Кадомская К.П. Перенапряжения в электрических сетях различного назначения и защита от них
Подождите немного. Документ загружается.
()
p
pU
1
0
=
,
()
()
()
xp
ee
p
pxU
xp
⋅γ−
γ−
⋅
=
*
0
1
, . (2.29)
Оригинал от (2.29) запишется в виде:
() ( )
(
)
(
)
xxx
tttuxtu τ−δ=τ−δτ−=
000
*
, , (2.30)
где
д
v
x
x
=τ
,
00
д
1
εεμ
=
r
v
- скорость распространения волны в диэлектрике.
Выражение (2.29) можно переписать иначе:
() ()
()
(
)
()
(
)
xpxp
xp
expUeepUpxU
⋅γ−⋅γ−
⋅γ−
==
00
*
,,
*
00
, (2.31)
где
() ()
() ()
xpxp
e
p
epUpxU
⋅γ−⋅γ−
==
**
1
,
0
*
0
. (2.32)
Иными словами, можно принять, что сначала волна искажается и
затухает, а затем распространяется по каналу без искажения и затухания.
Оригинал, отвечающий операторному изображению (2.32), можно
найти различными методами.
2.5.2 МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ЧАСТОТНОГО МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИГИНАЛА
Оригинал, отвечающий изображению (2.32), можно определить,
пользуясь частотным методом [9]:
()
()
()
d t
2
t
2
00
,sin
R
dsin
eRe
t,xu
xj
*
*
ωω
ω
ω
π
ωω
ωπ
ωγ
∫
=
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞∞
⋅−
(2.33)
При численном интегрировании (2.33) следует учесть некоторые
особенности функции
()
ω
A =
ω
ω
/
)
(
R
:
() () ()
ωω
ω
ω
ωω
ωω
tRR
sin
limsinAlim ==
→→
t
t
00
. (2.34)
Поэтому при численном интегрировании (2.33) этот интеграл
целесообразно представить в виде суммы двух интегралов:
() () ()
2
2
0
21
ωωω
π
ωω
π
ω
ω
dtsinAdtRJJt,xu
*
*
*
∫
+
∫
=+=
∞
. (2.35)
Предел
*
ω
выбирается на основе соотношения ω≈ω
t
t
sin , которое
удовлетворяется примерно при
3,0
t
≤
ω
. Верхний предел второго
интеграла при численном интегрировании выбирается с помощью
вычислительных экспериментов: при увеличении верхнего предела
приращение интеграла должно стремиться к нулю.
2.5.3 МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА АППРОКСИМАЦИИ
ОПЕРАТОРНОГО КОЭФФИЦИЕНТА РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Метод аппроксимации операторного коэффициента распространения
с последующим аналитическим определением оригинала, т. е. функции
искажения прямоугольного импульса, был предложен М.В. Костенко и
изложен, в частности, в [2]. В [11] была предложена следующая
аппроксимация операторного коэффициента распространения в земляном
канале воздушной линии:
()
(
)
dgpbpap −++=γ
*
(2.36)
В (2.36) входят 4 коэффициента, которые необходимо определять путем
решения системы из четырех трансцендентных уравнений, получаемых
приравниванием точных и аппроксимирующих выражений для четырех
значений мнимой и вещественной частей частотной характеристики
()
ωγ
j
*
. В случае распространения волн по коаксиальному каналу КЛ
аппроксимирующее выражение (2.36) может быть упрощено. В этом
случае погонное продольное сопротивление канала определится как:
321
ZZZZ
+
+
=
, (2.37)
где
(
)
()
111
110
11
1
1
2
rkI
rkI
r
k
Z
&
&
&
σπ
=
, (2.38)
-
внутреннее сопротивление жилы в петле жила-экран,
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
331231231331
331230331230
32
3
3
2
rkKrkIrkKrkI
rkIrkKrkKrkI
r
k
Z
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅
σ⋅⋅π
=
&&&&
&&&&&
(2.39)
-
внутреннее сопротивление экрана в петле жила-экран,
1
2
0
2
ln
2 r
r
jZ
π
μ
ω= (2.40)
- составляющая продольного сопротивления, обусловленная
диэлектриком,
111
σωμ= jk
&
,
333
σωμ= jk
&
- комплексные волновые числа, характеризующие глубину проникновения
магнитного поля в жилу и экран, соответственно;
1
μ
и
3
μ - магнитные
проницаемости жилы и экрана;
1
σ
и
3
σ
- удельные проводимости
материалов жилы и экрана,
0
I
,
1
I
,
0
K
,
1
K
- модифицированные функции Бесселя первого и второго
рода нулевого и первого порядков, соответственно.
Искажение волн при пренебрежении активной проводимостью
диэлектрика определяется суммарным сопротивлением жилы и экрана в
петле жила-экран.
Выражения для
1
Z
и
3
Z
можно упростить, если воспользоваться
асимптотическими разложениями модифицированных функций Бесселя
при удерживании в рядах лишь первых членов:
()
()
()
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
π
=
−
−
...
128
15
8
3
1
2
...
128
9
8
1
1
2
...
128
15
8
3
1
2
...
128
9
8
1
1
2
2
1
2
0
2
1
2
0
z
z
e
z
zK
z
z
e
z
zK
z
z
z
e
zI
z
z
z
e
zI
z
z
z
z
(2.41)
Тогда выражения для
1
Z
и
3
Z
могут быть переписаны следующим
образом:
4
11
1
1
2
Z
π
σ⋅π
ωμ
≅
j
e
r
,
4
32
3
3
2
Z
π
σ⋅π
ωμ
≅
j
e
r
. (2.42)
Суммарное внутреннее сопротивление канала запишется как:
4
внвнвн31вн
ZRe
π
=+=+=
j
eZjZZZZ . (2.43)
Полное погонное продольное сопротивление канала жила – экран будет:
LjZZZZ
ω
+
=
+=
вн2вн
, (2.44)
а коэффициент распространения запишется в виде:
() ( )
χ+ω=
ω
+ω=ω+ω=ωγ 11
вн
вн
LCj
Lj
Z
LCjCjZLjj , (2.45)
где
L
Zm
L
ZRe
внвн
ω
+
ω
−=χ
I
j .
Модуль
χ
на высокой частоте существенно меньше единицы.
Поэтому, извлекая корень в (2.45), будем иметь:
() () ()
(
)
в
вн
00
2
1 Re
2
1
z
jZ
jjj
+
+ωγ≅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
χ
+ωγ=ωγ
, (2.46)
где
C
L
z
=
в
- волновое сопротивление по диэлектрику канала жила -
оболочка.
Коэффициент искажения в частотной области будет:
() () () ()
j
Z
Z
jjj +=ωγ−ωγ=ωγ 1
2
Re
в
вн
0
*
. (2.47)
Следовательно, операторный коэффициент искажения может быть
записан следующим образом:
()
(
)
ppp
**
апп
γ≈η=γ
. (2.48)
Подставляя в (2.48)
ω
j
p
=
, получим:
() ()
jej
j
+ω
η
=ωη=ωγ
π
1
2
4
*
апп
. (2.49)
Приравнивая (2.49) и (2 .47) и подставляя выражение для
вн
Z
, получим:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
μ
+
σ
μ
⋅π
=η
32
3
11
1
в
4
1
rr
z
. (2.50)
Проверим правомочность аппроксимации на примере коаксиального
кабеля 15 кВ (
1
r
=10 мм,
2
r
=16 мм,
3
r
=16,25 мм, жила и оболочка
выполнены из меди, изоляция – из сшитого полиэтилена). Волновое
сопротивление канала жила - оболочка этого кабеля составляет 17,8 Ом.
Следовательно,
c/м 100861.1
7−
⋅=η . При 1 МГц
44*
10925.110925.1
−
−
⋅+⋅=γ j 1/м,
44*
апп
10949.110919.1
−
−
⋅+⋅=γ j 1/м.
Сходимость результатов вполне приемлемая, что позволяет
пользоваться предлагаемой аппроксимацией (2.49), при этом коэффициент
η
определяется по формуле (2.50).
При использовании (2.48) операторное изображение сигнала на
выходе канала протяженностью x будет:
()
()
()
xp
xp
xp
e
p
e
p
e
p
pxU
⋅η−
⋅γ−
⋅γ−
=≈=
111
,
*
апп
*
. (2.51)
Оригинал, отвечающий изображению (2.51), будет:
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅η
Φ−=
t
x
txu
2
21,
0
, (2.52)
где
()
dtex
x
t
∫
−
π
=Φ
0
2
0
2
2
1
- интеграл вероятностей или функция Лапласа.
В табл.2.1 приведены сравнительные расчеты по искажению
прямоугольного импульса длительностью 60 нс при пробеге по каналу
жила - оболочка кабеля 15 кВ (параметры кабеля приведены выше).
Расчеты проводились с помощью частотного метода (2.35) и с
использованием выражения (2.52). На рис.2.10 приведены
соответствующие формы импульсов.
Сравнение результатов, полученных при использовании частотного
метода и приближенного выражения (2.52), основанного на
аппроксимации операторного коэффициента искажения, показывает, что
при использовании приближенного метода погрешность определения
максимума искаженного импульса составляет при пробеге расстояния 100
м величину порядка 2%, а при пробеге 540 м - порядка 6%. Такая
погрешность может быть в ряде случаев признана приемлемой, так как
зачастую точность определения параметров канала КЛ ниже
этой
точности. Поэтому при оценке искажения волны при ее пробеге по каналу
жила – экран вместо численного вычисления интеграла Фурье можно
воспользоваться выражением (2.52).
Таблица 2.1
Сравнительные результаты расчетов искажения импульса
прямоугольной формы длительностью 60 нс при пробеге
по каналу жила - оболочка коаксиального кабеля 15 кВ
t, нс 5 10 20 40 60 80 100 120
X=100 м
Частотный
метод
0,881 0,924 0,950 0,966 0,973 0,027 0,015 0,011
По (2.52) 0,938 0,956 0,970 0,978 0,991 0,014 0,010 0,005
X=540 м
Частотный
метод
0,460 0,617 0,735 0,817 0,853 0,140 0,073 0,047
По (2.52) 0,688 0,764 0,834 0,882 0,904 0,082 0,043 0,027
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
u(t)/U
0
0 20406080100
t,
нс
по (2.52)
частотный метод
540 м
100 м
Рис.2.10 Сравнительные расчеты искажения импульса конечной
длительности 60 нс при распространении по коаксиальному
каналу кабеля с пластмассовой изоляцией 15 кВ
2.6 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В МНОГОПРОВОДНЫХ ЛЭП ПРИ УЧЕТЕ
ВЗАИМНОГО ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССОВ В ПРОВОДАХ
2.6.1 МЕТОД ВОЛНОВЫХ КАНАЛОВ
Поскольку фазные провода одноцепных и многоцепных ВЛ
подвешиваются на одной опоре, а токопроводящие жилы в ЛЭП
подземного трехфазного исполнения находятся в одной металлической
оболочке, то при исследовании переходных электромагнитных процессов в
таких конструкциях необходимо учитывать взаимное влияние процессов,
происходящих в фазных проводах. Однако, для того, чтобы использовать
приведенные выше относительно простые алгоритмы учета частотных
зависимостей продольных параметров ЛЭП в одноканальной системе ,
целесообразно зачастую переходить к исследованию процессов в так
называемых волновых или модальных независимых
каналах. В [3] дано
определение волнового канала: «Волновой канал или мода– форма
распространения волны вдоль многопроводной линии, которая
характеризуется определенной формой электромагнитного поля и
связанной с ней определенной системой токов и напряжений,
распространяющихся вдоль линии с одним коэффициентом
распространения независимо от возбуждения других форм волн».
В случае рассмотрения волновых процессов в
многопроводной линии
целесообразно перейти к матричной форме записи уравнения линии:
ZIU =−
dx
d
,
YUI =−
dx
d
, (2.53)
где
Z
и
Y
- квадратные симметричные матрицы погонных продольных
сопротивлений и погонных проводимостей линии, соответственно.
Размерность матриц
Z
и
Y
равна количеству проводов ВЛ или
токопроводящих жил ГИЛ. Преобразуем уравнения (2.53), приведя их к
виду:
PU
U
=
2
2
dx
d
,
IP
I
T
2
2
=
dx
d
, (2.54)
где
ZYP
=
, YZP
=
T
. (2.55)
Для того, чтобы от фазных переменных, относительно которых
записаны уравнения (2.53) и (2.55), перейти к модальным (независимым)
переменным необходимо осуществить диагонализацию матриц
P
и
T
P .
Для этой цели необходимо решить проблему собственных чисел и
собственных векторов этих матриц. При диагонализации матриц
P
и
T
P
соответствующие диагональные матрицы состоят из собственных чисел
исходных матриц, а преобразующие матрицы являются матрицами
собственных векторов исходных матриц. Преобразованные уравнения
(2.54) запишутся в виде:
ммффм
2
м
2
UPSS
U
uu
dx
d
=
,
ммффм
2
м
2
IPSS
I
ii
dx
d
=
, (2.56)
где
u
фм
S и
u
мф
S - матрицы преобразования фазных напряжений в
модальные, составленные из собственных векторов матрицы
P
,
i
фм
S и
i
мф
S - матрицы преобразования фазных токов в модальные,
составленные из собственных векторов матрицы
T
P .
Поскольку транспонированная матрица имеет те же собственные
числа, что и исходная, то
2
ммффммффм
ΓSPSPSS ==
iTiuu
, (2.57)
где
2
м
Γ - диагональная матрица собственных значений матриц
P
и
T
P ,
представляющая собой квадраты коэффициентов распространения волн по
модальным каналам.
Система модальных составляющих напряжений и токов
распространяется по модальному каналу независимо от распространения
электромагнитного поля по другим каналам. Поэтому распространение
мод подчиняется тем же законам, которые были описаны в параграфе 2.5.
В конце канала передачи энергии моды с помощью матриц преобразования
u
мф
S и
i
мф
S преобразуются в матрицы относительно фазных переменных,
так как уравнения в узлах, как правило, записываются относительно
напряжений и токов в фазах.
Решениями уравнений (2.56) будут:
u
x
u
x
ee
21м
мм
AAU
ΓΓ
+=
−
,
i
x
i
x
ee
21м
мм
AAI
ΓΓ
+=
−
, (2.58)
где
u
1
A
и
u
2
A
- матрицы-столбцы постоянных интегрирования,
определяемые граничными условиями.
В выражениях (2.58) первый член отвечает волне, бегущей в сторону
возрастания координаты x, второй – в сторону её убывания.
Столбцы постоянных интегрирования
i
1
A
и
i
2
A
связаны со столбцами
u
1
A
и
u
2
A
, например, с помощью первого уравнения системы (2.53),
записанной относительно модальных составляющих:
мм
м
I
U
Z
dx
d
=− ,
мм
м
U
I
Y
dx
d
=− , (2.59)
где
iu
мфффмм
SZSZ = ,
ui
мфффмм
SYSY = - диагональные матрицы модальных
продольных и поперечных погонных параметров ВЛ.
Подставляя в первое уравнение системы (2.53) выражения для
составляющих
м
U
и
м
I
из (2.58), получим сопротивления, являющиеся
коэффициентами, связывающими волны тока и напряжения,
распространяющиеся по ВЛ в двух направлениях, т.е. модальные волновые
сопротивления:
uu
мфффм
1
мм
1
мВм
SZSΓZΓZ
−
−
== . (2.60)
Вследствие диагональности матрицы
Вм
Z
можно использовать и
другие выражения для её определения:
1
ммффммф
1
фммф
1
фммВм
−
−
−
=== ΓZSSΓSYSSYSΓZ
iuiuiu
. (2.61)
При этом волны напряжения, распространяющиеся по модальным
каналам определятся как:
м12Вмм12
IZU
=
. (2.62)
Приведем пример определения параметров волновых каналов в ВЛ
500 кВ с горизонтальным расположением проводов, параметры которой
были приведены в первой главе. Параметры определим на частоте 0.25 и 1
МГц, т.е. на частотах, характерных для распространения волн грозового
происхождения, возникающих на проводах при прямом ударе молнии в
ВЛ. При приведенных в
первой главе продольных и поперечных погонных
параметрах матрицы коэффициентов распространения и волновых
сопротивлений модальных каналов оказались равными:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
58.1000
042.100
0099.10
)кГц250(
м
Γ 1/км,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
16.2100
097.210
0000.22
)МГц1(
м
Γ 1/км.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
9.6200
09.530
000.92
)кГц250(
Вм
Z Ом,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
7.31500
04.2690
003.460
)МГц1(
Вм
Z Ом.
Фазовые скорости распространения волн по модальным каналам,
определяемые как
1
мм
−
ω= ΓV
, будут:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
5.14800
08.1490
009.142
)кГц250(
м
V м/мкс,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0.29700
06.2990
007.285
)МГц1(
м
V м/мкс.
Из приведенных результатов видно, что на частоте 1 МГц волны
практически распространяются по диэлектрику, так как глубина
проникновения магнитного поля в материал проводов и в землю
оказывается небольшой. Поэтому фазовые скорости распространения волн
по модальным каналам на частоте 1 МГц практически одинаковы и близки
к скорости 300 м/мкс распространения
волн в воздушной среде (ε=1).
2.6.2 ФАЗНЫЙ МЕТОД
При использовании фазного метода непосредственное решение
уравнений (2.54) записывается в виде:
u
x
u
x
ee
21ф
фф
ВВU
ΓΓ
+=
−
,
i
x
i
x
ee
21ф
фф
ВВI
ΓΓ
+=
−
, (2.63)
где
2/1
ф
)(ZYΓ = - полная квадратная матрица.
Для того, чтобы определить любую функцию от квадратной матрицы
удобно перейти к модальным параметрам, полученным при
диагонализации матрицы
ZYP
=
. При этом функция )(P
f
определится
как
uu
ff
фммф
)()( SΨSP = , (2.64)
где
uu
мффм
PSSΨ = - диагональная матрица собственных величин матрицы
Р. Таким образом корень квадратный от квадратной матрицы Р