Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика

261

Або .

1

)(

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Y

MXM

Y

XM

Y

X

M

Наприклад:

;162,0304,0154,010)(

;2,43,065,042,02)(

=⋅+⋅+⋅=

=

⋅

+

⋅

+

⋅=

YM

XM

++=⋅+⋅+⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

02666,004,02,0

30

1

4,0

15

1

4,0

10

11

Y

M

07333,0006666,0 =+ ;

=++=⋅+⋅+⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

05,0125,01,03,0

6

1

5,0

4

1

2,0

2

11

X

M

275,0=

;

Отже,

4,4275,016

1

)( =⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

X

MYM

X

Y

M

;

81,3

2,4

16

)(

==

XM

YM

;

)(

XM

YM

X

Y

M ≠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

.

307997172,007333,02,4 =⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Y

X

M ;

2625,0

16

2,4

)(

==

YM

XM

;

)(

YM

XM

Y

X

M ≠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

.

4.1.4. Закон розподілу випадкової величини Х поданий в

таблиці:

Значення (х)

– 1

0 2

Ймовірність (р) 0,6 0,3 0,1

Х

2

4

6

У

10 15

30

Р

0,2

0,5

0,3

G

0,4 0,4 0,2

262

Знайти дисперсії випадкових величин 2х та х + х. Чи мож-

на до z = х + х застосувати теорему про дисперсію суми

)()()( vDuDvuD +=+ ?

Розв’язок.

Задано розподіл:

Х

– 1

0 2

Р

0,6 0,3 0,1

4,01,026,01)(

−

=

⋅

+

⋅−=XM ;

()

(

)

84,04,01,026,01)(

2

=−−⋅+⋅−=XD

.

Тоді розподіл випадкової величини Z = (X + X) буде мати

вигляд:

Z=X+X –1–1=

=–2

–1+0=

=–1

–1+2=1 0–1=–1 0+0=0 0+2=2 2-1=1

P 0,6

.

0,6=

= 0,36

0,6

.

0,3=

= 0,18

0,6

.

0,1=

= 0,06

0,6

.

0,3=

=0,18

0,3

.

0,3=

=0,09

0,3

.

0,1=

=0,03

0,6

.

0,1=

=0,06

0+2=2 2+2=4

0,1

.

0,3=0,03 0,1

.

0,1=0,01

або

+

⋅

+

⋅

−

⋅

−

⋅

−=+ 12,0109,0036,0136,02)( XXM

8,001,0406,02

−

=

⋅+⋅+ .

()

(

)

+⋅+⋅−+⋅−=+ 09,0036,0136,02)(

2

22

XXD

(

)

68,18,001,0406,0212,01

2

222

=−−⋅+⋅+⋅+ .

Розподіл випадкової величини 2Х має вигляд:

2Х

2)1(2

−

=

−

⋅

002

=

⋅

422

=

⋅

Р

0,6 0,3 0,1

8,01,043,006,02)2(

−

=

⋅

+

⋅

+

⋅−=XM ;

()

(

)

36,38,01,043,006,02)2(

2

22

2

=−−⋅+⋅+⋅−=XD .

);(2)2()(2)()()( XMXMXMXMXMXXM

=

+

=+

що й підтверджується розрахунками.

Z=X+X

-2 -1 0 1 2 4

P

0,36 0,36 0,09 0,12 0,06 0,01

263

);(4)(2)2(

2

XDXDXD == 36,384,04)2(

=

⋅

=

XD ;

)()2( XXDXD

+

≠ .

)()()( xDuDxuD

+

=+ , але )()()( XDXDXXD

+

≠

+

,

що й підтверджується розрахунками:

=

+

≠

84,084,036,3

68,1= . Теорему про дисперсію суми )()()( vDuDvuD

+

=

+

до

x

z += застосувати не можна.

4.1.5. Довести, що якщо

ζ

і

η

– незалежні випадкові ве-

личини, то

)()()(

η

ζ

η

ζ

DDD

⋅

≥⋅ .

Розв’язок.

Використаємо розрахункову формулу для обчислення

дисперсії:

)()()(

22

XMXMXD −= , Отже:

−⋅=⋅−⋅=⋅ )()()()(

2222

ηζηζηζηζ

MMMD

).()()()()]([

22222

ηζηζηζ

MMMMM ⋅−⋅=⋅−

Підставивши у формулу

)()()(

22

ζζζ

MDM += і

)()()(

22

ηηη

MDM += , отримуємо:

=⋅−++=⋅ )()()]()()][()([)(

2222

ηζηηζζηζ

MMMDMDD

−⋅+⋅+⋅+⋅= )()()()()()()()(

2222

ηζηζζηηζ

MMDMDMDD

).()()()()()()()(

2222

ηζζηηζηζ

DMDMDDMM ⋅+⋅+⋅=⋅−

Оскільки ІІ і ІІІ доданки

0≥ , то 0)( ≥

⋅

η

ζ

D .

4.1.6. Випадкові величини

ni

i

,...1,

=

ζ

, незалежні,

,

ii

aM

=

ζ

2

ii

D

σζ

= . Обчислити дисперсію

n

D

η

, де

nn

ζ

η

...

21

⋅= .

Розв’язок.

Для обчислення дисперсії випадкової величини

n

η

вико-

ристаємо розрахункову формулу:

−⋅⋅=⋅⋅= )......()......()(

222

2

121

ninin

MDD

ζζζζζζζζη

264

−⋅⋅⋅=⋅⋅− )()...(...)()()......(

222

2

121

2

nini

MMMMM

ζζζζζζζζ

[]

.)()...()...()(

2

21 ni

MMMM

ζζζζ

⋅⋅⋅−

Але

22

2

)()()()(

iiiiii

aMMMD

σζζζζ

=−=−= ,

звідки

22

2

)(

iii

aM +=

σζ

.

Підставимо це значення у попередній вираз, отримаємо:

−+⋅+⋅++= )()...()...)(()(

22222

2

1

2

1

nniin

aaaaD

σσσση

.)(]......[

1

2

1

22222

2

1

∏∏

==

−+=⋅⋅⋅−

n

i

n

i

iini

aaaaaa

σ

4.1.7. Невід’ємні випадкові величини

n

ζ

,...

1

незалежні і

однаково розподілені. Знайти математичне сподівання

k

M

η

випадкової величини

αζ

α

ζ

η

n

i

n

i

k

+

=

∑

=1

, де

0≥

α

константа.

Розв’язок.

Оскільки випадкові величини незалежні і однаково роз-

поділені, то

ki

n

i

n

ζζ

=

∑

=1

Підставимо це значення у вираз для

математичного сподівання:

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

∑

=

αζ

η

nn

M

n

MM

k

i

Sn

i

k

1

)(

.

1

)1(

11

)( n

M

n

M

nn

M

k

==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

αζ

4.1.8. Обчислити математичне сподівання і диспеpсію ви-

значника

265

2

=

1413

1211

XX

,

елементи якого X

іj

– незалежні випадкові величини з

М(X

іj

) = 0 і D(X

іj

) =

2

σ

.

Розв’язок.

Для обчислення дисперсії визначника скористуємося роз-

рахунковою формулою:

)()()(

2

22

Δ−Δ=Δ MMD .

Обчислимо математичне сподівання визначника:

=⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=Δ )()()()(

12212211122122112

ζ

MMMM

,00000)()()()(

12212211

=

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅=

ζ

MMMM

оскільки за умовою .0)(

=

ij

XM

Обчислимо квадрат визначника

2

Δ як добуток визнач-

ників:

=

⋅

=Δ⋅Δ=Δ

2221

1211

2221

1211

22

2

ζζ

=

⋅+⋅⋅+⋅

=

2222122121221121

2212121121121111

;

ζζζζζζζζ

×⋅+⋅−+⋅⋅+= )())((

21221121

2

2212212112

11

2

ζζζζζζζζζζ

.2)(

21122211

21

2

12

2

22

2

11

2

22121211

ζζζζζζζζζζζζ

⋅⋅⋅−⋅+⋅=⋅+⋅×

Тоді

−⋅+⋅=Δ )()()()()(

21

2

12

2

22

2

11

22

2

ζζζζ

MMMMM

−⋅+⋅=⋅⋅⋅−

2222

21122211

)()()()(2

σσσσζζζζ

MMMM

,200002

4

σ

=⋅⋅⋅⋅− оскільки ,)(

22

σζ

=

ij

M

.0)(

=

ij

M

ζ

Таким чином, дисперсія визначника рівна:

=

Δ

)(

2

D

44

202

σσ

=−=

.

4.1.9. Нехай випадкова величина

ζ

набуває скінченне

число невід’ємних значень х

1

, х

2

..., х

к

. Довести, що

266

а) ;max

)(

lim

1

i

ki

n

x

M

≤≤

+

∞→

=

ζ

б)

i

ki

n

xM

≤≤

∞→

=

1

max)(lim

ζ

.

в) Випадкові величини

n

ζ

,...,

21

⋅

набувають додатніх

значень і однаково розподілені. Довести, що

.при

...

21

nk

n

k

M

n

k

≤=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++

ζζζ

Розв’язок.

а)

=

⋅+⋅+⋅

=

+++

∞→

+

∞→

k

n

k

nn

k

n

k

nn

n

pxpxpx

M

...

lim

)(

lim

2211

1

2

1

21

1

ζ

(поділимо на

1+n

i

x )

=

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

++++

∞→

k

n

i

n

k

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

k

n

i

k

i

n

i

n

i

n

i

n

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

11

2

1

2

1

11

2

1

2

1

......

lim

*

1

...

1

...

11

...1...

lim

2

1

2

1

2

1

=

⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+++

∞→

k

i

n

i

k

i

ii

n

i

n

i

k

n

i

k

i

n

i

n

i

n

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

pp

x

p

x

Нехай x

і

– максимальне, тоді ;1,...,

21

≤

i

k

ii

x

так що

0lim;...0lim

1

11

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∞→∞→

n

i

n

i

n

x

і т. д.

=

⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∞→∞→∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

k

i

n

i

k

n

i

n

i

n

i

n

i

n

k

n

i

k

n

i

n

i

n

i

n

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

pp

x

p

x

1

lim...

1

......

1

lim

1

lim

lim...1...limlim

*

2

1

2

1

2

1

267

,

0......

1

0

0......00

i

ii

i

x

p

xp

x

p

x

p

=

⋅

=

++⋅

++++

=

де .max

1 ki

ii

xx

≤≤

=

б) Вираз під знаком кореня поділимо і домножимо на

n

i

ki

x

≤≤1

max

: =+++

∞→

k

n

ki

n

i

nn

n

pxpxpxpx ......lim

2211

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∞→

n

k

n

i

k

i

n

i

n

i

n

p

x

p

x

p

x

x ......lim

1

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

∞→∞→∞→∞→

n

k

n

i

k

n

i

n

i

n

i

n

p

x

pp

x

x lim...1lim...limlim

1

.1)(lim0......0lim

1

ii

n

i

n

ii

n

i

xxpxpx =⋅==++=

∞→∞→

Тут враховано, що скільки

,1...,1,1

21

≤≤≤

i

k

ii

x

то

0lim...,0lim

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞→∞→

n

i

k

n

i

n

x

і оскільки 1

≤

i

p , то

.1)(lim

1

=

∞→

n

i

n

p

в)

.)1(

...

21

n

k

M

n

k

M

n

k

n

k

MM

i

n

k

==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++

ζ

ξξξ

Тут враховано, що оскільки випадкові величини однаково

розподілені, то

).()()()(

21 ni

MMMM

ζ

=

4.1.10. Дискретна випадкова величина Х має тільки 3

можливих значення: x

1

= 1, x

2

і x

3

, причому x

1

< x

2

< x

3

. Ймо-

вірність того, що Х приймe значення x

1

і x

2

, відповідно дорів-

нює 0,3 і 0,2.

Скласти закон розподілу величини Х, знаючи її матема-

тичне сподівання M(X) = 2,2 і дисперсію, яка рівна 0,76.

268

Розв’язок.

Згідно умови задачі

;3,0

1

=

p ;2,0

2

=

p ;1

1

=x

;2,2)( =XM 76,0)(

=

XD . Необхідно обчислити

323

,, xxp .

Оскільки випадкова величина задана своїм законом розпо-

ділу, то в ньому сума імовірностей дорівнює 1:

1

321

=++ ppp . Отже, =

+

−

=

+

−

=

)2,03,0(1)(1

213

ppp

5,0= .

Розпишемо вирази для математичного сподівання і

дисперсії:

;)(

332211

pxpxpxXM

+

+=

).()()()(

2

3

2

32

2

21

2

1

22

XMpxpxpxXMХMXD −++=−=

Підставивши необхідні дані, отримаємо систему рівнянь:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=−⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅

.76,02,25,02,013,0

2,25,02,013,0

2

3

2

32

xx

Після спрощень система набуває вигляду:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+−→=+

−

=→=+

.0513873,55,02,0

;

2

519

9,15,02,0

3

2

3

2

32

3

232

xxxx

x

xxx

Звідки

,3

3

=x 2

2

=

x .

Отже, розподіл випадкової величини має вигляд:

x

і

1 2 3

p

і

0,3 0,2 0,5

4.1.11. Дискретна випадкова величина Х має тільки два

можливих значення: x

1

і x

2

, причому x

1

< x

2

. Ймовірність того,

що X прийме значення x

1

, рівна 0,2. Знайти закон розподілу Х,

знаючи, що математичне сподівання M(X) = 2,6 та середнє

квадратичне відхилення рівне 0,8.

Розв’язок.

х

1

< х

2

; р

1

= 0,2; М(Х) = 2,6; σ(Х) = 0,8.

р

2

= ? х

1

= ? х

2

= ?

269

Якщо випадкова величина Х задана своїм законом розпо-

ділу, то

1

=

∑

=

n

i

p , отже, р

2

= 1 – р

1

=1 – 0,2 = 0,8.

Розпишемо вирази М(Х) і D(Х):

6,2)(

2211

=

+

= pxpxXM ;

2222

)8,0()()()()( =−== XMXMXDX

σ

.

Підставивши дані, отримаємо:

⎩

⎨

⎧

=+=+

=+

;4,7)6,2()8,0(8,02,0

;6,28,02,0

222

2

1

21

xx

⎩

⎨

⎧

=+−

−==+

→

,374)413(

;413;134

2

2121

xx

xxxx

або

.033265

2

=−− xx Розв’язавши рівняння, отри-

муємо: х

1

= 3, х

2

= 3.

Розв’язок х

1

= 4,2, х

2

= 2,2 не підходять, оскільки за

умовою задачі х

1

< х

2

.

4.1.12. Є перелік можливих значень дискретної випад-

кової величини Х: x

1

= 1, x

2

= 2, x

3

= 3, а також відомі мате-

матичні сподівання цієї величини і її квадрату: M(X) = 2,3;

M(X

2

) = 5,9.

Знайти ймовірності, що відповідають можливим значен-

ням Х.

Розв’язок.

х

1

= 1; х

2

= 2; х

3

= 3; М(Х) = 2,3; М(Х

2

) = 5,9.

р

1

, р

2

, р

3

– ?

Для знаходження імовірностей складемо систему рівнянь:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++

→

=

∑

=

9,5321

3,2321

1

)(

1

3

2

1

2

321

2

3

1

ppp

XM

p

i

Підставивши дані, отримаємо:

270

−

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=++

1

9,594

3,232

321

ppp

або

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−×

=+

3

3,12

9,483

32

pp

;5,0

2

1

;12

33

=== pp ;3,023,1

32

=

⋅

−

=

pp

.2,0)3,05,0(1

1

=

+−=p

Отже,

;2,0

1

=p ;3,0

2

=

p 5,0

3

=

p .

4.1.13. Розподіл дискретної випадкової величини Х визна-

чається формулами:

{}

)2()1(

4

+×+×

==

kkk

kXP

, k = 1, 2, ...

Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.

Розв’язок.

Задамо даний розподіл таблицею:

х

і

1 2 3 ... к

р

і

)21)(11(1

4

++

321

4

⋅⋅

)22)(12(2

4

++

432

4

⋅

)23)(13(3

4

++

543

4

⋅⋅

...

)2)(1(

4

++ kkk

Математичне сподівання випадкової величини Х обчисли-

мо за формулою:

⎢

⎣

⎡

+

⋅⋅

⋅+

⋅⋅

⋅+

⋅⋅

⋅==

∑

543

1

3

432

1

2

321

1

14)(

ii

pxXM

.

)2()1(

1

43

1

43

1

32

1

4

)2()1(

1

...

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+⋅+

+

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅=

⎥

⎦

⎤

+⋅+⋅

⋅+

kkkkk

k

Розкладемо кожен з доданків

)2()1(

1

+⋅+ kk

на суму

двох дробів:

,

21)2()1(

1

+

=

+⋅+ k

B

k

A

kk

або А(k + 2) +

+ В(k + 1) = 1, отже, (А + В)k + 2А + В = 1, і отримуємо сис-

Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.