Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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Bernd Klein
FEM
„Man muss gelehrt sein, um Einfaches
kompliziert sagen zu können;
und weise, um Kompliziertes einfach
sagen zu können.“
nach Charles Tschopp
Aus dem Programm Maschinenelemente und
vieweg
Pro/ENGINEER Wildfire 3.0 für Einsteiger –
kurz und bündig
von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna
CATIA V5 für Maschinenbauer
von R. List
Leichtbau-Konstruktion
von B. Klein
UNIGRAPHICS NX3 – kurz und bündig
von G. Klette/herausgegeben von S. Vajna
CATIA V5-Praktikum
herausgegeben von P. Köhler
Pro/ENGINEER-Praktikum
herausgegeben von P. Köhler
Technisches Zeichnen
von S. Labisch und C. Weber
CATIA V5 - kurz und bündig
von R. Ledderbogen/herausgegeben von S. Vajna
Solid Edge – kurz und bündig
von M. Schabacker/herausgegeben von S. Vajna
Konstruktion
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen der
Finite-Element-Methode
im Maschinen- und Fahrzeugbau
7., verbesserte Auflage
Mit 200 Abbildungen
12 Fallstudien und
19 Übungsaufgaben
Studium Technik
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
1. Auflage 1990
2., neu bearbeitete Auflage 1997
3., überarbeitet Auflage 1999
4., verbesserte und erweiterte Auflage Dezember 2000
5., verbesserte und erweiterte Auflage Oktober 2003
6., verbesserte und erweiterte Auflage Juli 2005
7., verbesserte Auflage Juni 2007
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007
Lektorat: Thomas Zipsner
Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.
www.vieweg.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.
Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes
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insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen
und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heußenstamm
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0296-5
V
Vorwort zur 1. Auflage
Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die
ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte.
Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung
der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der
Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte da-
mit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-System-
beauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben
wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammen-
hänge dargestellt werden.
Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwen-
dungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur
Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die
Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten.
Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle
ebenfalls herzlich gedankt sei.
Kassel, im September 1990 B. Klein
Vorwort zur 7. Auflage
Bücher haben die unangenehme Eigenschaft, nie fertig zu werden. So fallen mir auch beim
Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen auf, die man
besser und schöner machen kann. Die Neuauflage enthält somit viele Verbesserungen im
Text und in den Übungen, die zum noch besseren Verständnis der Finite-Element-Methode
beitragen sollen. Auch soll dem Lernenden eine geglättete Theorie helfen, die teils doch
komplexen Zusammenhänge schneller zu überblicken. Gemäß dem Motto des Buches „An-
schaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit“ hoffe ich, auch weiterhin auf einen interessierten
Leserkreis.
An der Überarbeitung des Buches haben im Wesentlichen Herr Dipl.-Ing. U. Klein und Herr
Dipl.-Ing. Th. Wolf mitgewirkt, denen hiermit gedankt sei. Die textliche Umsetzung oblag
wieder Frau M. Winter, der ebenfalls herzlich gedankt werden soll.
Calden bei Kassel, im Juni 2007 B. Klein
VI
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ............................................................................................................. 1
1.1 Historischer Überblick ................................................................................... 1
1.2 Generelle Vorgehensweise............................................................................. 4
1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse.............................................................. 8
1.4 Qualitätsstandards .......................................................................................... 10
2 Anwendungsfelder und Software ......................................................................... 11
2.1 Problemklassen............................................................................................... 11
2.2 Kommerzielle Software.................................................................................. 12
3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element- Methode................................ 16
3.1 Matrizenrechnung........................................................................................... 16
3.2 Gleichungen der Elastostatik.......................................................................... 19
3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik ........................................................... 26
3.4 Finites Grundgleichungssystem ..................................................................... 27
3.4.1 Variationsprinzip................................................................................. 27
3.4.2 Methode von Galerkin ........................................................................ 31
4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode............................................................................ 34
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode.......................................................... 41
5.1 Allgemeine Vorgehensweise.......................................................................... 41
5.2 FE-Programmsystem...................................................................................... 44
5.3 Mathematische Formulierung......................................................................... 45
5.3.1 Ebenes Stab-Element .......................................................................... 45
5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-Element................................................................. 50
5.3.3 Ebenes Balken-Element ...................................................................... 53
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf ....................................................................... 62
5.4.1 Steifigkeitstransformation................................................................... 62
5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte................................................................... 65
5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen................................................ 68
5.4.4 Sonderrandbedingungen...................................................................... 72
5.4.5 Lösung des Gleichungssystems .......................................................... 74
5.4.6 Berechnung der Spannungen .............................................................. 81
5.4.7 Systematische Problembehandlung..................................................... 83
6 Wahl der Ansatzfunktionen.................................................................................. 89
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme ..................................................... 93
7.1 3-D-Balken-Element ...................................................................................... 93
7.2 Scheiben-Elemente......................................................................................... 97
7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand ........................................... 97
7.2.2 Dreieck-Element ................................................................................. 98
7.2.3 Flächenkoordinaten............................................................................. 105
7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements................................................. 110
7.2.5 Rechteck-Element ............................................................................... 111
Inhaltsverzeichnis VII
7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente ............................................ 119
7.2.7 Berücksichtigung der Schubverformung ............................................ 120
7.2.8 Viereck-Element ................................................................................. 125
7.2.9 Isoparametrische Elemente ................................................................. 129
7.2.10 Numerische Integration....................................................................... 134
7.3 Platten-Elemente ............................................................................................ 139
7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand ........................................... 139
7.3.2 Problematik der Platten-Elemente ...................................................... 143
7.3.3 Rechteck-Platten-Element................................................................... 146
7.3.4 Dreieck-Platten-Element..................................................................... 152
7.3.5 Konvergenz ......................................................................................... 153
7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen.................................................. 155
7.3.7 Beulproblematik.................................................................................. 156
7.4 Schalen-Elemente........................................................................................... 165
7.5 Volumen-Elemente......................................................................................... 170
7.6 Kreisring-Element .......................................................................................... 175
8 Kontaktprobleme................................................................................................... 182
8.1 Problembeschreibung ..................................................................................... 182
8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme........................................... 184
8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme................................................ 188
8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt...................... 188
8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt .............................................................. 189
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme .............................................................. 202
9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik .................................................................... 202
9.2 Elementmassenmatrizen................................................................................. 204
9.2.1 3-D-Balken-Element ........................................................................... 205
9.2.2 Endmassenwirkung ............................................................................. 207
9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element ................................................................. 209
9.3 Dämpfungsmatrizen ....................................................................................... 212
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter System.................................................... 213
9.4.1 Gleichungssystem ............................................................................... 213
9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte.............................................. 221
9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ........................................................ 222
9.5 Freie Schwingungen....................................................................................... 226
9.6 Erzwungene Schwingungen ........................................................................... 228
9.7 Beliebige Anregungsfunktion......................................................................... 237
9.8 Lösung der Bewegungsgleichung .................................................................. 238
10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode........................ 247
10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben................................................ 247
10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ................................................................. 250
10.3 Plastizität ........................................................................................................ 253
10.4 Geometrische Nichtlinearität.......................................................................... 257
10.5 Instabilitätsprobleme ...................................................................................... 259
VIII Inhaltsverzeichnis
11 Wärmeübertragungsprobleme ............................................................................. 266
11.1 Physikalische Grundlagen .............................................................................. 266
11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ......................................................... 271
11.3 Lösungsverfahren ........................................................................................... 273
11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung................................ 275
11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung................................ 276
12 Mehrkörpersysteme............................................................................................... 279
12.1 Merkmale eines MKS..................................................................................... 279
12.2 Kinematik von MKS....................................................................................... 281
12.2.1 Drehmatrix .......................................................................................... 283
12.2.2 Ebene Bewegung................................................................................. 285
12.3 Kinetik von MKS ........................................................................................... 287
12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper.......................................... 289
12.3.2 Newton-Euler-Methode ...................................................................... 291
12.4 Lagrange’sche Methode ................................................................................. 293
12.5 Mechanismenstrukturen ................................................................................. 295
13 Bauteiloptimierung ................................................................................................ 297
13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe ..................................................... 297
13.2 Parameteroptimierung .................................................................................... 298
13.3 Bionische Strategie......................................................................................... 300
13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung ................................................................... 303
14 Grundregeln der FEM-Anwendung..................................................................... 306
14.1 Fehlerquellen.................................................................................................. 306
14.2 Elementierung und Vernetzung...................................................................... 307
14.3 Netzaufbau...................................................................................................... 311
14.4 Bandbreiten-Optimierung............................................................................... 314
14.5 Genauigkeit der Ergebnisse............................................................................ 318
14.6 Qualitätssicherung.......................................................................................... 320
Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode...................................................... 323
Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise..................... 325
Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen........................ 329
Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung......................................... 330
Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen........................................ 332
Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing..... 335
Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing............. 337
Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ............................................................. 340
Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen .................................................. 343
Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität ........................................................ 347
Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität............................................ 350
Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme ...................................................... 353
Übungsaufgabe 4.1 ......................................................................................................... 357
Übungsaufgabe 5.1 ......................................................................................................... 358
Übungsaufgabe 5.2 ......................................................................................................... 359
Übungsaufgabe 5.3 ......................................................................................................... 361
Inhaltsverzeichnis IX
Übungsaufgabe 5.4 ......................................................................................................... 363
Übungsaufgabe 5.5 ......................................................................................................... 365
Übungsaufgabe 5.6 ......................................................................................................... 368
Übungsaufgabe 5.7 ......................................................................................................... 369
Übungsaufgabe 5.8 ......................................................................................................... 372
Übungsaufgabe 6.1 ......................................................................................................... 373
Übungsaufgabe 7.1 ......................................................................................................... 374
Übungsaufgabe 7.2 ......................................................................................................... 375
Übungsaufgabe 9.1 ......................................................................................................... 376
Übungsaufgabe 9.2 ......................................................................................................... 377
Übungsaufgabe 9.3 ......................................................................................................... 378
Übungsaufgabe 9.4 ......................................................................................................... 379
Übungsaufgabe 10.4 ......................................................................................................... 380
Übungsaufgabe 11.1 ......................................................................................................... 381
Übungsaufgabe 11.2 ......................................................................................................... 382
Mathematischer Anhang .................................................................................................. 383
QM-Checkliste einer FE-Berechnung .............................................................................. 393
Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 395
Sachwortverzeichnis ......................................................................................................... 400
X
Formelzeichensammlung
- A -
a
i
Multiplikatoren
A (mm
2
) Querschnittsfläche
A
(mm) Koordinatenmatrix;
Koeffizientenmatrix;
Iterationsmatrix
A
Boole‘sche Matrix
A
i
Koeffizient
- B -
B Lösungsbereich
B
differenzierte An-
satzfunktionsmatrix;
Koeffizientenmatrix
N
B
nichtlinearer Anteil
der Matrix
B
- C -
c (N/mm) Federkonstante
c
Elementdämpfungs-
matrix
i
c
,
i
C
Integrationskonstante
c
i
(mm;
grd)
Koeffizient
c
ij
(N/mm;
grd)
Drehsteifigkeitskoef-
fizient
C
Systemdämpfungs-
matrix;
Wärmekapazitäts-
matrix
- D -
d
(mm) Knotenverschie-
bungen
d
(mm/s
2
) Knotenbeschleuni-
gung
d
(mm/s) Knotengeschwindig-
keit
P
d
Plattenanteil der
Knotenverschiebung
S
d
Scheibenanteil der
Knotenverschiebung
D(u) Differenzialoperator
D
Differenzialopera-
torenmatrix
- E -
E (N/mm
2
) Elastizitätsmodul
E
(N/mm
2
) Elastizitätsmatrix
T
E
Tangenten-Elastizi-
tätsmatrix
- F -
f (N) bezogene (verteilte)
Kraft
F(x) Funktion allgemein
F
(N) Vektor der äußeren
Einzelkräfte
a
F
äußere Kräfte
b
F
Reaktionskräfte
c
F
Resultierende der
Schwingungs-DGL
i
F
Einzelkraft
ia
F
äquivalente Einzel-
kräfte
s
F
unbekannte
Reaktionskräfte
- G -
g
Zeilenvektoren
gg
ij
,
Formfunktionen
G (N/mm
2
) Gleitmodul
G
Formfunktions-
matrix;
Matrix der Knoten-
ansatzfunktionen
i
G
Formfunktionsmatrix
G
K
(N) Gravitationskraft
kub
G
kubischer Anteil der
Formfunktionsmatrix
li
n
G
linearer Anteil der
Formfunktionsmatrix
r
G
rotatorischer Anteil
der Formfunktions-
matrix