Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

231

dzeхФ

∫

−

)(

(3.4.2) – функція Лапласа занесена

в таблиці і має такі властивості: а) Ф(х) визначена на всій

числовій осі; б) Ф(х) – непарна – Ф(–х) = – Ф(х); в)

)(x

зростає при х > 0 до 0,5 і спадає при х < 0 до –0,5; г) для х > 5

5,0)( ≈хФ ; для х < –5 5,0)(

−

≈

хФ .

Задачі

3.4.1. В радіоапаратурі, що містить 300 ламп, застосовую-

ться лампи з ймовірністю придатності 80%. Знайти ймовір-

ність того, що 400 таких ламп достатньо для того, щоб пов-

ністю укомплектувати цю радіоапаратуру.

Розв’язок.

Згідно умови задачі р = 0,80 (80%), q = 0,20, n = 400.

Необхідно обчислити імовірність події, яка полягає в тому,

що з 400 ламп придатними виявиться від

300 до 400 ламп.

Згідно інтегральної формули Лапласа:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

=≤≤

2,08,0400

8,0400300

2,08,0400

8,0400400

)400300(

400

ФФkP

.9938,04938,05,0)5,2()10(

=+= ФФ

3.4.2. Ймовірність того, що із взятого яйця вилупиться пі-

вень, дорівнює 0,5. В інкубатор заклали 38 416 яєць.

Визначити ймовірність того, що серед виведених курчат

число курочок буде відрізнятись від найбільш ймовірного їх

числа за абсолютною величиною не більше, ніж на 208 шт.

Вказівка: використати інтегральну теорему Лапласа.

Розв’язок.

Згідно умови задачі n

= 38416; p = 0,5; q = 1 – p = 0,5; ε =

= 2,08. Необхідно обчислити

(

)

208

≤− kkP . Обчислимо

найімовірніше число

k :

232

pnpkqnp

≤≤−

;

5,05,0384165,05,038416

⋅

≤

−⋅ k ;

5,192085,19207

≤≤ k .

Отже,

19208

=k , тому необхідно обчислити імовірність

події

208208

≤

≤− kkk , або 1941619000

≤

k , ви-

користавши інтегральну формулу Лапласа:

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

=≤≤

5,05,038416

5,03841619416

)1941619000(

38416

ФkP

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

−

208

5,05,038416

5,03841619000

ФФФ

()

.9662,04831,021224,22

208

2 =⋅==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= ФФ

3.4.3. В результаті перевірки якості підготовленого для

посіву зерна було встановлено, що 90 % зернин проростуть.

Визначити ймовірність того, що серед відібраних 1000

зерен число пророслих буде відрізнятись від найбільш

ймовірного їх числа не більше, ніж на 130 шт. в ту чи іншу

сторону.

Вказівка. Прийняти найімовірніше число появ події А

рівним математичному

сподіванню числа появ цієї події.

Розв’язок.

р = 0,9 (90%); n = 1000; ε = 130;

1,09,01

−

q .

)130)(130)((

1000

+≤≤− XMkXMP -?

Використаємо інтегральну формулу Лапласа

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=≤≤

npq

npk

npq

npk

ФkkkP

)( .

233

Оскільки 90010009,0)(

⋅

npXM , то −

900

;770130 =− ;1030130900

=k але оскільки n = 1000,

то

1000

=k .

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

=≤≤

1,09,01000

9,010001000

)1000770( ФkP

()

.15,05,0)7,13(

5,10

103

130

103

100

1,09,01000

9,01000770

=+≈+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

−

ФФФФ

3.4.4. В результаті перевірки якості підготовленого для

посіву зерна було встановлено, що 90 % зернин проростуть.

Визначити:

1) ймовірність того, що серед відібраних і засіяних 1000

зернин проросте:

а) від 700 до 740 шт.;

б) від 880 до 920 шт.;

Дати пояснення значній різниці в результатах в пп.. а) і

б), хоч в обидвох випадках різниці

між верхньою і нижньою

межами однакові.

2) ймовірність того, що серед відібраних 1000 зерен число

пророслих буде відрізнятись від найбільш ймовірного числа

їх не більше, ніж на 30 шт. в ту чи іншу сторону.

Розв’язок.

Використаємо інтегральну теорему Лапласа:

1.а) n = 1000; p = 0,9; q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1;

;700

=k ;740

()

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

×−

=≤≤

1,09,01000

9,01000740

740700

1000

ФkP

.05,05,0

1,09,01000

9,01000700

=−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

×−

− Ф

234

б)

()

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

×−

=≤≤

1,09,01000

9,01000920

920880

1000

ФkP

()

.965,04825,02108,22

103

1,09,01000

9,01000880

=×==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

×−

−

ФФФ

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

12345678910111213

Рис. 3.4.1.

2. Обчислимо найімовірніше число k

настання події в

1000 випробуваннях:

;

pnpkqnp

≤

−

9,09,010001,09,01000

≤

−× k ;

9,9009,899

≤≤ k . Отже, 900

k ;

M(X) = np =

9009,01000

87030900

=−=k ;

700 740 880 900 920

235

93030900

=+=k .

()

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

×−

=≤≤

1,09,01000

9,01000930

930870

1000

ФkР

()

.99845,0499178,021623,32

103

1,09,01000

9,01000870

=×==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

×−

−

ФФФ

У випадку а) інтервал знаходження випадкової величини

Х суттєво віддалений від М(Х) або

k = 900. У випадку б)

)(ХМ і

k знаходяться у центрі заданого інтервалу. На гра-

фіку це відображається так (рис. 3.4.1).

3.4.5. За технічними умовами діаметр валиків, виготовле-

них на автоматичному верстаті, повинен бути не меншим 37.8

мм. і не більшим 37,9 мм. Верстат виробляє 98 % валиків, які

відповідають встановленим стандартам.

Визначте ймовірність того, що серед 900 виготовлених

валиків бракованих буде:

а) від 3%

і більше;

б) від 2% і менше.

Розв’язок.

а) Нехай А – шукана подія. Обчислимо нижню межу ін-

тервалу k

, в якому за умовою можуть знаходитись браковані

валики: k

= 0,03

900 = 27, верхня межа рівна кількості

= 900 валиків. Імовірність шуканої події А – це імовірність

того, що в n = 900 повторних незалежних випробуваннях в

кожному з яких імовірність настання події – появи брако-

ваного валика постійна і рівна р = 1 – 0,98 = 0,02. Число появи

бракованих валиків знаходиться в межах від 27 до 900 разів.

Цю імовірність обчислимо за інтегральною теоремою Лап-

ласа:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=≤≤

npq

npk

npq

npk

ФkkkP

)(

236

()

.0161,04839,05,01429,25,0

2,4

1827

2,4

882

98,002,0900

98,090027

98,002,0900

02,0900900

=−=−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

ФФ

ФФФ

б) Нехай А – шукана подія, яка полягає в тому, що число

бракованих валиків серед 900 знаходиться в межах від k

= 0

до k

= 900

0,02 = 18.

Згідно інтегральної теореми Лапласа ця імовірність рівна:

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

=≤≤

98,002,0900

02,090018

)180( ФkP

()

.5,049999,00

2857,4)0(

98,002,0900

002,09000

≈+=

=−−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

− ФФФ

3.4.6. Нехай

– сумарне число появ “5” і “6” в N підки-

даннях гральної кості. При N = 1800 знайти ймовірність того,

що

≥

620.

Розв’язок.

Імовірність Р(η

) – сумарного числа появ “5” і “6” в кож-

ному і-тому підкиданні дорівнює сумі імовірностей несуміс-

них подій – появи “5” (подія В) або появи “6”, а (подія С):

)()()( =+=+= CPBPP

, тоді

1)( =−=

Тоді шукану імовірність обчислюємо за інтегральною

теоремою Лапласа:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

=≤≤

1800

1800620

1800

18001800

)1800620( ФФP

.1587,03413,05,0)1()60(

−

=−= ФФ

237

3.4.7. Ймовірність проростання насіння дорівнює p = 0,85.

Визначити, скільки потрібно посіяти зерен n, щоб з ймо-

вірністю 0,999 можна було стверджувати, що число пророс-

лих насінин буде відрізнятись від найбільш ймовірного числа

їх m

не більше, ніж на 300 шт.

Розв’язок.

Використаємо інтегральну теорему Лапласа, поклавши

р = 0,85; q = 1 – p = 0,15; P = 0,999;

.30085,0300

;30085,0300

;85,0

+=+=

−=−=

nmk

nnpm

Тоді

()

*3005,03005,0

≤

− nknP

15,085,0

300

15,085,0

5,030085,0

××

−

npq

npk

;

15,085,0

300

15,085,0

85,03005,0

××

−=

××

−

npq

npk

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

15,05,0

300

15,085,0

300

.999,0

15,085,0

300

2 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××

Отже,

.4995,0

999,0

15.085,0

300

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

××n

З таблиць інтегральної функції знаходимо значення t =

= 3,30, при якому Ф(t) = 0,4995;

отже,

.30,3

15,085,0

300

××n

238

Звідси, 64819

15,085,08910

90000

×××

=n .

3.4.8. В таблиці випадкових чисел кожна цифра з'явля-

ється незалежно від інших з ймовірністю 0,1.

Скільки треба набрати таких випадкових чисел, щоб з

ймовірністю 0,999 серед них з'явилось не менше 100 нулів.

Розв’язок.

За умовою імовірність того, що серед n випадкових чисел

(n випробувань) буде не менше 100 нулів рівна 0,999:

999,0)100(

≤≤ nkP

Розпишемо цю імовірність згідно інтегральної теореми

Лапласа, де імовірність появи нуля р = 0,1, тоді q = 0,9:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

−

=≤≤

9,01,0

1,01

9,01,0

1,0

)100(

ФnkP

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ФnФ

3,0

1,0100

3,0

1,0100

3,0

9,0

.999,0

3,0

1,0100

5,0 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

Оскільки n > 100, то

(

)

5,0)30(3,0 ≈= ФnФ . Отже,

.499,0

3,0

1,0100

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

З таблиць інтегральної функції враховуючи її непарність

знаходимо значення параметра х = – 3,1061, при якому Ф(х)=

= – 0,499.

Отже,

1061,3

3,0

1,0100

−=

−

або ×

−

1061,31,0100 n

n3,0× .

239

Спрощуючи, отримуємо рівняння −− nn 3183,9

01000 =− розв’язок, якого 6233,36=n . Отже, n = 1342.

3.4.9. По каналу зв'язку передаються повідомлення з ну-

лів і одиниць. Через перешкоди ймовірність правильної пере-

дачі знаку рівна 0,55. Для підвищення ймовірності правильної

передачі кожен знак повідомлення повторюють n разів. Вва-

жають, що послідовності з n прийнятих знаків в повідомленні

відповідають знаку, який складає в ній більшість

а) Знайти ймовірність правильної передачі одного знаку

при n-кратному повторенні, якщо n = 5.

б) Підібрати n так, щоб імовірність правильної передачі

знаку була не меншою за 0,99.

Розв’язок.

а) Нехай подія А полягає в правильності передачі знаку.

Переданий знак приймається за “нуль” чи “одиницю”, як-

що в послідовності з n

знаків він зустрічається більше, ніж

рази і є цілим числом. Тобто, якщо n = 5, то перше ціле число

3]5,2[

===≥

k (подія А

); друге ціле число k

=4 (подія

), третє ціле число k

= 4 (подія А

). Події А

, А

несуміс-

ні, так, що Р(А) = Р(А

) + Р(А

). Кожну з імовірностей

обчислимо за формулою Бернуллі:

knkk

qpCP

−

= , де р =

= 0,55; q = 0,45;

336909,045,055,0

321

345

)()(

23233

=⋅

⋅

=== qpCAPAP

;

20589,045,055,0

4321

2345

)()(

444

=⋅

⋅

=== qpCAPAP

;

050328,055,0)()(

=== APAP .

Підставляємо отримані дані в формулу і отримуємо

Р(А) = 0,336909 + 0,20589 + 0,050328 = 0,593127.

240

б) Нехай А – шукана подія, імовірність якої згідно умови

більша 0,99:

.99,0

≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤≤ nk

P Оскільки імовірність 0,99

дуже висока, то n, очевидно, принаймні не менше кількох де-

сятків, так що для обчислення імовірності можна використати

інтегральну теорему Муавра-Лапласа:

),()(

xФxФnk

P −=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤≤

де,

===

−

npq

npn

npq

npk

)1(

90453,0

55,0

45,0

⋅

;

npq

npn

npq

x 1005,0

45,055,02

1,1

−=

⋅⋅

−

Таким чином,

99,0)1005,0()90453,0( ≥+ nФnФ . При

,36≥n 5,0)43,5()90453,0( =≈ ФnФ .

Отже,

49,05,099,0)1005,0( =−≥nФ або .49,0)( ≥xФ

З таблиць інтегральної функції знаходимо значення х =

= 2,327, при якому Ф(х) = 0,49. Враховуючи те, що інтеграль-

на функція Ф(х) зростаюча,

327,2≥x .

Отже,

;327,21005,0 ≥n ,154,23≥n .536≥n

Відповідь:

536≥n .

3.4.10. Ймовірність появи позитивного результату в кож-

ному з n дослідів рівна 0,9.

Скільки потрібно провести дослідів, щоб з ймовірністю

≥ 0,98 можна було очікувати, що не менше 150 дослідів

дадуть позитивний результат.