Кириллов И.И. Автоматическое регулирование паровых турбин и газотурбинных установок
Подождите немного. Документ загружается.
такие числа
М
и
s
0
,
что,
каково
бы
ни
было
t,
останется справедли
вым неравенство
f
(t)
<
УИе
5
°'. Здесь s
0
—показатель
роста функции
/ (t),
причем
s
0
> 0. Это
значит,
что
при любом
t ^ 0
модуль
/ (t)
растет медленнее,
чем
данная экспо
ненциальная функция. Если этой функцией заменить
/ (t) в ис
следуемом произведении,
то
при
Re
s >
s„
найдем
lim
е
S/
Me
s
»'
=
/-+•00
=
lim
Me"
(s_s
°>'
= 0 и,
следовательно,
lim
[t~
st
f
(t)]
= 0.
Возвращаясь
к
искомому интегралу, окончательно можем
записать формулу
(5.11).
Обобщение. Преобразования
по
Лапласу первой производной
функции
/ (t)
обозначим
F* (s)
= sF
(s) —
/
(0)
и
подставим
в
фор
мулу
(5.11)
вместо
/
(t)
в
качестве оригинала
df
(t)ldt
= f (t),
после чего найдем
L [d
2
f
(t)/dt
2
]
=
sF* (s) —
f (0) или
L
[d
2
f
{t)ldfi]
= s
2
F
(s) —
sf
(0) —
f (0).
Таким
же
образом,
по
индукции
из
свойства
(5.11)
получим
изображение производной порядка
п
L
[р>
[/]] = s
n
F
(s)
s"
1
/
(0)
p» (0). (5.12)
При нулевых начальных условиях
/
(0)
= /' (0) = ... =
=
/("')
(0) = 0, и в
этом случае
L
[f
{n)
(t)]
= s
n
F
(s). (5.13)
Нулевые начальные условия,
как
видно, упро
щают решение задач. Вместе
с
тем
наложение этих ограничений
на начальные условия
во
многих случаях
не
снижает общности
решения,
как,
например,
в
задачах устойчивости.
Интегрирование оригинала. Если функция
/
(t)
непрерывна
в пределах
(0,
+оо)
и /
(t)
<f F (s), то
t
\
f(t)dt±F(s)/s.
(5.14)
a
t
Доказательство. Рассмотрим функцию
(t) = J
/ (t)
dt «f
4Y(e).
По определению имеем
do|)
(t)ldt
= f
(f),
причем
при t = 0
функцияi])
(0) = 0.
Следовательно,
L
[cfip
(t)ldt]
= L [f (t)] = F
(s).
С другой стороны,
по
формуле
(5.11)
L
[dip
(f)/dt]
=
sW (s).
Из двух последних уравнений получим
W
(s) = F
(s)/s,
что
равносильно
(5.14).
Теорема
о
начальном значении. Поведение оригинала
в
нуле
и изображения
в
бесконечности связаны равенством
lim
/ (t) = Um
S
F (s).
(5.15)
80
Доказательство. Согласно уравнению
(5.11)
можно написать
L
Ufldt]*+«
lim
[sF (s) —
f
(0)].
Если оригинал
—
кусочнонепрерывная функция
/ (t),
имею
щая производные
при
любом значении
/ > 0, то
для
функций,
которые растут медленнее,
чем
экспоненциальная функция, спра
со
ведливо уравнение
lim f e
_s/
(df
(t)/dt)
dt = 0 или
Л-оо
о
00
L
[df
(/)/d/],«,
=
Hm
f e~
s
'
[df
(t)/dt]
dt = 0.
S-+00
Q
Следовательно,
lim
[sF (s) —
/
(0)]
= 0, и,
видоизменив запись,
S*oo
получим уравнение
(5.15).
Теорема
о
конечном значении. Поведение оригинала
в
беско
нечности
и
изображения
в
нуле связаны равенством
lim
sF
(s)
= lim / (*).
(5.16)
Доказательство.
Для
s>0
запишем выражение, аналогичное
исходному равенству
в
предыдущей теореме:
L
[df (/)/drf]
s
o
=
=
lim
[sF
(s)
—
/
(0)].
С
другой стороны,
L
[df
(t)/dt]
s
*o
=
oo
oo
=
lim \ tr«
[df
(t)ldt\
dt [ df (t) =
lim
/ (t) —
lim
/ (t).
Из сравнения двух выражений одной
и
той же
функции полу
чим уравнение
(5.16).
Дифференцирование
и
интегрирование
по
параметру. Если
функция
/(/, t) + F(s, I), а
также
dld\f
(t, I) и j f (t, g) rfg
представляют собой оригиналы,
то
l, I,
df(t,
l)ldl)±dF(s,
Ш; J /(/,
l)dl^\
F(s,
£)dg.
Ь
ь
Теорема умножения изображений. Произведение двух изобра
жений
F (s) и
G
(s)
также является изображением, причем
t
F
(s)
G(s) + \ f
(т)
g(tr) dx,
о
где интеграл
в
правой части называется сверткой функ
ций
f (t) и g
(t)
и
обозначается символом
f
(t)
* g
(t).
Таким
образом, свертка функций
в
области изображений переходит
в обычное умножение изображений этих функций.
Для часто встречающихся функций
в
табл.
5.1
сопоставлены
оригиналы
и их
изображения
/ (/) *f F
(s).
81
Таблица
5.1.
Изображения простейших функций
Оригинал
Изображения
/
(0
6(0
1
S
6(0
1
1/s
/
1/s
2
(s
- Ы
1
/е
и
(s
-
^)"
2
/»
n\/(s -
k)
n+l
sin со/
co/(s
2
+
CO
2
)
cos
со/
s/(s
2
+
CO
2
)
е~
х/
sin со/
o/((s +
X)
2
+X
2
)
e~^cos
со/
(5
+
Щ(5
+
Х)
2
+Х
2
)
§
5.2.
МАЛЫЕ' КОЛЕБАНИЯ
Рассмотрим систему регулирования
как
динамическую
систему, имеющую
к
степеней свободы.
Ее
состояние определим
к
независимыми переменными
—
обобщенными коорди-
натами.
Их
будем называть просто координатами
данной системы
и
обозначать
x
lt
х
2
, х
3
, ...
Допустим,
что
такая
динамическая система находится
в
установившемся состоянии
с координатами
х
10
, х
20
, х
30
, ...
Введем малое возмущение, вызы-
вающее лишь малые отклонения координат
и
производных
координат системы
от их
величин
при
установившемся движении,
и предоставим системе возможность совершать свободные колеба-
ния. После возмущения координатами системы станут
х
г
= х
10
+
+
Ах
г
\ х
2
= х
20
+
Длг
2
;
х
3
= х
30
+ Ах
3
, ... В
наших задачах
при
малом возмущении устойчивой системы величины
Ах
1у
Ах
2
, Ах
3
, ...
и
их
производные
по
времени также будут оставаться малыми,
причем
все
они
будут одного порядка малости, который назовем
первым. Тогда (Д^)
2
,
(Ах
2
)
2
, (Ах
3
)
2
,
Д*1
Дх
2
,
Ах
г
Ах
3
и т.д.
будут величинами второго порядка малости. Производные
по
времени
х
1у
х
2
, х
3
, •••
будут величинами того
же
порядка,
что и
Ах
ъ
Ах
2
, Ах
3
, ...
Условимся малыми называть величины, если
при
составле-
нии математической модели движения системы можно пренебре-
гать
их
степенями выше первой.
С
этой точки зрения
в
случае
ли-
нейных статических характеристик элементов системы регулиро-
вания даже значительные
ее
отклонения
от
установившегося дви-
жения могут рассматриваться
как
малые.
При
сильных нели-
нейностях статических характеристик, наоборот, пренебрежение
величинами второго порядка малости
в
исследованиях переходных
процессов может повлечь существенные ошибки.
К2
Силы
и
моменты, действующие
на
динамическую систему,
а также расходы рабочего тела, тепловые потоки
и пр.
будут
функциями
F
координат
x
lf
х
2
, х
3
, ... .
Если этим координатам
сообщить приращения
Дл^,
Ах
2
, Ах
3
, ... по
сравнению
с их
зна-
чениями
при
установившемся движении,
то
функции
F
изменятся
на величину
AF = f (х
10
+ Ах
г
, х
20
+ Ах
2
, ...) — / (*
10
, х
20
, ...).
В наших задачах функции
/ (х
г
, х
2
, х
п
)
будут допускать раз-
ложение
в
степенные ряды, сходящиеся
в
Я-окрестности начала
п
координат,
так что
сумма
х\ < Я,
где
положительное число
Я
достаточно мало. Этим свойством функций
и
воспользуемся,
разложив функцию
AF в ряд
Тэйлора
по
степеням приращений
координат,
т. е.
записав
AF
=
(dfldxjo
A
Xl
+
(df/dx
2
)
0
Ах
2
+ ... +
+
0,5
(d'f/dxDoiAx,)
2
+ 0,5
(d
2
f/dx
2
)
0
{A
X2
y
+
+
... +
(d
2
f/dx
x
дх
2
)
0
Ах
г
Ax
2
+
...
Здесь
в
выражения частных производных после
их
получения
следует подставить координаты, соответствующие изучаемому
установившемуся режиму,
что и
отмечено нулевыми индексами
после скобок.
В
дальнейшем изложении
для
упрощения записей
эти отметки будем опускать.
Отбросив
в
последнем уравнении
все
члены порядка выше пер-
вого
по
отношению
к Ах
1у
Ах
2
, ... и к их
производным
по
времени,
получим
при
рассмотрении малых колебаний линейную зависи-
мость между приращениями рассматриваемой функции
и
перемен-
ных, через которые
она
выражена:
AF = а
г
Ах
г
+ а
2
Ах
2
+
где
а
г
=
dfldxi,
а
2
=
dfldx
2
,
... . Эти
частные производные нахо-
дятся
по
статическим характеристикам (вообще говоря, нели-
нейным) элементов системы, причем коэффициенты
при
пере-
менных
в
пределах «малых»
их
изменений остаются постоянными.
На основании сказанного уточним понятие устойчивости.
Если координатам динамической системы сообщить малые
на-
чальные отклонения
от
состояния установившегося движения,
а также малые начальные скорости
и
если
при
этом
в
своем после-
дующем движении система будет весьма мало отклоняться
от ис-
следуемого установившегося движения,
то
такое установившееся
движение будем называть устойчивым. Если
же в
любой момент
времени будут удовлетворяться указанные условия устойчивости
и, кроме того, отклонения координат
от их
величин
при
устано-
вившемся движении будут стремиться
к
нулю
при
t-+
оо,
то
такое
установившееся движение будем называть абсолютно
или
асимптотически устойчивым.
В
дальнейшем
из-
ложении предмета, говоря
об
устойчивости, будем подразумевать
асимптотически устойчивое движение, если
не
будет сделано
особых оговорок.
83
Для упрощения записи вместо малых величин
Ax
lt
Ах
2
, Ах
3
, ...
введем безразмерные
их
величины
х
=
Axjx
l0
-
,
х
2
=
Ах
2
/х
20
\
х
3
=
Ах
3
1х
зй
;
при этом
не
имеет принципиального значения поставлена
ли в
зна-
менатель равновесная величина координаты,
или
максимальное
ее изменение,
или
удобная
для
расчетов иная постоянная величина
той
же
размерности. Далее уравнения общего характера будем
записывать только
в
относительных переменных величинах, опу-
ская
над
ними черточки. Отклонения
от
установившегося движе-
ния будем определять
k
независимыми координатами
х
г
, х
2
, х
3
,
которые
в
исследованиях устойчивости будем предполагать
ма-
лыми
и
отсчет
их
производить
так, что при
установившемся
движении
или в
положении равновесия
х
г
= х
2
= х
3
= ... = 0.
§
5.3.
УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим систему
п
дифференциальных уравнений
вида
dx
k
/dt =
а
к1
х
х
+
а
к2
х
2
-\ +
a
hn
x
n
где
k = 1, 2, ..., п, а
функция
R
k
содержит члены второго
и
высших
порядков малости. Если последнюю функцию отбросить,
то
полу-
чим уравнения первого приближения. Этот
прием, которым широко пользуются, приводит
к
линейным
моделям.
При
этом необходимо указывать условия,
при
кото-
рых возможна такая замена рассматриваемой задачи, другой
по
сути дела задачей, ограниченной первым приближением. Закон-
ность суждения
об
устойчивости системы
по
уравнениям первого
приближения
в
определенных случаях была доказана
А. М. Ля-
пуновым
[43].
Характеристическое уравнение
для
системы
линейных дифференциальных уравнений
—
D{s)
=
а
22
—
s
а
2п
On
а*
=
0,
(5.17)
где
s —
постоянные, определяемые
как
корни данного уравнения.
Исследуя корни этого уравнения,
А. М.
Ляпунов доказал сле-
дующую теорему.
1.
Если вещественные части всех корней
s
h
характеристического уравнения
(5.17)
первого приближения отри-
цательны,
то
невозмущенное движение асимптотически устой-
чиво независимо
от
членов разложения выше первого порядка
ма-
лости.
2.
Если среди корней
s
h
характеристического уравнения
(5.17)
первого приближения хотя
бы
один окажется
с
вещественной
положительной частью,
то
невозмущенное движение неустойчиво
независимо
от
членов разложения выше первого порядка малости.
84
По первому приближению нельзя судить
об
устойчивости
в
том
случае, если среди корней уравнения
(5.17)
имеется группа
корней, вещественные части которых равны нулю,
а
остальные
корни имеют отрицательную вещественную часть. Исключив
из
рассмотрения этот случай,
в
дальнейшем изложении будем решать
задачи устойчивости
по
первому приближению,
т. е. в
малом.
Рассмотрим свободные
и
вынужденные коле-
бания системы регулирования, состоящей
из п
звеньев, движение
и процессы
в
которых описываются линейными диффе-
ренциальными уравнениями
с
постоян-
ными коэффициентами.
В состав системы регулирования современных энергетических
установок могут входить очень сложные звенья, движение
или
состояние которых описываются большим числом координат
х
1
(t), х
2
(t), ... и их
производных
по
времени,
что
отражается
в
ко-
эффициентах членов вида
а (р) х (t),
где/?
—
символическая запись
производной координаты
по
времени.
К
звеньям могут подводиться
извне возмущения
f
±
(t), f
2
(t),
записанные
в
правых частях
нижеследующих уравнений:
а
п
(Р)
*i (0
+
«12
(Р)
*»(*)+
•••
+
«ш
(р)
х
п
(t)
=
fx
(/);
an (Р)
x
i
(0
+ (р) ••• + «ап (р) х
п
(0 = h
(0;
flm
(Р)
хх
(0 + am
(Р)
х
2
(0
Л
Ь а
пп
(р) х
п
(t) = f
n
(t),
(5.18)
где операторы
ац (р),
допустим, имеют порядок
не
выше первого
и записываются
в
виде
а^ = А
и
р + СЦ. Эта
запись
не
вносит
ограничений,
так
как
звено более высокого порядка
в
математиче-
ской модели можно заменять несколькими звеньями первого
по-
рядка. Коэффициенты
в
(5.18)
содержат частные производные
из
рядов Тэйлора.
Эти
производные находятся
для
функций, выра-
жающих действующие силы, моменты
и
другие величины, харак-
теризующие динамическую активность звена
в
зависимости
от
его входной
или
выходной координаты
x
t
. В
изучае-
мых здесь задачах
эти
коэффициенты будут оставаться постоянными
для данного режима работы машины.
Чтобы упростить запись, решение системы
(5.18)
рассмотрим
на примере лишь одного воздействия
f
t
(t) = / (t). Это не
снизит
общности выводов,
так как для
линейной динамической системы
справедлив принцип суперпозиции
и
эффекты
от
возмущений суммируются.
Перейдем
от
оригиналов
к
изображениям
по
Лапласу. Пред-
полагая нулевые начальные условия, можно записать
d
n
x (t)/dt
n
= р
п
х (t) s
n
x,
где
s —
комплексное число;
х — L [х (t) ].
Для указанных условий переход
к
изображениям формально
выполняется заменой символа
р на
комплексную переменную
s.
85
Такую замену можно
и не
производить, оставив
в
уравнениях
букву
р, но
подразумевая
уже не
символ дифференцирования
а комплексное число. Здесь
же
сохраним
для
выражения изобра
жении, попрежнему, число
s и
будем отмечать изображения
по
Лапласу черточкой:
х
ъ
х
г
, .... х
п
и f.
В
этих обозначениях вместо
системы линейных дифференциальных уравнений получим сле
дующую систему алгебраических уравнений:
flu
(s)
*i
+ а
12
(s)
х
2
+ ... + a
ln
(s) x„ = f
a
21
(s) x
l
+ a
22
(s) x
2
+ ... + a
2n
(s) x
n
= 0;
(5.19)
a
m
(s)
*i + a
n2
(s)x
2
l
f. a
nn
(s) x„
= 0,
где
x
4
= J tr*x
t
(f)dt; f= [ tr'f(t)dt.
Л
У систему уравнении можно решить относительно любой
из координат
х
х
, х
2
, х
п
.
Найдем, например, решение
для
х,
(дальше
эту
величину будем записывать
без
индекса).
По теореме Крамера, если определитель системы
отличен
от
нуля,
то
каждое
из
неизвестных выражается частным
двух определителей, причем
в
знаменателе стоит определитель
D
(s),
составленный
из
коэффициентов системы
а
и
, а в
числителе
определитель
£>j
(s),
который получен
из D (s)
заменой коэффи
циентов
при
искомом неизвестном соответствующими свободными
членами,
т. е.
х
= Di (s)/D (s),
где
(5.20)
D(s)
=
а
п
(s)
«21
(s)
flu
(s)
a
22
(s)
a
ln
(s)
a
2n
(s)
am
(s)
«„
2
(s)
•
a
12
(s)
•••
22
(S)
0
a
0
a„
2
(s)
•
a
nn
(s)
a
nl
(s)
<h„
(s)
•
a
nn
(s)
В развернутом виде
эти
определители запишем
так:
D
(s) = c
0
s" + qs"
1
+
•••+<?„;
(s)
= (s),
где
M (s) =
6
0
s
m
+
V"
1
H f~ b
m
минор
с
учетом
(адъюнкта элемента), причем
т < п.
В состав коэффициентов
с
0
, с
и
с
п
, а
также
Ь
0
, b
lt
.
входят динамические постоянные
и
кинематические характеристики
86
(5.21)
(5.22)
знака
звеньев данной системы, которые будут выявлены
при
рассмо
трении конкретных примеров. Заметим,
что
система
(5.20)
может
представлять
как
замкнутую,
так и
разомкнутую
по
какойлибо
координате систему
с
подачей внешнего воздействия
f(t).
Таким
образом,
в
изображениях после исключения всех переменных,
кроме
х,
получается алгебраическое уравнение
D
(s) х = М (s) f.
(5.23)
Это уравнение устанавливает связь между искомой координа
той
х
динамической системы
и
внешним воздействием
/. В
част
ности, координата
х
может быть регулируемой величиной,
из
меняющейся
под
влиянием внешнего воздействия.
Переходя вновь
к
рассмотрению оригиналов
и
вспоминая,
что
исследование проводится
для
нулевых начальных условий, комп
лексное число
s в
(5.20)
можно заменить символом дифференциро
вания
р,
после чего вместо системы алгебраических уравнений
(5.19)
получим одно линейное дифференциальное уравнение
по
рядка
п
D
(р) х (t) = М (р) f (t).
(5.24)
Решение этого уравнения разобьем
на два
этапа: нахождение
общего интеграла левой
его
части
—
свободных колеба
ний
D
(р) x{t) = 0
(5.25)
и отыскание частного
его
решения
—
вынужденных
ко
лебаний.
На
базе раздельного анализа
как
свободных,
так
и вынужденных колебаний математической модели можно глубоко
изучать важнейшие динамические свойства
и
качество системы,
включая
ее
устойчивость
и
особенности частотных харак
теристик.
§
5.4.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Интеграл
(5.24)
может быть представлен
в
виде пока
зательных функций
и
многочленов независимой переменной
/.
Сначала рассмотрим случай неравных корней характеристического
уравнения.
Неравные корни. Решения
(5.25)
представим
в
виде
х
=
Ae
st
,
(5.26)
где
s —
постоянная величина, полученная
как
корень характе
ристического уравнения
(5.17);
А —
постоянная интегрирова
ния. После подстановки
(5.26)
в
(5.25)
получим
D (s) = 0,
где
D (s) —
многочлен такой
же
степени
от s,
какой порядок отме
чает символ
р в
операторе
D (р) в
(5.24).
Этот многочлен состав
ляет левую часть характеристического уравнения
c„s"
+
qs"
1
I h
c
n
.
lS
+ c
n
= 0.
(5.27)
87
Определив
п
корней характеристического уравнения
s
u
s
2
, s„,
найдем общее решение
(5.25)
х
=
А^'
+
А*?*
1
-\ 1-
Л„е
8
п'.
(5.28)
Таким образом, свободные колебания динамической системы
зависят
от
характера корней
s
lt
s
2
, ... .
Достаточно одному
из
вещественных корней оказаться положительным, чтобы перемен-
ная
х с
течением времени безгранично возрастала
—
неустой-
чивое движение. Если
все
корни вещественны
и
отрица-
тельны,
то с
течением времени
х
будет стремиться
к
нулю
—
устойчивое движение. Если
в
числе корней характе-
ристического уравнения имеется комплексный корень
s
2
= а -f-
+
ш, то
обязательно будет сопряженный
с
ним
корень
s
3
= а —
cot. Использовав формулы Эйлера, пару членов
с
комплексными
корнями можно выразить тригонометрическими функциями
A
2
e
s
*<
+
A
3
e
s
»<
= b
at
(С
2
cos
со*
+
С
3
sin
со*).
(5.29)
Постоянные
С
2
,
С
3
и
А
2
, А
3
связаны уравнениями, полученными
при
t = 0 из
(5.29), и
выражениями после
его
дифференцирования
по времени:
С
2
= А
2
+ А
3
, С
3
= (А
2
— А
3
) i,
где
С
2
и С
3
— ве-
щественные числа. Обозначив
для
единообразия постоянные
ин-
тегрирования
при
показательных функциях
А
ъ
А
2
, ...
через
С
и
С
2
,
в
тригонометрическом виде решение уравнения
(5.27)
запишем
так:
х
= + e
at
(С
2
cos Ы
+ С
3
sin
со*)-)
,
(5.30)
где
ряд
последующих членов имеет такую
же
форму,
как
первый
член, если корни вещественные,
или вид
второго члена, если корни
комплексные.
В
случае комплексных корней движение устойчиво,
если
а < 0 и
неустойчиво, если
а > 0.
Равные корни. Пусть
s
—
кратный корень порядка
г
характе-
ристического уравнения. Тогда уравнение
(5.25)
допускает
г
различных систем интегралов вида
x =
e
st
P(t).
(5.31)
где
Р (t) —
многочлены степени
не
выше
г
—
1,
зависящие
от г
произвольных постоянных.
Многочлен
Р (f)
безгранично растет
с
течением времени.
Но
из этого нельзя сделать заключения,
что
переменные
х
также
беспредельно возрастают. Действительно, члены вида
t
r
e
st
при
t ->
со
и
отрицательном
s
обращаются
в
неопределенность,
ра-
скрыв которую, получим
lim
(№)
=
lim
{[г
(г
-
1)(г
-
2)
...
П/[(—I)
r
s^e-
s
']>
= 0.
t-*-oo t-*oo
Произведение
t
r
e
$t
при
любом значении
t
всегда численно
меньше
[r/(se)Y,
так как
последняя величина представляет
со-
88
бой максимальное значение указанного
произведения, получаемое
при t =
= —r/s.
Если
s
по
величине очень мало,
то
в
начале рассматриваемый член
мо-
жет возрастать;
но
если система испы-
тала возмущение настолько малое,
что
A
[r/(se) V
остается малой величиной,
то
при
отрицательной вещественной
части корней характеристического
уравнения переменная
х
стремится
с течением времени
к
нулю, оставаясь
все время малой,
т. е.
рассматриваемое
движение будет устойчивым. Если
же
вещественная часть равных корней
по-
ложительна
или
равна нулю,
то
движе-
ние будет неустойчивым. Действительно,
если корень
s
получится мнимым
к
равным
ш, то t
r
e
ati
= V
(cos со^
+
-f-
i
sin
at), и
это
произведение
с
тече-
нием времени беспредельно растет,
что
свидетельствует
о
неустойчивости дви-
жения. Таким образом, равные корни характеризуют устойчивое
движение, если
их
вещественные части отрицательны,
но они
опре-
деляют неустойчивое движение, если
их
вещественные части
по-
ложительны,
или
равны нулю.
Итак,
на
основании изложенного выше можно сделать следую-
щие выводы
(см. рис. 5.1):
1)
все
члены вида
Ae
st
при
веществен-
ном
s
постоянно возрастают, если
s >
0,
и
постоянно убывают,
если
s < 0
(кривая
/). В
первом случае движение будет неустой-
чиво,
а во
втором устойчиво;
2)
если
а >
0,
множитель
e
at
в
(5.29) со
временем постоянно растет,
а
это
значит,
что
амплитуда
колебания беспредельно увеличивается (кривая
2), т. е.
движение
является неустойчивым;
3)
если
а = 0, в
(5.29)
e
at
= 1,
что
соот-
ветствует колебаниям
с
постоянной амплитудой (кривая
3), а
в случае равных корней колебания будут происходить
с
беспре-
дельно возрастающей амплитудой;
4)
если
а < 0,
множитель
e
at
со временем постоянно уменьшается,
т. е.
амплитуда колебаний
все время убывает (кривая
4) и
движение становится устойчи-
вым;
5) для
того чтобы движение было устойчивым,
все
веществен-
ные корни характеристического уравнения
и все
вещественные
части
его
комплексных корней должны быть отрицательными.
§
5.5.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
И
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Частное решение
(5.24)
характеризует вынужденные
колебания динамической системы
под
влиянием возмущения
f
(t).
Это
решение
в
изображениях было записано
в
виде
(5.23).
Рис.
5.1.
Типы колебаний
динамической
системы около
положения
равновесия
со-
гласно
(5.30):
о'? —
старое
и
ot —
новое
по-
ложения
равновесия
89
Передаточная функция
W
(s)
представляет собой
отношение
в
изображениях выходной величины
х из
данной динами-
ческой системы
к
воздействию
f на
входе
в нее, т. е. W (s) = x/f.
Подставив
в
последнее уравнение выражение
x/f, из
(5.23),
полу-
чим
W
(s) = М (s)/D (s).
(5.32)
Частотная характеристика
—
это
та же
пере-
даточная функция,
но при s = ico
W (ico)
= М
(ico)/D
(ico),
(5.33)
где
М
(ico)
= b
0
(ico)
m
+
(ico)'"-'
Н
h Ь^т + b
m
; D
(ico)
=
=
с
0
(ico)"
+ с
х
(tto)"—
1
Н h
с„_
х
ш
+ с„.
В
последних двух выражениях сгруппируем члены
с
четными
и нечетными показателями степени, выделив таким образом
ве-
щественные
и
мнимые части,
а
именно:
М
(ico)
= а
(со)
+ ift
(to);
D
(ico)
= с
(со)
+ id
(со),
гдеа
(со)
= b
m
—
b
m
_
2
co
2
+
b
m
-
4
w
4
— b
(со)
=
ft
m
_
l(
o
-
Ь
т
_
3
ы
3
+
+
^m-5»
5
— с
(со)
= c„ —
c„_
2
co
2
+
c
n
_
4
co
4
— d
(со)
=
=
Cn.jCO
—
C„_
3
C0
3
+
c„'_
6
co
5
— ... .
Использовав
эти
выражения, частотную характеристику запи-
шем
так:
W
(ico)
= (а
(со)
+ ib
(со)/(с
(со)
+ id
(со))
или
W (ico)
= (7
(со)
+ IV
(со), (5.34)
где
U
(со)
= (а
(со)
с
(со)
+ Ь
(со)
d
(со))/(с
2
(со)
+ d
2
(со));
(5.35)
К
(со)
- (Ь
(со)
с
(со)
— а
(со)
d
(со))/(с
2
(со)
+ d
2
(со)).
(5.36)
Функции
с7
(со)
и V
(со)
—
вещественная
и
мнимая
частотные характеристики.
Частотную характеристику можно записать также
в
показа-
тельной форме, обозначив величину изображающего
ее
вектора
функцией
А
(со),
а
фазовый угол функцией
8
(со).
Тогда
из
рис.
5.2
очевидно,
что U
(со)
= А
(со)
cos 9
(со),
V
(со)
=
=
А
(со)
sin 0
(со)
и
следовательно,
А
(со)
= +
/(7
2
(со)+
У
2
(со);
(5.37)
6 (со)
=
arctg
[К
(со)/с7
(со)];
(5.38)
W (/со)
= Л (со) [cos 6
(со)
+ i sin 9
(со)
];
(5.39)
W (ico)
= Л
(со)
е'
9
«»>).
(5.40)
Функции
Л
(со)
и 9
(со)
—
амплитудная
и
фазовая
частотные характеристики (АФХ).
Поскольку
при
переходе
от
передаточной функции
к
частот-
ной характеристике отброшена вещественная часть числа
s,
функция
W
(ico)
характеризует динамику передачи через цепь
звеньев
к
выходу
из нее
вынужденных гармонических колебаний,
подводимых
к
входу
в эту
цепь.
90
§
5.6.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В качестве возмущающего рассмотрим гармоническое
воздействие
/ (/) на
динамическую систему, которое может состоять
из линейных комбинаций функций
cos со/ и sin
со/.
Такой
тип
возмущения охватывает очень широкий круг функций.
Их
можно
изображать сходящимся тригонометрическим рядом. Требуется
лишь, чтобы функция
/ (/)
удовлетворяла условиям Дирихле.
Класс этих функций расширяется, если рассматривать
не
только
периодические,
но и
«почти периодические» функции
[49].
Гармонические колебания. Пусть
к
динамической системе при-
ложено возмущение
в
виде гармоники
/
(/) = /о cos
со/. (5.41)
Так
как cos со/ = (e
(m/
+
e~
iat
)/2,
то
/
(/) =
0,5Д,е'
ш
'
+
0,5/
0
e-'
w
', (5.42)
т.
е.
гармоническое воздействие можно рассматривать
как
сумму
двух экспоненциальных функций.
В
соответствии
с
этим разделим
частное решение исследуемого дифференциального уравнения
(5.24)
на две
части:
х„ (/) = х
ш1
(/) + х
в2
(/).
Каждую
из
этих
частей будем считать решением
для
соответствующей части гармо-
нического возмущения.
Первую часть этого возмущения выразим функцией
/j
(/) = 0,5f
n
t
i(at
.
Решение дифференциального уравнения
(5.24)
будем искать
в
форме
*т
(*)
=
0,5/
0
е'»'
W
(ico),
(5.43)
где
W
(ico)
—
частотная характеристика, выраженная уравне-
нием
(5.33).
В правильности этого решения убедимся прямой подстановкой
его
в
(5.24).
Заменив
в
(5.43)
частотную характеристику
ее
выра-
жением
(5.40),
найдем искомое решение
*ш(0 =
0,5/оЛ (со)е'[
м
'
+
е
<
м
^. (5.44)
Вторую часть внешнего возмущения представим функ-
цией
/
2
(/) =
0,5/
0
е~'
м
'.
По
сравнению
с
(5.42)
здесь только
из-
менен знак частоты
со.
Заметим,
что
U
(со)
—
четная,
а V
(со)
и 9
(со)
—
нечетные функ-
ции
со.
Следовательно,
с
изменением знака
со
амплитудная харак-
теристика
А (со)
останется прежней,
а 9
(со),
как
ясно
из
(5.38),
изменит знак.
А
это
значит,
что
вторая часть решения будет отли-
чаться
от
первой только знаком экспоненты,
т. е.
х
в2
(/)
=
0,5/
0
Л
(со)
е-
1
'
f^
+
e
(5.45)
Частное решение
в
целом найдем
как
сумму решений
(5.44)
и
(5.45),
т. е.
х»
= М
(со)
0,5 (е'
(• +
е <•))
/
_|_
е
-'
<«•
+
в <•» <) (5.46)
91
Рис. 5.2.
Амплитуда
и
фаза вынужденных колебаний
Рис. 5.3.
Пример амплитудно-фазовой характеристики
ИЛИ
х
ъ
= f
0
A (со) cos (at + 6
(со)).
(5.47)
Таким образом доказано,
что
гармоническое воздействие вызы-
вает также гармоническое колебание всей динамической системы
с
той^ же
частотой,
как и
воздействие,
но с
отличающейся ампли-
тудой
и
фазой.
При
этом функция
А (со)
представляет собой мас-
штаб амплитуды вынужденных колебаний
при
выходе
из
динами-
ческой системы
по
сравнению
с
амплитудой колебаний возмущаю-
щего воздействия,
а
функция
0 (со) —
сдвиг фазы
при
прохожде-
нии сигнала через цепь звеньев.
Эти
функции меняются вместе
с изменением частоты
со во
всем диапазоне
от
нуля
до
бесконеч-
ности.
При со = О
также
V (со) = 0, и
конец вектора
W (/со)
лежит
на
действительной
оси (рис. 5.3).
Если
со -+• оо, то V (со) -+•
0
и U (со) -*• 0, так как в (5.35) и (5.36)
темп роста
по
параме-
тру
со
знаменателя выше,
чем
числителя.
Если
к
динамической системе приложить возмущение
в
виде
гармоники
/ (/) = /
0
sin со/, то,
очевидно,
что на
выходе
из нее
получим
х
в
= f
0
A (со) sin
[со*
+ Э
(со)].
Это же
решение можно
записать
и в
виде суммы гармоник
*в
= /o^i («) sin со/ +
f
0
A
2
(со) cos со/, (5.48)
где
А
±
(со) = А (со) cos 9 (со); А
г
(со) = А (со) sin Э (со). Во
мно-
гих случаях возмущение можно рассматривать
и как
сумму
не-
которого числа гармоник
с
разными периодами, геометрические
волны которых накладываются.
Экспериментальные частотные характеристики. Если
к
линей-
ной системе прикладывать гармонические воздействия
/ (t) с ча-
стотами
со и
измерять амплитуду
и
фазу вынужденных колеба-
ний
х (t), то
можно экспериментально определять амплитудную
и фазовую характеристики
Л (со) и 6 (со).
Поскольку
же
частотные
характеристики содержат
все
динамические константы изучае-
мой системы, появляется возможность находить
их из
эксперимен-
тально полученных
АФХ. Они
также служат
для
оценки влияния
динамических постоянных
на
устойчивость
и
процессы регулиро-
вания
при
внешних воздействиях
на
динамическую систему.
Таким образом, исследования методом частотных характеристик
92
открывают возможность связать теорию
с
экспериментом,
ис-
пользуя модели отдельных звеньев
и
системы
в
целом. Подчеркнем
глубокий физический смысл частотных характеристик,
что
осо-
бенно важно
в
инженерном деле.
ГЛАВА
6.
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
На основании теоремы Ляпунова
(см. § 5.3)
задача
устойчивости динамической системы решается путем выяснения
знака вещественных частей всех корней характеристического урав-
нения. Критерии устойчивости
для
системы регулирования треть-
его порядка были сформулированы
И. А.
Вышнеградским
еще
в
1877 г. [44],
задолго
до
появления трудов
А. М.
Ляпунова.
Общий метод определения знаков корней, основанный
на
свойст-
вах коэффициентов характеристического уравнения, впервые
был
опубликован известным английским ученым
Е.
Раусом также
в
1877 г.
Двадцать
лет
спустя,
не
зная
о
трудах
Е.
Рауса,
А. Стодола поставил
ту же
задачу перед профессором Цюрихского
института
А.
Гурвицем,
и им
были вновь найдены
в
принципе
те
же
критерии Рауса,
но в
видоизмененной
и
более удобной форме.
Критерии Рауса—Гурвица оценивают устойчивость
или
неустой-
чивость свободных колебаний динамической системы первого при-
ближения
по
коэффициентам
ее
характеристического уравнения.
В свое время
эти
критерии послужили основой классической тео-
рии регулирования машин, сыгравшей исключительно важную
роль
в
деле развития энергетических установок
в
период
до
второй
мировой войны.
Та
же
задача
об
устойчивости регулирования
в
тридцатых
годах была решена советским ученым
А. В.
Михайловым
на
базе
частотных методов исследования, применявшихся
в
трудах
Г. Най-
квиста
в
области радиотехники.
В
основе частотных критериев
устойчивости также лежит исследование корней характеристи-
ческого уравнения линейной системы дифференциальных уравне-
ний.
Но
задача рассматривается
в
аспекте вынужденных коле-
баний динамической системы,
что
расширяет понимание физиче-
ской сущности явлений
и
благодаря этому более надежно направ-
ляет инженера
на
путь создания рациональных систем регулиро-
вания.
Для
исследований современных сложных систем регули-
рования машин
и
разнообразных технологических процессов тре-
буется знание критериев устойчивости обоих типов.
§
6.1.
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА—ГУРВИЦА
Для системы линейных дифференциальных уравнений,
описывающих процесс регулирования, характеристическое урав-
нение было записано
в
виде
(5.27)
c
0
s
n
+
CiS"-
1
Н
Ь
Cn-lS + с
п
= 0. (6.1)
93
Там
же
было доказано,
что
система регулирования асимптотически
устойчива, если
все
корни характеристического уравнения имеют
отрицательные корни
или их
вещественные части.
Для
определе-
ния
же
знаков этих корней служит теорема Гурвица:
если дано алгебраическое уравнение
(6.1) с
вещественными коэф-
фициентами
и с
0
> 0, то
необходимое
и
достаточное условие
для
того,
чтобы
все его
корни имели отрицательные вещественные
части, состоит
в том,
чтобы были положительными
все
п о п р е -
делителей Гурвица, составленных
по
нижеследующей
схеме:
сх
> 0;
с
х
с
3
CQ
С
2
>0;
с
х
с
з
с
ь
Со
с% С4
0
с, с
3
>
0 и т. д.
(6.2)
Для составления этих определителей порядка
k
можно поль-
зоваться правилом: выписать
по
главной диагонали
все
коэффи-
циенты характеристического уравнения
c
lt
с
2
, ... . c
k
и
дополнить
вертикальные ряды, начиная
от
этой диагонали, коэффициентами
того
же
уравнения вниз
по
убывающим индексам,
а
вверх
по
воз-
растающим;
все
коэффициенты, индексы которых
при
указанном
их расположении
в
столбцах определителя получились
бы
больше
п
или меньше нуля, надо заменить нулями.
Как следствие
из
теоремы Гурвица вытекает,
что для
устой-
чивой динамической системы
при с
0
> 0 все
коэффициенты харак-
теристического уравнения должны быть положительными. Этим
следствием удобно пользоваться, выписав прежде всего простей-
шее условие устойчивости
с
1
> 0, с
2
> 0, с
п
> 0, а
затем,
если
это
требование окажется выполненным, вычислять определи-
тели Гурвица
до
порядка
п — 1
(знак определителя порядка
п
уже выясняет неравенство
с
п
> 0
совместно
с
предыдущим опреде-
лителем Гурвица). Последняя формулировка критериев устойчи-
вости включает лишние условия,
и
поэтому
она
представляется
недостаточно строгой.
Но ее
использование сокращает вычисли-
тельную работу,
так
как
сразу после выяснения
по
знакам харак-
теристического уравнения,
что
система неустойчива, отпа-
дает необходимость вычисления остальных определителей Гур-
вица.
Рассмотрим примеры критериев устойчивости.
Система дифференциальных уравнений второго порядка.
Ее ха-
рактеристическое уравнение
c
0
s
2
+ c
x
s + с
2
= 0, и
критерии
устойчивости
при с
0
> 0
имеют
вид:
с
х
> 0, с
2
> 0.
Для этого частного случая критерии Гурвица выводятся эле-
ментарно: чтобы
при
с
0
> 0
корня были отрицательными,
их
про-
изведение должно быть положительным,
т. е.
(с
2
/с
0
)
> 0, или
с
2
> 0, а их
сумма должна быть меньше нуля,
т. е. —
(CJCQ)
< 0
или
с
х
> 0.
94
Система дифференциальных уравнений третьего порядка.
Ее
характеристическое уравнение
c
0
s
3
+ c
y
s
2
+ c
2
s + с
3
= 0, и
кри-
терии устойчивости
при с
0
> 0
имеют
вид:
Сх
> 0; с
2
> 0; с
3
> 0;
с
х
с
2
—
с
0
с
3
> 0. (6.3)
Система дифференциальных уравнений четвертого порядка.
Ее характеристическое уравнение имеет четвертую степень
c
0
s
4
+
+
CjS
3
+
c
2
s
2
+ c
3
s + c
4
= 0, и
критерии устойчивости
при
всех
положительных коэффициентах включают следующие определи-
тели Гурвица
до
третьего порядка:
Сх
с
3
0
с
х
с
3
Со
с
2
>
0;
=
с
3
(с\с
2
—
с
0
Сз)
— с,с
4
> 0. (6.4)
с
0
с
2
с
4
0
с
х
с
3
Заметим,
что в
положительный член левой части последнего
неравенства входит множителем выражение второго определителя
Гурвица. Если этот множитель больше нуля,
то
определитель
третьего порядка ничего нового
не
вносит. Появление этого лиш-
него критерия объясняется использованием
не
только теоремы
Гурвица,
но и ее
следствия.
Тем
не
менее вычисление удобно про-
изводить
в
указанном порядке,
так как в
случае невыполнения
первого критерия
уже не
будет надобности вычислять
и
послед-
ний критерий,
а
если определитель второго порядка окажется
больше нуля,
то
его
численное значение пригодится
при
вычисле-
нии определителя следующего порядка.
Так
же
можно показать,
что в
случае принятой записи среди
критериев устойчивости
для
системы дифференциальных уравне-
ний пятого порядка лишним оказывается определитель Гурвица
третьего порядка.
Граница устойчивости.
Из
критериев Гурвица можно непо-
средственно установить зависимости между коэффициентами
ха-
рактеристического уравнения
и
определить частоту гармонических
колебаний
(s =
t'(o
ft
)
на
гранцце устойчивости. Например,
для
уравнения третьего порядка имеем характеристическое уравне-
ние —с
0
ш*
—
и©!
1
+
c
2
to)
+ с
3
= 0 и,
приравняв нулю вещест-
венную
и
мнимую части, найдем
Щ
=
С3/С1
=
с
2
/с
0
.
(6.5)
§
6.2.
КРИТЕРИИ
УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
Исследуем систему линейных дифференциальных урав-
нений
с
характеристическим уравнением
c
0
s
n
+
CxS"-
1
+
c
2
s"-
2
f • • • + c
n
=
0.
(6.6)
Левую часть этого уравнения можно рассматривать
как
част-
ный случай более общей функции комплексного переменного
s =
=
а + ш:
/
(s)
= s» (1 + (cjs) +
(cjs
2
)
+ ••• +
(c
n
/s»)).
(6.7)
95
Движение устойчиво, если
все
корни функ
ции
/ (s)
имеют отрицательные вещественные
части,
а это
значит,
что все
нули функции рас
положены
в
левой полуплоскости
s.
Если
до
кажем,
что в
правой полуплоскости
s
функция
/
(s) не
имеет корней,
то
исследуемое движение
устойчиво.
Для устойчивой системы
на
положительной
части действительной
оси в
плоскости
s не
должно быть нулей функции
/ (s),
потому
что
Рис.
6.1.
f
Контур
для
такои
системы
все
коэффициенты харак
обхода области,
в
теристического уравнения должны быть больше
которой
не
должно нуля,
а при
этом условии
для
любых поло
быть нулевой функ жительных
s
функция
/ (s) не
может быть
ции
'равной нулю,
как
состоящая только
из по
ложительных членов. Заметим также,
что
каждому комплексному корню
/ (s) = 0
соответствует сопря
женный корень,
и в
силу симметрии
для
суждения
об
устойчивости
движения достаточно доказать,
что
функция
/ (s) не
имеет нулей
внутри области, ограниченной замкнутым контуром
Г (рис. 6.1);
последний состоит
из
действительной полуоси, четверти окруж
ности бесконечного радиуса
R и
мнимой полуоси
от
нуля
до ico »
*•
со.
Отсюда следует,
что
функция
/ (s) не
имеет корней
с
поло
жительной вещественной частью, если
при
обходе
в
плоскости
s
по контуру
Г
приращение аргумента функции
/ (s)
равно нулю
(принцип аргумента
[49]).
На положительной действительной полуоси функция
/ (s),
как
уже
было сказано,
не
имеет корней,
и
приращение аргумента
на этом участке контура
А
х
arg / (s) = 0.
Обход точкой
s
четверти
окружности бесконечного радиуса
(mod s > со), как
видно
из
(6.7),
дает приращение аргумента
Д
2
arg / (s) = A arg s". При
этом обходе
arg s
возрастает
на
величину
я/2, a arg / (s) — на ве
личину
А
2
arg s" = пл/2.
Чтобы функция
/ (s) не
имела нулей внутри области, охвачен
ной замкнутым контуром
Г, при
прохождении точкой
s
мнимой
полуоси
в
указанном направлении изменение аргумента
А
3
arg / (s)
должно быть
по
величине таким
же, а по
знаку обратным прира
щению аргумента
при
обходе
по
дуге четверти окружности,
т. е.
А
3
arg / (s) = —А
2
arg / (s) или
А
3
arg / (s) =
—пя/2.
(6.8)
Формула
(6.8)
позволяет судить
об
устойчивости динамиче
ской системы.
Для
этого надо построить согласно
(6.6)
характе
ристическую кривую
—
отображение мнимой полуоси
в плоскости
s на
плоскость
£ = / (s).
Если
при
обходе вдоль
ха
рактеристической кривой удовлетворяется
(6.8), то
характери
стическое уравнение
не
имеет корней
с
положительной действи
тельной частью,
а это и
определяет устойчивость динамической
96
системы.
Для
построения характеристических кривых рассмо
трим последовательность функций
при s = ico:
/о
(s) = 1; A (s) = ш/о (ico) + c
x
;
/
2
(s) =
t'co/i
(iw) + c
2
;
...;/„
(s) =
ico/
n
_i
(ш) + c
n
.
Индексом
при /
отмечен порядок функции. Последняя
из
этих
функций представляет собой функцию
(6.7) при s = ico, т. е.
урав
нение характеристической кривой порядка
п. Эту
кривую можно
получить графически.
Действительно, построив одну
из
функций
f
k
(ico) на
плоскости
комплексного переменного
£ = / (s) = Р (со) f iQ (со), по
этой
кривой можно построить последующую функцию
fk+i
(tco)
:
Для
этого каждый
из
векторов, определяющих точки построенной кри
вой, надо увеличить
в со раз и
повернуть систему координат
на
угол
я/2 по
часовой стрелке,
что
соответствует умножению
на i,
а затем сдвинуть новую
ось
ординат параллельно самой себе
на
величину
c
h+1
.
Применение этого способа покажем
на
примере.
На
рис. 6.2 в
системе координат
Р
0
(со), iQ
0
(со)
отложен
по
оси
Р
0
(со)
отрезок
/
0
(ico) = 1.
Увеличим этот отрезок
в со раз,
считая
со = 1; 2; 3; и
отметим
на оси Р
0
(со)
точки
/; 2; 3;
соответствующие величинам
со.
Повернем систему координат
по
часовой стрелке
на 90°,
после чего параллельно перенесем
ось ор
динат
на
величину
с
х
. Так мы
получим новую систему координат
Р
х
(со); iQ
x
(со), в
которой оставшаяся
на
месте прежняя
ось Р
0
(со)
4
Кириллов
И. И. 97
Изобразит [характеристическую линию
для
дифференциального
уравнения первого порядка.
Соединив новое начало координат
с
точками
1; 2;3; ... на
преж
ней вещественной
оси Р
0
(со),
получим модули функции
Д (s),
а увеличив
их в со раз, —
величину первого члена функции
/
2
(s).
Чтобы найти модуль этой функции, надо
еще
прибавить веществен
ную величину
с
2
, а для
этого достаточно сдвинуть начало коорди
нат вправо вдоль
оси Р
г
(со).
Таким построением получится харак
теристическая кривая
для
дифференциального уравнения второго
порядка, причем
эту
кривую, надо рассматривать
в
системе коорди
нат
Р
2
(со), iQ
2
(со),
которая получается
из
системы
Р
х
(со), Q
t
(со)
поворотом последней
на
угол
я/2 по
часовой стрелке
с
последую
щим параллельным переносом новой
оси
ординат
на с
а
вправо
от
оси
Р
х
(со).
Тем
же
методом
на рис. 6.2
построена характеристическая
кривая
для
дифференциального уравнения третьего порядка,
и
так построение характеристических кривых может быть продол
жено
до
любого порядка.
Для их
построения необходимо знать
лишь коэффициенты
c
lt
с
2
, с
3
, ...
характеристического уравне
ния
(6.6). ,
Построив характеристическую кривую порядка
п для за
данной динамической системы, можно сделать заключение
о ее
устойчивости, исходя
из
критерия
(6.8).
Согласно этому критерию
приращение аргумента вектора
£ при
изменении
со от
бесконеч
ности
до
нуля будет
А
3
arg £ =
—пя/2.
Это
значит,
что для
устой
чивой системы регулирования точка, перемещаясь
в
плоскости
£
по характеристической кривой
из
бесконечности
(со > с») до
пере
сечения положительной действительной полуоси
при со = 0 и
/
(s) = с
п
,
обходит начало координат
и
пересекает
п раз оси в оп
ределенной последовательности. Порядок этих пересечений
за
висит
от
степени характеристического уравнения
в
связи
с тем,
что точка характеристической кривой
при со = 0
всегда должна
лежать
на
действительной положительной полуоси
(с
п
> 0).
Если степень характеристического уравнения четная
и
система
устойчива,
то при
обходе начала координат
по
характеристиче
ской кривой
в
диапазоне
от со *• со до со = 0
первое пересечение
должно произойти
с
мнимой полуосью,
а
следующие точки пере
сечения попеременно лежат
на
действительной
и
мнимой осях.
Если степень характеристического уравнения нечетная
и
система
устойчива,
то при
обходе
по
характеристической кривой
от со >
*•
со до со = 0
первое пересечение должно произойти
с
действи
тельной осью,
а
последующие пересечения будут происходить
поочередно
с
мнимой
и
действительной осями.
При выполнении последовательного построения характеристи
ческих кривых может случиться,
что
некоторые промежуточные
характеристики
не
соответствуют условиям устойчивости динами
ческой системы порядка
k,
которому
они
соответствуют
(при k ^
3).
Это не
служит признаком неустойчивости динамической
98
Рис.
6.3.
Характеристические кривые
для
устойчивых систем регулиро
вания:
а —
второго порядка;
б —
третьего порядка;
в —
четвертого порядка
системы
в
целом,
так как и в
этом случае последняя характери
стическая кривая порядка
п все же
может удовлетворить критерий
устойчивости
(6.8).
На
рис. 6.3
приведены
три
характеристические кривые,
по
строенные согласно
рис. 6.2.
1.
Характеристическое уравнение вто
рой степени
при с
0
= 1
имеет
вид s
2
+ c
t
s f с
2
= 0,
и характеристическая кривая
на рис. 6.3, а
подтверждает,
что
для устойчивого регулирования нужно, чтобы угол поворота
вектора
£ при
изменении
со от
бесконечности
до
нуля равнял
ся
— я, что и
выполняется
при
любых конечных положительных
величинах
с
г
и с
2
.
2. Характеристическое уравнение тре
тьей степени запишем
в
виде
s
3
+
c
x
s
2
+ c
2
s + с, = 0.
При обходе вдоль характеристической кривой
на рис. 6.3, б
из точки
при со » оо к
точке
при со = 0
приращение аргумента
Д
3
arg £ =
—Зя/2,
что
удовлетворяет критерию устойчивости
(6.8). Это
условие выполняется, если начало координат находится
между точками
А и В. В
точке
В
имеем
со = 0 и,
следовательно,
ОВ
= с
3
, а это
значит,
что с
изменением
с
3
форма характеристиче
ской кривой
не
меняется,
а она
лишь сдвигается вдоль
оси Р
3
(со)
(рис.
6.3, б).
Ясно также,
что
устойчивость сохраняется
при 0 <
< с
3
< с
3 тах
, где в
случае совпадения точки
А с
началом коорди
нат
с
3 тах
=
А
В.
3. Характеристическая кривая четвер
того порядка представлена
на рис. 6.3, е. Она
соответ
ствует устойчивому регулированию, поскольку удовлетворяется
критерий устойчивости
(6.8).
§
6.3.
АМПЛИТУДНОФАЗОВЫЙ КРИТЕРИЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
На основании
тех же
принципиальных положений,
которые были использованы
при
выводе критерия Михайлова,
можно изыскать
и
другие подобные критерии устойчивости.
Существенными достоинствами обладает частотный кри
терий устойчивости, предложенный Найквистом
[49].
4*
99