Капутин Ю.Е., Ежов А.И., Хейнли С. Геостатистика в горно-геологической практике
Подождите немного. Документ загружается.
Спектральная
плотность
дисперсии
может
быть
выражена
через
коварнационную
(автокоррелsщионную)
Функцию:
Sk
=ft-[,K
(h)COSWkhdh
, (3.31).
Этим,
с
учетоr.-t
(3.8),
опредеmIетсн
соотношение
спектра
с
вариограммоЙ.
В
свою
очередь,
ковариационная
ФУНКЦЮl
следующим
образом
.6ыражается
через
спектр:
K(h) = 2
L~
=
,
S k
COS
Wk
h (3.32).
Все
три
характеристики
обладают
одинаковой
информативностью,
поэтому
для
анализа
пространственноН
изменчивости
геологической
переменной
достаточно
располагать
ОДНОЙ
из
HIIX.
Различие
этих
характеристик,
прежде
всего,
спектра,
с
одной
стороны,
и
ковариационной
функции
и
вариограммы,
\:
другой,
заключается
в
том,
что
последние
две
характеристики
обеспечивают
более
наглядную
геомеТРИ'lескую
интерпретацию
свойств
простран(
,'
твенной
переменной
.
Это
обеспечило
доминирующее
значение
ковариационной
Функции
и
вариограммы
в
рпзвитии
технологии
применения
геостатистики
для
решенин
практических
задач
.
При
~TO
В
И:iJlОжении
теории
геостатистики
Ж.Матерон
использует
спектральное
представление
пространственной
переменной
(2].
А.М.МаРГОЛIfН,
в
свою
очередь,
подчеркивает,
что
"все
выводы
и
'
результаты
ВЫГЛЯДЯТ
значн,:
'
еЛhНО
проще,
если
их
строить
на
спектральном
анализе"
114]
.
Тем
H~
менее,
в
послесловии
к
монографии
Ж.Матерона
[2J
А.М.М:lРГОЛИН
констатирует
наличие
IlрелSlТСТВИЙ
применению
спектрмьного
анализа,
которые
возникают
при
реГУЛЯРИ:.lации
пространственной
пtрсменной,
а
в
другой
своей
работе
115/
отмс'шет
недостатки
выБОРО'lноr
'
о
спектра
как
статистики,
использовпние
к
о
торой
могло
бы
быть
основоН
для
геостатнстической
оценки
геологическнх
объектов.
Кроме
тоге,
В
историческом
fUшне
(В
начальный
период
ПРl1МtНСНИJI
геостuтистики
ДJ1Я
решения
геологора
:
шеДО'lНЫХ
зnдач)
как
преП$lТСТDие
внедрению
спектрального
анализа
немаловажное
:
mачеЮlе
имела
трудоемкость
раС"lетов,
которан
8
на
С
ТОSlщее
пр
мя
уже
пр
одол
е
на
широким
распространеllи
е
м
бысТ(юдействующих
э
леКТРОННО
-
Бычислительных
машин,
позволнющих
обраб<lТhlШ1ТЬ
болыuие
массивы
данных
с
t1ЫСОКОЙ
скоро
с
тью
.
3.7.
К1JИГИНI
'
,
общая
характеРИСТilка.
Предпосылкой
развития
геостаТИСТИ'lескнх
метопоо
послужило
расхождение
между
исключительными
по
веЛИ'Н1не
(прежде
всего
высокими) содержаниnми
МIIО
Г
ИХ
м
eT:lJ1J
10
В
,
особенно
блаl
'
ОРОДНЫХ,
в
разnедочных
пробах
и
в
реально
И
З
ВJlекnемых
объемах
руд
.
В
проце
се
р
а
зработки
месторождений
обычно
у
с
танавливаеТС>l
,
'11'0
блоки,
оценивпемые
как
богатые
,
ока
з
ывают
с я
на
самом
деле
беднее
и
наоборот
-
бедные
по
раЗlJедочным
данным
блоки
фактически
характери
з
уются
боле
,
высокими
содержаниями
полезных
компон
е
нтов
.
АН:l11ИЗI1Р
У
Я
Э1У
проблему,
д.
Криге
15/
нашел
объяснение
в
том,
что
богатые
пер
есе(
lеНЮf
рудны
тел
(которы
обваружнваютсн
50
разведочными
nt
:
рссе'Jениями
э
тих
тел)
за
лределю.
ш
р
'
НlеЩ)'JНЫХ
Dыработок
обычно
окружены
руд(\ми
более
низкого
сод
еРЖ'\J·
iI
Н
,
тогд
а
к(\
к
DБЛI1
_
И
б~J.lIIЫХ
или
ЗDбмансовых
проб
MOfYJ
'
б
ыть
С
КОlщеНТ
р
llр
Ba
llbl
с
копленин
более
богатых
ПРОМLIUUl
с
ННЫХ
руд.
И
зу
ч
tlSl
З
ОЛОТОРУДllые
м
торождеНИJl
ЮЖНОЙ
Африки,
Д
.
К
р
игt:
ДТН'
У1
'
О
ЧНй
IИ
~
1
х а
раКТ
"
СНl~ТI1К
добыв,
емых
руд
прим
еНI1JI
р
сг
ре
сс
нOIШЫЙ
uнuлиз
If
осно
ваНl\ые
на
н
ем
поправочные
КО
Э
ффllLщ
е
ll
ТЫ
к
р
езу
льтаТ:1М
Рtl
:
ID
С
ДКИ
.
Эrо,
U
KOHc
'IIIOM
С"С'I'е
IIривело
к
созданию
одного
I1З
на
более
э
ффеКТИ1
J
НЫХ
методо
в
геОСТn
ТНС1ИКИ
-
кригинга
(который
н
Jlите
).пуре
по
гео
стнтистикс
на
русском
нзыке
известен
как
к
р
нгинг)
.
КРИrJIlI
-
это
метод
нахожденин
наилучшей
ощ
:
н
кн
CpG)1IH~I
'
O
З
Н:\lIСНИЯ
пространстненной
пере
менной
.
(содержанин
КОМIЮНсН
08
,
МОЩI-Ю
СТ
II
т
Ш\
11
ле
ЗIiОГО
ископа
мого
и
т,д,)
В
блоке
С
Н
С
ПОJ1ь
:
юванн
е
м
р
езульта
08
о
11
робmННIЮI
как
DНУ1
'
РИ,
так
и
вне
оценива
е
мог
о блока;
эти
ре
з
у
mm
lТЫ У'IИТЫIШ
ЮТС)J
с
в
ес
ами
,
обеспечивающ
ими
М
Н
ЮНJУМ
дисп~р
ШI
с
р
ед
н
г
о
зtшчеНIIJI
.
Кригинг
реализуетсSl
раЗJlИ
Ч
НЫМИ
способами
в
зав
исимости
от
сис
'
ем
разведки
ме(.,'Торожд
ениЙ
полезных
(как
дискретныil
,
-
в
том
числе,
случай
ный
-
IIЛИ
неllрерывны
й)
и
в
заВИСЮ.toС1
и
от
приеМОD
представления
разведо'шых
д
а
нны
х
и
онкретных
врименле
мых
математических
методов;
в
этом
отношении
существует
большое
(и
постоянно
раСШИРIfющееся)
разнообрази~
рt;aJl1IзаШIЙ
IфllГl1llга
:
ЛШJеЙllыii,
логнормnльный
,
ДИЗЪЮНКТI1RНЫЙ,
индикаторный,
ф
~
КТОРIIЫЙ,
универсальный
.
Диск
ре
Т
НЫ~J
(НJШ
ТОL
I
СЧНЫЙ)
кригинг
-
это
КРНГllНГ,
р
еа
ЛН
:
1у
е
мый
111JИ
ИН
'I'С
РП
ОJ\Я
ЦIШ
v,меющихсн
разведо'IНЫХ
данных
в
за
.L
ЩНIII
,
е
,очки
те
л
ПОJ\СЗIIЫХ
ископаемых
(в
точки
геомеl'РИ'lеско
о
П
ОJl
Я
лрос
т
раН
СТI3I:ННОЙ
нсрем
е
ююЙ).
Целесообра
з
ность
Ilpi1m
r-НtНI1
J1
дискре
но
о
кригингu
n
о
зникаст
как
на
стаДИI1
р
азведк
и,
н
аП
РII
ме
р,
при
ВЫ
JlВJl
нии
участков
промышленноr
'
О
ОРУДененин
в
nЛС1стообралюй
з
[
шежи,
р\!збуренной
скважинами
110
ре
У
JlН:Р
НОИ
'е
l'И,
так
и
на
ст"щин
эк.;
плуатации,
когда
10
данным
опробон
ани.я
В
1РЫ8НЫ
Х
СКfШ
ин
ре!
1
<1
1
тся
вопросы
ССJ1еКТ
IШIIO
Й
отр:\БОТКIf
npOMt
,lUlJ1C
HHbIX
участко
в
РУ
ДНЫл
ел
.
Если
р
у
,
lJное
т
е
ло
jJа
'
Jбур
е
но по
К8мратной
сети
,
то
пр()б
llема
КРИГИНf'а
состоит
D
опр
еде
леНIIИ
песо
!!,
KOTopblt:
ДОJlЖН
Ы
быть
ЩJИI111С[\IIt.1
ЗН:I
'IСНИSlМ
Ilро
с
трnн
ст
nеlll
ЮЙ
Ilеременltой
в
цeHТI
ilJJЫ
'
ЮЙ
СКlЩЖ
lI
не
А,
БJJижаiiшнх
окружающи
х
ес:
скваЖllllCiХ
81.8
L
,8
з
18
11
~
скважинах
RТ
ОРОИ
оfirаМJ1нющеЙ
:
юны
С
1
,
С
2 ,
С
J ,
С
J1Л
Я
I
ЮЛУ'iеНЮI
НОll
лу
чшей
ОНй
lКИ
среднее
'
о
ЗIН
I'ItНИЯ
l1ерем
е
НIiОЙ
t!
З
Оt-It:
НJIIIНIIЮI
С
'
ВflЖIfНL1
А
(рн
.
З
.
8).
До
ст
аТО'ltю
ОГР[IJ
-
НJlIН
ься
Y'I
C
ом
ТОШ
.КО
ДОУХ
ближаЙllIIlХ
к
оцешша
е
мому
блоку
(
зо
в
е
Ш
IЮIIНШ
Сi(uа.Ж
НlII
,
1
А)
о р еолов,
11
с
",)лЬ
У
I
БОJlЫllинстве
Сl1уч
а
u
IIСПОЛ
Ь
'
ЮОiННlе
даШiЫ
л
I1tl
БОJJ е
УДШН:Н
II
ЫМ
КН:-IЖИН
.
м
не
прино
и
I
'
j:\мет,юго
Уl
'
О'/l
l
еIll1И
Ш
';
tI
IUI
.
bJ
--
--_
..
СI
81
С2
•
•
j
I
,
I
I
В4-
............
Т
82
I
I
I
I
I
I
!
I i
.
..
....
• •
С4
В3
С3
Рис.З.8.
Схема
ра
зме
щения
скважltн
11
регулярной
сети
.
Если
u -
значение
nepeMeHHOv.
в
цен
т
ральной
скважине
А,
v -
среднее
значение
переменной
.
во
всех
имеющихся
скважин
а
х
ореола
В,
w -
среднее
значение
перем.енноЙ
n
сквпжннах
ореола
С
•
а
q = :
где
Ь
-
МОЩНОСТЬ
те
J
Щ
полеЗНОl
'
О
ископаемого
и
d
-шаг
развеДОЧIЮЙ
сети,
то
среднее
Ш1'lение
переменной
Z
в
оцениваемом
блоке
рассчитывается
по
следующей
формуле
кригинга:
Z·
=(1-л.-~)u+л.V+~tW
.
(3
.33)
Асимптотические
формулы
коэффициентов
КРlIгинга
л.,
~
при
использовании
логарифмич
еско
й
мод
е
ЛIf
вариограммы
ПРОСl'ранственной
переменной
(модели
де
8ийса)
для
случая,
KOrдa
имеются
как
центральная,
'
Н1К
и
все
скважины
обоих
окружающих
ее
ореолов,
при
малых
значениях
q
имеют
вид
:
Л.
=
(0,4277
-
I.'~Ю5173
-
0
25I
nq
).
0
.
9
1
21
-
1.4739Inq+О
.
56In
2
q
•
Jl-
(0.42П
-
II!ф
(
0
.
084
-
0
.
2Б
Ш.!L
- 0.9121- 1.4
7З9Inq
~О
.
5f)
111
2
q'
а
для
больших
q:
л.
= 0.407;
~1
= 0.017.
ДиспеРСЮI
КРИl'инга
o~
состамнет
в
первом
случае
i;:(j~
=0.1777
-18
q-(
л.-
~)(О.4277-1нq
.
и
во
втором
(3
.34)
(3
.35)
(3.36)
*o~
=
О
.311 : (3.37)
(0.)-
параметр
логарифмической
модtли,
Т.е.
танг
енс
угла
наклона
прямой,
аппроксимирующей
э
к
с
периментальную
варио
гра
м
му
при
значениях
аргумента,
выраженных
JlогариQJмами)
.
В
свя
з
и
с
фактич
еск
ой
н
е
равном
е
рностью
ра
зведоч
ной
с е
ти
)К
MaT~pOHOM
рассчитаны
асимm'отические
форму
л
ы
коэффициентов
дискретного
кригинга
8
условиSJХ
JlогарифМИ'lескои
модели
вариограммы
Д11я
всех
возможных
вариантов
наличия
скважин,
используемых
D
оценке
центрального
блока,
вклю
чая
и
такие
5 2
варианты,
ко
гда
СКВ<1жина,
собственно
относящаясл
к
этому
блоку,
oтcyrcToyeT
11,
21.
РаЗНОВИДНUС
'
1
ью
точt;
'
JНОГО
кригинга
является
СЛУ'J<:tЙНЫЙ
КРИI'ИНI',
условием
которого
служит
нtреГУШJрное,
но
достаточно
равномерное
расположение
разведо'IНЫХ
выработок
.
Непрерывный
кригинг
соответствует
оценке
м
еСТО
РОЖl.\
е
ния при
его
разведке
горными
вырuботками,
когда
ИХ
объем
деJlИТСЯ
н
а
бесконечное
колич
ество
соприкасающихсSJ
элементарных
объеМОlJ
dV,
каждый
из
которых
отбирается
в
виде
пробы
lt
отдельно
анализируется.
Практически
роль
элеме
нтарных
объемов
dV
MOfyr
играть
объемы
отпалок
при
проходке
rOPHblX
I:Нtlработок
(валовые
пробы)
или
бороздовые
пробы.
Задача
оценки
БЛОКi!,
ограниченного
таtШМИ
пр
обамн,
представляет
собой
з:щачу
нахожд
ения
нек
оторой
ф
ункц
ии по
и
з
вестным
ее
з на'l е
llШIМ
на
границе заданно
й
обл
асти.
Обратим
с
н
к КРIIГИНГУ
y'la<':TKa,
располо
жен
но
го
между
двумя
параллелыlJмии
ВЫР::lботками
D
и
D
1.
Будем
считать
обе
выработки
бесконечными
Щ>ЯМblМИ
и
рассмотрим
сначала
кригинг
точ
ки
А,
заключенной
между
эт
ими
прямыми
(рис.З
.
9).
Гlримем
точку
А
за
начало
координат,
а
за
единицу
длины
-
расстояние
между
ПР}lМbJМИ
I
(т.е.
I =
1)
и
обозначим
через
d
и
(1
- d)
расстояния
точки
А
от
прямых
D
и
DI.
Выра
з
им
пространствс:.нную
переменную
в
виде
гармониче
с~ой
функции
G =
.1
1.
.
e2
R
·
-
2Р.
tIX
СОЗЦ+1
(3.38)
2
e
2
'''
-
2е
n
''С05п{у
-
2(/
)+1
равной
нулю
при
у
= d
11
У
= 1 - d,
Т.е.
на
nрнмых
D
и
О],
н
такой,
что
буде
т
гаРМОНllческой
функци
ей
6
точке
А.
Эта
гармоннч
ес
'
ая
ФУНКLtия
представлнет
собой
функцию
Грина,
которая
ПО
ЗВОШ
l
ет
оценивать
область
о)'
мя
бесконечными
п
ЯМЫМ1t.
у
D
А
х
l-t
Оl
-
-_._---
- -
----
РИС
.
3
.
9
.
Схема
непрерывного
крИГlfнга
уча{,1'ка
между
дн
у
Wl
паР<lллеЛЫIЫМ1I
uыработками
Для
оценки
находим
ВеСОМУЮ
функцию
f(
S)
==
...l..
оа(М,А)
21t
d/
'
(3.39)
где.
-
абсцисс:)
KOHTYpn;
М-
то
IKa
к()нтурп.
Beconble
ФУНКЦИИ
длSl
обл,
с.:ти
,
Оf'К!НИ'
I
СННОЙ
двумя
б
сконечными
ПРЯМЬШII
,
ПUJlУЧI1М
D
соотrsетеТtlии
с
ФОРМУЛОЙ
(3.39)
дифференц
lP0l1:
:
IIIHe~1
по
у:
f
(t)
- c
nt
"
OI
J:a.a...._
t
, -
е
2
М
-
2е
"/
4:0"
тc
d
+
i
(3.40)
f
(t)
- e
"t
11111
п.L-
2 -
е2nt
+21!
t
f:O!
c7rd
+i •
Нахожл.ение
Ф
У
lIкцнi\
f(i')
прел.
С'f
Qвляет
собой
решс.:Шfе
задачи
точеtlНОГО
КРll
Г
lIнга
,
соотпетств
'11110,
для
f)
и
Г)
1.
Эти
функции
удобно
тnюке
предста.еить
в
пиде
разложениSl
в
рнд
Фурье:
f,(t)
=
L
~
,
е
-;"1
siriлd.
(3.41)
f 2
(t)
==
l:
~:
,
е
-;1'.
t
(-
1 ) I + 1 s i
пiл
d.
Если
,
в
.
есто
Т
О'l
I~ЧН
ОГО
кригюП'а
рассматривать
КРИl
'инг
произвольного
уч:)стка
У,
то
достаточно
проинтегри
р
опатъ
полученны~
выражения
по
всем
точк:)м
А
площади
У,
чтобы
получить
функции
взвешивания
дтl
неточечного
крнгинга.
Кроме
того,
хотн
выработки
,
расположенные
по
об::
стороны
оцениваемого
у'шетка,
имеют
конечную
длину,
их
мож
но
С'Н'
ать
праКТИ'lески
беl;1<Оllе'1НЬШИ,
если
,
они
им
еют
длину,
преВblшающую
расстояние
1,
та
как
экспонента
8
формулах
(3.40)
и
(3.41)
обе
печивает
очень
быстрое
,
убывание
функций
f(i')
при
ВОЗРЗСТ',lНI1И
1.
Кроме
случая
оценки
()бласти,
ограниченной
ДВУМЯ
l1ар;uшеЛl,НЫМИ
прямыми,
ЗМil'111
непрерЫВНоГо
кригинга
PCI,UCHa
также
дгш
окружности,
кольца
и
беСКО
t-lе'tНОЙ
прямой
12]
.
3.8.
ЛинеЙIIЫЙ
КIНIГ'ШI'.
Рассмотрим
более
подробно
содержание
КРИГlIнга
11
методику
е
о
применения.
Это
удобно
сделать
на
примере
ЛlНt~iI)ю
о
кригинга
,
ко
орый
в
литсрnтуре
по
геОСТПТНСПlке
IlIапример
,
'О
, !
31
и
:
шестен
К,
К
обыкновенный
или
простой.
Воспользуемся
д.ня
'
ТОГи
прнме.РGМ
оцеНЮI
блока
н
больших
размеров
.
Требуетс
я
ОЦСJJlI1Ъ
ItСТJlНll
ое
значение
пространств
еююй
переме
!НоН
У
8
БJlоке
V 110
неболы1tОI\
у
количеству
разведочных
пырuбtПОК
(проб),
пройденных
(
т
обранных)
8
прсдсЛi\Х
этого
блока
(средн
ее
зна'lсни
е
Пёременной
Б
которых
pL1DHO Z,
И
единственному
ореолу,
образованно
у
всеми
остальными
выработками
(со
средним
зна'lеШfем
flсременной
Zl,
определенным
по
всему
месторождению
-
телу
полезного
ископаtМОП).
Так
как
количеСТ80
внеШНIIХ
по
отношению
к
блоку
V
выработок
велико
n
сравнении
с
ил
КОШ"lеСТ80М
8НУГРИ
БЛQ)
::
а,
то
с
допуС1ИМОЙ
10ЧНОСТЪЮ
можно
считать,
что
В<JЛИ'Нlна
Z 1
Ilредстаnляет
собой
истинное
значение
переменной
D
месторождении
без
блока
V.
дJUI
УЛРОЩ~НИЯ
расчетов
будем
считать,
tlTO
оцеНИlшемый
блок
заНl1мnет
в
rраницах
месторождении
случайное
полож
ен
ие
.
Кроме
Toro,
общее
среднее
ЗН.
'Jение
перемеllНОЙ
в
МС
l'Орождении
п1
извес
:тно
с
БОЛЫ)JI
'
ij
'Точностью,
чем
значение
перемеННОil
У
в
блоке
У,
и
е
го
можно
ОТОЖДСС1'внть
с
о
3Н:lч:::ние
м
по
всех
внешних
выработках,
Т
.
е.
можно
C'НI
'
r<tTb,
что
Z 1 =
111,
а
оценкой
значеtIия
У
ШlЛяется
ВЫРUЖt:ние
У
:.
л.z
-
(1
--
л.)m
Так
как
У
-
У
=
A(Z
-
т
) -
(У
-
т)
,то
D(Y
-
\/)
=
O'~
+
Л.
20'~
-
2),,0'
YZ
где
O'~,
0';
дllсперсии
значений
У
и
Z
в
IIреден(\)(
мссторuжден
ия
;
2
о'
YZ -
их
КОЭФФllЦllен
т
коварющии.
Поскольку
выраб
тки
в
предел
ах
блока
У
размещены
случайно,
а
сам
блок
У
занимает
случайное
положение
в
пределах
месторождения,
то
ковариацин
O'~z
равна
дисперсии
А
и,
следовательно,
D(Y
-
У)
=
O'~
+
Л.
20'~
-
2л.0'
~
.
(З.42)
ОI1ТИМn.JJ
Ь
Н:1Я
(МИIIИМИЗИРУЮЩая
дисперсию
оцениваемого
среднего
значения
А
Ilрuстранственной
переменной
в
блоке)
величина
весовой
функции
л.
и
соответствующая
минимальная
величина
дисперсии
кригинга
O'~
равны:
л.
=
O'~/O'~
. ;
(З.4З)
O'~
= (' -
л.)0'~
=
(O'~
-
O'~)
:i
(З.44)
Практическое
решение
задачи
оптимальной
оценки
характеристик
блоков
тел
поле
з
ных
ископаемых
рассмотрим
при
неравномерном
размещении
разведочных
выработок
(т.е.
в
условиях
случайного
кригинга
как
разновидности
линейного).
Оц
ен
им
блок
У,
имеющий
точное
неизвестное
начение
пространств
е
нной
переменной
Y(V),
используя
для
э
того
множество
пересечений
тела
полезного
ископаемого
с
и
з
вестными
з
начениями
переменной
~t
;),
i = " "., n .
Необходимо
найти
такое
множество
весовых
ко
·
ффl1циентов
д;,
i = " ", n
,с
помощью
которых
можно
получить
среднее
в
зве
шенное
У
=
L~1 д
;
У
(ti)
ЯWUlющееси
н
а
НЛУ1lшей
оценкой
сре
днего
значения
УМ
.
8
соответствии
с
вышеИ
:
lЛоженным
в
качестве
наилучшей
рассма
'
lривн
е
м
оценку
среднего
значения
переменной
в
блоке,
обладающую
минимальной
дисперсией
.
Представим
дисперсию
оценивания
значении
У(У)
посредством
У.
как
O'~
=
a~
- 2
:Е7
=
1
а
,O'v)(
/ +
L;
Lj
а
,
ajO')(/O'Xj'
(З.45)
где
O't
диспеРСИJl
переменной
в
блоках,
подобных
оценива
е
мому
блоку
У;
о'
V)(
/ -
ковариация
значений
пер
е
меНIIОЙ
в
блоке
У
и
развеДОЧIIОЙ
пробе
xi;
(j
)(
/)(
, -
коuарlШЦltЯ
значений
переменной
в
выработках
x.j
и
xj
.
Все
эт
и
веЛИ1IИНЫ
могуг
быть
найдены
с
помощыо
оответствующей
ВnРИOlраммы.
Это
в
свою
очередь
обе
11
е
'IИRает
fЮ
'
МОЖtюсть
МIIIНIМИ
1
ПUИlf
ЮI
пеРСИI1
0';
,
подбирзSl
на,дл
ежз
шим
обра.
ом
в
е
OBЫ
~
ко
ФФИЦliеmъ\
ai
,
Кроме
того,
необходимо
обеспечить
соотнетств
и
~
опреJ\
еJJ
я
t:
М
о
го
сре
;
него
з
на1lения
переменной
реальному
5 5
З
I\,\'(
С
НИЮ,
Т.е.
и(~ком(tя
оценка
не
должна
приводить
к
е)'о
с
и
с
т
с
м<\тичеСI<ОМУ
запыш
е
lШЮ
или
Jэнижению.
~T()
требовани
е
несмещеННОСl'J1
может
быть
)JЫРliжено
как
E(Z·)
==
т
(3
.46)
I
'
де
т -
HCTIHIHoe
зна'lсние
liеJlИ'ШНЫ
Z(V);
.
[(Z*)
-
математнческо
е
()жидание
оценки
э
той
величины
.
И
~
\
(З.46)
вытекает
требошiнне
E[Li
д
iZ
(Х
;
)]
=
т
или
L;
д
,
Е
[Z
(Х;
)]
==
т
Е ли
E[Z(Xi)]
==
1 ,
то
LjB;
:::
1
У
словием
м
и
нимума
некоторои
ф
у
нкции
Q,
зависящей
от
JI
р
е
менных
ai,
НВJlнеrcя
рав
е
нство
н
у
лю
вс
е
х
ч а
стных
производных
по
ai
При
дополнительных
ОГР311И'lениях
IЩЦi:t
с =
о
необходимо
М
lНшмизиропать
ФУВ1ШИЮ
F = Q +
2J..1.C,
где
J..I.
-
новое
неизвестное
(множитель
ЛаJ
'
ранжа)
.
В
рассматрив
а
емом
С
ЛУ'lае
нужно
найти
ЩЮl1Зfюдные
ФУIIКЦl1И
F =
а:
+
2Jl.
()~;
8 i -
1)
по
сем
неизвестным
8,
и
Jl
И
прирапннТt,
их
нулю.
Представим
функцию
F
в
ра
з
вернутом
виде:
F =
at
- 2
L;
8
;avx
/ +
13
; l.,j
д
;Bj(J
x,
Xj
+
2Jl.
(L
;
а;
--
1)
(3.47)
Частные
ПРОИЗnОДllые этой
функции:
f;;
==
- 2
a
vx, + 2
L}
а
Рх
/
'9
+
2J..1.
==
O,i
==
1,
...
.§E=L: · 8
·-
1-0
Ii~,
- / / - .
Представю.f
эту
систему
n+
1
линейных
уравнений
е
11+
1
н
е
ИЗ8
С
СТflЫМИ
ai
и
~t
8
стандар
ной форме
:
Lj8jax
l
xl+~1=(Jv",j=
1, ...
,п
(3.48)
L j
8;
= 1
и
л
и
8
матричном
виде
L
А
=
О,
где
l., ,
д
11
D
опред~лsпО1
'
СЯ
t
l()
'l
lOШ
С
НИНМИ
(ai}
==
йх
/'9
):
а 11
(J
1 2
•••
01/1
1
а,
aV
X1
0'21
а22
а2n
1
82
O"
VX
2
L
.-
д
=
..
.
о
=..:
....
(3.49)
Оn1
а
n
2
Оnn
1
д/1
avxn
1
1
1
О
~
1
L -
симметричная
матрица,
определяемая
т
олько
по
и
з
вестным
данн
ым
.
Матрица
D
онределяется
неИ
З
~lестными
свойствами
'ро
гранств
е
нной
переменной
в
блоках
и
l!ыраб()тк~х
.
Решение
системы
уравнений
им
е
ет
вид
А
= L -1
О
.
Система
i1
:
l
ре
шима
,
так
как
все
дисперсии
определяются
на
о
нове
вариограмм.
Оценку
блока
начнем
с
оценки
значения
lIеременной
в
частной
'
()
чечной
пробе
внутри
ра.:~ведочноЙ
выработки.
В
Э
Тt)М
СЛУ'lае
матрица
t.2
е
и
з
меняется,
в
е
к
т
ор
D
упрощается
,
так
как вместо
ковариации
н
че
ний
переменной
в
выработке
и
блоке
(J
Vx
рассматривается
КОВrl
риация
точечных
проб
(тхо
х
/
==
а
О
;
•
где
Х
о
-
оц
е
ниваемая
точка
.
56
Рассмотрим
пример,
в
котором
изменчивость
содерж
а
ний
поле
з
ного
компонента
описывается
сфериче
ско
й
вариог~аtltмой
с
параметрами
С=20,
Со=2,
А
=
60
м.
Необходимо
оценить
содержание
(о
в
точк
е
ХО (рис
.
3.IО)
при
известных
содержания:х
tl,
й,
t3, t4
о
в
точках
хl
х3
х4.
х2
лl
х3
50
УО
Рис
.
3.
10
.
Схема
расположения
проб
при
нерегулярной
раЗ"СДn
'
IНОЙ
сети
.
Решение
системы
уравнений
имеет
вид:
- 1
81
о'
11
0'12
0'1З
0'14
1
001
82
<121
<122
<12З
<124
1
0'0
2
8з
=
<1З1
<1З2
<1зз
<134
1
<10З
а
4
0'
41
<142
0'4З
<144
1
0'04
Jl
1 1 1 1
О
1
Что
-ы
найти
решение,
необх
одимо
оценить
все
к()эффицисtJТЫ
O'
ij.
Ди
аго
налЫlые
элементы
0'11,<122,033,0'44
ривны,
так
как
каждый
и
з
них
предс
тавляет
собой
дисперсию
содержаний
lIа
мес
орождеНИI1
,
котораи
равна
С+Со,
Т.е.
20+2=
22
Все
останьные
коэффициеll'll
,
J
O'
ij
MOryr
бьЛ'ь
выражены
через
вариш
'
рамму
как
С+
С
о
-
y(hij)
)
где
'Щ
-рассто
яние
меЖДУ
Тоtlками
(вырuботками)
xi
н
xj.
Таким
о
б
ра
з
ом,
l1МeeM
:
<11
2 = 0 2 1
==
о'
О
4 =::
С
+
С
о
-
у(
5
0!2)
=
=
20+
2 -
{20[
1~~~~
_
ОФ~)']
+ 2 }
0,
9.
84
57
о",з
=
а
З
I
=
С+С
о-у
()150
2
+
50'
= 1.
23
0"14=
('У41::
0"02=
С
+
С
0-
"(
)1002+
50~
:: 4 .
98
(j
2З
=
0"32=
С
+
С
о-У(
j1
002+
100
2)=
2 .
33
;
а24
=
а4:!
=
С
+
Со
-
у(
j1502+
-
100
2)
~
о
.2
9
<Т
:
'4
=
<Т4З
=
С
+
С
0-
"(
)200
2 +
50
~
=
О
0"01 =
С
+
С
0-
,,(50) =
12
.
66;
О"оз
=
С
+
С
о-у(150)
=
1.72
.
В
результате
решения
системы
уравнеНIIЙ
получаем
следующие
tJt
:
~
:
Ol3ble
коэффици
е
нты
:
а
I =0.518;
а2=0.022;
а3
=
0.089;
а4
=
0371.
Заслуживают
внимания
следующие
особенности
соотношений
lIcCOBbIX
коэфф~щиеl-IТОВ
.
Сопоставление
козффициен
то
в
а2
и
аЗ
Н(lка
",вает,
что
при
не
з
начительности
ИХ
роли
в
оценке
искомого
содержания
их
в
ес а
не
пропорциональны
расстояниям
СООТlJетствующих
выработок
до
хО.
Выработка
х3
располагается
от
хО
ДШ1ьше
,
но
обладает
большим
11С(
:
ОМ
(8,9%)
В
сравнении
с
выработкой
х2.
Это
связано
с
тем,
что
хО
Ш1ХОДИТСЯ
под
непосредственным
влиянием
хЗ,
тогда
как
х2
'
jlф
.
нируется
выработкой
х
1.
Данное
обстоптельство,
выт
екаю
щ
ее
и
з
учета
в
аимных
ковариаций
вырnботок
и
достаточно
очевидно
е
на
интуитивном
уровне
,
не
IIринимается
во
внимание
ПРОСТЫМI1
д
ис
танцио
нными
методами
в
з
"~шиваНЮI
при
определении
cpeДH~1X
з
начений
пространственных
11ер
меНIIЫХ.
Из
него
вытекает
также
про
стое сл
едств
и
е
о
том,
что
веса
выработок,
окружающих
оцениваемую
,
зав
исят
не
только
от
их
расстояшНI
до
нее,
но
и от
плотности
разведо'шой
сети
,
Т.е.
при
вы
сокой
плотности
ближайшие
выработки
прак
т
ически
нивелируют
l1J1инние
периферических.
Обратим
такж
е
внимание
на
следующее.
Если
ДНЯ
фИ
J(СИ
Р
ванного
варианта
развеДОЧIIОЙ
сети,
как,
наприм
ер
,
в
рассмотренном
выше
I,;Jlучае.
уже
получила
оценку
одна
и
з
точек
тела
поле
ного
11
CKO
ni1
e
MOrO,
в
которой
нет
выработки
и
нет
пробы
,
то
ДЛЯ
оценки
любой
другой
новой
точки
ДОСТi1ТОЧНО
рассчитать
только
ее
коп.
Рl1ацню
с
Jtмеющимися
выработками
(пробами),
тогда
как
Н
е
о
бход
имые
ДJUl
составления
системы
уравнений
ков
а
риации
м
ежду
Э
ТНМl1
имеющимиен
выработками
уж
е
расс',итавы
.
Это
существенно
сокращает
вычисления.
После
оценки
отдельных,
еще
не
разведанных
точек
залежи
"ОJlе
з
ного
ископаемого
нетрудно
перейти
к
оценке
блоков.
Наиболее
"РО
С
ТЫМ
л.лн
этого
способом
ЯВJlя
еТС
fJ
оценка
значений
ПРОf:
т
ранственной
переменной
D
нескольких
точка
внугри блока
И
ЗJюже
ШIЫМ
выш
е
методом
и
расчет
cpeAl-lего
эт и
з
нач
е
ний
.
Для
11
11ОсреД
стве
шюй
оценки
значения
п~р
е
м
е
нн ой
13
блоке
н
еобходи
мо
на
йти
К()fl
i'l
ри
аu
ии
БJlока
и
ныработок
(или
проб):
tfvx/
:::.
С
+
C
o-~
ff
v'S
У(
J(x;
-
x)2
+
(уг
у)
2
)dX
dY
l'ЦС
V -
ПJlОЩадь
блока
Vs
х
и
у
-
коордннаты
.
Бырабm'ки:
(пробы)
х.
Прос
,
тые
аШUll1тические
выражен",я
для
TftKOrO
интегрuла
наЙТ&1
трудно
.
Поэтому
обычно
численные
методы
КРlit
"
инга
СIЮJ:.Я
Т
С
~l
ос
осредненню
ДUlIНЫХ,
характеРИ:IУЮЩН
Х
цнскретный
набор
точек
[ш
утр
и
блока.
Dыражени~
"
ди
пеРСИII
оценки
сре
д
него
З
l
ш
t
ення
пространственн()
й
Ilt:рt:МСНlIO
Й
при
помощи
криг
lиг
а
(дисперс
ии
крш
'
инга),
ПРИ8СДСtIJIOе
выше
(3.45),
можно
представи
т
ь
Е
боле
е
простом
виде
.
3Н<I'lение
I:;
I:/
д
/Bj(fx/x/
'
где
ai -
коэффицие
нты
кригинга,
минимизирующие
дисперсию,
может
быть найдено
с,ледующим
обра
зо
м.
Каждое
уравнение
системы
линейных
уравнений
кригинга
в
стаНД:lРТНОЙ
форме
I:/
д
j(Jx/"V
+
/l
=
(JVXj
умножим
на
ai
и
просуммируем
полученные
прои
зведе
нил.
В
результате
получим:
'f.,/LJ
17/B/(Jx/x/
+
~tLj
а
i:::
~;
д
i(JVx
/
Но
так
как
~;
а
i = , ,
это
выражение
преобра
зуетсн
к
nиду
L;
f.
J
а
;8j(JXiX/
+
/l
=~;
д
i(JVx
/
В
итог
е
дисперсия
кригинга
равна:
a~
=
a~-
L{
а
,(JVx
i
-/l
. (3.50)
Рассмотренный
R:lриант
кригинга
соответствует
модификации,
которая
известна
)
ак
СJJУ4:lЙН
Ы
1':'1
кригинг
при
условии
нерегулярной
БУРtJВ
ОЙ
сети,
которая
хараКТ~РJfзуется,
тем
не
м
е
нее,
постоянной
ПЛОТНОСТЬЮ
.
Случайный
кригинг
применнстся
ДJUI
оценки
блоков
с
пробами
внyrpи
них
11
с
учетом
оценок
окружающих
блоков.
В
связи
с
этим
в
сист
е
му
уравнений
кригинга
входят
ковари
с
щнн
соответствующих
блоков.
3.9.
Свойства
КРИГНllга.
Кри
т
ш
r
позволяет
полу"штъ
несмещснны~
оц'нки
средних
значений
IlространствешlOЙ
переменной
в
заданных
бъсмах,
имеющи~
МИНИМ3Л
ные
дисперсия
погрешнос.теЙ
.
Кроме
того,
он
обшщет
рядом
других
свойств,
которые
приносят
оп
ределенный
эф
фсr.:т
при
оценке
меСТОРО)f.дениЙ
полезных
ископаемых.
Ниже
коротк
о
рассматри
аются
эти
свойства.
Условная
IJесмещенность.
Опреде
ле
ние
условной
несмещенности
8
математич
ес
кой
форме
имеет
следующ
ий
шsд:
E(Z -LZ
*=Z
o)=z
о
(3.50
Это
означает,
что
среднее
содержание
полезного
ископаf.:МОГО
.60
всех
блоках
,
оценки
которых
составляют
величину
Zo,
равны
им
енно
Эl'ОЙ
ве
личи
не
Zo.
Такое
свойсТfЮ
Ilроявляетсs)
аБСUДЮТIIO
точно
при
усл
овии
согласил
распределения
содержаний
полеЗНОI'О
ископаемого
с
нормальным
законом.
Кроме
того,
для
Ilолучения
необ
х
одимых
оцевок
должно
быть
нзвсстно
среднее
содеl)жание
по
всему
м
е
сторождению.
Опыт
ШН.\}}И
:
I[\
данных
по
многим
мссторож,цсвиям
показывает
,
что
н
отклонение
от
~тих
условий
не
сильно
В1IИИt.'Т
на не
с
мсщешю(;
·
ь
оц
енок
IфИ
Г
НН
'а
.
'
~
9