Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
211
Граничні теореми для схеми Бернуллі.
Якщо n достатньо велике, то користуватися формулою
Бернуллі досить складно, оскільки формула потребує вико-
нання дій над величезними числами, використання ж таблиць
логарифмів факторіалів дає високу похибку. Тому для до-
статньо великих n використовують зручні наближені (асимп-
тотичні) формули, які дають малі відносні похибки вимі-
рювань
.
3.2. Формула Пуассона
Якщо n достатньо велике, а імовірність p події настільки
мала, що число np невелике (звичайно
1,0
≤
p ; 10
≤
npq ),
тобто для подій, що рідко трапляються, використовують
асимптотичну формулу Пуассона.
Теорема. Якщо імовірність p появи події А в кожному
випробуванні при необмеженому збільшенні числа випро-
бувань n змінюється таким чином, що
λ
=
np ,
=
λ
const, то
імовірність того, що деяка подія А з’явиться k разів в n випро-
буваннях обчислюється за формулою
λ
λ
−
= e
k
kP
k
n
!
)(
(3.2.1).
Для використання формули Пуассона немає необхідності
знати окремо числа n і p, а лише їх добуток
np
=
λ
.
Найпростіший потік подій.
Потоком подій називається послідовність подій, які
наступають в випадкові моменти часу. Найпростішим (пуас-
сонівським) називають потік подій, який має такі властивості:
а) стаціонарності; б) відсутності післядії; в) ординарності.
Інтенсивністю потоку
λ
називають середнє число по-
дій, які з’являються за одиницю часу. Імовірність появи k по-
дій найпростішого потоку за час тривалістю t визначається
формулою Пуассона:
212
t
k
t
e
k
t
kP
λ
λ
−
=
!
)(
)( , (3.2.2)
яка відображає всі властивості найпростішого потоку.
Задачі
3.2.1. Ймовірність попадання в ціль при кожному пострілі
рівна 0,001.
Знайти ймовірність попадання в ціль двох і більше куль,
якщо число пострілів рівне 5000.
Розв’язок.
Нехай подія А полягає у попаданні в ціль двох і більше
куль:
2≥k . Протилежною подією A до даної є 1
≤
k . Отже,
1)1()2(
=
≤+≥ kPkP
nn
.
Звідси,
+
=
−
=
≤
−
=
≥
=
)0([1)1(1)2()( kPkPkPAP
nnn
)]1( =+ kP
n
.
Оскільки n = 5000 велике, а
1,0001,0
<
<
=
p – мала, і
105001,05000
<
=
⋅== np
λ
, кожну імовірність )0(
=
kP
n
і
)1( =kP
n
обчислимо за формулою Пуассона: =)0(
5000
P
55
0
!0
5
−−
== ee ;
55
1
5000
5
!1
5
)1(
−−
== eeP . Отже, −=1)(AP
9596,061)5(
555
=−=+−
−−−
eee .
3.2.2. На телефонну станцію протягом години поступає n
викликів. Ймовірність появи виклику протягом будь-якого ін-
тервалу часу, тривалість якого менша години, залежить лише
від довжини цього інтервалу, пропорційна їй і не залежить від
початку інтервалу.
Вважаючи виклики незалежними, знайти ймовірність то-
го, що протягом проміжку часу t (менше години
) станція
отримала рівно m викликів.
213
Розв’язок.
nt
mtm
t
e
m
nt
m
et
mP
−
−
==
!
)(
!
)(
)(
λ
λ
, причому t виражено в го-
динах.
3.2.3. При роботі деякого приладу в випадкові моменти
часу виникають неполадки. Потік неполадок можна вважати
простим. Середнє число неполадок за добу рівне двом.
Потрібно визначити ймовірність того, що:
а) за дві доби не буде жодної неполадки;
б) за добу виникне хоча б одна неполадка
;
в) за тиждень роботи приладу виникне не більше трьох
неполадок.
Розв’язок.
Використаємо формулу наведену в задачі 3.2.2.. для λ = 2.
а) t = 2; m = 0;
0183,0
!0
)22(
)0(
4
220
2
==
⋅
=
−
⋅−
e
e
P .
б)
1;1)1()0(
=
=
≥
+
= tmPmP
tt
, звідки
=
⋅
−=−==−=≥
⋅−
!0
)12(
1)0(1)0(1)1(
120
111
e
PmPmP
8647,01353,01 =−= .
в)
+=+++=≤
−
!0
)14(
)3()2()1()0()3(
140
77777
e
PPPPmP
000474,0
!3
)14(
!2
)14(
!1
)14(
143142141
≈+++
−−−
eee
.
3.2.4. Середня густина хвороботворних мікробів в одному
кубічному метрі повітря рівна 100. Береться на пробу 2 дм
3
.
повітря.
214
Знайти ймовірність того, що в ньому буде виявлено хоча
б один мікроб.
Розв’язок.
І спосіб. Ймовірність того, що в 1 дм
3
повітря знаходиться
мікроб рівна
1,0
1000
100
==p . Тоді ймовірність події А – “в 2
дм
3
знаходиться хоч би 1 мікроб” з використанням формули
Бернулі рівна:
−=−=−=−=≥=
−
111)0(1)1()(
20200
22
qqpCPkPAP
n
19,09,01)1(
22
=−=−− p .
ІІ спосіб. Згідно формули Пуассона, оскільки
=
λ
2,01,02 =⋅=⋅= pn :
−=−=−=−=≥=
−−
11
!0
1)0(1)1()(
2,0
0
22
eePkPAP
λ
λ
1813,08187,0 =− .
Незважаючи на те, що наближена формула Пуассона
використовується тоді, коли n велике і
1,0
≤
p , порівняння
результату обчисленого за нею і за формулою Бернуллі дає
непогане наближення.
3.2.5. В радіоапаратурі за 10000 годин роботи замінюють
десять ламп. Потрібно:
а) підрахувати ймовірність того, що радіоапаратура не
вийде з ладу за 1000 годин безперервної роботи;
б) визначити збільшення надійності радіоапаратури при
наявності трьох дублюючих ланцюгів.
Розв’язок.
Ймовірність виходу
з ладу радіоапаратури протягом годи-
ни рівна
001,0
10000
10
==p
. Ця імовірність дуже мала.
Перевіримо, чи для розв’язку можна використати теорему
Пуассона. Обчислимо λ = np = 1000
.
0,001 = 1 < 10, (тут взято
215
n = 1000, оскільки використовуються 1000 годин). Отже,
формулу Пуассона використовувати можна.
а) Отже, імовірність того, що в n = 1000 випробуваннях
радіоапаратура не вийде з ладу (k = 0) – подія А, згідно фор-
мули Пуассона рівна:
36788,0
1
1
!0
)0(
1
0
1000
===
−−
eeP
λ
λ
.
Отже, імовірність безперервної роботи радіоапаратури за
1000 годин рівна
36788,0)0(
1000
=
=
Pp .
Надійність або імовірність безперервної роботи радіоапа-
ратури – подія А, при наявності трьох дублюючих ланцюгів
рівна сумі імовірностей трьох несумісних подій:
=)( AP
)3()2()1(
333
PPP ++= , де Р
3
(1) – імовірність того, що з трьох
ланцюгів працює лише один, Р
3
(2) – імовірність того, що з
трьох ланцюгів працюють лише два, Р
3
(3) – імовірність того,
що з трьох ланцюгів працюють усі три. Дані імовірності
обчислимо згідно формули Бернуллі, де n = 3, р = 0,36788, q =
= 1 – p = 0,63212;
.04979,036788,0)3(
;256645,063212,036788,03)2(
;44099,063212,036788,03)1(
3033
33
22322
33
21311
33
===
=⋅⋅==
=⋅⋅==
−
−
qpCP
qpCP
qpCP
Остаточно, Р(А) = 0,44099 + 0,256645 + 0,04979 = 0,74743.
Таким чином, збільшення надійності радіоапаратури при
наявності трьох дублюючих ланцюгів рівне ΔР = 0,74743 –
– 0,36788 = 0,37955.
3.2.6. Яка ймовірність того, що в групі з 40 студентів ні-
хто не народився в травні? Обчислити цю імовірність за точ-
ною формулою і за наближеною формулою Пуассона.
Розв’язок.
Позначимо через А подію – “ніхто
не народився в травні”.
Ймовірність того, що будь-хто народиться в травні становить
216
12
1
=p
(12 – кількість місяців). Отже, ймовірність того, що
студент не народиться в травні рівна
12
11
12
1
11 =−=−= pq
.
Для обчислення P(A) використаємо точну формулу
Бернулі для n = 40, k = 0:
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
===
−
40400
0
40
12
11
12
11
12
1
)()( CqpCAPAP
knkk
n
k
n
.0128994726,0=
Оскільки
1,0083333,0
12
1
<==p
, а ×
=
⋅
=
40pn
λ
10333,3083333,0
<
=× , то можна скористатись наближеною
формулою Пуассона:
=====
−−− 333,3333,3
0
!0
333,3
!
)()( eee
k
APAP
k
k
n
λ
λ
.0356733949,0=
Як видно з розрахунків, результати відрізняються із-за
недостатньо великого числа n для формули Пуассона.
3.2.7. Ймовірність настання деякої події А в кожному
випробуванні постійна і дорівнює p = 0,001.
Знайти ймовірність настання цієї події m разів (m = 4) при
100 випробуваннях. Обчислення виконати з точністю до
0,0001 за формулами Бернуллі та Пуассона. Результати порів-
няти.
Розв’язок.
За умовою задачі n = 100; m = 4; p = 0,001 << 0,1. Необ-
хідно обчислити
)4(
100
P . Дану імовірність обчислимо за:
а) точною формулою Бернуллі:
×=
44
100100
)001,0()4( CP
000003562,0)999,0(
96
=× .
217
б) за наближеною формулою Пуассона, оскільки число
випробувань n = 100 достатньо велике,
,1,0
<
<p =
=
np
λ
101,0001,0100 <=⋅=
.
00000377,0
4321
0001,0
!4
)1,0(
)4(
1,0
1,04
100
≈
⋅⋅⋅
==
−
−
e
e
P .
Як видно з обчислень, при n = 100 обидві формули дають
практично один і той же результат P = 0,000004.
3.2.8. При розриві балону під час випробування на міц-
ність утворилось 600 осколків, що рівномірно розподілились
в області, площа якої 200 м
2
. Всередині цієї області навмання
вибирається підобласть площею 0,5 м
2
. Визначити імовірність
попадання в вибрану область не менше чотирьох осколків.
Розв’язок.
Імовірність попадання кожного осколка в підобласть
рівна
10025,0
200
5,0
2
2
<<==
м
м
p
, тобто дуже мала. Отже, має-
мо повторні незалежні випробування, імовірність настання
події в яких дуже мала. Випробовується n = 600 осколків на
можливість попадання в дану підобласть, причому n велике.
В задачі необхідно обчислити
)4(
600
≥kP . Події )4( ≥k
і
)4( <k є протилежними, тому 1)4()4(
600600
=
<
+
≥ kPkP ,
звідки
)4(1)4(
600600
<
−
=
≥ kPkP . Подія )4(
<
k є сумою
несумісних подій:
)3()2()1()0()4( =
+
=
+
=
+
=
=
<
kkkkk
.
Отже,
)3()2()1()0()4( =
+
=
+
=
+
=
=< kPkPkPkPkP
,
де кожний з доданків обчислюється за формулою Пуассона,
оскільки
105210,10025,0600
<
=
⋅
== np
λ
.
λ
λ
−
= e
k
AP
k
k
n
!
)(
, де λ=1,5;
22313,0
!0
)5,1(
)0(
5,1
0
600
≈=
−
eP ;
218
3347,0
!1
)5,1(
)1(
5,1
1
600
==
−
eP ;
2510,0
21
)5,1(
)2(
5,1
2
600
=
⋅
=
−
eP ;
12551,0
321
)5,1(
)3(
5,1
3
600
=
⋅⋅
=
−
eP .
Таким чином,
[
]
−
=
+
+
+
−
=≥ 1)3()2()1()0(1)4(
600
PPPPkP
.0657,09343,01)12551,02510,03347,022313,0(
=
−
=
+
+
+−
3.2.9. Скільки талановитих студентів повинно навчатись в
магістратурі, якщо імовірність мати хоч би одного талано-
витого студента в магістратурі, є не меншою 0,995?
Розв’язок.
Використаємо теорему про суму імовірностей протилеж-
них подій:
1)1()0(
=
≥+= kPkP
nn
, звідки −=≥
=
1)1()( kPAP
n
)0( =− kP
n
.
Оскільки наявність таланту у людини є досить рідкісною
подією, для обчислення
)0(
=
kP
n
скористуємось формулою
Пуассона:
λλ
λ
−−
== eeP
n
!0
)0(
0
, де λ = np –середнє число
появ події в n випробуваннях.
Отже,
995,01)(
-
≥−=
λ
eAP за умовою задачі, звідси
005,0995,01
-
=−≤
λ
e або 200≥
λ
e . Прологарифмувавши
вираз, отримуємо,
298,5≥
λ
і оскільки число студентів є
цілим числом, то
5≥
λ
.
219
3.2.10. Довести, що для найпростішого потоку подій
1
)1(
)1(
lim
0
=
=
≥
→
kp
kp
t
.
Розв’язок.
Використаємо теорему про суму імовірностей про-
тилежних подій:
1)1()0(
=
≥
+
=
kPkP
tt
. Тоді
=
=
=−
=
=
≥
→→
*
)1(
)0(1
lim
)1(
)1(
lim
00
kP
kP
kP
kP
t
tt
Підставимо формулу
!
)(
)(
k
et
kP
tk
t
λ
λ
−
=
*
=
−
=
−
=
−
−
→
−
−
→
t
t
t
t
t
t
te
e
et
et
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
)1(
lim
!1
)(
!0
)(
1
lim
0
1
0
0
**
Домножимо чисельник і знаменник на
t
e
λ
***
)1(
lim**
0
=
−
=
−
−
→
t
t
t
te
e
λ
λ
λ
Для знаходження границі використаємо правило Лопіталя
.1limlim***
0
00
====
→→
ee
e
t
t
t
t
λ
λ
λ
λ
3.2.11. Штучний супутник Землі, який рухається по своїй
орбіті протягом n діб, може випадково зіткнутися з метео-
ритами. Середнє число метеоритів, які стикаються з супутни-
ком протягом доби, рівне . Метеорит, що зіткнувся з супут-
ником, пробиває його оболонку з ймовірністю р
0
. Метеорит,
що пробив оболонку супутника з ймовірністю р
1
, виводить з
ладу апаратуру супутника.
Знайти ймовірність того, що:
а) за час польоту супутника його оболонку буде пробито;
б) за час польоту його апаратура буде виведена з ладу;
в) оболонка супутника пробита, а апаратура буде діяти.
220
Розв’язок.
Зіткнення метеоритів з супутником Землі утворюють
пуассонівський потік подій. Тому число подій, що попадає в
будь-який інтервал часу
),(
00
τ
+
tt , розподілене за законом
Пуассона:
a
k
k
e
k
a
P
−
=
!
, де а – математичне сподівання числа подій,
що попадають в інтервал часу. Будемо вважати потік еле-
ментарним, оскільки в задачі не задана щільність потоку
зіткнень, а лише її середнє число.
Математичне сподівання числа метеоритів, що стикаю-
ться з супутником протягом n діб, рівне
na
λ
=
; математичне
сподівання числа метеоритів, що пробивають оболонку рівне
00
npa
λ
= ; математичне сподівання числа метеоритів, що
пробивають оболонку і виводять апаратуру з ладу рівне
101
ppna ⋅⋅=
λ
.
Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що за час
польоту супутника його оболонку буде пробито; В – апара-
тура буде виведена з ладу; С – оболонка супутника пробита, а
апаратура буде діяти.
Число наступання подій (зіткнень) може бути k = 0,1,2,…
Події (k = 0) і (k
≥ 1) – протилежні, тому Р(k = 0) +
+ Р(k
≥ 1) = 1, звідки Р(k ≥ 1) = 1 – Р(k = 0), де Р(k = 0)
обчислюється за формулою Пуассона.
Отже, а)
;1
!0
1)(
00
0
0
npa
ee
a
AP
λ
−−
−=−=
б)
.1
!0
1)(
10
1
0
1
pnp
a
ee
a
AP
λ
−
−
−=−=
в) Подія А рівна сумі двох несумісних подій В і С: А =
= В + С, тому Р(А) = Р(В + С)=Р(В) + Р(С), звідки
=)(CP
.)1(1)()(
010100
nppnppnpnp
eeeeBPAP
λλλλ
−−−−
−=−−−=−=