геометрії
Чернівецького Державного університету, а тепер працюють на ка+
федрі вищої математики Київського економічного інституту менед+
жменту.
4
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
При написанні даного посібника «Вища математика в прикла+
дах і задачах» для студентів економічних спеціальностей було ви+
користано ряд задач та прикладів, взятих із відомих задачників та
навчальних посібників, які звичайно розглядаються на заняттях зі
студентами.
Автори посібника виносять щиру подяку ректору Київського
економічного інституту менеджменту професору Рожку В.Д. за ви+
дання посібника та колективу інформаційно+обчислювального цент+
ру за комп’ютерний набір.
Автори
5
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Розділ І. Лінійна та векторна алгебра
§1.1. Матриці, дії над матрицями
1.1.1. Теоретичні відомості
Матрицею
()
ij m n
Aa
u
розміру
mnu
називається таблиця, що
складається з m рядків та n стовпчиків.
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Іноді матриця А позначається не круглими дужками, а подвійни+
ми вертикальними відрізками:
ij
mn
Aa
u
, або квадратними дужка+
ми:
[]
ij m n
Aa
u
.
Матриця розмірності
nnu
називається квадратною матрицею
nго порядку. Елементи а
11
, а
22
, ... , а
nn
в цьому випадку утворюють
головну діагональ матриці.
Визначник, який складений з елементів квадратної матриці, нази+
вається визначником (детермінантом) матриці і позначається так:
det A, d
A
,
A
,
A
' .
Квадратна матриця, в якій на головній діагоналі стоять одиниці,
а інші елементи дорівнюють нулю, називається одиничною і позна+
чається Е:
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
000...1
E
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
6
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то таку матрицю
називають нульовою і позначають О.
Дві матриці
()
ij m n
Aa
u
і
()
ij m n
Bb
u
називаються рівними, якщо вони
однакового розміру та рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях.
Добутком числа
O
на матрицю А за означенням є матриця
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
OO O
OO O
O
OO O
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Таким чином, щоб помножити матрицю А на число
O
, потрібно
кожний елемент матриці помножити на це число.
Сумою матриць А та В однакового розміру
mnu
називається
матриця С розміру
mnu
, елементи якої знаходяться так:
с
ij
= а
ij
+ b
ij
для всіх i та j.
Отже, додавання матриць зводиться до додавання відповідних
елементів цих матриць.
Віднімання матриць визначається через дії, які вже розглядалися:
А – В = А + (–1)В,
тобто віднімання двох матриць зводиться до віднімання їх відповід+
них елементів. Очевидно, що віднімати можна лише матриці однако+
вого розміру.
Добутком матриці
()
ij m n
Aa
u
та
()
ij n k
Bb
u
називається
матриця
()
ij m k
Cc
u
, елемент с
ij
якої дорівнює сумі добутків і+го рядка
матриці А на відповідні елементи j+го стовпчика матриці В, тобто
1
n
ij ip pj
p
cab
¦
(
1,im
;
1,
j
k
).
Для добутку матриць в загальному випадку справедливе співвід+
ношення:
AB BAz
.
(якщо ж, звичайно, існує кожен із добутків).
7
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
Операції додавання матриць мають властивості:
1. А + В = В + А;
2. (А + В) + С = А + (В + С);
3. А + О = О + А = А;
4. Якщо А + В = О, тоді В – протилежна до А матриця.
Операції множення матриць мають такі властивості:
1.
AB BAz
;
2. (АВ)С = А(ВС);
3. АЕ = ЕА = А;
4. (А + В)С = АС + ВС;
С(А + В) = СА + СВ.
Квадратна матриця А
2
це результат множення цієї матриці самої
на себе. Аналогічно вводиться поняття n+го степеня матриці А, тобто
...
n
nразів
A
AA A
.
Якщо в матриці
()
ij m n
Aa
u
поміняти місцями рядки і стовпчи+
ки, то дістанемо матрицю
()
T
i
j
nm
Aa
u
, яку називають транспоно
ваною до матриці А.
1.1.2. Розв’язання прикладів та задач
Приклад 1.1. Для матриць:
А =
22 1
10 3
432
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, В =
210
112
324
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, С =
12 1
210
11 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
знайти матриці А + В, А
Т
, С
2
, АВ, ВА.
Розв’язок.
А + В =
22 1
10 3
432
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
+
210
112
324
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
43 1
215
716
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
8
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
А
Т
=
22 1
10 3
432
T
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
21 4
20 3
03 2
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
С
2
= СС =
12 1
210
11 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
12 1
210
11 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
=
11 22 1( 1) 12 21 11 1( 1) 20 13
21 12 0(1) 22 11 01 2(1) 10 03
11 12 3( 1) 12 11 31 1( 1) 10 3 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
=
63 4
45 2
2210
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
АВ =
22 1
10 3
432
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
210
112
324
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
=
423222 044
2091060012
836434 068
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
320
11 7 12
11 11 2
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
;
ВА =
210
112
324
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
22 1
10 3
432
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
9
Розділ I. Лінійна та векторна алгебра
=
410 400 230
218 206 134
83166012 368
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
541
940
24 6 11
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Помічаємо, що
AB BAz
.
Матриці дають змогу скорочувати записи та застосовувати одна+
кові міркування для різних об’єктів.
Задача 1.2. Підприємство випускає продукцію двох видів, вико+
ристовуючи при цьому сировину трьох типів. Витрати сировини на
виробництво продукції задаються матрицею S = (s
ij
) =
54
31
23
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
,
де s
ij
— кількість одиниць сировини і+того типу, що використовуєть+
ся на виготовлення одиниці продукції j+того виду. План щоденного
випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і
120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу
сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 гр. од. Визначити загальні
витрати сировини V, необхідної для щоденного випуску продукції, а
також загальну вартість С цієї сировини.
Розв’язок. Запишемо план випуску продукції у вигляді матриці
Р =
90
120
§·
¨¸
©¹
. Тоді загальні витрати сировини планового випуску про+
дукції можна знайти як добуток матриці S і Р, тобто:
V = SP =
54
31
23
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
90
120
§·
¨¸
©¹
=
5 90 4 120
390 1120
290 3120
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
930
390
540
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Отже, для щоденного випуску продукції використовуються 930,
390 і 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відпо+
відно.
10
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Задамо вартість одиниці кожного типу сировини матрицею
Q =
8510
. Тоді загальна вартість сировини:
С = QV =
8510
930
390
540
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
8 930 5 390 10 540
= (14700).
Зауважимо, що застосування матриць в цій задачі привело до
унаочнення, спрощення і компактності обчислень.
1.1.3. Завдання для самостійного розв’язку
Приклад 1.3. Для матриць
А =
116
234
§·
¨¸
©¹
, В =
74
81
32
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, С =
10 1
312
02 3
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
обчислити 2А
Т
– 3В, АВ+Е, АВ – С.
Приклад 1.4. Для матриць
А =
21
11
§·
¨¸
©¹
, В =
324
018
§·
¨¸
©¹
, С =
10 1
23 7
§·
¨¸
©¹
обчислити 2В – 3С, А(В + С), ВС
Т
+ А
2
.
Приклад 1.5. Для матриць
А =
345
110
216
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, В =
234
01 2
11 1
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
, С =
113
246
42 2
§·
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
обчислити 4А – 3В + С, А
Т
+ В
Т
, АВ, ВА, ВС + А
2
.
Приклад 1.6. Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох
даних матриць: