Кадомская К.П. Перенапряжения в электрических сетях различного назначения и защита от них
Подождите немного. Документ загружается.
∫
π
⎩
⎨
⎧
≠→
=→π
=ϕϕϕ
2
0
0
,
coscos
mn
mn
dnm
,
∫
π
=ϕϕϕ
2
0
0cossin dnm
, (1.48)
получим:
θ
ρ
+
π
μ
=
∑
∞
=
n
n
TCSFA
n
n
nnnnM
cos)(
2
1
**
0
об д
, (1.49)
θ
ρ
+
π
μ
=
∑
∞
=
n
n
WCYFA
n
n
nnnnN
cos
1
)(
2
1
*
**
0
об д
, (1.50)
где
1
1
1
.
1
1
2
2
.
1
)()(
−
−
−
−
−=
n
n
n
n
n
r
rkI
r
rkI
S
,
1
2
2
.
1
1
1
1
.
1
)()(
−
−
−
−
−=
n
n
n
n
n
r
rkK
r
rkK
T
,
1
11
.
1
1
22
.
1
)()(
+
+
+
+
−=
n
n
n
nn
rrkIrrkIY
, ,
1
22
.
1
1
11
.
1
)()(
+
+
+
+
−=
n
n
n
nn
rrkKrrkKW
11,11
,,
++−− nnnn
KIKI - модифицированные функции Бесселя первого и
второго рода
n-1 и n+1 порядков.
Таким образом, выражения для определения векторного магнитного
потенциала, в проводящей оболочке (1.37) и в диэлектрике,
инициируемого токами в оболочке (1.49) и (1.50), внутри зависят от
четырех постоянных интегрирования . Эти постоянные
интегрирования можно определить из граничных условий на границах
внутренний диэлектрик-оболочка и оболочка-внешний диэлектрик.
Граничные условия сводятся к непрерывности нормальных составляющих
вектора магнитной индукции и тангенциальных составляющих вектора
напряженности магнитного поля:
**
,,,
nnnn
CCFF
θ=ϕ=ϕ=θ=ρρ
=
,об,д
11
//
rrrr
BB ,
θ=ϕ=ϕ=θ=ρρ
=
,об,д
22
//
rrrr
BB . (1.51)
θ=ϕ=ϕϕ=θ=ρθ
μ
=
μ
,об
об
,д
0
11
/
1
/
1
rrr
BB ,
θ=ϕ=ϕϕ=θ=ρθ
μ
=
μ
,об
об
,д
0
22
/
1
/
1
rrr
BB . (1.52)
Составляющие вектора магнитной индукции связаны с
составляющими векторного магнитного потенциала следующим образом
( ):
rotAB =
ϕ∂
∂
ρ
=
ρ
д
1
A
B
,
ρ∂
∂
−=
θ
д
A
B
,
ϕ∂
∂
=
об
1
A
r
B
r
,
r
A
B
∂
∂
−=
ϕ
об
. (1.53)
Производные векторного магнитного потенциала в диэлектрике,
определяемые током в жиле, будут:
∑
∞
=
=ρ
θ
π
μ
=
θ∂
∂
ρ
1
0
ж д
sin
2
/
1
1
n
nr
nQ
I
A
,
∑
∞
=
=ρ
θ
π
μ
−=
ρ∂
∂
−
1
0
ж д
cos
2
/
1
n
nr
nP
I
A
, (1.54)
где
n
k
nn
r
b
r
QP
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
11
1
- при n
≠
0,
1
1
r
P
n
= ,
0
=
n
Q
- при n=0.
Подставляя выражения для составляющих векторного магнитного
потенциала в граничные условия (1.52) с учетом (1.53), получим
матричное уравнение для определения постоянных :
**
,,,
nnnn
CCFF
[]
Т
..
Т
,,
0,0,
2
,
2
,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ππ
=×
∗∗
nnnnnn
P
Ik
Q
Ik
CFCFD , (1.55)
где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
34334241
34333231
14132221
14131211
dddd
dddd
dddd
dddd
D
, )(
1
10
об
11
zI
z
n
d
n
μ
μ
= , )(
1
10
об
12
zK
z
n
d
n
μ
μ
= ,
1
113
5,0
−
−=
n
n
rSd
,
1
114
5,0
−
−=
n
n
rTd
, , ,
)(
1
'
21
zId
n
−= )(
1
'
22
zKd
n
−=
)(
2
20
об
31
zI
z
n
d
n
μ
μ
=
,
)(
2
20
об
32
zK
z
n
d
n
μ
μ
=
,
1
2
33
1
2
1
+
−=
n
n
r
Yd
,
1
2
34
1
2
1
+
−=
n
n
r
Wd
,
)(
2
'
41
zId
n
−=
, , , ,
)(
2
'
42
zKd
n
−=
1
.
1
rkz =
2
.
2
rkz =
)()()(
1
'
zI
z
n
zIzI
nnn
+=
+
,
)()()(
1
'
zK
z
n
zKzK
nnn
+−=
+
.
Определяя из уравнения (1.55) постоянные и подставляя их в
выражения для
z
kk
и z
kl
, получим:
{}
,))()((
1
)(
2
ln
2
1
),(
1
)()()()(
1
100100
об
1
.
0
0
1
0
1
об
жд1обджд1жд
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
σ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
μ
+
π
μ
ω=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ϕδ
σ
−−+−ω=
∑
∞
=
∗∗
zKCzIF
n
b
TCSF
k
r
r
I
j
I
rbArAbArAj
I
z
n
n
k
nnnn
xkkkk
(1.56)
.))()((
11
cos)(
2
cos2
ln
2
1
2
1
100100
об
1
.
0
22
2
1
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
σ
+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
θ+
μ
+
θ−+
π
μ
ω=
∑
∞
=
∗∗
zKCzIF
I
n
n
b
TCSF
k
bbbb
r
I
j
I
z
n
kl
n
l
nnnn
kllklk
kl
(1.57)
Постоянные
*
,,,
nnnn
CFCF
∗
в выражениях (1.56) и (1.57)
определяются следующим образом:
4131
4232
dd
dd
CF
nn
−
−
−= ,
1
4131
.
))((
2 Δ
−+
π
−=
ddPQ
Ik
C
nn
n
,
2
3412143234111431
2
34
.
)()(
2 Δ
−+−
+
Δπ
=
∗
ddddCddddFdQ
Ik
F
nnn
n
,
2
3213123331131133
2
33
.
)()(
2 Δ
−+−
+
Δπ
−=
∗
ddddCddddFdQ
Ik
C
nnn
n
,
.),)(())((
14333413241312212423221111
dddddddddddd −
=
Δ
−
+
−
−+=Δ
Для практических расчетов целесообразно применить аппроксимации
модифицированных функций Бесселя, справедливые для достаточно
больших аргументов в виде [8]:
z
e
zI
z
n
π
≈
2
)(
,
z
n
e
z
zK
−
π
≈
2
)(
. (1.58)
Такая аппроксимация возможна, так как даже на частоте 50 Гц
волновое число в стальной трубе составляет весьма большую величину –
при σ
об
=3⋅10
6
1/Ом⋅м, μ
об
=400μ
0
, ω=100π k=754 1/м.
При такой аппроксимации модифицированных функций Бесселя
собственные и взаимные сопротивления ГИЛ ТИ при учете конечной
толщины оболочки запишутся в виде:
об1
.
0
1
0
1
0
2
ln
2 σπ
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
π
μ
ω=
∑
∞
=
r
cthzk
G
r
r
jz
n
nkk
, (1.59)
об1
.
0
1
22
2
1
0
2
cos
cos2
ln
2
1
2 σπ
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
θ−+
π
μ
ω=
∑
∞
=
r
kcthz
n
b
b
G
bbbb
r
jz
n
kl
n
k
l
n
kllklk
kl
.
(1.60)
В выражениях (1.59) и (1.60) применены следующие обозначения:
[]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−μ++−μ
+μ+
μ= 1
)1()1(
)1(
2
1
0221
22
02
2
1
2
cthzzzzn
ncthzz
n
r
b
n
G
n
n
k
n
,
где , ,
1
.
1
rkz =
2
.
2
rkz =
120
zzz
−
=
,
0об
/
μ
μ
=
μ
.
В настоящее время у большинства конструкций ГИЛ ТИ оболочка
выполняется из стали толщиной 0,9…1,1 см. При такой толщине оболочки
на частоте 50 Гц и выше электромагнитное поле практически не выходит
за пределы оболочки, что позволяет выражения (1.59) и (1.60) еще более
упростить положив в них
r
2
→∞. Тогда для трехфазной конструкции ГИЛ
с расположением фаз по вершинам правильного треугольника собственные
и взаимные продольные сопротивления определятся как:
об1
.
1
1
2
1
1
0
1
0
2
)1μ(
)1μ(
1
ln
2
μ
σπ
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
π
ω=
⋅
⋅
∞
=
∑
r
k
rkn
rkn
r
b
nr
r
jz
n
n
kk
, (1.61)
об1
.
1
1
1
2
1
1
0
2
cos
)1μ(
)1μ(
1
3
ln
2
μ
σπ
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
+−
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
π
ω=
∑
∞
=
⋅
⋅
r
k
n
rkn
rkn
r
b
n
b
r
jz
n
kl
n
kl
. (1.62)
В табл.1.2 приведены значения продольных сопротивлений на
промышленной частоте, рассчитанные по приведенным выше выражениям
без аппроксимации модифицированных функций Бесселя и с учетом их
аппроксимации (формулы 1.59 и 1.60), а также при неучете конечных
размеров стальной оболочки (выражения 1.61 и 1.62). Значения
продольных сопротивлений приведены для следующих конструктивных
параметров ГИЛ 500 кВ (рис.1.5)
r
0
=0,09 м, r
1
=0,5 м, b=0,25 м при
удельной проводимости оболочки σ
об
=3⋅10
6
1/Ом⋅м.
Таблица 1.2
К сравнению величин первичных продольных параметров,
определенных по "полным" и упрощенным формулам
Z
kk
, Ом/км Z
kl
, Ом/км Метод определения
Re Im Re Im
L
kk
,
мГн/км
L
kl
,
мГн/км
Без аппроксимации
функций Бесселя
0,05875
0,16190 0,04805
0,05972 0,51533
0,19010
При аппроксимации
(
r
2
≠ ∞)
0,05885
0,16188 0,04816
0,05973 0,51529
0,19012
При аппроксимации
(r
2
→ ∞ )
0,05889
0,16194 0,04846
0,05971 0,51546
0,19006
Сравнение приведенных в табл.1.2 значений продольных
сопротивлений показывает, что без особых погрешностей для
рассматриваемых конструкций ГИЛ ТИ с оболочкой из стали можно
пользоваться упрощенными (1.61) и (1.62) формулами при определении
собственных и взаимных продольных сопротивлений. При выполнении же
оболочки ГИЛ ТИ из высокопрочного сплава на основе алюминия при
частотах до 20 кГц необходимо учитывать конечную толщину оболочки и
определять продольные сопротивления по выражениям (1.59) и (1.60),
поскольку в рассматриваемом диапазоне частот длина электромагнитной
волны превышает толщину стенки оболочки .
В табл.1.3 приведены частотные характеристики собственных и
взаимных первичных продольных параметров для рассмотренной выше
конструкции ГИЛ 500 кВ, а также для экспериментального образца ГИЛ
400 кВ (фирмы "ALSTHOM" с параметрами:
r
0
=0,108 м, r
1
=0,6 м, b=0,3 м).
Анализ приведенных в табл.1.3 данных показывает, что при частотах
выше 5 кГц реактивная составляющая продольного сопротивления,
обусловленная магнитным потоком в диэлектрике и стальной оболочке,
играет определяющую роль по сравнению с активной составляющей,
обусловленной рассеиванием энергии в стальной оболочке. При этом
индуктивное сопротивление, связанное с распространением
электромагнитной волны по диэлектрику, с увеличением частоты
доминирует над внутренним индуктивным сопротивлением, связанным с
проникновением магнитного потока в оболочку, и суммарное
сопротивление приближается к значению индуктивного сопротивления,
обусловленного лишь полем в диэлектрике. Таким образом, в диапазоне
частот выше 5 кГц электромагнитные волны практически
распространяются по диэлектрику и внутренней индуктивностью стальной
оболочки можно пренебречь.
Таблица 1.3
Частотные характеристики первичных продольных параметров ГИЛ ТИ
Z
kk
, Ом/км Z
kl
, Ом/км U
ном
,
кВ
f ,
Гц
Re Im Re Im
L
kk
,
мГн/км
L
kl
,
мГн/км
5⋅10
1
0,059 0,162 0,048 0,060 0,515 0,190
5⋅10
2
0,200 1,200 0,136 0,297 0,369 0,094
5⋅10
3
0,800 9,800 0,400 2,100 0,313 0,068
5⋅10
4
2,600 92,40 1,200 18,70 0,294 0,060
500
5⋅10
5
8,500 905,3 3,700 179,5 0,288 0,057
5⋅10
1
0,050 0,151 0,039 0,052 0,482 0,166
5⋅10
2
0,195 1,100 0,111 0,275 0,355 0,088
5⋅10
3
0,700 9,700 0,300 2,100 0,308 0,066
5⋅10
4
2,200 91,90 1,000 18,60 0,293 0,059
400
5⋅10
5
7,100 903,8 3,100 178,9 0,288 0,057
Очевидно, что продольные параметры ГИЛ ТИ зависят от
конструктивных и электрических характеристик, в частности, толщины и
диаметра стальной оболочки, а также от ее удельной проводимости и
магнитной проницаемости.
На практике конструктивные габариты ГИЛ выбирают по условию
обеспечения требуемой электрической прочности комбинированной
изоляции (см. раздел 7.3) и по тепловому режиму эксплуатации ГИЛ,
определяющему ее пропускную способность. Поэтому при одном и том же
номинальном напряжении поперечные габариты ГИЛ ТИ могут отличаться
на 10…15%. При этом значения удельной проводимости и магнитной
проницаемости стальной оболочки зависят от структуры применяемой
стали и могут изменяться в пределах σ
об
=(3…7,3)⋅10
6
1/Ом⋅м, а значения
магнитной проницаемости стали в ее насыщенном состоянии
μ=(200…400)μ
0
.
Из табл.1.3 видно, в рассматриваемом диапазоне частот при
увеличении диаметра стальной оболочки активная составляющая
продольного сопротивления уменьшается за счет ослабления эффекта
близости. Сопоставление частотных характеристик реактивных
составляющих продольных сопротивлений для рассматриваемых
конструкций ГИЛ показывает, что на частотах свыше 5 кГц эти
составляющие незначительно отличаются друг от друга (не более 1…2%),
что дает основание предполагать о небольшом различии и в значениях
волновых сопротивлений.
Численные исследования показали, что продольные параметры
существенно изменяются (40…80%) при варьировании в указанных выше
диапазонах магнитной проницаемости и удельной проводимости стальной
оболочки. При этом возрастание μ
об
приводит к большему проникновению
магнитного потока в толщу оболочки и, как следствие, к более
существенному увеличению активного и внутреннего индуктивного
сопротивлений с ростом частоты. Возрастание же σ
об
приводит к
уменьшению вследствие ослабления скин-эффекта, активной и внутренней
реактивной составляющих продольного сопротивления. Таким образом,
увеличение μ
об
и σ
об
приводит в первом случае к усилению зависимости
продольных параметров от частоты, во втором – к уменьшению этой
зависимости. Следует отметить, что при частотах, отвечающих грозовым
перенапряжениям (200 кГц и выше), реактивные составляющие
продольных сопротивлений практически не зависят от значений μ
об
и σ
об
за счет вытеснения магнитного поля в диэлектрик. При исследовании же
низкочастотных электромагнитных процессов в ГИЛ, например при
определении потерь мощности в оболочке или анализе внутренних
перенапряжений, необходимо более строго оценивать величины μ
об
и σ
об
,
по возможности определяя их применительно к рассматриваемой
конструкции.
В случае высокочастотных процессов, характерных для грозовых
воздействий, определение индуктивности токопроводящей жилы
относительно оболочки при пренебрежении потерями в ней может быть
произведено с помощью конформных отображений аналогично тому, как в
следующем подразделе определяется емкость ТПЖ относительно
заземленной оболочки.
1.2.3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГОННЫХ
ЕМКОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ГИЛ
В ГИЛ поперечная проводимость
Y=(j+tgδ)ωC (1.63)
в основном определяется емкостной составляющей, поскольку
диэлектрические потери достаточно малы (σ
SF6
≅2⋅10
-7
1/Ом⋅м). Поэтому
определение поперечных параметров ГИЛ сведем к нахождению
поперечных погонных емкостей.
Матрица коэффициентов электростатической индукции определяется
как:
1
−
= αβ
, (1.64)
где - матрица потенциальных коэффициентов в
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ααα
ααα
ααα
=
ффффф
ффффф
ффффф
α
симметричной конструкции ГИЛ ТИ.
Ниже потенциальные коэффициенты в рассматриваемой
симметричной конструкции ГИЛ ТИ определены при следующих
допущениях:
•
При определении собственных потенциальных коэффициентов
примем, что заряды, наводимые на поверхностях ТПЖ фаз
В и С при
заряженной ТПЖ фазы
А не влияют на картину электростатического поля
(т.е. при определении напряженности на поверхности ТПЖ фазы
А,
обусловленной зарядом этой фазы, не учитывается влияние наведенных
потенциалов от ТПЖ фаз
В и С)
• При определении взаимных потенциальных коэффициентов
пренебрежем геометрическими размерами фаз
B и C, т.е. представим эти
ТПЖ в виде длинных нитей, расположенных в их центрах.
При этих допущениях для определения потенциальных
коэффициентов может быть применен метод конформных отображений.
Для определения собственных потенциальных коэффициентов
поместим фазу
А, расположенную эксцентрично по отношению к
оболочке, в центр коаксиальной системы на плоскости
w (рис.1.8).
ρ
w
A
B
A
B
r
1w
z w
r
1
Рис. 1.8 К определению собственных потенциальных коэффициентов
Функция, осуществляющая конформное отображение фаз
А, В и С в
центр коаксиальной системы на плоскости
w, имеет вид:
20
10
)(
)(
aeerb
aeerb
w
jj
jj
−+
−+
=
ψ−γ
ψ
−
γ
, (1.65)
где ψ = 0, 4π/3, 2π/3 - для фаз А, В и С, соответственно,
a
1
и a
2
– точки, сопряженные относительно двух окружностей на плоскости
z – фазы А и оболочки.
Функцию, отображающую фазу
А в центр коаксиальной системы
запишем в виде:
*
2
*
*
2
*
/1
az
az
w
−
−
=
. (1.66)
Все величины, входящие в (1.66), записаны в относительных единицах
по отношению к внутреннему радиусу оболочки
r
1
.
На плоскости
w собственные и взаимные потенциальные коэффициенты
запишутся в виде:
*
0
*
1
0
ф
ln
2
1
w
w
r
r
πε
=α
,
*
*
1
0
фф
ln
2
1
w
w
r
ρ
πε
=α
, (1.67)
где
*
2
*
1
/1 ar
w
=
,
2*22*
0
2*
**
2*
0
2*
*
2
4)1(
2
1
2
1
brb
bb
rb
a −+−+
+−
=
,
1
*
/ rbb =
, ,
10
*
0
/ rrr =
)(
1)(
*
2
**
0
*
2
**
0
*
2
*
0
abra
bra
r
w
−+
−+
=
,
*
2
*2*
2
2**
2
*
2
**
2
*
*
1)1(
ababa
abab
w
++
++
=ρ
.
В общем случае при асимметричном расположении ТПЖ
относительно центра ГИЛ собственные емкости С
kk
и емкости между
жилами
C
kl
при известных значениях коэффициентов электростатической
индукции определяются как:
С
А
= β
АА
+ β
АВ
+β
АС
, С
В
= β
ВВ
+ β
ВА
+β
ВС
, С
С
= β
СС
+ β
СА
+β
СВ
,
С
kl
= - β
kl
. (1.68)
При симметричной конструкции ГИЛ ТИ собственные емкости и
емкости между жилами могут быть определены по следующим
выражениям:
α
ααα
αα
−+
−
=
фф
2
фффф
ффф
ф
2)(
C
,
α
ααα
α
−+
=
фф
2
фффф
фф
фф
2)(
C
. (1.69)
В табл.1.4 приведены первичные емкостные параметры для ГИЛ ТИ
номинальным напряжением 500 кВ.
Таблица 1.4
Первичные емкостные параметры ГИЛ ТИ
α
ф
,
км/нФ
α
фф
,
км/нФ
β
ф
,
нФ/км
β
фф
,
нФ/км
С
ф
,
нФ/км
С
фф
,
нФ/км
0,0254 0,0047 41,85
-6,585
28,68
6,585
Следует отметить, что емкостные параметры для ГИЛ 400 кВ будут
аналогичны параметрам приведенным в табл.1.4. Это обусловлено тем
обстоятельством, что габариты ГИЛ ТИ отвечают следующим
оптимальным соотношениям, определяемым минимумом напряженности
электрического поля в трехфазной конструкции:
b=0,5r
1
и r
0
=(0,18…0,2)r
1
.
Из приведенных результатов также следует, что емкости ГИЛ ТИ
существенно меньше соответствующих емкостей маслонаполненных
кабелей (МНК) и кабелей с пластмассовой изоляцией (КПИ), которые
составляют сотни нФ/км. Это связано с конструктивными особенностями
ГИЛ и различием в относительной диэлектрической проницаемости
(ε
мнк
/ε
гил
=3,2…3,6 и ε
кпи
/ε
гил
=2,3…2,5). Последнее обстоятельство
свидетельствует о преимуществе ГИЛ ТИ по отношению к МНК и КПИ с
точки зрения генерации реактивной мощности.
1.2.4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРВИЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ГИЛ
Применение аналитического метода расчета первичных параметров
ГИЛ при приведенных выше допущениях в некоторых случаях приводит к
погрешностям, которые могут повлиять на результаты и, как следствие, к
принятию неоптимальных технических решений, связанных, в частности, с
выбором системы защитных мер от перенапряжений. Вместе с тем
первичные параметры ГИЛ в настоящее время могут быть определены на
основе численного решения уравнений электромагнитного поля без
внесения в расчеты допущений, принятых в аналитической методике, т.е.
при учете конечных размеров ТПЖ. В качестве численного метода анализа
электромагнитного поля в конструкции ГИЛ может быть использован
метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий получать решение
плоских и пространственных электромагнитных полей при различной
форме токопроводящих взаимосвязанных элементов (в рассматриваемой
конструкции токопроводящими элементами являются три ТПЖ и
металлическая оболочка). Ниже приведены первичные параметры ГИЛ,
полученные при использовании одного из численных методов решения
уравнений в частных производных – метода конечных элементов. В