Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
251
Розв’язок.
Кількість годин у трьох місяцях з 1 червня по 31 серпня
складає
.22089224
=
⋅=n Це і буде число повторних неза-
лежних випробувань. Імовірність настання події (зіткнення) в
кожному випробуванні (протягом години) рівна р = 0,001,
отже q = 1 – р = 0,999.
Тоді згідно інтегральної теореми Маура-Лапласа імовір-
ність того, що частота події відхилиться від її імовірності в
кожному випробуванні не більше, ніж на ε, рівна:
)
.2
βεε
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=≤−
pq
n
Фp
n
m
P
Користуючись таблицею інтегральної функції, знайдемо
таке t, щоб
2
)(
β
=tФ . Тоді, згідно з формулою, дістанемо:
t
pq
n
=
ε
, звідки
pq
n
t=
ε
.
Згідно умови задачі β=0,9995. Отже,
==
2
)(
β
tФ
49975,0
2
9995,0
== . З таблиць знаходимо t = 3,5, звідки
0023542,0
2208
999,0001,0
5,3 =
⋅
=
ε
.
З нерівності
)
ε
≤− p
n
m
випливає
εε
+≤≤− p
n
m
p
або
)
.()(
ε
ε
+
≤≤− pnmpn
Підставивши необхідні дані, отримаємо межі, в яких зна-
ходиться число настання події m:
)0023542,0001,0(2208)0023542,0001,0(2208
+
≤
≤
− m
або
70 ≤≤ m .
252
3.5.6. У ставок було випущено 100 мічених риб. Невдовзі
після цього із ставка було виловлено 400 риб, серед яких
виявилось 5 мічених. Оцінити загальну кількість риб у ставку
з імовірністю: а) 0,9; б) 0,6.
Розв’язок.
Згідно з інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤−
pq
n
Фp
n
m
P
εε
2
9,0=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤−
ε
p
n
m
P (пункт а) і 6,0=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤−
ε
p
n
m
P
(пункт б).
Тут, m = 5, n = 400,
N
M
p =
, де М = 100, N – шукана
величина.
а) З таблиць інтегральної функції знаходимо значення t =
= 1,645, при якому
45,0
2
9,0
)( ==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
pq
n
ФtФ
ε
. Таким чи-
ном,
pq
400
645,1
ε
=
. Імовірність р відрізняється від частоти
80
1
400
5
==
n
m
на величину
ε
, значення яких поки що не-
відомі, але які можна знайти, розв’язавши квадратне рівняння.
Нехай
,0125,0
80
1
εεε
−=−=−=
n
m
p
тоді −=
−
=
11 pq
εεε
+=+=+− 9875,0
80
79
80
1
і рівняння має вигляд:
400
)9875,0)(0125,0(
εε
ε
+−
⋅= t
або
)975,0012344,0(400
222
εεε
−−= t .
253
Спростивши вираз, отримуємо: +
2
706025,402
ε
,00334903,0638374,2
=
−+
ε
звідки
ε
=0,006403.
Отже,
,006403,00125,0
100
≤−
N
що рівнозначно:
006403,00125,0
100
006403,00125,0 +≤≤−
N
або
018903,0
100
006097,0 ≤≤
N
. Тому значення N знаходиться в
межах:
1640217,5290
≤
≤ N .
Нехай
;0125,0
εε
+=+=
n
m
p .9875,0
ε
−
=
q
Тоді рівняння має вигляд:
;
400
)9875,0)(0125,0(
εε
ε
−+
⋅= t
або
,0033403,0638374,2706025,402
2
=−−
εε
звідки
ε
=0,012955.
Тоді
,012955,00125,0
100
≤−
N
або ≤
−
012955,00125,0
0125,0012955,0
100
+≤≤
N
звідки 3929≥N . Враховуючи
обидві нерівності остаточно отримуємо:
164095290
≤
≤
N .
Аналогічно для пункту б) знаходимо
8418,0
=
t , для
якого
.6,02 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤−
pq
n
Фp
n
m
P
εε
Для
εε
−=−= 0125,0
n
m
p
і
ε
+
=
9875,0q
, рівняння
має вигляд:
,0008747082,06908948,070861,400
2
=−+
εε
звідки
ε
=0,0038889.
254
Тоді ,0038889,00125,0
100
≤−
N
або ≤0086111,0
0163889,0
100
≤≤
N
, звідки .116136102
≤
≤
N
Для
εε
+=+= 0125,0
n
m
p
і
ε
−
=
9875,0q , рівняння
має вигляд:
,000874708,06908948,070861,400
2
=−−
εε
звідки
ε
=0,005613.
Тоді
,005613,00125,0
100
≤−
N
або ≤006887,0
018133,0
100
≤≤
N
, звідки .145215521
≤
≤
N Враховуючи
обидві нерівності, весь діапазон значень N буде такий:
.145215521 ≤≤ N чи .116136102
≤
≤
N
255
Частина ІІ
Випадкові величини
§4. Дискретні випадкові величини і їх числові
характеристики
Випадковою величиною називається величина, яка в ре-
зультаті випробувань може прийняти те чи інше значення,
причому наперед невідомо, яке саме. Випадкові величини по-
значають великими буквами латинського алфавіту, а їх мож-
ливі значення відповідними малими літерами. Наприклад:
Х(х
1
, х
2
, .... х
n
), U(u
1
, u
2
, … u
n
).
Дискретною називають випадкову величину, якщо зна-
чення, які вона може набувати з певними імовірностями, ут-
ворюють тільки скінченну або зчисленну множину. Вона
характеризується значеннями і відповідними імовірностями:
)(
ii
XXPp == .
Неперервною називають випадкову величину, яка може
прийняти всі значення з деякого скінченного чи нескінчен-
ного проміжку.
4.1. Закони розподілу дискретних випадкових вели-
чин. Їх числові характеристики
Законом розподілу дискретної випадкової величини на-
зивають відповідність між можливими значеннями і їх
імовірностями. Його задають таблично, графічно чи аналітич-
но (у виді формул). Сума імовірностей закону розподілу до-
рівнює 1:
1
1
=
∑
=
n
i
i
p або 1
1
=
∑
∞
=
i
i
p , якщо множина можливих
значень дискретної випадкової величини зліченна.
Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо
закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі
значення прийняла друга величина. В протилежному випадку
256
випадкові величини є залежними. Декілька випадкових вели-
чин називаються взаємно незалежними, якщо закони розпо-
ділу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі
значення набула решта величин.
Добутком незалежних випадкових величин Х та Y нази-
вають випадкову величину ХY, можливі значення якої рівні
всеможливим добуткам співмножників Х і
Y. Імовірності цих
добутків рівні добуткам імовірностей відповідних співмнож-
ників. Якщо деякі добутки Х
і
Y
і
рівні між собою, то імовірність
цього добутку рівна сумі імовірностей цих добутків.
Сумою випадкових величин Х і Y називають випадкову
величину Х + Y, можливі значення якої рівні всеможливим су-
мам з доданків Х та Y. Імовірності цих сум рівні добуткам
імовірностей доданків; для залежних величин – добуткам імо-
вірностей одного доданку на
умовну імовірність другого,
якщо деякі суми рівні між собою, то імовірність такої суми
рівна сумі відповідних імовірностей доданків.
Математичним сподіванням дискретної випадкової ве-
личини називають суму добутків всіх її можливих значень на
їх імовірності:
∑
=
=+++=
n
i
iinn
pxpxpxpxXM
1
2211
...)( (4.1.1).
Якщо дискретна випадкова величина Х приймає зліченну
множину можливих значень, то
∑
∞
=
=
1
)(
i
ii
pxXM при умові,
що ряд збігається абсолютно. Математичне сподівання при-
близно рівне середньому арифметичному спостережних зна-
чень випадкової величини:
XXM ≈)( .
Властивості математичного сподівання:
1. Математичне сподівання сталої величини є сама ця
стала: М(С) = С.
2. Сталий множник можна виносити за знак математич-
ного сподівання: М(СХ) = СМ(Х).
257
3. Математичне сподівання добутку двох незалежних ви-
падкових величин дорівнює добутку їх математичних споді-
вань: M(XY) = M(X)M(Y).
Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох
взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх
математичних сподівань: M(XYZ…U) = M(X)M(Y)M(Z)…M(U).
4. Математичне сподівання суми двох випадкових
величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: M(X + Y) =
= M(X) + M(Y).
Наслідок 1. Математичне сподівання суми скінченного
числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних
сподівань:
)(...)()()...(
2121 nn
XMXMXMXXXM
+
+
=
+
++ .
Наслідок 2. Математичне сподівання різниці двох випад-
кових величин дорівнює різниці їх математичних сподівань:
M(X – Y) = M(X) – M(Y).
Для визначення міри розсіяння (розкиданості) значень
випадкової величини навколо її математичного сподівання
вводять поняття дисперсії.
Дисперсією D(X) випадкової величини Х називають мате-
матичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від
її
математичного сподівання М(Х):
[
]
2
)()( XMXMXD −=
(4.1.2).
Використання властивостей математичного сподівання
приводить до розрахункової формули для обчислення
дисперсії:
[
]
(
)
2
2
2
2
)()()(
iiii
pxpxXMXMXD
∑
∑
−=−= (4.1.3).
Дисперсія має розмірність квадратних одиниць вимірю-
ваної величини. Щоб отримати розмірність міри розсіювання
в одиницях вимірюваної величини розглядають квадратний
корінь з дисперсії
)()( XDX =
σ
(4.1.4), який називають
середнім квадратичним відхиленням, або стандартом.
Властивості дисперсії:
1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна:
0)( ≥XD
.
258
Наслідок. Для будь-якої випадкової величини
)())((
22
XMXM ≤ .
2. Дисперсія сталої дорівнює нулю: D(C) = 0.
3. Сталий множник можна винести за знак дисперсії, під-
нісши його до квадрату: D(CX) = C
2
D(X).
4. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин
дорівнює сумі їх дисперсій: D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Наслідок 1. Дисперсія суми попарно незалежних випад-
кових величин Х
1
, Х
2
, ... Х
n
незалежних у сукупності, дорівнює
сумі їх дисперсій: D(X
1
+ X
2
+ … + X
n
) = D(X
1
) + D(X
2
) + … +
+ D(X
n
).
Наслідок 2. Дисперсія суми постійної величини і випад-
кової дорівнює дисперсії випадкової величини: D(C + X) =
= D(X).
5. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових вели-
чин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X – Y) = D(X) + D(Y).
Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми скінчен-
ного числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює
квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних
відхилень цих величин:
)(...)()()...(
2
2
2
1
2
21 nn
XXXXXX
σσσσ
+++=+++
(4.1.5).
Якщо декілька випадкових величин мають однакові
розподіли, то їх числові характеристики (математичне
сподівання, дисперсія, і т. д.) однакові.
1. Математичне сподівання середнього однаково розподі-
лених взаємнонезалежних випадкових величин дорівнює ма-
тематичному сподіванню а кожної з величин:
aXM =)( .
Дисперсія середнього арифметичного n однаково розподі-
лених взаємно незалежних випадкових величин в n раз менше
дисперсії D(X
і
) кожної з величин:
n
XD
XD
i
)(
)( =
(4.1.6).
259
Задачі
4.1.1. Довести: а) M(Y) = aM(X) + b, якщо Y = aX + b; б)
M(Y) = a
1
M(x
1
) + ... + a
n
M(x
n
) + b, якщо Y = a
1
x
1
+ ... + a
n
x
n
+b.
Розв’язок.
а) Нехай Y = ах + b, тоді М(Y) = М(ах + b) = М(ах) +
+ М(b) = аМ(х) + b.
б)
bxaxaaxY
nn
+
+
+
+= ...
221
, тоді
+
+
=
+
+
+= )()()......()(
22112211
xaMxaMbxaxaxaMYM
nn
.)(...)...()()()(...
2211
bxMaxMaxMabMxaM
nnnn
+
+
+
=
+++
Тут використано такі властивості математичного споді-
вання: 1) математичне сподівання суми дорівнює сумі мате-
матичних сподівань; 2) сталий множник виноситься за знак
математичного сподівання; 3) математичне сподівання сталої
рівне сталій.
4.1.2. Знайти математичне сподівання і середнє квадра-
тичне відхилення випадкової величини Z, якщо відомо, що X і
Y – незалежні дискретні випадкові величини, і
Z = 4X – 7Y –
100; M(X) = 5; M(Y) = 6; D(X) = 2; D(Y) = 1.
Розв’язок.
=−
+
−
+
=
−
−
= )100()7()4()10074()( MYMXMYXMZM
.100)(7)(4
−
−= YMXM
Тут використано такі властивості математичного споді-
вання:
)(...)()()...( UMYMXMUYXM
+
+
=
++ ;
)()( XCMCXM = ; CCM
=
)( .
Підставивши числові дані, отримаємо:
1221006754)(
−
=
−
⋅
−⋅=ZM .
=
−
+
−
+
=
−
−
= )100()7()4()10074()( DYDXDYXDZD
.811492160)()7()(4
22
=⋅+⋅=+−+= YDXD
Отже,
981)()( === ZDZ
σ
.
260
Тут використано такі властивості дисперсії:
)(...)()()...( UDYDXDUYXD
+
+
=
++ ;
)()(
2
XDCCXD = ; 0)(
=
CD .
4.1.3. Вивести формулу математичного сподівання частки
двох незалежних випадкових величин Х і Y:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Y
X
M .
Розв’язок.
Нехай задані розподіли випадкових величин Х і Y. Для
простоти доведення обмежимось трьома їхніми значеннями.
Тоді розподіл
Y
X
буде мати вигляд:
Y
X
Z =
1
1
y
x
2
1
y
x
3
1
y
x
1
2
y
x
2
2
y
x
3
2
y
x
1
3
y
x
2
3
y
x
3
3
y
x
PG p
1
g
1
p
1
g
2
p
1
g
3
р
2
g
1
р
2
g
2
р
2
g
3
р
3
g
1
р
3
g
2
р
3
g
3
Обчислимо математичне сподівання Z:
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
22
2
2
12
1
2
31
3
1
21
2
1
11
1
1
)( gp
y
x
gp
y
x
gp
y
x
gp
y
x
gp
y
x
ZM
=⋅+⋅+⋅+⋅+
33
3
3
23
2
3
13
1
3
32
3
2
gp
y
x
gp
y
x
gp
y
x
gp
y
x
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
2
332211
2
1
332211
1
y
pxpxpx
g
y
pxpxpx
g
=++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
3
3
2
2
1
1
3
332211
3
)()()(
y
xM
g
y
xM
g
y
xM
g
y
pxpxpx
g
.
1
)(
111
)(
3
3
2
2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅+⋅=
Y
MXMg
y
g
y
g
y
xM
Х х
1
х
2
х
3
Y у
1
у
2
у
3
Р р
2
р
2
р
3
Gg
1
g
2
g
3