Кириллов И.И. Автоматическое регулирование паровых турбин и газотурбинных установок

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 6.4. Разомкнутая цепь звеньев

Частотные характеристики для разомкнутой динамической си-

стемы обладают замечательным свойством: они позволяют судить

об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим структурную схему разомкнутой динамической

системы, состоящей из п звеньев (рис. 6.4), ко входу в которую

подводится гармоническое возмущение с частотой со. При выходе

из этой системы возникают вынужденные колебания с амплитудой

и фазой, которые определяются амплитудно-фазовой

характеристикой (см. § 5.5) W (ico) = А (со) е'

е ((0)

Годограф амплитудно-фазовой характеристики представляет

собой кривую в диапазоне частот от 0 до со. В пределе при со = О

конец вектора W (ico) лежит на действительной оси, а его модуль

равен коэффициенту усиления, представляющему собой переда-

точное число в кинематической схеме. В частотном анализе при-

нято считать это число положительным, как и для любого проме-

жуточного звена, для которого выбирать направление осей коор-

динат можно произвольно. Но при таком их выборе допускается

ошибка в знаке регулируемой величины, что ясно из нижеследую-

щих рассуждений.

Системы регулирования турбин и других машин выполняются

замкнутыми, т. е. вырабатываемая выходная регулируемая

величина х

вновь прибавляется к управляющему воздействию

перед первым звеном (рис. 6.5). Например, если первым звеном

служит регулятор, воспринимающий внешние командные импуль-

сы,

и если под его влиянием изменяется частота вращения ро-

тора турбины, то изменение этой частоты обратно передается ре-

гулятору, так или иначе связанному с валом турбины. Эту связь,

как правило, можно считать жесткой, а тогда обратный импульс

сообщается регулятору мгновенно в дополнение к внешнему им-

пульсу. Такая передача выходной величины, охватывающая всю

структурную схему, носит название главной обратной

связи, В системе регулирования любой энергетической машины

в ответ на изменение импульса при входе в нее происходит не

только изменение регулируемой величины, но и знака ее отклоне-

ния. Так, например, если увеличивается частота вращения ротора

турбины и связанного с ним регулятора, то последний, выполняя

свою функцию по поддержанию с заданной точностью частоты вра-

"*>т

, : [7}

Рис. 6.5. Замкнутая цепь звеньев с главной обратной связью

100

8ЫХ

щения, вызывает перемещение

распределительных органов тур-

бины в таком направлении, чтобы

угловая скорость ее вала стала

уменьшаться. Другими словами,

в таких системах регулирования

относительная выходная коорди-

ната передается вновь к регуля-

тору с обратным знаком, по сравне-

нию с входной величиной, сни-

жая активность регулятора и тем

самым уменьшая перерегулиро-

вание.

Таким образом, в рассматри-

ваемой замкнутой схеме ошибка

в знаке регулируемой величины из-за

того,

что отношение

вых

/х

вх

для всех звеньев считается поло-

жительным, исправляется искус-

ственным введением главной обратной связи в виде кинематиче-

ского звена с коэффициентом передачи, равным — 1. С учетом знака

этого звена входная величина для первого звена х

вх

получается

как алгебраическая сумма внешнего воздействия и сигнала через

главную обратную связь — х

Пусть к первому звену разомкнутой цепи подводится извне

(рис.

6.6, а) гармоническое возмущение, которое будем особо

обозначать g (t) как управляющее воздействие,

передаваемое командующему органу (регулятору). При этом вы-

ходная координата последнего звена будет совершать также гармо-

нические колебания, выражаемые уравнением

{t) = W (ico) g (/),

где W (ico) — частотная характеристика разомкнутой системы.

Если систему замкнуть через главную обратную связь (рис. 6.5 )>

то

через нее колебания станут вновь передаваться к входу в перв

ое

звено как сигнал —• х

(t).

Вообразим разомкнутую цепь безынерционных звеньев.

ТогДЗ

на выходе из цепи величина х

будет в точности копировать по

амплитуде и фазе колебания g (t) перед первым звеном. Если же

эту цепь звеньев наделить такими динамическими свойствами, что

при некоторой частоте со ее амплитудно-фазовая характеристика

станет

Л(со)е'

<•> = — 1, (6.9)

т. е. А (со) = 1 и 6 (со) = —я (рис. 6.6, а), то на выходе из разомк-

нутой системы будут генерироваться вынужденные колебания

с той же амплитудой, как перед первым звеном, но с отставанием

по фазовому углу на —я (рис. 6.6, б). Если при этой частоте коле-

а)

Рис. 6.6. Вынужденные колеба-

ния:

а — гармоническое воздей-

ствие g (I); б — колебания при вы-

ходе из разомкнутой цепи в случае

А (со) = 1 и 0 (со) — —я; в — ко-

лебания в замкнутой цепи в тех же

условиях, как в случае б

101

А(о)П

Рис,

6.7. АФХ

разомкнутой цепи звеньев

U(u))

баний мгновенно отключить внешнее воздействие

g (t) и

включить

главную обратную связь,

т. е.

кинематическое звено, сохраняю-

щее амплитуду,

но

меняющее фазовый угол

на —я, то

через

эту

обратную связь

первому звену будет подводиться такое

же

воз-

действие

—х

(t),

какое подводилось извне

разомкнутой системе

[g (t)],

изамкнутая система будет совершать незатухающие

колебания

(рис. 6.6, в).

Таким образом, если динамическая система настолько инер-

ционна,

что

выполняется условие

(6.9), то

поданный

к ее

входу

сигнал вновь возвращается'к входу через главную обратную связь

без изменений,

тем

самым проявляя способность системы поддер-

живать свободные гармонические колебания.

А это

значит,

что

данная система находится

на

границе устойчивости.

Все сказанное дает физическое представление

связи между

расположением годографа

АФХ и

устойчивостью динамической

системы.

Но

можно строго доказать

на

основании принципа,

изложенного

в § 6.2 для

случая, когда система устойчива

разом-

кнутом состоянии, следующую теорему: динамическая система

устойчива, если годограф

АФХ на

плоскости

W (ico) не

охватывает

точки

(—1, Ю). На рис. 6.7

изображены

АФХ

устойчивой системы

регулирования

находящейся

на

границе устойчивости

2, и

неустойчивой

В более общем виде

[49 ],

пригодном также

для

систем неустой-

чивых

разомкнутом состоянии, частотный критерий устойчиво-

сти можно сформулировать

так:

динамическая система устойчива,

если разность между положительными

отрицательными пере-

ходами амплитудно-фазовой характеристикой отрезка действи-

тельной

оси (—

об,—1) равна

k/2, где k —

число корней

с по-

ложительной действительной частью характеристического урав-

нения разомкнутой системы.

§ 6.4.

ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим систему линейных дифференциальных урав-

нений, описывающих движения

процессы системы регулирова-

ния. Запишем

для нее

характеристическое уравнение

(6.1) в

виде

(s) = 0, где

102

(s) =

s»

-f

су"-

-f

he*.

(6.10)

Рис. 6.8.

D-разбиение комплексной плоско-

сти

Т. а —

корни характеристического урав-

нения;

б —

мнимая

ось на

плоскости

Коэффициенты этого урав-

нения зависят

от

динами-

ческих постоянных систе-

мы.

При

изменении дина-

мических постоянных

ме-

няются также коэффици-

енты характеристического

уравнения и,следователь-

но,

корни

s — а + ico

уравнения

(6.1). Для

устойчивого регулирова-

ния

все

корни характери-

стического уравнения дол-

жны иметь отрицательные вещественные части

(а < 0). Это

значит,

что

комплексной плоскости

s все

корни характеристического

уравнения должны быть расположены слева

от

мнимой

оси

(рис.

6.8, а).

Полином

D (s)

рассмотрим

как

функцию любых значений

среди которых будут, естественно,

корни характеристического

уравнения. Функцию

D (s)

можно изображать

плоскости раз-

личных параметров.

Ими

могут служить исследуемые динамиче-

ские константы

уравнениях звеньев

или

коэффициенты характе-

ристического уравнения

и их

сочетания.

При

изменении каких-

либо

из

этих параметров система может сделаться неустойчивой.

Математически

это

означает,

что

один

из

вещественных

или

пара

комплексных корней перейдут через мнимую

ось в

плоскости

(здесь

не

рассматривается случай перехода через бесконечно уда-

ленную точку

правой полуплоскости). Исследование перехода

корней

через мнимую

ось

лежит

основе метода

D-p

азбиения.

Если отобразить мнимую

ось ico в

комплексной плоскости

на плоскость исследуемых параметров, получим границу, разде-

ляющую

на

этой плоскости устойчивую область

от

неустойчи-

вой.

Каждый

раз,

когда

при

изменении параметров совершается

переход через

эту

границу,

комплексной плоскости

происходит

переход через мнимую

ось

одного вещественного

или

пары ком-

плексных корней характеристического уравнения. Чтобы отобра-

зить мнимую

ось ico на

плоскость исследуемых параметров,

в по-

лином

D (s)

подставим

s = ico и

будем изменять

со от —-оо до +оо.

Тогда, вычислив полином

D (ico) для

различных

со и

определив

из него исследуемые параметры, можно построить

плоскости этих

параметров кривую, разбивающую плоскость параметров

на

устой-

чивую

неустойчивую области. Построение этой кривой называется

D-разбиением.

/)-разбиение

плоскости одного параметра.

Для

примера

выберем один изменяющийся параметр

Т.

Допустим,

что

харак-

теристическое уравнение

D (s) = 0

можно решить относительно

и представить

его в

таком виде:

(s) + TQ (s) = 0. (6.11)

103

Хотя величина

Т в

задачах регулирования всегда веществен-

ная,

лишь

для

процесса D-разбиения представим

ее в

виде ком-

плексного числа

(/со),

после решения задачи воспользуемся

только

его

вещественной частью.

этом смысле будем говорить

о комплексной плоскости исследуемого параметра. Чтобы отобра-

зить мнимую

ось на

комплексную плоскость

Т,

подставим

s =

/со в

(6.11),

после чего найдем

(/со) = -Р

(/co)/Q

(/со) = М (to) + iN

(со). (6.12)

Вычислим величины

Т (/со) для со от —со до +оо и

нанесем

их

на

плоскость

Т.

Полученная граничная кривая представит

D-разбиение.

Так как N (со)

содержит только нечетные степени

со,

эта кривая всегда симметрична относительно

оси

(со)

(рис.

6.8, б).

Чтобы установить,

которой стороны

от

граничной кривой нахо-

дится неустойчивая область, достаточно

какой-либо точке вблизи

кривой определить значение исследуемого параметра

при

положи-

тельном

s (а > 0). Во

многих случаях

это

очевидно

и без

вычис-

лений.

На

рис. 6.8, а в

плоскости

отрицательные корни находятся

слева

от

мнимой

оси. На рис. 6.8, б в

плоскости

устойчивая

об-

ласть также лежит слева

от

кривой D-разбиения, если переме-

щаться вдоль

нее от —со к

+00.

Рядом

граничной кривой

на-

носится штриховка

со

стороны устойчивой области.

При

этом штри-

ховка показывает лишь

какой стороны

от

кривой D-разбиения

лежит устойчивая область,

но не

определяет других границ этой

области,

что и не

требуется

для

решения задачи.

В найденной устойчивой области выделим отрезок

лежащий

на действительной

оси.

Отрезок

охватывает

все

реальные зна-

чения параметра

Т, при

которых динамическая система

еще

сох-

раняет устойчивость.

ZJ-разбиение плоскости двух параметров. Предположим,

что

в характеристическом уравнении

(6.1)

коэффициенты линейно

зависят

от

двух параметров

7\ и Т

и что

характеристическому

уравнению можно придать

вид Т

Р (s) + T

Q (s) + R (s) = 0.

Сделав подстановку

s = /со,

отобразим мнимую

ось

плоскости

корней

на

плоскость

7\, Т

. Для

этого отделим

уравнении

ве-

щественную

мнимую части:

(/со) + T

(/со)

+ R (/со) = U

(со)

+ iV

(со),

где функции

U (со) и V (со)

зависят

от со и от

параметров

7\ и Т

Найдем

для

различных значений

со

такие величины

7\ и Т

при которых левая часть уравнения обращается

нуль.

Для

этого

надо совместно решить

два

алгебраических уравнения:

U (со) = 0,

(со) = 0.

Предположим,

что в

этих уравнениях можно выделить

члены, содержащие

7\ и Т

, и

записать левые части уравнений

в такой форме:

(со) = Т

(со) + T

(со) + R

(со) = 0;

(со) =

(со) + T

(со) + R

(со) = 0.

(6.13)

104

Рис.

6.9.

D-разбиение плоскости двух параметров

Рис.

6.10.

Область устойчивости

при

изменении одного параметра

Решим систему

(6.13)

обычным образом относительно

и Т

и подсчитаем

для

каждого

со

значения

Р, Q и R с

соответствующими

индексами. После этого

плоскости

, Т

изобразим кривую,

получаемую

результате изменения

со от —со до +

оо

(рис.

6.9).

Если соблюден указанный порядок записи уравнений

перемен-

ных

Ту и Т

, то

первую

из них

будем откладывать

по оси

абсцисс,

а вторую

по оси

ординат

правой системе координат.

При некоторых значениях

со

уравнения

(6.13)

могут оказаться

равносильными,

т. е.

одно уравнение получается

как

следствие

другого. Этому значению

со в

плоскости

, Т

соответствует

не

точка,

прямая, называемая особой. Если особые прямые

не ле-

жат целиком

бесконечности,

то их

надо нанести

на

диаграмме

для определения областей устойчивости.

Кривая D-разбиения

особые прямые штрихуются определен-

ным образом. Граница D-разбиения штрихуется слева

там, где

главный определитель системы уравнения

(6.13)

> 0, и

справа,

если

< 0.

Кривая штрихуется дважды

при

пробеге вдоль

нее

точки, когда

со

изменяется

от 0 до оо, а

затем

от

—со

до

нуля.

Оба

раза штриховка получается

одной стороны. Переход через

дважды заштрихованную кривую D-разбиения означает одновре-

менный переход через мнимую

ось в

плоскости

двух комплекс-

ных корней характеристического уравнения. Около точки пере-

сечения прямой

кривой

их

штриховки направлены друг

другу.

Если знак

изменяется

при

переходе через точку пересечения

прямой

кривой

для со = со,, то

надо изменить

за

этой точкой

также направление штриховки

штриховать двойной штрихов-

кой. Если

же А

не

меняет знака,

то

прямая

не

штрихуется,

так

как

она не

служит границей устойчивости.

Выделение областей устойчивости

по

критериям Рауса—Гур-

вица.

Для

несложных систем регулирования исследование устой-

чивости можно выполнить непосредственно

по

критериям

(6.2).

С этой целью можно изменять один

из

параметров

динамической

системы

вычислять величину левой части критерия Гурвица

А.

Построив кривую

А = f

(Т),

найдем отрезок

на оси Т, для ко-

торого

А >0 (рис.

6.10).

При

всех значениях

Т на

этом отрезке

105

Рнс.

6.11.

Область устойчи

вости

при

изменении двух пара

метров

регулирование будет устойчивым,

если, разумеется, остальные кри-

терии устойчивости также будут

выполнены.

Метод Вышнеградского

состоит

выделении областей устой-

чивости

плоскости двух парамет-

ров.

Приравняем нулю левую часть

исследуемого критерия устойчи-

вости

Д = 0. В

этом уравнении один

из параметров системы

будем

рассматривать

как

независимую

пе-

ременную величину,

другой пара-

метр

—

находить

из

уравнения

Д = 0. При

этом

все

остальные

параметры системы будем считать неизменными.

результате

этих вычислений построим кривую

координатах

разгра-

ничивающую области устойчивого

(А) и

неустойчивого

(В)

регу-

лирования

(рис. 6.11).

Чтобы установить, какая часть плоскости

составляет устойчивую область, воспользуемся исходным нера-

венством

Д > 0.

Сообщим небольшое изменение одному

из

пара-

метров системы,

по

величине соответствующему какой-либо точке

на построенной граничной кривой. Зная

из

неравенства

Д > 0,

к какому движению приводит

это

изменение параметра, легко

вы-

делить область устойчивого регулирования.

6.5.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ

УРАВНЕНИЕМ

ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

В задачах

об

устойчивости регулирования используется

как полином

D (s) (см. (6.10)), так и

передаточная функция разом-

кнутой цепи звеньев

W (s). Обе эти

функции связаны между собой

уравнением вида

(5.32)

W (s) = М (s)/D (s). (6.14)

Замкнем цепь звеньев главной обратной связью

передаточ-

ным числом

— 1 (см. рис. 6.5).

Тогда

первому звену, вместо

внешнего воздействия

записанного

правой части первого урав-

нения системы

(5.19),

будет подаваться сигнал

из

последнего

звена

— х

(t). А это

значит,

что в

левой части первого уравнения

системы

(5.19)

появится член

+х

Вместе

с тем это

значит,

что для

замкнутой цепи

и в

определитель

D (s) (в

составе

(5.20))

войдет

элемент

(s) — 1,

тогда

как в

разомкнутой системе

— при от-

сутствии главной обратной связи

—

сигнала

от

последнего звена

в первом звене

не

могло быть,

этот элемент равнялся нулю.

Из сказанного следует,

что для

замкнутой системы

при

разверты-

вании определителя

D (s)

появится дополнительный член

(s) М (s), где М (s) —

адъюнкта

при

элементе

Лп

(s),

равном

106

единице. Сохранив обозначение

D (s) для

разомкнутой системы,

применительно

замкнутой системе главный определитель обо-

значим

D* (s). В

этих обозначениях

(s) = D (s) + М (s). (6.15)

Определитель

D* (s)

представляет собой левую часть характе-

ристического уравнения

(5.27),

которое было составлено

для

сво-

бодных колебаний

замкнутой динамической системе. Поде-

лив

обе

части

(6.15) на D (s) и

применив

(6.14), для

разомкнутой

системы получим

(s)/D (s) = W (s) + 1. (6.16)

В частотных методах исследования базой служит передаточная

функция

W (s).

Если

же для

углубления исследования требуется,

кроме того, знание характеристического уравнения

D* (s) = 0,

то,

полагая

для

разомкнутой системы

D (s) Ф 0, его

можно пред-

ставить

виде

W (s) + 1-0. (6.17)

В частном случае, когда

s = t'to,

уравнение

(6.17)

определяет

границу устойчивости замкнутой системы,

как

было доказано

§ 6.3.

ГЛАВА

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Движение простых звеньев

или

процессы,

них

протекающие, выражаются,

как

будет показано, дифферен-

циальными уравнениями первого

или

второго порядка. Физическая

сущность процессов может принципиально различаться, тогда

как

их

математическая модель остается одной

и той же. Так,

например, уравнение движения вращающихся масс, уравнение

гидравлического сервомотора

уравнение процесса изменения

напряжения

электрической цепи, состоящей

из

сопротивления

и конденсатора, можно представить одной

и той же

математиче-

ской моделью.

Математическая модель даже очень сложной структурной схемы

автоматического регулирования самого различного назначения

может быть составлена

из

ряда типовых звеньев, число

которых невелико. Зная

их

динамические свойства, можно сде-

лать широкие обобщения

области динамики регулирования весьма

различающихся между собой объектов,

но

представленных

виде

одной

и той же

математической модели.

На

базе математического

моделирования создаются

аналоговые вычислительные машины,

в которых решающие электрические элементы воспроизводят раз-

личные физические процессы.

107

Чтобы широко использовать

обобщить выполненные мате-

матические исследования, звенья целесообразно классифициро-

вать

по их

динамическим свойствам.

Для

этой цели каждое типо-

вое звено удобно выбирать

так,

чтобы

его

состояние определялось

одной переменной. Динамические свойства обычно применяемых

элементов

системах регулирования отражают следующие типы

звеньев: апериодическое, колебательное,

ин-

тегрирующее

дифференцирующее. Звено,

не

проявляющее инерции, будем называть безынерционным

или кинематическим.

Условимся

для

всех звеньев входную величину ставить

пра-

вой части уравнения

обозначать

выходную

— в

левой

его

части

обозначать

При

этом отношение переменной

сиг-

налу

на

входе

характеризует реакцию (ответ) звена

на

вход-

ное воздействие

определяет

его

динамические свойства.

Эта глава посвящена изучению динамических характеристик

типовых звеньев.

Для

этой цели особенно плодотворно применение

частотных методов, позволяющих судить

динамических свой-

ствах всей системы

по

«характеристикам изолированных звеньев.

7.1.

АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО

Вынужденное движение апериодического

звена

или

протекание

нем

какого-либо процесса описываются

неоднородным линейным дифференциальным уравнением

(Тр

+ I) х

= kxx, (7.1)

где

Т —

динамическая константа звена;

k —

коэффициент

усиления. Входная величина

может известным образом

изменяться

во

времени, вынуждая отклоняться

выходную коор-

динату

Переходный процесс.

качестве примера исследуем процесс

регулирования

при

скачкообразном изменении входной коорди-

наты

от

нуля

— от

старого положения равно-

весия

до х

при

новом положении равнове-

сия.

Для

этого решим уравнение

(Тр + 1) х

= kx

Предвари-

тельно введем новую координату

х'

= х

— kx\

, что

приведет

к однородному уравнению

(Тр + 1) х'

= 0,

решение которого

х'

(7.2)

Величина

находится

из

характеристического уравнения

как

s = —\/Т,

постоянная интегрирования

С — из

условия,

что

при

t = 0 и

отсчете

от

старого положения равновесия

= О,

а х'20

—kx\o-

Следовательно,

и С =

—kxi

а из (7.2)

получим

Ьг

(1-е-'/г).

(7.3)

При

имеем

2у

= kx

(рис.

7.1),

т. е.

процесс асимпто-

тически стремится

новому положению равновесия, когда

-УО.

108

Рис.

7.1.

Переходный

про-

цесс

апериодическом звене

При очень малой динамической кон-

станте

велика

начала процесса про-

изводная х

(0).

это

значит,

что

про-

цесс регулирования почти мгновенно

заканчивается,

т. е.

апериодическое

звено вырождается

кинематическое

с коэффициентом усиления

k, и в

этом

масштабе выходная координата почти

точно повторяет входную.

Экспериментальное определение

ди-

намической константы. Зная

из

опыта

переходный процесс, постоянную

ве-

личину

можно определить графи-

чески.

Для

этого

любой точке экс-

поненты

(рис.

7.1)

проведем касатель-

ную

до

пересечения

линией нового

положения равновесия

(х

= х

2у

const).

При

этом

из (7.3)

имеем

(kxjT)

ег*'

и Ах

= kx

— х

= kx^-

. С

другой

стороны,

Ах

= х

At =

(kx

lT)

t/T

At, а это

значит,

что At =

Т.

Следовательно, касательная

экспоненте

любой точке

отсекает

на

линии нового положения равновесия

(х

= kx

) от-

резок

At,

равный динамической константе

Т.

Таким образом

можно экспериментально определить константу

Т,

сняв

на

осцил-

лограмму выходную величину

при

изменении скачком входной

координаты. Провести достаточно точно касательную

начале

координат невозможно из-за неизбежного запаздывания процесса.

Лучший результат получается

при

построении касательной,

отступив

от

исходной точки.

Переходная функция

h (t). Эта

функция описывает переход-

ный процесс

при

единичном скачке

1о

1в

момент вре-

мени

t = 0. В

этом случае

2у

= kx

= k и

h(t)

= k(\ -t~"

(7.4)

В любом апериодическом звене процесс

без

колебаний перево-

дит систему

новому положению равновесия.

этом звене явно

выражено

его

свойство саморегулирования

—

способность переходить

новому положению равновесия

без по-

мощи какого-либо другого звена. Большая величина

характери-

зует значительную инерцию звена,

значит,

замедленную

его реакцию

на

входной сигнал.

Передаточная функция.

изображениях уравнение

(7.1)

примет

вид

(Ts

+ 1)

~х

= kx

(7.5)

и согласно определению передаточная функция (x

/*i) станет

(s)

= k/(Ts +1). (7.6)

109

iV(w)

u> =

U{w)

Рис.

где

7.2.

АФХ

апериодического звена

W (ico)

= k (1 —

Тш)1[\

Частотные характеристики.

Подставив

в (7.6) s =

ico,

по

лучим

№

(ico)

й/(7ш

+ 1). (7.7)

Разделим

(ico)

на

вещест

венную

мнимую части.

Для

этого последнее уравнение

пе

репишем

таком виде:

(Тсо)

]

 U

(со)

iV(co),

(со)

= к/И +

(Тсо)

];

(7.8)

(со)

—

£7W[1

(Тсо)

(7.9)

Для перехода

амплитуднофазовой характеристике восполь

зуемся формулами

(5.37)

(5.38)

после простых преобразований

получим:

(со)

= klV

(Гсо)

;

(7.10)

9 (со)



arctg

(—Тсо).

(7.11)

Для нулевой частоты

(со

= 0) из

(7.8)—(7.10)

имеем

(со)

= k и V

(со)

= 0,

чему соответствует

на

рис.

7.2

точка

(k, Ю), где k —

передаточное число

статических условиях.

Для

со >• оо

получим

(со)

= А

(со)

= V

(со)

= 0, а это

значит,

что частотная характеристика стремится

началу координат.

Для любой точки

на

АФХ

из (7.8) и

(7.10)

имеем

[А

(со)

]

= kU

(со), (7.12)

так как

на

рис.

7.2

видим,

что

(со)

— OA, U

(со)

= ОБ и k =

OK, то из

(7.12)

получим

OKOB,

т. е.

отрезок

OA —

среднегеометрический

из

отрезков

ОК и OB, а |_ OAK =

я/2.

Следовательно,

при

любой частоте

со

годограф вектора

(ico)

(точка

Л)

находится

на

окружности, диаметр которой

OK = k.

На

рис.

7.2

видно,

что с

увеличением частоты вынужденных

колебаний масштаб амплитуды

(со)

монотонно уменьшается

от

А (0) = k до А

(оо)

= 0, а

фазовый угол

— от 9 (0) = 0 до

(со)

—я/2.

Таким образом,

возрастанием

со

влияние инер

ционности звена усиливается, вызывая уменьшение амплитуды

выходной координаты

по

сравнению

входной

увеличение отста

вания

по

фазе.

§ 7.2.

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Вынужденные колебания рассматриваемого звена

или

протекающие

в нем

процессы описываются дифференциальным

уравнением второго порядка

(Т

+ T

+ 1) х

= kx

(7.13)

ПО

где

Т и Тх —

динамические константы;

k —

коэффициент усиле

ния.

Переходный процесс. Допустим,

как и для

апериодического

звена, скачкообразное изменение входной координаты

от

нуля

до

1о

Введя новую координату

х'

= х

— kx

получим однородное

линейное дифференциальное уравнение,

для

которого харак

теристическим уравнением будет

TV + T

s +1 = 0,

корни которого запишем

комплексной форме

s = а +

coi, (7.14)

где

а =

Т

/(2Т

);

со =

(0,5/Т

)

/4Т

— Т\.

Решение

(7.13)

можно записать

форме

(см.

§ 5.4)

= х

2у

+ e

(С?!

cos

coi

+ С

sin

coi),

(7.15)

где

2у

= kx

—

выходная величина

при

новом установившемся

движении,

т.е.

теоретически

при

t*oo.

Передаточная функция. Запишем

(7.13)

изображениях,

за

менив

р на s,

+ T

+ 1) х

= kx

(7.13')

из

этого уравнения получим согласно определению передаточную

функцию

W(s)

£/(TV

1).

(7.16)

Частотные характеристики звена. Амплитуднофазовая

ха

рактеристика получается непосредственно

из

(7.16)

подстановкой

s = ico

W (ico)

= k/(l —

со

iTiCo)

= U

(со)

+ iV

(со),

где

(со)

= *



TV)'/[(1



TV)

Т?со

];

(7.17)

— &Т,со/[(1



со

)

со

(7.18)

Из этих выражений

по

формулам

(5.37)

(5.38)

найдем ампли

туднофазовую характеристику

(ico)

= А

(со)

е'

е((0)

где

(со)

= k

[(1



со

)

со

]

,/2

;

(7.19)

9 (со)

arctg

[—Т

со/(1

—

со

)

]. (7.20)

Амплитуднофазовая характеристика представлена

на

рис.

7.3

в виде годографа вектора

(ico)

(его

величина

(со)

= OA)

при изменении со

от

нуля

до

бесконечности. Если

со

= 0,

то

(со)

(точка

k на

рис. 7.3).

увеличением частоты амплитуда воз

растает,

при

частоте

со

называемой резонансной,

(со)

может достичь максимума.

Эта

величина находится

из

уравнения

[А

(со)

]/cico

= 0.

После простых выкладок

она

может быть

за

писана

так:

со

(1/Т)>/1Т

/(2Т

(7.21)

111

iVw

**~;

-»> oo

т—*"

[

U(w)

Рис.

7.3. АФХ

колебательного звена

Если

Т <

7У/2,

то А (со)

монотонно убывает

резонанс

исключается.

При со = со

ам-

плитудно-фазовая характери-

стика пересекает мнимую

ось,

при

этом:

(со

)

= 0; 1 —

—

cOo

= 0.

Следовательно,

со

= 1/Т и 9

(со)

—я/2.

Если

существует резонансная часто-

та,

то в

(7.21)

выражение

под

корнем всегда меньше единицы,

т.

е. со

со„.

Функция

(со),

как

видно

из

(7.17),

получается отрицатель-

ной только

при

Г со

> 1.

Частотная характеристика охватывает

тем меньшую область

третьем квадранте,

чем

меньше динами-

ческая константа

Т, а при Т

->•

колебательное звено переходит

в апериодическое, причем годографом вектора

(ico)

становится

полуокружность. Если устремить

нулю

Т и Т

то при

любой

конечной частоте

со

будет

(со)

-> k и V

(со)

-+• 0, т. е.

все

частоты

стягиваются

точке

(рис.

7.3).

Звено

этом случае становится

безынерционным,

т. е.

переходит

кинематическое

коэффициен-

том усиления

7.3.

ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО

Интегрирующим называется звено, математическая

мо-

дель которого описывается уравнением

Трх

= kx

(7.22)

Здесь коэффициент усиления

имеет условное значение,

по-

скольку звено неустойчиво. Чтобы данное звено имело

ту же ха-

рактеристику инерционности,

как и

апериодическое

при

одинако-

вой динамической константе, коэффициент

выделен

из

динами-

ческой константы

так, что при t = 0 и

внезапном изменении

входной величины

от

нуля

до х

для

сравниваемых звеньев

имели

бы

согласно

(7.3) и

(7.22)

одинаковую скорость изменения

выходной величины

| х

|<=о

= kx

/T.

Проинтегрировав

(7.22),

найдем

= (k/T) f х

dt.

(7.23)

В этом звене выходная величина пропорциональна интегралу

входной величины,

чем и

объясняется

его

название.

Из

(7.23)

следует,

что

ростом

выходная величина неограниченно увеличи-

вается, тогда

как

входная величина может оставаться посто-

янной.

112

Переходная функция

h (/).

Если входное воздействие

—

единичная ступенчатая функ-

ция

(х

= 1), то

переходную

функцию можно выразить урав-

нением

h (t) = (k/T) t,

(7.24)

которому соответствует

на

рис.

7.4

прямая линия.

Передаточная функция.

Пе-

реписав

(7.22)

изображениях,

найдем

(s) -

kl(Ts). (7.25)

Частотные характеристики.

Из

(7.25)

подстановкой

s = ico по-

лучим

W (ico)

—ik/(Ta>). (7.26)

Когда

со

меняется

пределах

от 0 до оо,

точка

(со),

изобра-

жающая

на

рис.

7.5

конец вектора

(ico),

перемещается вдоль

мнимой

оси

из

—сю

до

начала координат.

интегрирующем звене,

как

и в

апериодическом,

по

мере увеличения частоты амплитуда

выходной величины уменьшается,

но

отставание

от

входной

ве-

личины

по

фазе остается неизменным

равным

—я/2.

Интегрирующее звено можно представить

как

предельный слу-

чай апериодического звена.

Для

этого

апериодическом звене

будем увеличивать константу

Т,

оставляя неизменным коэффи-

циент усиления

Тогда

области достаточно больших частот

со

вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики

(У (со)

становится малой,

что

следует

из

(7.8),

а в

знаменателе

(7.9),

выражающего функцию

(со),

можно пренебречь единицей

по

сравнению

(Гсо)

результате такого перехода получим частот-

ную характеристику

(7.26)

интегрирующего звена.

7.4.

ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО

Дифференциатор

—

это

звено, вырабатываю-

щее сигнал, пропорциональный производной

от

входной вели-

чины (D-звено):

= T

(7.27)

Аналогично могут вырабатываться также производные второго

и более высоких порядков. Практически чаще всего уравнение диф-

ференциатора имеет

вид

= k (T

+ 1)

(7.28)

iV(aj)

W(ia>)

0 J U

А(ш)

Рис.

7.4.

Пере-

Рис. 7.5. АФХ

ходная функция интегрирующего

интегирующего звена

звена

где

коэффициент усиления;

—

динамическая константа.

113

1—

t U{U»

Рис.

7.6.

Переходная функция дифференцирующего звена

Рис.

7.7. АФХ

дифференцирующего звена

Переходная функция.

При

скачкообразном конечном измене-

нии сигнала

на

входе

звено

первое мгновение

его

скорость

и,

следовательно, координата

на

выходе теоретически возрастают

до бесконечно большой величины,

что

видно

из

(7.27).

После мгно-

венного импульса бесконечной амплитуды координаты

как на

входе,

так и на

выходе сохраняются постоянными

(рис.

7.6).

При

Xi (t) = 1

величина

(t)

становится переходной функ-

цией

h (t).

Передаточная функция. Запишем выходную координату

изо-

бражениях, исходя

из

(7.28)

= k (T

s + 1) х

а из

последнего

уравнения получим передаточную функцию

W(s) = k (T

s + 1).

Частотная характеристика.

Из

(7.29)

найдем

(ico) = k (T

wi + 1),

где вещественная

мнимая части

U (со) = k;

Амплитудно-фазовую характеристику найдем

(5.37)

(5.38):

(со)

= k YTW + 1 ; 9

(со)

arctg(7».

(7.31)

АФХ

на

плоскости

W (ico)

имеет

вид

прямой, параллельной

мнимой

оси

(рис.

7.7). Эта

прямая

—

годограф вектора

(t'co).

Дифференцирующее звено, единственное

из

рассмотренных,

вырабатывает опережающий сдвиг фазы выходной величины

по

отношению

входной,

т. е. 9 (со) > 0. Это

опережение

тем

больше,

чем выше частота,

и при со -> оо

сдвиг фазы стремится

к л/2.

(7.29)

(7.30)

(со) =

a>.

по формулам

§ 7.5.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Прологарифмируем уравнение

(5.40),

(гсо)

= In А (со) + /9

(со). (7.32)

Функция

In А (со)

называется логарифмической

ам-

плитудной характеристикой. Функция

(со),

по-

строенная

логарифмическим масштабе частот, называется лога-

рифмической фазовой характеристикой

114

a)L(uo)

дб

-10

-20

-30

III

-Ю

70 -20

-30

60 -4U

0.04

0.5

1 ^,'^1

МШ1

\L(UJ)

• Гш

50 Ю0

в(ш)

-90

Рис.

7.8.

Логарифмические частотные характеристики звеньев:

а —

интегри-

рующее звено;

б —

апериодическое звено

Вместо функции

In А (со) по оси

ординат обычно откладывается

величина

L (со) = 20 lg А (со) или L (со) = LmA (со), где

символ

обозначает двадцать логарифмов рассматриваемой функции.

Это равносильно лишь введению другой единицы измерения:

децибел

= 20 lg 10.

Термин децибел

(дБ)

заимствован

из

аку-

стики.

По

оси

абсцисс вместо частоты откладывается

lg со с

нанесе-

нием величин

со на

логарифмической бумаге

(рис.

7.8, а). При

этом можно просто отмечать степени

10,

соответствующие задаче,

так

что

расстояние, скажем, между

и 10

составляет

lg 10

—

—lg

10 = 1.

Этот интервал служит единицей измерения вдоль

оси

абсцисс;

его

называют декада.

Использование указанных приемов дает возможность лога-

рифмические характеристики приближенно изображать отрезками

прямых, сопрягающихся друг

другом. Наклон этих прямых

выражается

децибелах

на

декаду (дб/дек).

Это

свойство лога-

рифмических характеристик упрощает решение ряда задач дина-

мики регулирования,

что и

оправдывает применение данного

метода.

прогрессом

области вычислительной техники эффектив-

ность использования графических методов расчета уменьшается.

Тем

не

менее логарифмические

АФХ

часто встречаются

техниче-

ской литературе. Дадим

о них

некоторое представление

на

про-

стейших примерах

условиях, наиболее подходящих

для их ис-

пользования.

Интегрирующее звено.

Его

частотную характеристику запи-

шем согласно

(7.26)

виде

W (ico) =

(k/Ты)

ехр (—in)/2) и

про-

логарифмируем

это

уравнение

W (ico) = In k — In {Та) — in/2.

(7.33)

Логарифмическая амплитудная характеристика

(со) = Lmk — Lm

(Tco).

(7.34)

Логарифмическая фазовая характеристика

(со) =

—я/2. (7.35)

115

Обычно

при

рассмотрении цепи звеньев характеристики звеньев

строят

при k 1, а

коэффициенты усиления входят

состав

об-

щего члена

для

характеристики всей системы. Графически

L (Тсо)

изображается прямой,

так как по оси

абсцисс вместо

со

отложен

(при

k = 1) lg (Тсо) (см. рис. 7.8).

Наклон прямой определяется

по двум точкам:

при Тсо = 1

получается

L (Тсо) = 20 lg (Тсо) = 0,

при Тсо

ординатой становится

L (со) =

—

Lm (Тсо) =

—20 lg (Тсо) = —20.

Значит,

данном случае одной декаде

по

оси

абсцисс соответствует

—20 дб по оси

ординат.

Апериодическое звено.

На

основании

(7.10) и (7.11)

запишем

АФХ W (ico) = k (1 -I-

со2)-о,5

ЕХР

[

+ I

ARCTG (

7(О)

]

ПОСЛЕ

логарифмирования получим

W (ico) = In k — In (1 +

Гсо-')

— i arctg

(—Tco).

(7.36)

Логарифмическая амплитудная характеристика

(со) = Lmk - Lm )/ 1

-j- T

(7.37)

Если T

«l,

то 'lg \<\ +

» 0 и при k=\

получим

(со) = 0. Это

значит,

что

апериодическое звено вырождается

в кинематическое. Если Т

со

>> 1, то lg у

\ +

со

да lg

(Тсо),

при k = 1

получим

(со) =

—

(Тсо).

(7.38)

Эта характеристика звена

большой инерцией изображается пря-

мой линией

наклоном

так же, как для ИЗ, по

разности амплитуд

на одну декаду

(10а) — L (со) =

—

(ЮТat)

— l~Lm

(Тсо)

] =

—20

дб/дек.

Таким образом, логарифмическая амплитудная характеристика

в целом приближенно изображается двумя отрезками прямых

—

асимптотами

(рис. 7.8, б):

(со) = Lmk при со <: 1/Т; (7.39)

(со) = Lmk — Lm (Тсо) при со + 1/Т. (7.40)

Асимптоты пересекаются

при

сопрягающей

ча-

стоте

со = со

= 1/Т (на оси

абсцисс

—

единица).

Фазовая характеристика определяется

из (7.36)

при

Т = 1/со!

6 (co/coj) = —arctg

(со/сох).

(7.41)

В точке со/сох

= 1

фаза

(со/сох)

= —

я/4. Приближенное постро-

ение логарифмической амплитудной характеристики вносит

за-

метную погрешность лишь вблизи сопрягающей частоты.

116

ГЛАВА

СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ

Звенья могут соединяться последовательно

(рис.

8.1, а) или

параллельно

(рис. 8.1, в). При

последо-

вательном соединении звеньев выходная координата предыдущего

звена служит входной координатой последующего звена.

При

параллельном соединении звеньев выходные координаты склады-

ваются

или

вычитаются

местах слияния сигналов. Отдельные

звенья

или их

группы могут быть охвачены параллель-

ными связями,

как,

например, звено

1 на рис. 8.1, в.

Эти связи могут быть рычажными, гидравлическими, пневматиче-

скими, электрическими.

Они

могут передавать импульсы

без

сдвига фазы

как

безынерционные кинематиче-

ские механизмы

или с ее

сдвигом

звене

как

дина-

мические связи.

Связи называются прямыми, если

по ним

передается сиг-

нал

в том же

направлении,

как и

основной

(рис. 8.1, в). В

этом

случае точка

т в

месте ответвления линии сигнала находится перед

основным звеном. Связи называются обратными, если сиг-

нал передается

направлении, обратном основному

(рис. 8.1, г).

В этом случае точка

т в

месте ответвления линии сигнала нахо-

дится

за

основным звеном. Различают положительные

и отрицательные связи. Через первые подаются сиг-

налы

входу

основное звено

так, что они

складываются

с по-

ступающим основным сигналом,

через вторые

— так, что они

вычитаются

из

основного сигнала. Цепь звеньев замкнута, если

она замыкается главной обратной связью

(рис.

8.1, а).

К любому звену разомкнутой

или

замкнутой цепи можно под-

вести внешнее воздействие, изменяющееся

во

времени.

Под

влия-

нием этого воздействия

цепи возникают вынужденные коле-

\f(t)

Хг

2 3

т т т

1 1

г)

х,

Хг

Рис.

8.1.

Схемы соединения звеньев:

а —

последовательное соединение;

б-

параллельное соединение;

в —

прямая связь;

г —

обратная связь

117

бания, зависящие от динамических свойств звеньев. Внешнее

воздействие, подведенное к командующему органу системы регули-

рования в виде функции времени g (t), называется управляю-

щим. Его назначение — передавать извне команды через регу-

лятор и цепь звеньев к объекту регулирования. Внешнее воздей-

ствие, подведенное к объекту регулирования в виде функции вре-

мени f (t), называется возмущающим. Это воздействие пере-

дается извне самопроизвольно через управляемый объект, и си-

стема регулирования должна на него реагировать определенным

образом через регулятор и цепь звеньев.

Структурные схемы без параллельных связей называются

одноконтурными, ас параллельными связями — двух-,

трехконтурными и многоконтурными.

Динамические свойства структурной схемы исследуются теми же

методами, как и отдельных звеньев.

Как уже было отмечено в § 6.3, знаки основных координат для

любого звена в цепи условно считаются положительными при входе

и выходе, а в замкнутой системе включается в главную обратную

связь кинематическое звено с передаточным числом —1, чтобы

удовлетворить реальным требованиям к системе регулирования.

Того же правила будем придерживаться при введении обратных

связей, охватывающих отдельные звенья или группы звеньев.

§ 8.1.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

РАЗОМКНУТОЙ

ОДНОКОНТУРНОЙ

СИСТЕМЫ

Рассмотрим п последовательно соединенных звеньев.

Выходные величины этих звеньев обозначим х

, х

Входная величина в первое звено пусть будет х

; это единственный

сигнал, вводимый извне (х

= g (/)). Начальные условия будем

считать нулевыми. Процессы в звеньях опишем следующей систе-

мой уравнений в изображениях:

Qi(s)*i = M

;

(s)*2

= Mi;

• •

•; Q

(s) x

(8.1)

где Q (s) — операторы, описывающие динамические свойства каж-

дого звена, причем для апериодического звена Q (s) = Ts + 1,

для колебательного Q (s) = Ts

+ T

s + 1, для интегрирующего

Q (s) = Ts, для дифференцирующего Q (s) =

l/(T

+ 1); k

, k

— коэффициенты усиления звеньев.

Уравнение разомкнутой цепи выражает ее выходную вели-

чину х

в зависимости от входной х

. Чтобы получить это уравне-

ние,

исключим все промежуточные координаты, заметив, что

/х

(XJXQ)

(Xi/xj)

• • •

(xn/*n-i).

а тогда

xjx

(s)] x

(s) ] • • •

lkjQ

(s)]

или

W (s) = W

(s) W

(s) ... W

(s), (8.2)

118

где W

(s) = VQi (s); W

(s) =

(s); W

(s) =

kjQ

(s).

Полученное отношение выходной величины к входной представ-

ляет собой передаточную функцию разомкнутой цепи

W(s) =

K/[Q

(s)QAs)

...Qn(s)],

(8.3)

де /С = П ^ — коэффициент усиления разомкнутой системы.

i=i

Передаточная функция каждого звена k

(s),

(s), ...

вошла множителем в правой части уравнения

(8.2),

а это значит,

что передаточная функция одноконтурной структурной схемы

равна произведению передаточных функций всех ее звеньев. Точно

так же и ее коэффициент усиления равен произведению коэффи-

циентов усиления всех звеньев. Если структурная схема состоит

из п

интегрирующих, п

апериодических, n

колебательных

и л

— дифференцирующих звеньев, то ее передаточная функция

может быть записана в общем виде:

W(s) = П kiU

si-1)

! = 1 1 = 1 /

TiSU

(T;S + 1) X

(7ls

liS

+l)

i=i

(8.4)

где динамическая константа Т, для каждого звена имеет свою

величину, а /г = 2 n

Из (8.4) ясно, что опережающие сигналы от дифференцирующих

звеньев могут компенсировать замедления от инерции других

звеньев, передаточные функции которых стоят в знаменателе.

Очевидно, что изменение порядка расположения линейных

звеньев в рассматриваемой структурной схеме не может изменить

ее статических и динамических свойств.

При построении частотной характеристики разомкнутой си-

стемы можно воспользоваться амплитудно-фазовыми характери-

стиками отдельных звеньев и для одинаковых частот со найти

произведение векторов W (ш), изображающих эти характери-

стики. Для этого следует воспользоваться общими правилами

умножения комплексных чисел: перемножать их модули, а аргу-

менты складывать. Построив таким образом амплитудно-фазовую

характеристику разомкнутой системы, можно с ее помощью

исследовать качество переходного процесса в замкнутой системе.

§ 8.2.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

РАЗОМКНУТОЙ

МНОГОКОНТУРНОЙ

СИСТЕМЫ

Рассмотрим параллельно соединенный ряд звеньев н а-

правленного действия, когда к ним передается один

и тот же сигнал Хо, а на выходе из них величины х

, х

Ц9