Кириллов И.И. Автоматическое регулирование паровых турбин и газотурбинных установок
Подождите немного. Документ загружается.
симмуруются
в
одну величину
х%.
Преобразование сигналов
в
та
ком ряду звеньев можно описать следующей системой уравнений
в изображениях:
Qi{s)x
1
= k
1
x
0
;
Q
2
(s)x
2
= k
2
x
0
;
Q„(s)
x
n
= k
n
x
0
, (8.5)
где
Q (s) —
операторы, имеющие
те же
значения,
как и в
(8.1).
Для данной динамической системы, суммируя выходные вели
чины, получим
*
2
= х
г
+ х
2
+ ... + х
п
или
согласно
(8.5) х
х
=
= [*i/Qi
(s) +
VQ
2
(s) + ... +
k
n
/Q
n
(s) ]
jc„.
Обозначим передаточную функцию всего ряда звеньев
W
(s)
=
= Х
2
/Х
0
и
передаточные функции отдельных звеньев
W
x
(s) =
= ij/Xo
=
VQi
(s); W
2
(s)
=
x
2
/x
0
=
£
2
/Q
2
(s);
...; W
n
(s)
=
X„/X
0
=
=
k
/Q
n
(s).
Тогда
W (s)
=
W,
(s) I W
2
(s)
+ ... + W
n
(s),
(8.6)
т.
е.
передаточная функция системы
с
параллельно включенными
звеньями направленного действия равна сумме передаточных функ
ций этих звеньев.
,
Правые части системы дифференциальных уравнений,
из
кото
рых получены изображения
(8.5),
могут содержать
не
только
кинематические коэффициенты усиления
k, но и
полиномы
P
t
(р),
отвечающие введению
в
звенья производных
по
времени
от
вход
ного сигнала.
§
8.3.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Выше рассмотрены
в
основном структурные схемы,
разомкнутые
по
регулируемой величине.
В
этих схемах сигнал
извне подавался
к
первому звену, изображающему регулятор,
проходил сквозь
все
звенья цепи
и
выходил
в
преобразованном
виде
из
последнего звена
—
объекта регулирования. Если соеди
нить крайние звенья цепи главной обратной связью
с
передаточ
ным числом
—1 (см. рис. 8.1,
а), то
получим замкнутую струк
турную схему.
Она
может служить математической
моделью реальной системы автоматического регулирования.
Рассмотрим
две
типовые замкнутые структурные схемы:
с
под
водом внешнего воздействия
к
командующему органу
—
управ
ляющего воздействия
g (t) или к
объекту регулиро
вания
—
возмущающего воздействия
/ (t).
Управляющее воздействие
(g (t) на
рис.
8.1, а).
Назначение
этого сигнала
—
изменять
по
мере надобности нагрузку
на
тур
бину
или
величину регулируемого параметра. Сигнал передается
либо через медленно действующий механизм управления турбиной
(МУТ),
либо через особое быстродействующее устройство типа
ЭГП
(см.
§
4.3).
Выбор способа ввода сигнала
в
систему регули
рования зависит
от
конечной цели: команды
по
поводу плановых
или корректирующих изменений нагрузок
на
турбогенератор
120
могут выполняться
с
небольшой скоростью, тогда
как
в
аварийной
ситуации система регулирования должна реагировать
на
сигналы
почти мгновенно
и с
максимальной активностью.
О
возможной
активности динамической системы
в
ответ
на
сигнал можно судить
по
ее
передаточной функции.
Передаточная функция
Ф (s)
замкнутой
цени
п о
управляющему воздействию
g (t)
определяется
как
отношение изображения выходной величины
х
п
к изображению сигнала
g, т. е.
Ф
(s)
=
x
n
lg.
(8.7)
Чтобы функцию
Ф
(s)
выразить через динамические постоянные
и коэффициенты усиления звеньев, образующих цепь, рассмотрим
систему
тех же
дифференциальных уравнений (8.1),
как и для
разомкнутой цепи,
но с
добавлением
в
уравнение первого звена
сигнала—
х
п
,
поступающего через главную обратную связь.
При этом уравнением первого звена будет
Qi
(s) х
1
=
kt.
(g — *n), (
8
8
)
а
всю
систему уравнений запишем
так:
Qi
(s) x
t
+ Мп = k
x
g;
Qi (s)
x
2
— k
2
x
s
0;
Q
3
(s)
x
3
—
к
я
х
2
• 0; (8.9)
Q
n
(s)
x
n
— k
n
x
n
_
x
= 0,
где функции
Q
(s)
имеют
те же
значения,
как
и в
(8.1).
Решим систему
(8.9)
алгебраических уравнений относительно
выходной координаты
х
п
. По
теореме Крамера
где
£>i(s)
х
п
= D,
(s)/D
(s),
Qi(s)
о о
k
2
Q
2
(s) 0
о
о
о
о
0
0 —kn Qn(s)
Qi (s)
0 0 k
lg
—
k, Q
2
(s) 0
0
0
jfej
о 0
(8.10)
0
0
—
k
n
о
121
Запишем определители
в
развернутом виде:
D
(s)
= Q
r
(s)
Q
2
(s)
... Q
n
(
S
) + k,k
2
... k
n
;
(8.11)
Di
(s)
--
gk
x
k
2
...
kn.
(8.12)
После подстановки выражений
(8.11)
и
(8.12)
в
(8.10)
и
деления
на
g
получим
Ф
(s)
= k,k
2
...
kJlQ,
(s) Q
2
(s) ... Q
n
(s) + k
x
k
2
... AJ.
Поделим числитель
и
знаменатель
в
последнем уравнении
на
произведение
Q, (s) Q
2
(s)
... Q
n
(s) и
воспользуемся
(8.3) для
передаточной функции
W
(s)
разомкнутой системы.
В
результате
этих преобразований получим
Ф(8)
= W
(s)/(l
+
W(s)).
(8.13)
^Формула
(8.13)
устанавливает прямую связь между передаточ-
ной функцией замкнутой динамической системы
по
управляющему
воздействию
и
передаточной функцией
той же
разомкнутой
си-
стемы.
Эта
связь подтверждает,
что
знания передаточной функции
разомкнутой системы достаточно
для
того, чтобы судить
о
дина-
мических свойствах
той же
системы, замкнутой через главную
обратную связь.
На
этом свойстве динамических характеристик
системы основан частотный критерий устойчивости
(см.
§
6.3).
Возмущающее воздействие
(/
(t)
на
рис. 8.1,
а).
Оно
возникает
при возмущениях
во
внешней системе,
к
которой подключен объект
регулирования. Такими возмущениями могут быть произвольные
изменения нагрузки
на
генератор, колебания расхода пара,
от-
бираемого
из
турбины, изменения давления пара перед турбиной
или
в
конденсаторе
и
другие внешние импульсы, действующ!
е
непосредственно
на
объект регулирования.
Передаточная функция
Y
(s)
замкнутой
цепи
по
возмущающему воздействию
на
последнее звено
в
цепи определяется
как
отношение изображений
выходной величины
х
п
и
внешнего возмущения
/, т. е.
Y
(s)
= xjf.
(8.14)
Возмущающее воздействие войдет
в
уравнение последнего
звена
Q
n
(s)x
n
=
k
n
x
n
_,
x
-f
k'nf,
(8.15)
где
А; —
коэффициент усиления
в
последнем звене
по
отношению
к функции
/(/).
Уравнение первого звена получим
из
(8.8),
поло-
жив
g = 0, т. е.
Q^s)
Ху ==
—
k
t
x
n
.
Уравнения остальных звеньев
—
те
же, что
и в
системе
(8.1).
Полная система уравнений
для
за-
мкнутой цепи звеньев станет:
Qi
(s)
Ху
+
k
x
x
n
= 0;
0.4
(s)
х
2
— Mi
= 0;
Qs (s)
x
3
—
k
3
x
2
= 0;
(8.16)
122
Qn(s)
X
n
- k
n
X
n
_
x
=
k'nf.
Решим
эту
систему алгебраических уравнений относительно
х
п
согласно
(8.10).
При
этом определитель
D (s)
сохранит свое зна-
чение
(8.11),
a
Dj
(s)
примет
вид
Qi(s)
о ... о о
-k
t
Q
2
(s) ... 0 0
0
—А.
... 0 0
о
о
.:.—*„
k'nf
= fk'nQtis)
Q
2
(s)...Q
n
_
1
(s).
Подставив полученное выражение
для х
п
передаточную функцию
Y
(s)
= X
(s)/(l
+ W (s),
в
(8.14),
(8.17)
найдем
(8.18)
регули-
где
X
(s)
=
k'
n
lQ
n
(s)
—
передаточная функция объекта
рования
по
отношению
к
внешнему воздействию
f (t).
Эта функция существенно отличается
от
передаточной функции
W (s),
входившей
в
числитель
(8.13).
Объясняется
это
тем,
что
подаваемый возмущающий сигнал проходит только через объект
регулирования, тогда
как
управляющий сигнал преобразуется
во всей цепи звеньев
в
сигнал
х
0
.
Частотные характеристики.
Для
замкнутой цепи звеньев
частотные характеристики получаются обычной подстановкой
s =
1ш. Разделив вещественную
и
мнимую части, можем записать
для управляющего воздействия
Ф
(ш)
= G
(со)
+ iti
(со) (8.19)
и
для
возмущающего воздействия
Y
(гсо)
= F
(со)
+ IL
(со). (8.20)
С приближением
к
критической точке
(W
(t'co)
=
—1) обе
си-
стемы теряют устойчивость.
§
8.4.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
Применяя теоремы
о
передаточных функциях цепей
последовательно
и
параллельно включенных звеньев
(§8.1
и
8.2),
можно получить суммарные характеристики
для той или
иной
группы звеньев
и
рассматривать
ее
как
одно эквивалент-
ное звено. Таким образом, многоконтурные группы звеньев
могут быть преобразованы
в
одноконтурные. Можно также объ-
единять любое число звеньев
в
одно эквивалентное звено, руко-
водствуясь физическим смыслом процесса
и
достоинствами мате-
матической модели, создаваемой
на
основании такого преобразо-
вания. Покажем принципиальные преимущества этого метода
на примерах.
123
[ , ~[
Обратная связь. Рассмотрим
'
1 [ I
структурную схему,
в
которой основ-
ное звено, интегрирующее, апериоди-
х
:'
|,х
2
ческое
или
колебательное, охвачено
х,
г 1
х
обратной связью со своей передаточной
W|
'
S
' *
функцией
Z (s) (рис. 8.2).
Передаточ-
ную функцию основного звена
без
Рис.
8.2.
Обратная связь обратной связи по-прежнему
(см.
§
8.2)
запишем
в
виде
W (s) = klQ (s), (8.21)
где
Q (s) —
функция, имеющая
то же
значение,
что и в (8.1).
Передаточную функцию обратной связи
по
определению най-
дем
из
выражения
х
с
= Z (s) *
2
, (8.22)
где
х —
входная величина
в
звено обратной связи;
х
с
—
выходная
величина, подаваемая
из
звена обратной связи
к
входу
в
основное
звено.
Обратную связь,
как
указывалось, будем считать положитель-
ной
или
отрицательной
в
зависимости
от
того, прибавляется
к основному сигналу
или
вычитается
из
него вторичный сигнал
х
с
,
причем передаточную функцию
Z (s)
по-прежнему будем считать
положительной.
Отрицательная обратная связь подводит
к основному звену дополнительный сигнал
—х
с
,
входной вели-
чиной
к
этому звену становится
х
х
— х
с
и
уравнение охваченного
связью звена имеет
вид Q (s) х
2
= k {х
х
— х
с
) или
согласно
(8.22)
Q
(s) х
2
= k [х
г
— Z (s) х
г
]. (8.23)
Передаточная функция эквивалентного
звена
по
определению
W
3
(s) =
х
2
/х
1
.
Поделив
обе
части
(8.23) на x
x
Q (s) и
приняв
во
внимание
(8.21),
получим
W
B
(s) =
W(s)/l\
+ Z(s)
W(s)}.
(8.24)
Положительная обратная связь подводит
к основному звену сигнал -\-х
с
,
а это
равносильно изменению
знака перед
Z (s) в (8.23), т. е. для
положительной обратной связи
W
3
(s) = W
(s)/[1
- Z (s) W (s) ]. (8.25)
Рассмотрим примеры передаточных функций
в
обратной связи.
Обратная связь
к
интегрирующему звену.
В
этом случае пере-
даточной функцией основного звена
в (8.24)
будет
W (s) = k'lTs,
где
Т —
динамическая постоянная интегрирующего звена
в (7.22).
В отрицательную обратную связь включим кинематическое
звено
с
передаточным числом
Z (s) = l/k
c
. Так как в
интегриру-
ющем звене коэффициент усиления
k'
носит условный характер
и
его
величина произвольно выделяется
из
динамической постоян-
124
ной, примем
k' /,',. k. А при
этом
по (8.24)
найдем передаточ-
ную функцию эквивалентного звена
W
3
(s) = (klTs)l(\ +
\/(Ts))
или
W
s
(s) = k!(Ts + 1). Это
выражение соответствует передаточ-
ной функции апериодического звена.
Итак, охват интегрирующего звена обратной связью
с
коэффи-
циентом усиления
\lk
преобразует звено
в
апериодическое
с
коэф-
фициентом усиления
k.
Здесь введение обратной связи принци-
пиально меняет динамические свойства эквивалентного звена
по сравнению
с
исходным: основное звено неустойчиво,
а
экви-
валентное
—
устойчиво.
Коэффициент
же
усиления обратной связи
l/k
имеет смысл
приведения
в
статике координаты
х
2
(t) к
масштабу входной
величины
х
х
(/).
Действительно, если сигнал
x
l
(t),
проходя сквозь
основное звено, увеличивает свою амплитуду
при « 0 в k раз,
то сигнал
лг
2
(t),
передаваемый через обратную связь
с
коэффи-
циентом усиления
Ilk,
уменьшается
во
столько
же раз, и он
воз-
вращается
к
звену
в
масштабе входной величины. Благодаря
этому воздействие входного сигнала сразу
же
сильно тормозится,
уменьшается перерегулирование
и
динамическая система стре-
мится вернуться
к
положению равновесия.
Главная обратная связь
(рис. 8.1, а). В (8.24)
основное звено
может иметь любую передаточную функцию
W (s). В
частности
эта функция может представлять динамические свойства цепи
звеньев, замененной одним эквивалентным звеном.
В
таком
ас-
пекте
и
рассмотрим цепь звеньев, замкнутую главной обратной
связью
с
передаточным числом
—1 (см.
§6.3).
В обозначениях данного параграфа главная обратная связь
является отрицательной
с
передаточной функцией
Z (s) = 1.
Для
нее (8.24)
примет
вид
W
g
(s) = W
(s)/[l
+ W (s)], (8.26)
где
W (s) —
передаточная функция всей разомкнутой цепи звеньев,
через которую проходит подаваемый
к
первому звену сигнал
g
как управляющее воздействие
и
которая
вся
охвачена отрицатель-
ной обратной связью.
Формула
(8.26),
естественно, совпадает
с (8.13), так как,
по сути дела,
W
3
{s)
представляет собой передаточную функцию
замкнутой цепи звеньев
Ф (s) с
сигналом
g при
входе
в эту
цепь.
Этот пример подтверждает, насколько частотные методы упро-
щают задачи
и
расширяют возможность обобщений.
Преобразование многоконтурных структурных схем.
Из
рас-
смотренных выше примеров динамики звеньев, охваченных обрат-
ной связью, можно сделать
и
более общее заключение: вводя
эквивалентные звенья вместо одного
или
нескольких последова-
тельных звеньев, охваченных параллельными связями, можно
вы-
делять
в
структурных схемах части, которые
по
динамическим
свойствам целесообразно рассматривать
как
одно сложное звено,
имеющее определенный физический смысл. Приведем несколько
125
примеров, когда этот метод преобразования структурных схем
особенно эффективен.
Пример 1. Нередко сложные системы регулирования
объединяют части объекта регулирования, резко различающиеся
по возможному быстродействию. Так, современный паротурбин-
ный блок состоит в основном из парогенератора, турбинной
установки с теплообменными аппаратами и электрического гене-
ратора. Из этих частей блока парогенератор обладает гораздо
большей инерционностью, чем турбина вместе с генератором.
Это дает основание выделить малоинерционную и потому быстро-
действующую часть блока и рассматривать ее особенности дина-
мики регулирования в начальной стадии процесса регулирования
изолированно или при некотором вмешательстве медленнодейству-
ющей системы регулирования парогенератора, представляя в та-
ком случае эту часть системы одним эквивалентным звеном в зна-
чительно упрощенном виде.
С другой стороны, систему регулирования парогенератора
целесообразно рассматривать, учитывая динамику регулирования
быстродействующей чарти турбогенератора как одного эквива-
лентного звена с различными динамическими свойствами: силь-
ными по быстродействию в начальной стадии процесса и ослаблен-
ными в его завершающей части, когда определяющей становится
динамика парогенератора.
Но и весь паротурбинный или газотурбинный блок может
составлять лишь элемент мощной энергосистемы. В таком случае
при изучении динамики регулирования энергосистемы блок можно
рассматривать как эквивалентное звено с различными динами-
ческими свойствами в быстротекущих и медленных процессах
регулирования.
Пример 2. Велика роль преобразования структурных схем
и в исследованиях динамики регулирования нескольких пара-
метров. Такой прием уже давно используется. Так, например,
в турбинах с отбором пара регулируются два параметра: частота
вращения и давление отбираемого пара (см. § 3.7). При этом на
каждый регулятор естественно полностью возложить поддержание
своего параметра без вмешательства, по возможности, другого
регулятора (идея автономности системы регулирования).
В исследованиях таких систем весьма эффективен метод
выделения замкнутой системы одного параметра при замене всей
замкнутой системы другого параметра одним эквивалентным
звеном. С помощью такого звена можно просто оценивать влияние
неизбежных отклонений процессов регулирования от идеально
автономных, что и было выполнено впервые автором в работах
[21, 24].
В газотурбинной установке цикловой компрессор вместе с ка-
мерами сгорания и, возможно, с охладителями и подогревателями
воздуха играют, в принципе, такую же роль, как парогенератор
в паротурбинном блоке: они генерируют рабочее тело, пред-
126
назначенное для приводной турбины, вырабатывающей механи-
ческую энергию для внешнего потребления (вращения электри-
ческого генератора, нагнетателя воздуха и пр.). Эта часть ГТУ
по сравнению с парогенератором отличается быстродействием
во время переходных процессов. Благодаря этому ГТУ обладают
высокими маневренными качествами.
Но все же в исследованиях динамики регулирования ГТУ
целесообразно в структурной схеме выделить в эквивалентное
звено, с одной стороны, наиболее быстродействующую часть —
регулятор, а с другой — своеобразную часть, генерирующую
рабочее тело и действующую с наибольшим отставанием по фазе.
Таким образом, систему регулирования двухвальной ГТУ можно
представить тремя эквивалентными звеньями в виде: регулятора,
генератора рабочего тела и турбинного агрегата полезной ра-
боты.
Первое эквивалентное звено конструктор должен держать
в своих руках, выбирая наиболее эффективные средства управле-
ния и защиты всей энергетической установки и по возможности
составляя регулятор из унифицированных элементов. Два других
звена конструктор автоматических устройств обычно получает
как жестко заданные по своим характеристикам. На эти харак-
теристики он может лишь в некоторой мере влиять, видоизменяя
распределительные органы.
Из рассмотренных примеров следует, что преобразование струк-
турных схем и введение эквивалентных звеньев — это очень важный
инженерный метод исследования сложных систем регулирования,
побуждающий перестраивать математическую модель для
выявления принципиальных физических свойств ее частей и их
совершенствования, а также для упрощения расчетов.
ГЛАВА 9. КАЧЕСТВО СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Назначение турбин весьма разнообразно, а в зависи-
мости от условий их работы меняются и требования к динамике
систем регулирования.
К системам регулирования турбин, параллельно работающих
на электрическую сеть, предъявляются особо высокие требования
по точности передачи импульсов и быстродействию.
Главными показателями динамического совершенства си-
стем регулирования помимо коэффициентов неравномерности и
степени нечувствительности служат: запас устойчивости, пере-
регулирование, декремент и период колебаний, время переход-
ного процесса и коэффициент колебательности. Частотные харак-
теристики системы регулирования в целом и ее основных элемен-
тов — весьма полезное дополнение к оценкам динамических
127
свойств, получаемых непосредственно
из
анализа дифференциаль-
ных уравнений движения
и
процессов.
Математическая модель динамической системы
—
необходи-
мый фундамент
для
строгой оценки
ее
качеств.
На
базе этой модели
строятся частотные характеристики системы
и
выявляются вли-
яния
на
процесс регулирования эквивалентных звеньев
се
состава.
На основе анализа
по
возможности полной математической
мо-
дели проводится
ее
допустимое упрощение
за
счет снижения
порядка системы дифференциальных уравнений.
Для
этой цели
особенно эффективен частотный анализ звеньев, выясняющий
области
их
существенных частот
для
процесса регу-
лирования.
Принципиальная математическая
мо-
дель,
отражающая только главные свойства системы, чрезвы-
чайно полезна
для
понимания сути дела
и
устранения лишних
усложнений системы. Изучение
ее
показателей может привести
к упрощению
и
повышению надежности управления, снижению
затрат
на
изготовление,
а
также
к
сокращению времени наладки
системы
и ее
эксплуатации.
Там,
где
необходимо, математическая модель может сочетаться
с физической моделью какой-либо части системы,
что
позволяет
проводить полноценный эксперимент.
В
этом случае частотные
методы исследования особенно эффективны.
§
9.1.
УСТОЙЧИВОСТЬ
При составлении математической модели системы регу-
лирования устойчивость
—
главный фактор, сразу ограничива-
ющий область,
в
которой только
и
возможен поиск оптимальной
схемы регулирования. Критерии устойчивости дают лишь ответ,
с какой стороны
от
границы устойчивости занимает место пред-
лагаемая математическая модель.
Для
этой цели могут быть
использованы
в
равной мере
как
алгебраические,
так и
графи-
ческие критерии.
Запас устойчивости лучше всего устанавливается
частотными методами. Специально
для
этой цели служит метод
D-разбиения (§6.4).
С
помощью этих диаграмм должно быть
исследовано влияние
на
устойчивость системы
тех
констант,
которые заведомо могут сильно меняться
в
зависимости
от
условий
эксплуатации.
Так,
например,
в
широких пределах может
ме-
няться настройка системы регулирования турбины
при
установке
ее
в
различных энергетических системах. Значительно может
изменяться момент инерции ротора мощных турбин
при
различ-
ном, скажем, числе цилиндров низкого давления, выбранных
применительно
к
заданной глубине вакуума
на
электростанциях,
тогда
как
остальная часть системы регулирования остается уни-
фицированной. Подобные отклонения должны быть оценены
с некоторым запасом
па
неточности расчетов
и на
возможный
128
диапазон допустимых измене-
ний коэффициентов характери-
стического уравнения.
А
затем
сделанные выводы следует про-
верить методом D-разбиения
или непосредственно
на
пло-
скости частотной характери-
стики
W
(ico),
как
показано
ниже.
Различают амплитудно-фа-
зовые характеристики первого
и второго рода
(рис. 9.1).
Пер-
вые (кривая
/),
если пересе-
кают вещественную
ось, то
лишь справа
(—1,0).
Вторые (кривая
2)
пересекают
Рис
Запас устойчивости
от критической точки
вещественную
ось как
слева,
так и*
справа". Практически
в
данном курсе будут встре-
чаться лишь
АФХ
первого рода,
и
такими будем
их
представ-
лять
в
наших исследованиях.
Допустим,
что по
оценке возможных отклонений
и
неточностей
расчетов коэффициента усиления
и
динамических констант ошибка
в определении
W (ico)
может достигнуть величины
h по
модулю
и у
по фазе. Тогда
для АФХ
первого рода заштрихованная
на рис. 9.1
область считается запретной. Величина
h —
запас устой-
чивости
по
модулю,
а у
•— запас устойчиво-
сти
по
фазе. Заштрихованную площадь
не
должна пере-
секать амплитудно-фазовая характеристика.
Устойчивость рассматриваемой системы, состоящей
из
линей-
ных звеньев,
не
гарантирует отсутствия незатухающих колебаний
системы из-за трения
в
элементах регулирования
и
других
не-
линейностей
(см. гл. 12—14).
§
9.2.
ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЕ
Перерегулированием называется макси-
мальное отклонение регулируемой величины
от
нового установив-
шегося состояния, после того
как при
первом размахе регулиру-
емый параметр достигнет своей равновесной величины,
но
система
продолжит движение из-за инерционности каких-либо звеньев
или вследствие запаздывания процесса.
Это
отклонение регули-
руемой величины часто называют также динамическим
забросом.
При
этом
за
новое установившееся состояние при-
нимается
то, к
которому
с
течением времени стремится устойчивая
система после внезапного нарушения равновесия.
В
качестве
примера
на рис. 9.2
показано перерегулирование х
тах
(0 при
возрастании частоты вращения после частичного
или
полного
сброса нагрузки
с
турбогенератора, когда переходный процесс
стремится
к
новому положению равновесия
на оси Ot.
Аналогично
можно представить перерегулирование
при
набросе нагрузки.
5
Кириллов
и. и. ^29
Рис. 9.2.
Затухающий колебатель-
ный процесс:
O't —
старое положе-
ние равновесия;
Ot —
новое поло-
жение равновесия
Этот показатель качества
си-
стемы регулирования особенно
важен
для
турбогенераторов,
вы-
рабатывающих электрическую
энергию,
так как с
величиной
перерегулирования могут быть
связаны колебания напряжения
в электрической сети
и
рост
ди-
намических напряжений
в
роторе.
Затухающий колебательный
процесс
(рис. 9.2).
Рассмотрим
систему регулирования, пред-
ставленную линейным дифферен-
циальным уравнением второго порядка
с
постоянными коэффи-
циентами
с
0
х
(/) + c
lX
(/) + с
2
х (/) = / (/), (9.1)
где
х (/) —
регулируемая величина;
/ (/) —
внешнее возмущение.
После введения
в
систему мгновенного возмущения
/ (/)
(сброса
или наброса нагрузки) предоставим системе свободно переходить
к новому положению равновесия. Запишем характеристическое
уравнение
для
данной математической модели
c
0
s
2
+
Cj,s
+ с
%
= 0. (9.2)
Если
это
алгебраическое уравнение имеет комплексные корни,
то
они
обязательно получаются
как два
сопряженных:
s
x
= а +
+
со/; s
2
= а — со/, где а =
—
с
1
/(2с
0
);
со
=
т/(ф
0
)
- (cV(2c
0
))
2
. (9.3)
Решение
(9.2)
представим
в
тригонометрическом виде
(5.30)
х
(/) = е
а
' (d cos
со/
+ С
2
sin со/), (9.4)
где
С
х
и С
2
—
постоянные интегрирования.
По теореме Гурвица система устойчива, если
все
коэффи-
циенты
в (9.2)
больше нуля.
А в
таком случае всегда
а < 0, и
экс-
понента
в (9.4) с
течением времени стремится
к
нулю. Другими
словами, данная система асимптотически устой-
чива. Колебательный процесс наступает
при
вещественном
со,
когда
в
формуле
(9.3) под
корнем
с
2
>
с?/(4с„).
(9.5)
В этом случае всегда происходит перерегулирование.
Его
величина
х
тах
(/)
зависит
от
коэффициентов характеристического
уравнения
и от
постоянных интегрирования.
Она
может быть
выражена аналитически через коэффициент усиления
и
динами-
ческие константы системы
(см. § 11.1).
Большое перерегулирование
—
всегда недостаток системы.
Умеренное перерегулирование чаще всего вполне допустимо.
130
Но
все же
иногда выдвигается задача создать систему регулиро-
вания второго
и
даже более высокого порядка
с
процессом
без
периодических колебаний.
Затухающий апериодический процесс.
Для
системы
с одной степенью свободы имеем дифференциальное
уравнение
с
0
х
(0 +
Cl
x (0 = / (/). (9.6)
Характеристическое уравнение этой системы
c
0
s + с
х
= 0, (9.7)
и решение дифференциального уравнения
(9.6)
имеет
вид
х
(/) = Ле". (9.8)
Для устойчивого регулирования должно быть
s < 0, а
тогда
процесс после скачкообразного возмущения протекает
по
экспо-
ненте
от
начального состояния равновесия
х (0) к
новому, уста-
новившемуся
х
у
,
асимптотически
к
нему приближаясь
(см. рис. 7.1
при
х = х
2
). При
этом процесс вовсе
не
пересекает
ось О/, и
пере-
регулирование невозможно.
В системе
с
двумя степенями свободы
процесс протекает
без
периодических колебаний, если веще-
ственны
и
отрицательны
оба
корня характеристического уравне-
ния
(9.2). В
этом случае получим
из (9.3)
критерий апе-
риодичности процесса
с
2
<
с?/(4с
0
).
(9.9)
Решение
(9.1) при
вещественных корнях естественно записать
в показательных функциях,
как
было принято
при
выводе
(5.28),
х
(/) = А^* + Л
2
е^, (9.10)
где
s
x
< 0; s
2
< 0.
Начальные условия
при / = 0
заданы
в
виде
х (0) и х(0).
Подставив
эти
величины
в (9.10),
получим
два
уравнения:
А
г
+ А
2
= х (0); А& + A
2
s
2
= х (0).
Из
них
найдем
по
теореме Крамера:
лг(0)
1 11
Л=
с
:
с
=[s
a
x(0)-i(0)]/(s
a
-s
1
); (9.11)
X [у) S
2
&i ь
2
А
2
= [х (0) — s
lX
(0) ]/(s
2
—
Sl
). (9.12)
Чтобы исследовать характер возможных переходных про-
цессов системы, найдем точку
t
x
пересечения кривой процесса
с осью
О/,
отвечающей новому равновесному режиму
(рис. 9.3, в).
Это произойдет
в
момент времени
t
lt
когда
х (/) = 0 и
когда
(9.10)
примет
вид
x(h) = А^ +
Л
2
е^>
= 0. (9.13)
5* 131
0
1
0 t.
t
>«
Если существует
эта
точка пересечения,
то
обязательно будет
и
экстремум переходного
процесса
в
некоторый момент времени
t
2
,
опре-
деляемый
из
условия
х
(t
2
) =
Л^е
5
-'»
+
А&е****
= 0.
Перепишем
(9ЛЗ) и (9Л4)
после
их
ния соответственно
на e
s
»^ и
e
s
»'«
(9
Л
4)
деле-
Рис.
9.3.
Перере-
гулирование
при
апериодическом
процессе
системы
с
двумя степенями
свободы
e
(s
2
—
л)
tt
g(S
2
— Si) <
2
_
где —Л
х
/Л
2
-
Л!/Л
2
;
-
Л^ДЛ^),
(9.15)
(9.16)
(i
(0) ~s
2
x (0))/(x(0)-s
lX
(0)),
что следует
из
(9.11)
и
(9.12).
Рассматривая затухающий процесс, можем
допустить
s
2
> s
1
и s
2
< 0.
Тогда
\s
t
\ > \s
2
\,
и
для
любых
^ > 0
левая часть
(9.15)
больше
единицы. Значит, перерегулирование возможно
лишь
при
условии
—
Л
х
/Л
2
> 1, а
условием
существования процессов
без
динамического заброса служит
не-
равенство
(х
(0) - s
2
x
(0)/(i
(0) —
Sl
x (0)) < 1.
(9.17)
При выполнении этого условия процесс имеет
вид
кривой
на
рис.
9.3, б или 9.3, а при
соблюдении критерия монотонности.
Тем
же
путем убедимся
в том, что
корень уравнения
(9.16)
становится положительным
(t
2
> 0),
если выполняется неравен-
ство
—
Л
1
5
1
/(Л
2
5
2
)
> 1. А
тогда критерием монотон-
ности апериодического процесса
(рис. 9.3, а)
служит неравенство
1(х
(0) — s
2
x (0))
Si
]/
[(*
(0) — s
lX
(0)) s
2
]
< 1.
(9.18)
При выполнении критерия
(9.18),
разумеется, кривая процесса
не может пересечь
ось t, так как
если
не
существует положитель-
ного корня
t
2
уравнения
(9.16),
то
подавно
не
может быть
t
x
> 0
(всегда
t
2
> t
y
).
Таким образом,
в
апериодических системах,
представленных уравнениями второго
по-
рядка,
не
исключается перерегулирова-
н
и е. Оно
связано
с
начальными условиями
и
динамическими
постоянными системы,
от
которых зависит величина
х (0).
Применительно
к
регулированию паровой турбины производ-
ная
х (0)
выражает угловое ускорение ротора
в
момент скачко-
образного возмущения.
При
малой величине количества движения
ротора
по
сравнению
с
возникающим моментом внешних
сил,
действующих
на
него, кривая процесса регулирования может
быть настолько крутой,
что она
пересечет
ось t на
ранней стадии
132
разгона
или
торможения ротора, когда сервомотор
еще не
успел
переместить клапаны
в
положение, близкое
к
равновесному.
В этом случае перерегулирование становится существенным.
§
9.3.
ПЕРИОД,
ДЕКРЕМЕНТ КОЛЕБАНИЙ
И
ВРЕМЯ
ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА
Изучаемые нами затухающие колебания,
строго говоря,
не
отвечают определению периодической функции.
Она
при
любой величине аргумента
t
должна удовлетворять
условию
/ (t + т
0
) = /
(/),
где т
0
—
период колебаний,
т. е.
про-
межуток времени,
по
истечении которого величина функции
по-
вторяется.
В
действительности
же под
влиянием показательной
функции
в (9.4) это
условие периодичности нарушается.
Условный период колебаний
т
0
. Для
затухающих колебаний
все
же
сохраняются постоянными промежутки времени между
двумя последовательными пересечениями
оси /
кривой процесса.
Остаются постоянными промежутки времени между двумя после-
довательными максимальными амплитудами
с
какой-либо одной
стороны
от оси t.
Этот промежуток времени
т
0
и
принимается
за
условный период затухающего колебательного процесса
(см.
рис. 9.2).
Далее
мы
будем
его
называть просто
пер
иодом.
Заметим,
что под
влиянием экспоненты экстремумы кривой
процесса
не
совпадают
с
серединами временных промежутков
между соседними нулевыми значениями функции
/ (/)•
Декремент колебаний
d.
Этот показатель качества процесса
характеризует убывание амплитуды
за
один период. Обычно
применяют логарифмический декремент
ко-
лебаний
в
виде логарифма отношения двух последовательных
экстремумов, находящихся
с
одной стороны
от оси t —
нового
установившегося режима
(см. рис. 9.2). Для
процесса, выражен-
ного
(9.1),
решение имеет
вид
(9.4).
Обозначим первую
и
вторую
амплитуды
по
одну сторону
от оси х
х
шах
и х
2
шах
(рис. 9.2) и
запишем
их
выражения согласно
(9.1):
*i
max
=
e
atl
(С
х
cos
co
0
/i
+ C
2
sin
C0
O
4);
X
2
max = e
0
^ [C
x
COS CD„
(t
x
+ T„) + C
2
sin C0
0
(k +
T„)],
где
т
0
=
2я/о)
0
,
o)
0
—
частота,
т. е.
число колебаний
в 2я
секунд.
Логарифмический декремент колебаний находится
как
отно-
шение
А =
1П
(*!
шах/*2
max) •= « (t
x
— t
2
)
ИЛИ
А
=
—ах
0
=
—2ла/ш
0
,
(9.19)
где
для
затухающего процесса необходимо
а < 0.
Время переходного процесса
Т. Это
время отсчитывается
с мо-
мента приложения
к
системе скачкообразного воздействия
до
момента, после которого отклонение регулируемого параметра
133
от
оси t
становится меньше некоторой заданной величины
А (см.
рис.
9.2).
Величина
А
назначается
в
соответствии
с
требованиями
к точности регулирования. Данное определение времени
Т
остается
в
силе также
для
апериодического процесса.
§
9.4.
ПОКАЗАТЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
Выше были изучены свойства частотных характеристик
вскрывать такой важный показатель замкнутой динамической
системы,
как
устойчивость. Естественно ожидать,
что по
ответной
реакции динамической системы
на
определенные вынужденные
колебания
в
некотором диапазоне частот можно судить
о
качестве
переходного процесса.
Эти
свойства динамической системы
мы
здесь
и
рассмотрим
на
примере
ее
математической модели второго
порядка.
Исследуемая модель.
При
возмущающей функции
/ (t) вы-
нужденные колебания
(
в замкнутой системе регулирования, можно
выразить линейным дифференциальным уравнением
с
0
х
+ с
х
х + с
2
х = kf(t).
(9.20)
Поделим
все
члены
(9.20)
на с
0
и
примем
(k/c
0
) / (t) = 1, что
соответствует возмущению типа единичного скачка.
Тогда
(9.20)
примет
вид
х
2
+ с\х + с\х = [1],
(9.21)
где С2
=
с
2
/с
0
;
с* = cjc
0
.
Передаточная функция. Изображение
по
Лапласу возмущаю-
щей функции
оо
оо
L[l]
=
\e-*'dt
= — e-
s
'/s| = 1/s.
о
/=о
Запишем
(9.21)
в
изображениях
(s
2
+ cfs + с
2
*) х
г
= L [1].
(9.22)
Из
(9.22)
найдем передаточную функцию
для
разомкнутой
системы
W
(s) = xjL [1 ] = (s
2
+ Ф + cl)-\
(9.23)
а
для
замкнутой системы
Ф (s) = W
(s)/(l
-f W (s)) или
Ф
(s) = (1 + s
2
+ ф +
C2*)"
1
.
(9.24)
Различие между
W (s) и Ф (s)
лишь
в
замене
<?2
на 1 +
с<>.
Количественный результат
при
этом может быть существенно
отличным,
но
структура передаточной функции сохраняется,
и некоторые общие выводы можно будет отнести
к
обеим пере-
даточным функциям. Далее будем иметь
в
виду замкнутую
си-
стему регулирования.
134
Частотная характеристика замкнутой системы
Ф (/ш) = (1 —
—
со
2
+
6'f/tO
+ С2У
1
или
Ф (ico)
= (1 +
с
2
*
-
со
3
-
cfto)/[(l
+
с*
2
- or)
2
+
с
;
V].
(9.25)
Из
(9.25)
найдем
(см. § 7.2)
амплитудную
и
фазовую характе-
ристики
(9.26)
(9.27)
А
(со) = 1//(1 + d -
со
2
)
2
+
(с,
со)
2
;
0
(со) -
arctg
[—clW(l
+ с
2
* —
со
2
)].
Если обозначить
1 + с
2
= пг
2
и cf
2
= An
2
, то
получим запись
амплитудной характеристики
в
классической форме
[3]
А
(со) =
\lY\m
2
—
со
2
)
2
+
4л
2
со
2
.
(9.28)
Исходным
для
(9.28)
служит также уравнение
(9.21),
записан-
ное
в
виде
х
+ 2пх + т
2
х = [1].
(9.29)
Здесь
п
отражает демпфирование,
am
2
—
консервативные силы.
На
рис. 9.4
построены амплитудные характеристики согласно
(9.29)
для т = 1 и
различных
п. По оси
абсцисс отложена относи-
тельная величина
со =
со/со
0
,
где со
0
—
циклическая частота.
С амплитудными характеристиками можно сопоставить пере-
ходные процессы регулирования, изображенные
на рис. 9.5.
По мере снижения максимума амплитудной характеристики
А (со)
уменьшаются
и
амплитуды колебаний
х (I),
возникших
под
вли-
янием единичного ступенчатого воздействия. Если максимум
Ami
А
(со)
теоретически стремится
к
беско-
нечности, система приближается
к
гра-
нице устойчивости.
Рис.
9.4.
Амплитудные характеристики замкнутой системы регулирования
вто-
рого
порядка
Рис..
9.5.
Переходные
процессы,
соответствующие амплитудным характеристи-
кам
1—6 на
рис.
9.4.
135
г I'M
/
U(to)
M
=
7,5"
Рис.
9.6.
Определение показателя
ко-
лебательности
Показатель коле*
б
а т е л ь п о с т и М
опреде-
ляется
как
отношение макси-
мума амплитудно-частотной
характеристики замкнутой
си-
стемы
к ее
значению
А (0) при
си
0.
Заметим,
что
ампли-
тудная характеристика замк-
нутой системы выражается
мо-
дулем
ее
передаточной фун-
кции. Если
к
такой системе
приложено управляющее воз-
действие типа единичной сту-
пенчатой функции,
то
ответ
па
него динамической системы
при
частоте
со,
близкой
к
нулю, представит собой амплитуду
А (0)
при
со та 0. Эту
величину
А (0) и
примем
за
единичное управля-
ющее воздействие
при
входе
в
систему. Этот подаваемый сигнал
на выходе
из
системы изменится
по
величине пропорционально
модулю частотной характеристики замкнутой системы
|
Ф
(ко) \
= \W (ico) |/| (1 + W (ico)) |. (9.30)
Максимум
Ф (ito) и
выражает показатель колебательности.
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
регулирования
и М-к р и т е р и й
связаны между собой. Можно
доказать
149], что
герметическое место точек,
для
которых
М
одинаково,
—
окружность
с
радиусом
М/(1 — М
2
) и с
центром
на отрицательной вещественной полуоси
на
расстоянии
от
начала
координат
(рис. 9.6)
а
=
—
М
2
/(М
2
— 1). (9.31)
Построив семейство таких окружностей
и
выбрав
из них ту,
которая касается амплитудно-частотной характеристики, найдем
частоту,
при
которой получается максимальное усиление
по ам-
плитуде подаваемого
в
систему сигнала.
Это
усиление, выражен-
ное отношением амплитуд
на
выходе
из
системы
к
амплитуде
при
входе
в нее, и
определит показатель колебательности
М.
Если
М
> 1, то
воздействие
на
входе
в
систему, которое
мы
условились
считать единичным,
на
выходе окажется увеличенным. Если
же
характеристика
W (ico)
приближается
к
критической точке
(—1,
i
0), то
амплитуда колебаний безгранично растет
для
принятой
линейной модели.
§
9.5.
ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ
ДЛЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В
§ 5.5
было дано понятие передаточной функции
W (s).
Она однозначно отображает преобразование поступающей
в
звено
входной величины
f в
выходную
х за
звеном
или за
цепью звеньев.
136
В этом смысле передаточная функция служит оператором
в
урав-
нении
х = W(s) f.
Динамическую характеристику звена можно
расширить показателями
его
реакции
на
различные тестовые
функции.
В
качестве таких стандартных функций,
как уже
отме-
чалось, широко используются единичная ступенча-
тая функция
и
синусоидальные колебания
входной
в
звено величины. Здесь рассмотрим сущность этих
функций
и их
роль
в
исследованиях регулирования
[40, 78].
Единичная ступенчатая функция. Пусть перед звеном создается
мгновенный сигнал
в
виде ступенчатого воздействия
(рис.
9.7, а).
Такое скачкообразное воздействие характерно
при
резких набросах
и
особенно сбросах электрической нагрузки
в турбогенераторе. Единичная ступенчатая функция математи-
чески записывается
в
таком виде:
(
1 при t > 0,
0,5 при t = 0, (9.32)
0
при t < 0.
Она может быть получена
как
предел некоторой непрерывной
функции.
Так,
например,
для
функции
/(/,
р) = 0,5 + л"
1
arctg |3/ (9.33)
в пределе получим
Нш
/ (/, Р) = Нт (0,5 + я"
1
arctg pi) = [1]. (9.34)
Дельта-функцией называется производная
от
единич-
ной ступенчатой функции
[1],
которая
за
исключением точки
i -= 0
всюду существует
и
равна нулю. Непрерывная функция
(9.33)
этому условию
не
удовлетворяет. Если
же
дельта-функцию
б
({)
рассматривать
как
непрерывную функцию
б (/, Р) при Р -+ оо,
то получим, аналогично
(9.34),
б
(t) = lim б (/, Р) - lim (df (t,
P)/di),
(9.35)
137
где
df (t, $)fdt = p (л (P
2
/
2
f
l))"
1
. Таким образом,
с
дельта
функцией вводится особое понятие дифференцирования, которое
поясняет техническую схему появления импульса
в
результате
единичного скачка.
На
рис. 9.7, б
показана дельтафункция
как
предел функции
по уравнению
(9.35).
Пик
кривой
с
возрастанием
р
растет,
но
площадь
под
кривой сохраняется одинаковой
и
равной
1. Это
усло
вие выражается интегралом
ь
\f(t)b(t~t
0
)dt=f(t
0
),
(9.36)
а
где
а < t
0
< b\ f (t
0
) = 1; б (/—
^
n
)—
дельтафункция, равная
нулю
при
всех
t,
кроме
t = t
0
, при
котором
она
обращается
в бес
00
конечность, причем
j б (( — t
a
) dt ^ 1.
о
В изображениях бфункция имеет
вид L [б
(t—/
0
)
]
=
=
j e~
s/
6 (t — /
0
) dt, и
согласно
(9.36)
можем записать
о
L
[б (t— t
0
)] =
tr+*: (9.37)
При
t t
0
= 0
получим единичную функцию
L [б (t)] = 1.
Рассмотрим свертку функций
/ (/) и 5 (/ — /„) (см.
§
5.1)
t
f
(t) * б (t t
n
) j /
{{)
б (t t
0
) dt.
(9.38)
о
Использовав
(9.37),
найдем
L
If (t) * 6 (t to)
]
L [f (t)
]L[8(t
to) ]
= F (s) e"..
А
так как по
теореме запаздывания
(см. § 13.7)
F
(s)e
s
'»
= L [f (t — t
0
)],
то
L If (t) * 6 (/ — t
0
)] = L If (t — t
0
)].
Следовательно,
при /
» О
f(t) * б (t to)
=/(/).
Таким образом, бфункция играет среди временных функций
такую
же
роль,
как
единица
в
исчислении.
Гармонические колебания. Рассматривая частотный процесс
динамической системы,
мы
выделяем
из
многообразия значений
передаточной функции лишь
ту
часть, которая охватывает сово
купность величин этой функции
на
мнимой
оси
(s =
t'co). При
этом
условии динамическая система оказывается
на
границе
ее
устой
чивости
и
частотные функции представляют собой гармонические
колебания системы. Изменения входной амплитуды
и
фазы гармо
нических колебаний
при
прохождении сигнала сквозь цепь звеньев
138
достаточно полно характеризуют динамические свойства системы.
Для этой цели
и
используются частотные характеристики.
Обширный класс образуют инвариантные
во
вре
мени линейные звенья. Передача сигнала сквозь
такие звенья совершается
без
искажения
во
времени,
т. е.
гармо
нические колебания параметра
при
входе
в
звено
не
меняют частоту
и остаются гармоническими
при
выходе
из
него,
а
сдвиг
по
времени
входной величины вызывает точно такой
же
сдвиг выходной вели
чины.
Математически инвариантность
по
времени выражается
тем,
что
если входная
и
выходная функции
в
изображениях свя
заны уравнением
*вых
(0 = W (s) х„ (/), (9.39)
то
при
сдвиге
по
времени входной функции происходит такой
же
сдвиг выходной функции
*вых
(/ —
to)=W
(s) х
ВТ
(( to).
(9.40)
Здесь
и в
дальнейшем будем иметь
в
виду, если
не
будет особо
оговорено, линейные инвариантные схемы, удовлетворяющие
(9.40)
при
неизменной функции
W (s).
В качестве воздействия
на
звено
при
входе рассмотрим
как
и
в § 5.6,
функцию
х
вх
= е'
ш
'.
Тогда
при
выходе
из
звена полу
чим
в
изображениях
*вых
=
W (s)
х
вх
,
(9.41)
оо
оо со
гдех
в1
\t~
sl
t
iat
dt=
fe<*'•>'4/
=
—
ll/(s —
»©)]e<*w|
=
0
0 0
= 1/(S
/(!)).
Здесь полюс находится
на
мнимой
оси в
точке
s =
г
со.
Предположим,
что
функция
W (s),
выраженная
(5.32),
имеет
только полюсы первого порядка
(нет
равных корней характери
стического уравнения). Тогда
эта
функция может быть представ
лена рядом
п
W
(s) = £ r
k
/(s k
h
) \
Го,
(9.42)
fe=i
где
X
h
—• комплексное число, отличное
от
нуля.
Полюс можно показать графически
на
плоскости комплексного
переменного, отметив
его
слева
от
мнимой
оси,
так как
рассматри
вается устойчивая система.
С учетом разложения
(9.42),
выходную функцию
(9.41)
можно
записать
в
виде
•'"ВЫ!
или
п
Е
r
h
/(sK)
+ ro
(s —
t'co)
W
= S rMs - h) (s to)] + 'o/(s to).
(9
43
)
k =1