Кадомская К.П. Перенапряжения в электрических сетях различного назначения и защита от них
Подождите немного. Документ загружается.
где
[]
T
321
...
n
UUUU=U
,
[
]
T
321
...
n
IIII=I
- векторы
операторных изображений напряжений на проводах ВЛ и токов в этих
проводах;
)з()п(
ZZMZ ++= p
- квадратная матрица порядка n собственных и
взаимных продольных погонных сопротивлений;
M – квадратная матрица взаимных и собственных (при k=i)
индуктивностей между k-м и i-м проводами (М
ki
), обусловленных
магнитными потоками, замыкающимися в воздушной среде;
Z
(п)
– диагональная матрица собственных сопротивлений проводов с
учетом магнитных потоков, проникающих в эти провода;
Z
(з)
– квадратная матрица взаимных и собственных (при k=i)
сопротивлений в цепи k-й и i-й провода, вызванных магнитными потоками,
проникающими в землю;
Y – квадратная матрица собственных и взаимных проводимостей на
единицу длины ВЛ.
1.1.2 ПЕРВИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВЛ
1.1.2.1 ПРОДОЛЬНЫЕ ПОГОННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Элементы матрицы М, входящих в уравнение (1.5), определяются по
общеизвестным формулам (см., например, [2]):
ki
ki
ki
d
D
M ln
2
0
π
μ
=
,
i
ii
iiii
r
h
LM
2
ln==
, (1.6)
где D
ki
, d
ki
, h
i
показаны на рис.1.1.
Входящий в выражения (1.6) радиус r
i
в случае нерасщепленного
провода является его внешним радиусом, в случае же расщепленного
провода равен эквивалентному радиусу r
i
=r
iэ.
Определим эквивалентный
радиус расщепленной фазы (рис.1.2).
При допущении о равномерном распределении тока по
составляющим и пренебрежении влиянием электромагнитного поля
соседних фаз поток, связанный, например, с проводом 1, определится как:
)....(
)1(1121111 −
+
+
+=ψ
n
ММLi , (1.7)
где собственные и взаимные индуктивности между составляющими
фазного провода могут быть определены по выражениям (1.6). При этом
высота подвеса составляющих над землей может быть принята одинаковой
и равной высоте подвеса центра расщепленной фазы. Тогда выражение
(1.7) может быть переписано в виде:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
π
μ
=ψ
−
−
)1(1
)1(1
12
12
0
0
11
ln...ln
2
ln
2
n
n
d
D
d
D
r
h
i
. (1.8)
Θ
ki
D
ki
i
*'
i
k
h
i
h
i
h
i+
h
з
h
з
i
'
d
ki
b
ki
D
ki
*
h
i+
h
з
h
k
Рис.1.1 К определению продольных погонных параметров ВЛ
2π/n
r
р
r0
1
23
4
n
n-1
Рис. 1.2 Эскиз расщепленной фазы
Из-за достаточно большой высоты подвеса расщепленного провода
над землей по сравнению с расстояниями между составляющими в
выражении (1.8) можно принять hDD
n
2....
)1(112
=
=
=
−
. Расстояния между
составляющими можно выразить через радиус расщепления:
n
k
rd
k
π
= sin2
р1
. (1.9)
Подставляя вместо D
1k
2h c учетом (1.9), перепишем (1.8) в виде:
∏
−
=
−
π
=ψ
1
1
1
р0
11
sin)2(
)2(
ln
n
k
n
n
n
k
rr
h
i
(1.10)
Учитывая, что
1
1
1
2
sin
−
−
=
=
π
∏
n
n
k
n
n
k
, получим
n
n
rnr
h
i
1
р0
1
2
ln
−
=ψ
. (1.11)
Следовательно, эквивалентный радиус расщепленной фазы
определится как:
n
n
rnrr
1
р0э
−
=
, (1.12)
где r
0
– радиус составляющей.
Поскольку провода ВЛ провисают над поверхностью земли, то
принимаемая в расчетах высота подвеса провода h зависит от задачи,
которую предстоит решить. Так, например, если исследуются
электростатические или электромагнитные поля под ВЛ, то в качестве
расчетной величины следует брать минимальное расстояние до земли, т.е.
расстояние в наинизшей точке провеса провода в пролете. Если
исследуются коммутационные перенапряжения, охватывающие всю длину
линии, то целесообразно в качестве расчетной величины принимать
некоторое среднее значение высоты подвеса провода в пролете,
определяемое согласно уравнению длинной нити, как
проп
3
2
fhh
−= , где
- высота подвеса провода на опоре, - наибольшая стрела провеса
провода в средней части пролета. При исследовании грозовых
перенапряжений, если необходимо рассмотреть процессы на относительно
коротком участке ВЛ, в расчетах следует принимать высоту подвеса
провода на рассматриваемом участке ВЛ.
оп
h
пр
f
Составляющая погонного продольного сопротивления, вносимая
проводом.
Перейдем к определению матрицы продольных погонных
сопротивлений, обусловленной проникновением магнитного поля в провод
ВЛ – Z
(п)
.
Элементы этой матрицы могут быть определены из соотношения:
)(
)(
п
pI
pE
Z
i
xi
ii
=
, (1.13)
где
)( pE
xi
- операторное изображение продольной составляющей
напряженности Е
х
у поверхности провода вследствие протекания тока по
этому проводу. При пренебрежении поперечными токами в проводах и при
пренебрежении эффектом близости (влиянием электромагнитного поля
соседних фаз), т.е. при осесимметричном распределении плотности тока, а
следовательно и компонент поля Е и Н в проводе, из уравнений Максвелла
(1.1) и (1.2) путем преобразований можно получить уравнения Бесселя для
комплексных амплитуд составляющей (или составляющей плотности
тока на поверхности провода -
)(п
x
E
&
)(п
п
x
п
x
E
ρ
=δ
&
&
) и составляющей :
)(п
H
ϕ
&
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=−+
δ=
δ
+
δ
ϕ
ϕϕϕ
)(2
2
)()(
2
)(2
)(2
)(
2
)(2
)(
1
)(
),(
1
)(
п
ппп
п
x
п
x
n
x
Hk
r
H
dr
rHd
r
dr
rHd
rk
dr
d
r
dr
rd
&
&
&&&
&
&
&&
, (1.14)
где
keek
jj 4/4/ ππ
=ωμσ=
&
,
ρ
=
σ
/
1
.
Уравнения (1.14) являются уравнениями Бесселя относительно
независимой переменной
r
k
&
, решение которых записывается в виде:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
+=δ
ϕ
),()()(
),()()(
11
)(
00
)(
rkBKrkAIrkHk
rkBKrkAIrk
п
п
x
&&&
&
&
&&&
&
(1.15)
где I
0
, I
1
, K
0
, K
1
– модифицированные функции Бесселя первого и второго
рода нулевого и первого порядков, соответственно.
Поскольку на оси провода (r=0) характеристики поля остаются
конечными, но при этом I
0
(0)=1, I
1
(0)=0, K
0
(0)= K
1
(0)→∞, то коэффициенты
B=0. Следовательно, уравнения (1.15) перепишутся в виде:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=δ
ϕ
).()(
),()(
1
)(
0
)(
rkAIrkHk
rkAIrk
п
п
x
&&
&
&
&&
&
(1.16)
Постоянная интегрирования А
1
находится на основе закона полного
тока:
IdlН
п
=
∫
ϕ
)(
&
или
0
0
2
)(
r
I
rH
π
=
ϕ
&
. (r
0
=r
п
). (1.17)
Из второго выражения системы (1.16) следует:
)(2
010
rkIr
Ik
A
&
&
π
=
. (1.18)
Подставляя (1.18) в первое выражение системы (1.16), получим:
)(
)(
2
01
00
п0
rkI
rkI
r
Ik
E
x
&
&
&
&
σπ
=
. (1.19)
Следовательно, продольное погонное сопротивление, определяемое
магнитным потоком в нерасщепленном проводе радиуса r
0
определится
как:
)(
)(
2
01
00
п0
)п(
rkI
rkI
r
k
Z
&
&
&
&
σπ
=
. (1.20)
Одиночные провода ВЛ имеют шероховатую поверхность,
многожильную структуру и скрутку с несколькими повивами. Поэтому их
фактическое сопротивление оказывается несколько выше, чем
определенное по выражению (1.20). В [3] на основе экспериментальных
исследований для учета этого обстоятельства в (1.20) вводится
поправочный коэффициент s. В диапазоне частот 50 Гц…1 МГц для
проводов с двумя и более повивами этот коэффициент находится в
диапазоне 1,4…1,7, для проводов с одним повивом из алюминиевых
проволок – в диапазоне 2,0…4,5. В [3] предлагается также поправочный
коэффициент для расщепленных проводов, учитывающий, в том числе,
эффект близости между составляющими радиуса r
0.
Этот коэффициент
предлагается определять как:
nr
rnr
р
0р
р
)1(
−
+
≈η
, (1.21)
где r
0
, n – радиус составляющей и число составляющих в фазе, r
р
– радиус
расщепления.
С учетом этих коэффициентов сопротивление расщепленной фазы в
[3] рекомендуется определять как:
)(
)(
2
01
00
р
п0
)п(
rkI
rkI
s
r
k
Z
&
&
&
&
η
σπ
=
. (1.22)
Составляющая продольного погонного сопротивления, вносимая
землей.
Для определения сопротивления, вносимого землей, воспользуемся
решением уравнений электромагнитного поля для системы
цилиндрический провод над плоской однородной землей, полученным Г.А.
Гринбергом и Б.Э. Бонштедтом [4]. Если воспользоваться этой теорией, то
в квазистационарном приближении, т.е. без учетов токов смещения и
поперечных составляющих E
y
и E
z
(рис.1.1) в земле, расчетные формулы
для определения матрицы погонных продольных сопротивлений,
вносимых землей, совпадают с выражениями Карсона [2],
представленными в операторной форме:
λ
ρ
μ
+λ+λ
λ
π
μ
=
∫
∞
+
λ
−
d
p
bep
Z
з
ki
hh
ki
ik
00
2
)(
0
)з(
cos2
2
. (1.23)
Для петли i-ый провод – земля определяется также по
выражению (1.23) при b
)з(
ii
Z
ki
=0 и h
k
= h
i
.
В [2] c помощью способа предельных точек, предложенного
М.В.Костенко в [5], на основе (1.23) получена простая и наглядная
формула для определения :
)з(
ki
Z
kikiki
kiki
ki
d
D
jZ
β⋅α
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β+α
π
ωμ
≈
coscos
ln
22
0
)з(
(1.24)
где khhD
ik
/2++=
з
k σωμ=
0
,
D
kb
arctg
ki
ki
/2+
=α
,
D
kb
arctg
ki
ki
/2−
=β
,
22
)(
kikiki
hhbd −+=
.
Модуль волнового числа на частоте 50 Гц при σ
з
=1/300 1/Ом⋅м
оказывается равным k=0,0011 1/м. Следовательно, расстояние до линии
магнитной симметрии поля (рис.1.1) будет
kh
з
/1
=
=872 м. В этом случае
высотами подвеса проводов над землей можно пренебречь и мнимая часть
выражения (1.24) перепишется в виде:
ki
ki
d
h
jZ
з0
)з(
2
ln
2
Im
π
ω
μ
=
, (1.25)
где .
kh /1
з
=
В этом случае активная составляющая Z
ki
равна нулю, так как
пренебрежению высотами подвеса проводов над землей отвечает модель, в
которой диэлектриком является среда выше плоскости, расположенной в
земле на расстоянии от её поверхности, среда же расположенная ниже
этой плоскости является сверхпроводящей.
з
h
При исследовании внутренних и грозовых перенапряжений
необходимо пользоваться выражениями (1.24), так как на высокой частоте
расстояние существенно уменьшается, что не позволяет пользоваться
упрощенной формулой (1.25). Действительно, на частоте 1 МГц при
σ
з
h
з
=1/300 1/Ом⋅м k=0,16 1/м и kh /1
з
=
=6,16 м. При определении
собственных продольных сопротивлений в выражении (1.24) следует
положить b
ki
=0 и h
k
=h
i
, d
ki
=r
э
.
Определим частотные зависимости индуктивных и активных
продольных сопротивлений ВЛ 500 кВ стандартного исполнения с
горизонтальной подвеской проводов.
Пример. ВЛ 500 кВ с горизонтальной подвеской фаз (рис.1.3)
характеризуется следующими габаритами: b
12
= b
23
=11,6 м, b
13
=23,2 м, h
1
=
h
2
= h
3
=14,5 (высота подвеса проводов на опоре – 22,5 м, стрела провеса 12
м). Провода 3АС 400/51, r
0
=1,13 cм, расстояние между составляющими –
40 см, радиус расщепления – 17,3 см. Удельное сопротивление земли
принято равным
ρ
з
=300 Ом⋅м, удельная проводимость провода из
алюминия -
σ = 3,6⋅10
7
1/Ом⋅м.
Ниже приведены матрицы погонных продольных сопротивлений на
частотах 50 Гц и 1МГц для приведенной конструкции, рассчитанные по
приведенной выше методике:
11,6 м 11,6 м
4,5 м
22,5 м
Рис.1.3 Эскиз конструкции опоры ВЛ 500 кВ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
+++
+
+
+
=
6142.00491.03157.00486.02721.00484.0
3157.00486.06142.00491.03157.00486.0
2721.00486.03157.00486.06142.00491.0
Гц50
jjj
jjj
jjj
Z
Ом/км,
3
МГц
1
10
4812.72855.05636.12625.08236.02109.0
5636.12625.04812.72855.05636.12625.0
8236.02109.05636.12625.04812.72855.0
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
+++
+
+
+
=
jjj
jjj
jjj
Z
Ом/км.
Сравнение приведенных выражений прежде всего говорит о том, что
соотношение между собственными и взаимными продольными
индуктивными сопротивлениями на высокой частоте (на частоте 1 МГц)
существенно больше, чем на частоте 50 Гц. Это объясняется тем, что на
высокой частоте глубина проникновения магнитного потока в землю
невелика (6,16 м) и поэтому параметры, в основном, определяются
геометрией расположения проводов над поверхностью земли. Удвоенные
же высоты проводов, определяющие собственные сопротивления, при этом
отличаются от расстояний между проводами и зеркальными
расположениями проводов других фаз относительно плоскости магнитной
симметрии достаточно существенно. В случае же заглубления линии
магнитной симметрии на расстояние 871,7 м на частоте 50 Гц эти
расстояния близки между собой. Ниже приведены для этих же частот
матрицы погонных продольных сопротивлений, определяемые
проникновением магнитного поля в провода (Ом/км):
,
4
Гц50п
10
9929.05042.400
09929.05042.40
009929.05042.4
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
j
j
j
Z
.
2
Мгц1п
10
9784.29896.200
09784.29896.20
009784.29896.2
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
j
j
j
Z
Сравнение значений продольных сопротивлений проводов с
полными погонными продольными сопротивлениями, характеризующими
магнитное поле в диэлектрике и в земле, показывает, что доля в полном
сопротивлении сопротивления проводов не значительна и в ряде
практических расчетов может не учитываться.
При исследовании коммутационных перенапряжений в
электропередачах, содержащих транспонированные ВЛ с полным циклом
транспозиции, фазные и междуфазные погонные сопротивления можно
усреднять. Зависимости активных и индуктивных составляющих
усредненных погонных продольных сопротивлений от частоты приведены
в табл.1.1.
Таблица 1.1
Зависимости продольных параметров ВЛ 500 кВ от частоты
f , Гц Параметры Размерность
50 10
3
10
4
10
5
10
6
h
з
м 871.7 194.9 61.6 19.5 6.2
Re(Z
ф.ср.
)
Ом/км 0.0491 0.900 8.10 57.0 285.5
Im(Z
ф.ср.
)
Ом/км 0.6142 10.5 91.4 809 7481.7
Re(Z
фф.ср.
)
Ом/км 0.0486 0.900 8.00 54.4 252.7
Im(Z
фф.ср.
)
Ом/км 0.3395 5.0 36.6 263 2073
L
ф
мГн/км 1.955 1.663 1.455 1.288 1.191
М
фф
мГн/км 1.082 0.790 0.583 0.418 0.330
Усредненные значения коэффициентов самоиндукции и взаимной
индукции, определяемые магнитным потоком в диэлектрике без учета
проникновения магнитного потока в провода и землю в рассматриваемой
конструкции ВЛ 500 кВ согласно выражениям (1.6) составляют: L
ф
=1,133
мГн/км, М
ф
=0,282 мГн/км. Эти значения достаточно близки к значениям,
полученным для частоты 1 МГц при учете проникновения магнитного
поля в провода и в землю из-за малой глубины проникновения магнитного
поля в землю (h
з
=6,6 м).
1.1.2.2 ПОПЕРЕЧНЫЕ ПОГОННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Поперечными параметрами в ВЛ являются погонные емкости на
землю и между фазами, а также погонные активные утечки g на
изолирующих подвесках ВЛ. Линии электропередачи высокого
напряжения характеризуются практически совершенной изоляцией и при
анализе перенапряжений достаточно правомочно пренебречь активными
утечками даже в случае загрязнений изолирующих подвесок проводящими
отложениями. Активные утечки возникают также при коронировании
проводов ВЛ. Процесс коронирования описывается нелинейными
характеристиками и учитывается обычно с помощью дополнительных
нелинейных элементов (дополнительной емкости, учитывающей коронный
“чехол” на проводах, радиус которого зависит от напряжения на проводе и
дополнительных активных утечек, учитывающих потери на общую или
местную короны на проводах ВЛ). В настоящем же разделе
рассматриваются параметры ВЛ при напряжениях, меньших напряжения
начала коронирования проводов.
Рассмотрим систему параллельных проводов над плоской поверхностью
земли, потенциал которой примем равным нулю. Эскиз расположения
расщепленных проводов над землей приведен на рис.1.4.
2
1 3
ABC
R
р
r
0
h
1
h
2
h
3
b
12
b
23
b
13
x
r
э
h
1
а) б)
Рис.1.4. Эскиз расположения расщепленных проводов ВЛ (а)
и эскиз расположения одной из фаз ВЛ при замене
расщепленной фазы одиночным проводом (б)
Векторы напряжений (матрица-столбец) напряжений на всех
составляющих n-проводной ВЛ связаны с векторами зарядов (матрицей-