Кириллов И.И. Автоматическое регулирование паровых турбин и газотурбинных установок

Подождите немного. Документ загружается.

деленных систем управления.

В них

функции

разделены между многими компьютерами

широко применяется

дублирование.

Один

из

примеров

—

регулирующий микропроцессорный конт-

роллер ремиконт.

Он

состоит

из

восьмиразрядного микро-

процессора.

Его

память основана

на

интегральных схемах. Про-

цессор

память имеют связи

датчиками

импульсными линиями

системы регулирования блока. Важная часть ремиконта

—

про-

граммное обеспечение.

В § 12.6

показано,

что

необходимые про-

цессы регулирования

турбинах можно организовать, применив

ограниченное число

ПИ- и

ПИД-регуляторов

обратными свя-

зями.

Эти

регуляторы передают команды исполнительным меха-

низмам

—

сервомоторам

клапанам. Компьютерное устройство

должно содержать программы, моделирующие процессы

этих

регуляторах.

Указанные регуляторы допускают настройку

изменением

их

коэффициентов усиления

динамических констант.

Это

открывает

возможность применять унифицированные микро-ЭВМ

обшир-

ным программным обеспечением.

Все

необходимые

для

управления

процессом регулирования программы оператор получает

гото-

вом виде.

Их

использование очень просто.

К компьютеру подводятся сигналы

от

датчиков

исполнитель-

ных механизмов, после чего оператор набирает схему регулиро-

вания. Нажатием клавиши контроллера устанавливается режим

«а

л г о р и т

м»,

и в

выбранный алгоритмический

блок набором номера вводится

из

библиотеки хранения требу-

емый алгоритм. Далее нажатием клавиши «конфигурация»

и набором номера нужной цепи звеньев формируется система

регулирования, способная, скажем, устанавливать мощность тур-

бины

заданном диапазоне. Созданная система связывает рабо-

чие ходы регулятора

главного сервомотора турбины.

принципе

такую независимую систему можно организовать

для

каждой

группы исполнительных механизмов, например, раздельно

для

ЧВД,

ЧСД и ЧНД.

Затем система настраивается переводом пульта

режим «коэф-

фициенты».

На

этом режиме вводятся требуемые параметры

ПИД-

регулятора: коэффициент усиления

(статизм)

динамические

постоянные

Т и T

. Эти

параметры могут изменяться

во

время

эксплуатации. Например, коэффициент усиления системы регу-

лирования

можно увеличить

случае значительного повышения

частоты

сети

и тем

самым поднять темп разгрузки блока.

Команды передаются через датчики

не

только

по

частоте

сети,

но

и по

другим параметрам, например

по

скорости изменения

мощности.

Для

каждой регулируемой величины выполняется ана-

логичное технологическое алгоритмирование

настрой парамет-

ров регулятора.

Переход

от

регулирования одной величины

регулированию

другой подчиняется установленной иерархии. Приоритет

при-

400

надлежит противоаварийной автоматике, командам

СУЗ и

пре-

дельным отклонениям параметров.

Так,

недрах ремиконта «конструируется» регулятор

такими

же характеристиками,

как и для

разобранных выше различных

систем регулирования

(см.

текст

к рис.

16.10, 17.15,

18.8 и

19.1).

Все

эти

конструктивные схемы

первого взгляда

не

очень похожи,

но участки

от

места ввода сигнала

но

регулируемому параметру

и вплоть

до

импульсной линии

отсечным золотникам главных

сервомоторов

по

существу представляют собой

ПИ- и

ПИД-ре-

гуляторы

обратными связями.

Эти

части систем регулирования

вместе

вводами различных импульсов

по

регулируемым пара-

метрам

и по

сигналам защиты могут быть заменены компактными

установками

микропроцессорами.

Алгоритмы выходных величин. Микро-ЭВМ формируют

ха-

рактеристики регуляторов, состоящих

из

типовых звеньев,

а для

них выходные координаты находятся

по

формулам

гл. 7.

Приве-

дем примеры алгоритмов управления

САР [7].

Пример

ПИ-р

егулятор частоты формирует

вы-

ходную величину, воздействующую

на

клапаны, подчиняясь

уравнениям

(7.23)

аналогичного

(12.41)

добавлением члена

обратной связи:

*вых

= -Xj6

+ Т~

[ (X

Xj6

- K

)dt,

где

—

относительное отклонение частоты

сети, измеряемое

при входе

регулятор;

—

коэффициент неравномерности

па-

раметра

N по

частоте;

—

заданная мощность;

—

коэффи-

циент обратной связи;

Т —

динамическая постоянная интегрирую-

щего звена.

Первичное регулирование характеризуется

в последнем уравнении членом

—

xJ6

—

пропорциональным

ча-

стоте.

За

счет этой составляющей процесса регулирования клапаны

перемещаются

со

скоростью, пропорциональной частоте,

согласно

со статической характеристикой,

для

которой среднее значение

0,03-ь-0,04.

При

этом клапаны турбины занимают новое

по-

ложение, задаваемое пропорциональной частью алгоритма,

за

десятые доли секунды

(в САР ХТЗ — за

0,3—0,5

с).

Интегральная часть алгоритма вносит

корректировку расхода пара турбиной

зависимости

от

мощно-

сти. Время этой коррекции зависит

основном

от

динамической

константы интегратора

составе

ПИР. Так,

например,

в САР

ХТЗ

для АЭС эта

постоянная настройкой регулятора может

изменяться

пределах

Т =

0,5-:-5

с.

Такая настройка обеспечи-

вает очень важное участие блока

регулировании частоты

сети

сразу после

ее

резкого изменения

последующим более медленным

выходом

на

оптимальный режим работы реактора.

В интегрирующую часть алгоритма введен коэффициент

обратной связи

% в том

смысле,

как это

разъяснено

401

§ 10.4.

Обратная связь

)

вводится

зависимости

от

мощности

генератора

или от

положения поршня сервомотора,

или от

мощ-

ности турбины

учетом ускорения ротора. Коэффициент обрат-

ной связи характеризует статизм

по

мощности, отличающийся

от статизма

по

частоте

период первичного регулирования.

В интегрирующую часть вводится также коррекция

по

частоте

но со

своим коэффициентом неравномерности

. Так,

напри-

мер,

в САР ХТЗ для АЭС

коэффициент

изменяется

пределах

0,25—0,1.

Суммарная коррекция

от

интегральной части алгоритма изме-

няет мощность блока согласно заданной статической характери-

стике

N = / (со).

Пример

2. ПИ-р

егулятор мощности

обрат-

ной связью действует аналогично

ПИР в

примере

1. Его

алгоритм

имеет

вид

*вых

= — kx

+ k

— n

) + Tj} J (x

N<)

- K

) dt,

(20.5)

где

k = l/8

(как в

предыдущем примере);

—

коэффициент

усиления регулирования мощности;

—

коэффициент обратной

связи;

- —

динамическая постоянная интегрирующего звена

(регулятора мощности).

Пропорциональная часть алгоритма

kx^

характеризует по-прежнему первичное регулирование

по

частоте

при средней величине коэффициента неравномерности. Второй

член

правой части

(20.5)

отражает регулирование мощности.

Он содержит заданную оператором

скорректированную стан-

ционной автоматикой мощность

Команда

по

сумме этих

им-

пульсов передается

исполнительным органам. Заметим,

что

второй

из

названных членов снижает эффект первичного регули-

рования частоты, неравномерность становится меньше

Коэф-

фициент усиления регулятора мощности выбирается

широком

диапазоне

= 0-f-5).

Интегральная часть алгоритма корректи-

рует расход пара

по

заданной мощности. Время этого процесса,

связанное

константой

выбирается

учетом свойств блока.

Для турбин

ХТЗ

время

изменяется

диапазоне

5-J-60

с.

Регулирование давления пара.

По

условиям работы турбины

на

ТЭС или АЭС

регулируется начальное давление пара

(сколь-

зящее давление, поддержание требуемого давления

при

выходе

из реактора

по

команде

СУЗ). В

этом

и в

других случаях регули-

рования дополнительного параметра алгоритм воздействия микро-

процессора

на

регулировочные клапаны турбины составляется

по

той же

схеме,

как в

примере

2 для

регулирования мощности

(заменить

на х

Комбинированное регулирование. Режим регулирования мощ-

ности

давления назначается, когда помимо мощности требуется

402

М>7

Рис.

20.4.

Блочная схема ЭЧСР-М:

АК —

коммутатор аналоговых сигналов;

БУИ —

блок управления

индикации;

ИМ —

измеритель

мощности;

ПЧ —

преобразователь частоты;

СВС —

устройство гальвани-

ческой

дискретной развязки;

СВУ ЭГП —

усилитель управления электрогидравли-

ческим

преобразователем;

СВУ М У

—

усилитель двигателя механизма управления

турбиной;

СКР —

блок выходных

реле;

СКС —

блок контроля

сигнализации;

СРЛ —

расширитель

логических сигналов;

ТП —

преобразователь напряжение

— ток; УГР —

устройство

гальванической аналоговой развязки;

СП

—

система питания;

ЭВМ1,

ЭВМ2

—

процессоры;

1 —

входные аналоговые сигналы;

2 —

входные дискретные сигналы;

3 —

неисправность

системы питания;

4 — на

дисплей

телетайп;

5 —

выходные аналого-

вые

сигналы;

6 —

выходные дискретные сигналы

поддерживать давление

заданных пределах (например,

реак-

торе).

Задача регулятора

—

обеспечить заданную статическую

характеристику

(в

координатах давление пара

—

электрическая

мощность).

По

этой характеристике определяется коэффициент

неравномерности

по

давлению пара.

Для

турбин

ХТЗ,

например,

5~н20

Электрическая часть

САР на

базе микропроцессора. МикроЭВМ

уже находят применения

современных системах регулирования

мощных паровых турбин.

качестве примера рассмотрим систему

регулирования

ЛМЗ

ЭЧСР-М

микроЭВМ

качестве основной

ее части

[45, 46] (рис. 20.2—20.4).

ЭВМ содержит микропроцессорный набор

на

базе интегральных

схем.

состав блочной схемы регулирования

(рис. 20.4)

входят:

вычислительный комплекс

составе двух микроЭВМ; преобразо-

ватели входной

выходной информации; устройства коммуника-

ций, индикации, управления

контроля; система дистанционного

управления

МУТ;

система питания.

Пульт оператора микроЭВМ предназначен

для

следующих

операций: расшифровки рабочих режимов

САР и

индикации

ее

неисправностей; информации

состоянии контролируемых пара-

метров; отображение входной

выходной информации; дистан-

ционное управление

ЭГП и

двигателем

МУТ;

хранение

памяти

и выявление

на

аналоговом

или

цифровом индикаторе процесса

изменения любого заданного параметра

течение определенного

периода времени; редактирование программного обеспечения

записи измененных программ

память.

403

Уже было сказано,

что

первое условие эффективной автомати-

зации энергоблоков

—

полная надежность приборов.

Это

требо-

вание,

частности, выполняется дублированием микроЭВМ.

Вторая

ЭВМ,

находясь

резерве, постоянно исполняет параллель-

но

первой весь объем работы

по

программам формирования

управляющих импульсов.

За

точностью выходных координат

резервной машины может следить ведущая микроЭВМ.

Ввод

действие резервной

ЭВМ

производится аналоговым комму-

татором

АК (см. рис.

20.4).

Поскольку

обе

микроЭВМ синхронно

вырабатывают одни

и те же

величины, переключение

их

выходных

сигналов, поступающих

САР,происходит

без

заметных толчков

по нагрузке турбины.

неисправной микроЭВМ заменяется

тот

блок,

на

который

она

сама указывает,

если неполадка значи-

тельна,

то

возможно

подключение

качестве резервной

за-

ранее налаженной новой микроЭВМ.

Программное обеспечение.

настоящее время используются

следующие программы: начального пуска; ввода

вывода

ин-

формации; формирования управляющих воздействий; контроля

и опроса переключателей коэффициентов; контроля прогрева;

диагностики

[37].

Комплекс программ

для

ЭЧСР

ЛМЗ

занимает

в памяти

ЭВМ

около

Кбайт.

Унификация

САР.

Возможность организации процессов, необ-

ходимых

для

управления турбиной

защиты, набором типовых

регуляторов, —это наглядное подтверждение правомерности очень

широкой унификации элементов

САР для

различных энергетиче-

ских паротурбинных установок. Этот вывод можно распростра-

нить

и на

энергетические газотурбинные установки.

По мере накопления положительного опыта

по

надежности

микропроцессорной техники экономический эффект

от ее

приме-

нения будет существенно повышаться. Резкий сдвиг

этом

на-

правлении произойдет, когда микроЭВМ можно будет доверить

защиту ротора турбогенератора

от

разгона,

не

дублируя

ее в

гид-

равлическом исполнении.

С конструкцией турбины остаются тесно связанными серво-

моторы

для

привода клапанов

заслонок. Унификация

их

эле-

ментов

рамках каждого производственного объединения про-

изводится очень широко.

Не

исключается

будущем

межзавод-

ская унификация, особенно

на

базе электрических сервомоторов.

Будущее

САР.

Теория регулирования энергетических устано-

вок

уже

давно достигла высокого уровня

служит надежным

фундаментом

для

дальнейшего совершенствования автоматизации

паротурбинных

газотурбинных блоков. Исключительно высоки

и достижения конструкторов

—

творцов новых уникальных

па-

ровых

газовых турбинных установок,

которых системы регу-

лирования

защиты играют выдающуюся роль. Казалось

бы,

дальнейшее совершенствование

САР уже не

принесет крупных

плодов.

Но

успехи микропроцессорной техники позволяют

по-

новому взглянуть

на всю

проблему автоматизации.

404

Использование микроЭВМ, следует ожидать, чрезвычайно

расширит возможности автоматизации энергоблоков. Широкое

применение унифицированных регуляторов

элементов защитных

устройств

для

всех частей блока будет полезно

как для

производ-

ства энергооборудования,

так и для его

эксплуатации. Станет

доступной более глубокая оптимизация режимных параметров

блока.

этой ситуации совместная творческая работа конструк-

торов

ученых окажется весьма результативной.

20.4.

РЕГУЛИРОВАНИЕ

МНОГОСВЯЗНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При работе турбинного блока

мощную энергосистему

число внешних

внутренних регулируемых параметров может

быть значительным. Помимо регулирования частоты, напряжения

и мощности

электрической сети может требоваться поддержа-

ние

заданных пределах давления отбираемого

из

турбины пара

или температуры сетевой воды.

парогенераторе регулируется

большое число внутренних параметров: подвод топлива, воздуха

и воды, давление пара, перегрев пара

и пр. Все эти

динамические

системы имеют между собой статические

динамические связи,

и далеко

не

всегда такие системы можно рассматривать

как

изо-

лированные. Здесь

мы

отметим методы изучения процессов

много-

связных динамических системах

основы

их

проектирования.

Начнем

обобщения

уже

известного

нам

метода исследования

динамики регулирования частоты

давления

турбине

отбором

пара

(см. § 18.2 и

18.3).

Регулирование двух параметров. Перепишем уравнения

(18.47)—(18.50)

более общем виде, заменив обозначения регули-

руемых параметров

= х

регулировочных органов

(вместе

главными сервомоторами)

= y

тг

= у

Кроме

того,

введем передаточные функции

W (s) в

обычном

их

значении

перед каждой переменной, причем

они

могут быть

как

положи-

тельными,

так и

отрицательными.

Эти

функции

для

краткости

будем обозначать просто

W с

индексами.

Сначала рассмотрим систему, разомкнутую

по

главной обрат-

ной связи. Регуляторы будем считать идеальными. Передаваемые

через

них

управляющие воздействия обозначим

и g

Пред-

положим,

что эти

возмущения передаются непосредственно

глав-

ным сервомоторам

и что они

сказываются, прежде всего,

на

коорди-

натах

у[ и у

. В

результате сделанных замен

добавлений наз-

ванную систему уравнений представим

таком виде:

для регулируемых параметров

*1 = ^'пУг + WnU

W21#l

^22^2'.

(20.6)

405

(20.7)

для регулировочных органов

9i = Whgi +

Whg2\

У2

Whgi

+ Whg^

Здесь элементы

W (s)

представляют собой функции комплексного

переменного

Решим_системы

(20.6)

(20.7)

элементарной подстановкой

вы

ражений

и у

первую

из

них,

после чего найдем непосред

ственную связь между управляющими сигналами

регулируемыми

параметрами:

х,

(WnWu

\W'

Wh)

ёг

\ (WUWh

Wh)

;

(20.8)

j

) ft j

(№21W

tt?

)

ft.

(20.9)

Обозначим коэффициенты

при и g

(20.8)

соответственно

и W

, а в

(20.9)

и 1Г

Тогда

Wngi

+ W

;

(20.10)

= ^21 +

1^22^2.

В этой системе, естественно, сигналы

^ и g

—

входные

ве

личины,

a x

и х

—

выходные

из

объектов регулирования.

_Выбранные координаты представим

как

проекции векторов

G в

двухмерном пространстве

запишем

их в

виде

в е к т о

вс

т о л б ц о в:

(20.11)

10)

придадим образ

(20.12)

Здесь каждая

из

функций

№„ и W

характеризует влияние

сигналов^

на

регулируемый параметр своей системы

на х

Функции

же W

и W

отображают вмешательство

в процесс регулирования сигнала

из

«чужой» системы.

В § 18.3

было доказано,

что

вмешательства одной системы

другую можно

избежать, если выполнить критерии автономности

= W

= 0. При

этом

разомкнутой системе

(20.10)

остаются уравнения:

= W

; х

= W

(20.13)

авз амкнутой системе

регуляторам поступают помимо

управляющих воздействий сигналы—х

и —х

через главные

обратные связи,

что

меняет входные величины

уравнениях

(20.13)

на

—

и |

— х

приводит

формулам:

;

G =

Применив матричный аппарат, системе

(20,

~х

~Ei

2 .

.§2.

(1 + W+)

= W

(1 +

)!

(20.14)

406

Таким образом,

результате выполнения условий автоном

ности

мы

получили

две

независимые замкнутые системы, выражен

ные уравнениями

(20.14)

подробно исследованные

в гл. 18.

Напомним,

что,

подставив

на

место

и g

формулах

(20.13)

координаты—х

—х

поступающие через главные обратные

связи,

мы

получим характеристические уравнения

для

определе

ния собственных колебаний каждой замкнутой системы:

(s) +10; W

(s) +1 = 0.

(20.15)

Физический смысл этих уравнений

мы

рассматривали

в § 6.3.

Опыт, приобретенный

исследованиях систем регулирования

двух параметров,

значительной степени можно приложить

к изучению многосвязных систем.

Для

этой цели матричный аппа

рат служит сильным средством.

Управляющее воздействие

многосвязных системах. Свойства

векторов

на

плоскости

и в

трехмерном пространстве распростра

няются

на

векторы размерности

п. В

этом смысле совокупность

координат регулируемых параметров

сигналов представим век

торами разложения

по

координатам. Тогда

для

системы

с п

регу

лируемыми параметрами

, х

, х„ и с

регуляторами, переда

ющими сигналы

, g

можно составить систему

п ли

нейных уравнений, аналогичных системе

(20.10),

записать

ее

в форме

В этом уравнении правая часть выражает произведение мат

рицы (обозначим

ее W) на

вектор размерности

/г —

вектор

стол

б е ц.

Элементы матрицы

представляют собой комплекс

ные функции

аналогичные

тем,

которые были введены

уравне

ния

(18.47)—(18.50)

для

системы двух регулируемых параметров.

Функции

составе матрицы

ростом числа параметров могут

сильно усложняться

от

обилия связей, особенно динамических.

Пока нами рассматривалась разомкнутая система.

На

самом

деле управляющие воздействия

из

электрической сети поступают

в замкнутую систему. Переход

к ней

математически выражается

подводом через главные обратные связи выходных сигналов

из

объектов регулирования

—х,,

—

х,,

....

—

что

обсуждалось

§ 6.3 и 8.3. А

это

значит,

что на

место вектора

g в

(20.16)

вста

нет новый вектор

g—х, и для

замкнутой системы

получим новое уравнение

. . . w

Ё2

(20.16)

. . . W

£2

 *2

(20.17)

gn x

407

Пользуясь этим уравнением, можно раскрыть влияния любой

составляющей вектора

g на

процесс регулирования

замкнутой

системе.

Если

(20.17)

устранить

все

внешние сигналы,

то

останется

лишь замкнутая динамическая система.

Ее

свободные

колебания

(см. § 5.4)

находятся приравниванием нулю

(20.17)

вектора управляющих сигналов

0),

после чего

пра-

вой части уравнения окажется

тот же

вектор

х,

что

и в

левой

ча-

сти,

но

умноженный

на

—1.

это

значит,

что

определитель мат-

рицы

(s),

стоящей

правой части, равен

—1 и

W (s)

+ 1 - 0.

(20.18)

Матрица наглядно отображает схему передачи сигналов сквозь

звенья системы. Только диагональные элементы

, ...

характеризуют передаточную функцию

от

сигнала

«своему» регулируемому параметру. Внедиагональные

элементы выражают вмешательство

процесс регулирования

«чужих» регуляторов. Чтобы система стала автономной,

все вне-

диагональные элементы матрицы должны равняться нулю.

Эти

условия выражают критерии автономности

по

управляющим воздействиям.

Для автономной системы

состав

(20.17)

входит диаго-

нальная матрица

diag

llt

, W„

). В

этом

случае система, выраженная линейными алгебраическими урав-

нениями, записанными

терминах матричных операций, распада-

ется

на

ряд

автономных замкнутых систем, таких

же, как

полу-

ченные

для

двух параметров

(см.

(20.14):

Wn (1

+ Wu)-

;

= W

+ W,

) -

;

= W

(1 + W

(20.19)

При большом числе регулируемых параметров

различных

режимных ограничениях выполнение критериев автономности ста-

новится крайне затруднительным.

связи

этим возникают

два

принципиальных вопроса: каковы современные технические средства

для выполнения критериев автономности

насколько важно

вы-

держивать

все

критерии автономности?

Технические средства. Чтобы устранить динамические связи

между системами различных регулируемых параметров, необ-

ходимо

от

каждого регулятора через сервомоторы приводить

в движение регулировочные органы всех объектов регулирования,

соблюдая определенные соотношения

их

перемещений. Последнее

же условие требует

не

только кинематических, гидравлических,

электрических

и т. п.

связей,

но и

трудно выполнимых соотно-

шений между динамическими константами

как

исполнительных

механизмов,

так

самих объектов регулирования. Кинематические

связи могут оказаться сложными,

но,

принципе,

они

выполнимы.

Несравненно более трудная задача

—

соблюдать динамические

критерии автономности.

408

Так, например,

§ 18.3 уже

было отмечено,

что

нецелесообраз-

но выдерживать одинаковые времена

(Tsl Ts2 = ...)

главных

сервомоторов турбин

регулируемыми отборами пара. Значи-

тельные усложнения вносит

компенсация инерционности сервомо-

торов

или

объектов регулирования, выраженная

их

динамическими

постоянными. Если сервомоторы

объекты регулирования

мо-

делируются апериодическими звеньями,

то

задача компенсации

их свойств саморегулирования решается введением

регуляторы

дифференциаторов

теми

же по

величине динамическими кон-

стантами

(см.

12.5

18.3).

Но

помимо усложнения системы вме-

шательство

процесс регулирования сильно действующих диф-

ференциаторов может приводить

и к

отрицательным последствиям

(см.

20.2).

Вместе

тем,

сомнительна правомерность самой постановки

задачи

об

обязательном выполнении

чистом виде динамических

критериев автономности. Хорошо

то, что эти

критерии известны

какой-то степени могут служить

для

качественной оценки

динамики многосвязной системы.

Но

было

бы

ошибочно рассма-

тривать

их как

доктрину, ради которой стоит безмерно усложнять

механизм передачи управляющих сигналов

от

регуляторов

ис-

полнительным органам

и к

клапанам турбины. Такой подход

к решению проблемы напоминал

бы

стремление

во

что бы

то ни

стало добиваться апериодического процесса регулирования, тогда

как

быстро затухающий колебательный процесс

при

меньших

затратах отвечал

бы

требованиям практики.

Не

надо забывать

о потери,

некоторой степени, надежности системы

по

мере

ее

усложнения.

этих позиций целесообразно строго разделить ста-

тические

динамические критерии автономности

принять

к исполнению наиболее эффективные

из

них, как это

было сфор-

мулировано

конце

18.3

применительно

системам

двумя

регулируемыми параметрами.

Роль статической автономности. Прежде всего следует подчер-

кнуть важность соблюдения статических критериев автономности

с точки зрения экономического эффекта

от

точности поддержания

заданных регулируемых параметров. Если, например, давление

отбираемого пара

для

какого-нибудь технологического процесса

или температура сетевой воды отопления будет длительное время

меняться

зависимости

от

электрической нагрузки

на

турбоге-

нератор,

то это

нанесет существенный ущерб качеству продукции.

Но

для той

же

системы из-за большой

ее

инерционности практи-

чески

не

ощутимы мелкие колебания около равновесного режима

электрической нагрузки

на

генератор.

этих условиях превали-

рующая роль статических критериев автономности очевидна.

К тому

же

выводу придем, если, наоборот, рассмотрим влияние

медленных колебаний системы большой инерции

по

отношению

к связанной

с ней

быстродействующей системе регулирования

частоты. Опыт показывает,

что

сделанный вывод справедлив

в случае двух систем

периодами собственных колебаний одного

409

порядка

и при

большом запасе

по

устойчивости каждой

из них.

Этот важный тезис

был

выдвинут давно

подтвержден

как

теоретическими исследованиями,

так и

длительным опытом

(см.

18.3).

Полученный опыт следует перенести

и на

современные системы

с многими регулируемыми параметрами

выполнять статические

критерии автономности, поступаясь динамическими критериями

для упрощения системы.

Современные средства микропроцессорной техники значи-

тельно облегчают практическое решение таких задач.

Они

также

открывают возможность выявления

на

моделях

или в

натуре

ди-

намических характеристик многосвязных систем

и их

настройки

путем изменения динамических констант

широком диапазоне.

При этом сильным средством служат включенные

регуляторы

D-звенья.

ГЛАВА21.СЛУЧАЙНЫ,Е

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Из энергетической системы постоянно поступают

в си-

стемы регулирования турбин импульсы случайного характера.

Это могут быть полезные управляющие воздействия

или

помехи.

Если случайные отклонения параметров системы происходят

достаточно быстро

по

сравнению

со

скоростью изменения

их ре-

гулярного состояния

если случайные функции значительно

больше регулярных функций,

то

можно рассматривать скачко-

образное изменение состояния системы. Такой метод

ши-

роко применяется

при

изучении процессов

во

время резких сбро-

сов

набросов нагрузки, передаваемой турбогенератору

(см.

17.6.)

Процессы

при

последовательных толчках можно изобра-

жать

(см. § 13.6) как

движение представляющей точки сначала

по фазовой траектории

до

момента случайного воздействия,

за-

тем

как

скачкообразный переход

на

другую фазовую траекторию

с последующим перемещением

по ней до

момента повторного толчка

т. д. При

этом распределение скачков

во

времени

и их

характе-

ристики подчиняются определенным вероятностным закономер-

ностям, которые

выявляют наиболее вероятное движение

си-

стемы.

Случайные возмущения могут порождаться внутри системы

регулирования

или

поступать

в нее

извне

виде непрерывных функ-

ций

переменным размахом колебаний

меняющейся частотой.

Если

при

этом возникают силы, одолевающие силы трения

дру-

гие сопротивления, вызывающие нечувствительность,

то

система

регулирования совершает колебания.

Они

приносят некоторую

пользу, снимая нечувствительность системы, подобно вибрации,

тем

самым повышая приемистость агрегата. Вместе

с тем

постоян-

ные колебания снижают качество вырабатываемой энергии

уско-

410

ряют износ подвижных деталей системы,

а в

ряде случаев

они

ощу-

тимо влияют

на

усталостные повреждения

турбине. Особенно

вредны колебания клапанов

газодинамически связанного

ними

лопаточного аппарата.

Во

влажнопаровых турбинах

на АЭС

колебания клапанов сопровождаются смещением зоны интенсив-

ной спонтанной конденсации,

что

расширяет опасную область

повреждений лопаток

дисков.

этой точки зрения случайные

сигналы, постоянно поступающие

систему регулирования, сле-

дует тщательно изучать

и по

возможности смягчать.

Прежде всего должны быть сведены

минимуму случайные

колебания, постоянно генерируемые самой системой регулирова-

ния.

Так,

безусловно, должны применяться аэродинамически

со-

вершенные клапаны турбины,

также дроссельные устройства

гидравлических

или

пневматических систем регулирования.

Их

примитивное выполнение,

не

исключающее срывов потока,

не

следует допускать даже

в том

случае, если потери энергии

от

сры-

вов мало ощутимы. Неизбежны случайные сигналы

от

потреби-

телей энергии, шумы

от

электрической аппаратуры

(от

контактов,

от

источников питания),

от

внешних вибраций

и пр. Их

надо пред-

видеть

и с

ними приходится считаться. Научной базой

для

изу-

чения отмеченных явлений служит теория случайных процессов.

Значимость математических методов статистики

расчетах

систем регулирования

управления современных машин возрастает

по мере повышения требований

к их

точности

быстродействию,

а также

связи

особой ролью цифровых

ЭВМ в

этих системах.

21.1.

СВЕДЕНИЯ

ИЗ

ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайные величины. Индивидуальные результаты

со-

бытий (экспериментов) часто носят случайный характер, тогда

как средние величины

их

длинной последовательности

оказываются удивительно устойчи

вы ми. Для

распростра-

ненного типа случайных событий частота

vln, где v — их

число

первых

экспериментах, принимает

при

больших

при-

близительно постоянное значение, тогда

как она

сильно колеб-

лется

при

малых величинах

п.

Такая статистическая

устойчивость частоты наблюдается лишь

при

неиз-

менных условиях эксперимента.

Она

настолько характерна,

что

в случае отступления

от нее

следует, прежде всего, усомниться

в соблюдении постоянства условий эксперимента. Статистическая

устойчивость

—

основа статистики.

Математическая вероятность.

математической теории вво-

дится число

Р,

называемое вероятностью события

в случайном эксперименте. Полагая

Р = vln,

даем частот-

ную интерпретацию математической

ве-

роятности

Р,

причем

0 -< Р <; 1.

Такое определение

ве-

роятности отвечает аксиомам теории вероятности.

общем виде

вероятность

можно рассматривать

как

некоторую неотрицатель-

411

ную функцию

Р (S)

множества

S в

6мерном пространстве

причем такую функцию,

что Р (R

) = 1.

Функция

же Р (S)

определяет некоторое распределение

в R

. Его, в

част

ности, можно представить

как

распределение единичной массы

в пространстве

, при

котором множество

возможных различ

ных результатов индивидуального эксперимента содержит

массу

Р (S). Это

распределение называется распределе

нием вероятностей случайной величины

а функция множества

Р (S) —

вероятностной функ

цией

для |.

В теории вероятности рассматривается функция

Р (S) для оп

ределенного класса множеств

S (так

называемых «борелевских

множеств»), удовлетворяющая трем условиям:

Р (S) > 0; Р (S)

аддитивна,

т. е. Р (S

+ S

+...) = Р (S

) + Р (5

) +...; Р (S)

конечна

для

любого ограниченного множества

В обычной функции одной

или

нескольких переменных

(х

)

аргумент можно принять

за

точку

координатами

Такую функцию точки

F (х) = F \х

)

будем называть функцией распределения

для %.

Распределение однозначно определяется

как

функцией множе

ства

Р (S), так и

функцией точки

F (х), т. е. Р (£ < х) = F (х).

Аксиомы теории вероятности устанавливают,

что

каж

дая случайная величина имеет единственное распределение вероят

ностей.

Составной эксперимент.

Это

понятие поясним

на

примере двух

случайных величин

£ и т) при

совместном наблюдении взаимосвя

занных результатов. Тогда

как в

раздельных экспериментах

мы

имеем дело

одномерными величинами

| и и, в

составном экспери

менте рассматривается точка

(|, ц) как

двухмерная величина,

на

зываемая составной величиной.

Функция распределения вероятности. Рассмотрим одномерную

случайную величину

например ошибку эксперимента, много

кратно повторявшегося

при

неизменных основных параметрах

процесса. Величина

имеет определенное распределение, которое,

как было указано, задается посредством функции распреде

ления

F (х). В

наших задачах будут встречаться распределе

ния двух типов: дискретного

непрерывного.

Распределение дискретного типа можно

изобразить

виде графика,

на

котором каждой точке

где

имеется

сосредоточенная масса, соответствует ордината высоты

. Так

как

вся

распределенная масса равна единице,

то во

всем заданном

интервале

£р

=1, а

функция распределения

F (х) = Р (£ <

< х) = 2 /V

Последняя сумма включает

все

значения пере

менных

индексом

v, для

которых

< х.

Распределение непрерывного типа имеет

случайную величину

такого

же

типа, причем предполагается,

412

что функция распределения

F (х)

всюду

непрерывна,

ее

производная

F' (х) су

ществует

и она

также непрерывна

для

всех значений

(возможно,

за

неко

торыми исключениями).

Заметим,

что

результат измерения

всегда выражается целым числом, крат

4 з г о 1 ?. з

НЫМ

наименьшей единице измерения

Рис. 21.1.

Интегральное

исследуемой величины. Рассматривая распределение вероятности

же данные величины

как

непрерывные,

мы,

как

обычно,

некоторой мере идеализируем действительность.

Пусть

каждом эксперименте измерена случайная величина

причем вероятность того,

что I = li

приблизительно равна отно

шению

vlN,

где

v —

число измерений, равных величине

a W —

число измерений величин

1 во

всем диапазоне. Отношение

v/N

представляет собой частоту измерений, причем

0 <

< v/N < 1. В

зависимости

от

числа опытов, выполненных

оди

наковых условиях, частота

становится равной некоторому числу

< Р < 1.

Если событие практически невозможно,

то Р = 0.

Если

же оно

достоверно,

то при

достаточно большом числе опы

тов

близко

единице.

Той же

мерой можно оценить результат

каждого отдельного эксперимента, показав ошибку

измерения

случайной величины

считая вероятность

приблизительно

равной частоте данного события

при

условии,

что

общее

число опытов достаточно велико.

Развивая сказанное, отложим

по оси

абсцисс измеренную слу

чайную величину

I = х, а по оси

ориднат

—

вероятность того,

что ошибка

не

превышает величины

(рис. 21.1).

Эту

вероят

ность будем определять

как

сумму

F (х)

всех измеренных величин

ошибок, меньших

или

равных

х,

отнесенных

общему числу изме

рений

При

этом абсциссе

х = N

соответствует ордината

F (х) =

Отметим

еще раз,

что

интегральную функцию распределения

вероятностей можно интерпретировать

как

единицу массы, раз

мещенную вдоль прямой таким образом,

что

массы

для

всего мно

жества точек

на

отрезке прямой слева

от

точки

х (| < х)

равны

(х).

Здесь

F (х)

представляет собой неубывающую функцию

от

х,

причем

F {—со) = 0 и F

(+°°)

= 1.

Полученная таким

об

разом кривая

F (х)

(рис.

21.1)

называется интегральным

распределением вероятности величины

ошибки.

Плотность вероятности

(рис.

21.2)

выражается

производной

от

функции

F (х),

соответствующей точке

(рис.

21.1),

(x)/dx = w (х).

(21.1)

Так

как

функции

F (х) и w (х)

приняты непрерывными

для

всех величин

х, то

можем записать

(х) — Р

(£

< х) — \ wg)dl.

(21.2)

—

оо

413

0,4

0,1

T

1 1

-1 0

f5 20) W(x)

Рис.

21.2.

График функции плотности вероятности

w (х)

Рис.

21.3.

Построение кривой плотности распределения вероятностей

Считая

всю

распределенную массу равной единице, придем

к выводу,

что

w{i)d% = 1.

(21.3)

Как видно

из

(21.2),

функция

да (х)

выражает темп роста функ

ции распределения

F (х).

Если случайный процесс задан, например

в виде графика функции

х (t)

(рис. 21.3),

если считать число

то

чек пересечения этой функции

горизонтальными линиями

как

число измерений

случайной величины,

то

полученные таким

об

разом ординаты оказываются пропорциональными частотам

измерений

v/N, где N

—

общее число таких точек измерения.

Значит каждая ордината

известном масштабе изображает

ч а 

т о т у

измерений

или

вероятность

Р,

относящуюся

соответ

ствующей координате

х (t).

Полученная таким образом кри

вая

да (х), с

учетом масштаба ординат, становится функцией плот

ности вероятности.

При

этом элемент вероятности

да

(х)

имеет смысл вероятности того,

что

величина

находится

в интервале

х < I < х + Ах при

малом

Ах. Вся же

площадь

под кривой

w (х)

равна единице согласно

(21.3).

^Часто вместо функции распределения

как

характеристики слу

чайной переменной применяют характеристическую

функцию

виде преобразования Фурье

[39]

(ico)

w (х) dx,

(21.4)

где

да (х) —

попрежнему плотность вероятности.

Характеристическая функция представляет собой комп

лексный спектр функции

да (х) (см. § 5.1).

Функция распределения вероятности

F (х) или

плотности

вероятности

да (х)

дает достаточно полную характеристику случай

ной величины. Вместе

тем

расчетах также полезны более про

стые оценки случайных величин.

Характеристики распределения.

практических задачах важно

сразу

же

иметь хотя

бы

общее представление

характере распреде

414

ления случайной величины. Этой цели служит

ее

типичное

зна

чеш{е

центральная точка распределения.

В ка

честве примеров такой характеристики приведем математи

ческое ожидание (среднее значение), момент рас

пределения, медиану

моду.

Математическое ожидание

М.

Применительно

функции

g (х)

случайной величины

математическое ожидание представляет

собой сумму

g =

M[g(x)}

 Ц

g(x

), (21.5)

v=l

где

вероятности, равные частотам случайных величин;

знак

отмечает математическое ожидание

или

среднеезначение.

ци

Аналогичное выражение можно записать

для

самой случайной

величины, заменив

(21.5)

g на х.

Заметим,

что

сумма вероятно

стей

Ц P

= 1,

поскольку

вся

распределенная «масса» прини

v =1

мается

за

единицу.

Математическое ожидание можно найти

и по

плотности рас

пределения

да (х).

Действительно,

из

(21.1)

следует,

что на

уча

стке

Ах

число измеренных величин

AF (х),

отнесенных

общему

числу измерений этой величины, приблизительно равно

да (х,) Ах.

причем принимается

выбранном интервале

= х.

Значит,

произведение

xAF (х)

или

xw (х) Ах

представляет собой относитель

ное число измерений

на

участке

Ах,

умноженное

на

случайную

величину

х. На

участке

от

mln

до

тах

среднее значение

случайной величины выражается интегралом

'mm

= М(х)= J xw(x)dx.

(21.6)

Среднее значение случайной функции

g (х)

выражается, аналогично

(21.6),

интегралом

•*max

g =

M[g(x)]=

j g(x)w(x)dx.

(21.7)

mln

Формулы, аналогичные двум последним, обычно записывают

с раздвинутыми пределами интегрирования

от —оо до оо.

Медиана распределения. Пусть

одномерном распределении

массы точка

разделяет

ее на две

равные части. Величина

называется медианой.

Так как

общая распределенная масса

равна единице,

то

параметр должен быть корнем уравнения

(

) = 0,5. На рис. 21.1

кривая распределения пересекается

с прямой

F (х) = 0,5

только

одной точке

(в

данном примере

на

оси ординат). Значит, имеется лишь одна медиана.

По

сравнению

415

с математическим ожиданием медиана имеет некоторое преиму

щество,

так как на

среднее значение могут оказать заметное влия

ние массы, занявшие место

на

большом расстоянии

от

зоны,

где

густо распределена случайная величина.

Моменты. Моментом порядка

называется среднее

значение

оо

= M(x

) = j x

dF(x), (21.8)

—оо

где

v —

целое положительное число;

—функция, интегрируе

мая

пределах (—оо,

оо)

относительно функции

F (х).

Среднее значение случайной величины

х —

мате

матическое ожидание

—

находится

как

момент распре

деления первого порядка согласно

(21.1), (21.6)

(21.8)

оо

<h= \ xdF(x). (21.9)

—оо

Это среднее значение можно трактовать

как

абсциссу

х = т

центра тяжести массы, распределение которой вдоль

оси

задано

функцией

F (х).

Характеристика

= т

—

простой пример

центральной точки распределения.

Вводя

в (21.8)

постоянную

с,

получим

оо

М ((£

 c)

) = J (х — c)

dF (х).

—оо

Эта величина называется моментом относительно точки

с.

Моменты относительно среднего

называются централь

ными.

При v = 1

центральный момент равен нулю.

Момент второго порядка определяется

из (21.8)

при

v = 2

оо

= j x

dF(x). (21.10)

—оо

Момент

представляет собой среднеквадратичное

значение случайной величины.

Его

можно трактовать

как м о 

мент инерции массы, взятой относительно

оси,

пер

пендикулярной

оси х, при

заданном вдоль

оси х

распределении

массы

F (х).

Характеристики рассеяния.

Они

служат

для

оценки разброса

случайной величины

в обе

стороны

от ее

типичного значения

Дисперсия

— это

мера рассеяния

случайной

величины

относительно

ее

среднего значения

оо

= М

((&

 m

f) = J (ж  m

f dF (х). (21.11)

—оо

416

Принято также характеристику рассеяния определять

как

поло

жительное значение квадратного корня

из ц

, т. е. как

средне

квадратичное отклонение случайной величины

o= + /\h (21.12)

механической интерпретации дисперсия представляет собой

момент инерции распределенной массы относительно

перпендикулярной

оси,

проведенной через центр тяжести

Если типичное среднее значение величины

оценивается

первым моментом,

то ее

среднеквадратичное отклонение

от т

находится согласно

(21.11), (21.12) и

определению второго

мо

мента

(21.10)

оо

 М ((£ 

/п

)

= j (х 

)

(х) = j x4F (х)  2m

—оо

оо

j xdF (х) + ml j dF (x) = а

— ml, так как

первый момент

—-оо

—оо

равен абсциссе центра тяжести массы распределения,

т. е.

оо

j xdF (х) = т

, и \ dF (х) = 1.

— оо

—оо

частности,

распределении

при т = 0

характеристика

оо

разброса массы

М (|

) = j x

dF (х).

— оо

Нормированная случайная величина

по параметрам

и о

представляет собой отклонение

| от

среднего

значения

, т. е. 1 — т

причем

за

единицу измерения принято

среднеквадратичное отклонение

а, а ее

интегральная функция

распределения имеет

вид F ((х —

)/а). Нормированная вели

чина имеет среднее значение

М ((! —

)/а)

= 0 и

среднеквадратич

ное отклонение

а ((| —

пг

)/о)

= 1, что

следует

из (21.11) и (21.12).

Нормальное распределение. Кривая нормального распреде

ления вероятности подчиняется закону Гаусса, выра

жаемому интегральной функцией распреде

ления

оо

F(x)

(l//2S)

e6'/»dg,

(21.13)

—оо

анормальная плотность вероятности полу

чается

виде функции

(см. рис. 21.2)

w{x) =

(1/2я)е-*

/2.

(21.14)

Эта

же

формула

при

подстановке вместо

нормированной

величины (Ах)/а приобретает

вид

w(Ax) = a"

dF ((х 

)/o)/dx

= (1/2я)е<

*>7о. (21.15)

Кириллов

и. и. 417

При

х = 0

нормальная плотность дости

гает максимума

w (0) =

1/>/"2я.

Для но

рмального распределения среднее значе

ние случайной величины

xd/*

(х)

равно

Рис.

21.4.

Осреднение

по способу наимень

ших квадратов

нулю

(в

силу симметрии кривой

на рис.

21.1),

а среднеквадратичное значение случайной

величины

равно единице,

что

доказывается

прямым интегрированием выражения

(21.10).

Сумма всех вероятностей

(вся

площадь

под кривой

F (х) на

рис.

21.1)

равна единице,

так как

ростом

величина

F (х)

стремится

единице. Вероятность того,

что

пере

менная

приобретает значения

от

до

определяется площадью

под кривой нормального распределения между ординатами

этих

точках

(см.

рис.

21.2).

Корреляция.

Говоря

корреляционной связи между двумя

переменными, будем подразумевать,

что

каждым значением

од

ной переменной можно 'сопоставить вероятное значение другой

переменной, относительно которой измеренные величины распола

гаются согласно какойлибо закономерности распределения

ве

роятности. Максимальная корреляция между переменными

до

стигается

том

случае, если каждому значению одной переменной

отвечает определенное значение другой переменной.

Корреляционная связь может быть между несколькими пере

менными. Здесь

же

ограничимся изучением связи между двумя

переменными:

х и у. Их

средние величины обозначим

и т

так

что Ах = х — т

; Ау = у — т

. На

плоскость

(Ах, Ау)

(рис.

21.4) для

произвольно выбранных величин

Ах

нанесем

точки соответствующих значений

Ау.

Определим среднюю законо

мерность между

Ах и Ау в

форме прямой

Ау =

хДх,

применив

для этого способ наименьших квадратов

приняв коэффициент

постоянным. Иначе говоря, выберем

так,

чтобы получить мини

мум суммы

Это требование выполнится

д/дк

( £ (Ау, 

*Ах,)*

Ау)

где Ау, —

измеренные величины

Ау.

при условии

Из

(21.16)

элементарно определим

I п

к=ЦА

У1

/ 2

(Ax

)*.

(21.16)

(21.17)

*=i

/ i=i

Уравнения

Ay = кАх и (21.17)

устанавливают корреля

ционную связь между переменными

Ау и Ах,

выраженную

суммой произведений

Д^Д**

имеющую следующий смысл:

418

если отклонения

таковы,

что 2 "~

i/)

2 =

то все

i=i

точки измеренных величин

Ау

лежат

на

прямой, построенной мето

дом наименьших квадратов,

и в

таком случае корреляция имеет

максимальное значение;

если

Ау,Ах

= 0, а

значит

и Ау = 0,

i=i

то

нет

связи между переменными

корреляция вовсе

не

прояв

ляется. Заметим,

что

корреляционная связь

в (21.17)

выражена

через произведение Ау

{

Ах, аналогично тому,

как

вероятность

одновременного появления двух событий равна произведению

их

вероятностей.

Корреляционные функции.

При

рассмотрении случайных функ

ций обычно,

для

упрощения задачи, ограничиваются вычисле

нием лишь первых двух моментов этих функций.

Так как

моменты второго порядка называются корреляционными

моментами,

то и

обобщение указанных методов решения

задач

на

базе этих моментов называют корреляционной

теорией случайных функций.

Эта

теория стано

вится общей, если случайные функции характеризуются нор

мальными функциями распределения вероятности,

так как

при этом условии

для

линейных систем задание первых двух

мо

ментов достаточно

для

определения всех моментов более высокого

порядка. Далее

мы

будем иметь

виду лишь задачи, обусловлен

ные нормальными функциями распределения.

21.2.

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим процессы, протекающие

неизменных

во

времени динамических системах

независимой переменной

Это

—

так

называемые стохастические процессы.

Будем предполагать,

что

функции, выражающие названные про

цессы, получены

на

основании большого числа измерений

и что

они представляют собой незатухающие колебания

непрерывным

спектром. Поскольку изучаются процессы

неизменных

во

вре

мени системах,

вид

функции распределения вероятности

не за

висит

от

смещения начала отсчета

по

оси

Располагая большим числом наблюдений

при

соблюдении

од

них

и тех же

условий опытов, можно установить последователь

ность величин

(t),

для

которых могут быть определены функции

распределения вероятности

различные моменты времени.

Та

ким образом, статистический метод дает возможность выявить

главные свойства всей совокупности функций, характеризующих

процесс,

на

основании усреднения свойств каждой

из

функций

(t).

Например, последовательность функций

(0 = Е

(flvk

cos (2nv/T) t + b

sin (2nv/T)

t) (21.18)

v=l

14*

419