J?rgen Adamy - Nichtlineare Regelungen

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6.1. Beobachtbarkeit nichtlinearer Systeme 297

ϕ(z, u, ˙u,...,u

(n)

)

˙z

n−1

y = z

...

˙u

(n)

Bild 6.4: System in Beobachtbarkeitsnormalform.

direkt aus den Systemgleichungen auf die Beobachtbarkeit schließen. Denn

uber die Integriererkette in Gl. (6.6) wirken alle Zust

ande z

auf den Aus-

gangswert y = z

und aus dem Ausgangswert y und seinen Ableitungen y

(i)

onnen alle Zustandswerte z

ermittelt werden. Ein System, das in nichtlinea-

rer Beobachtungsnormalform vorliegt, ist folglich immer global beobachtbar.

Des Weiteren kann jedes global beobachtbare System in die Beobachtungs-

normalform transformiert werden.

6.1.6 Beobachtbarkeit eingangslinearer Systeme

Wir betrachten nun eingangslineare Systeme

˙x = a(x)+b(x)u,

y = c(x).

(6.7)

Wie im allgemeineren Fall ˙x = f (x, u),y= g(x, u) des Abschnittes 6.1.4,

bestimmen wir

y = c(x),

˙y = L

c(x)+L

c(x)u,

¨y = L

c(x)+L

c(x)u + L

c(x)u

+ L

c(x)˙u,

(n−1)

= L

n−1

c(x)+L

n−2

c(x)u + ...+ L

n−1

c(x)u

n−1

+ L

c(x)u

(n−2)

So erhalten wir die Transformationsgleichung

298 Kapitel 6. Beobachter f

ur nichtlineare Systeme

z =

⎡

⎢

⎣

˙y

(n−1)

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

c(x)

c(x)+L

c(x)u

n−1

c(x)+...+ L

c(x)u

(n−2)

⎤

⎥

⎦

= q(x,u, ˙u,...,u

(n−2)

Wir sahen schon in Kapitel 4.2, dass die Terme L

k−1

c(x) identisch null

sind f

ur alle k<δ.Dabeiistδ die Diﬀerenzordnung des Systems (6.7).

Wir k

onnen die Beobachtbarkeit des Systems (6.7) anhand der Eindeutig-

keit der Abbildung q bzw. ihrer Jacobi-Matrix untersuchen. Dazu lassen sich

die S

atze 27 und 28 verwenden.

Wir erhalten f

ur die Jacobi-Matrix

∂q

∂x

⎡

⎢

⎣

∂c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

u +

∂L

c(x)

∂x

u +

∂L

c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

˙u

∂L

n−1

c(x)

∂x

∂L

n−2

c(x)

∂x

u + ...+

∂L

c(x)

∂x

(n−2)

⎤

⎥

⎦

Die Erf

ullbarkeit der Rangbedingung rang (∂q/∂x)=n des Satzes 28 ist

auch hier von u abh

angig. Oﬀensichtlich kann es Eingangssignale u geben, so

dass die Rangbedingung nicht erf

ullt ist und das System nicht beobachtbar

ist. Allerdings kann mittels Satz 28 keine Aussage

uber die Beobachtbarkeit

getroﬀen werden, wenn die Rangbedingung nicht erf

ullt ist. Denn Satz 28 ist

nur hinreichend.

Wir betrachten das einfache Beispiel

˙x

= −x

+ x

˙x

= −x

y = x

(6.8)

Es gilt

∂q

∂x

⎡

⎢

⎣

∂c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

∂L

c(x)

∂x

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

0 u − 1

⎤

⎥

⎦

ur u =1istrang(∂q/∂x) = 2 und das System lokal beobachtbar. Ist u =

1, so hat ∂q/∂x nur den Rang eins. In der Tat ist das System (6.8) nicht

beobachtbar f

ur u =1,denndanngilt

6.2. Luenberger-Beobachter f

ur nichtlineare Regelkreise 299

˙x

=0,

˙x

= −x

y = x

und f

ur dieses System kann man aus der Kenntnis von y und u den Wert von

nicht bestimmen. Mittels des notwendigen und hinreichenden Beobacht-

barkeitskriteriums f

ur lineare Systeme l

asst sich dies auch zeigen, denn die

Beobachtbarkeitsmatrix aus Gl. (6.2) f

ur obiges System,









besitzt nur den Rang eins.

ur eingangslineare Systeme (6.7), die den relativen Grad n aufweisen und

durch einen Diﬀeomorphismus z = q(x)=t(x)indieForm

⎡

⎢

⎣

˙z

n−1

˙z

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

c(t

−1

(z)) + L

n−1

c(t

−1

(z))u

⎤

⎥

⎦

gebracht werden k

onnen, ist die Frage nach ihrer Beobachtbarkeit leicht zu

beantworten. Denn sie liegen in nichtlinearer Beobachtbarkeitsnormalform vor

und sind daher immer global beobachtbar.

6.2 Luenberger-Beobachter f

ur nichtlineare Regelkreise

Die Beobachtertheorie von D. G. Luenberger wurde f

ur lineare Systeme ent-

wickelt. F

ur den Fall eines Regelkreises mit linearer Regelstrecke

˙x = Ax + Bu,

y = Cx

und nichtlinearem Regler

u = h(x, w),

also einem nichtlinearen Regelkreis mit der Systembeschreibung

˙x = Ax + Bh(x, w),

kann ebenfalls ein Luenberger-Beobachter zum Einsatz kommen [122]. Wie im

linearen Fall, besteht er aus einem Streckenmodell und einem R

uckkopplungs-

system, das wie ein Regler wirkt:

˜x = A˜x + Bu



 

Modell

+ L(y − C ˜x)

  

uckkopplungssystem

300 Kapitel 6. Beobachter f

ur nichtlineare Systeme

DieAufgabedesR

uckkopplungssystems L (y − C ˜x) ist es, den Sch

atzfehler

e = x − ˜x,

d. h. die Diﬀerenz von Streckenzustand x und Beobachterzustand ˜x,asympto-

tisch abklingen zu lassen. Bild 6.5 zeigt die Struktur des Regelungssystems

mit Beobachter und nichtlinearem Regelgesetz u = h(˜x, w).

h(˜x, w)

˜y

y − ˜y

˙x = Ax+ Bu

y = Cx

˜x

˜x = A ˜x+Bu+v

˜y = C ˜x

Beobachter

Regler

Regelstrecke

Bild 6.5: Struktur des Systems mit linearer Regelstrecke, nichtlinearem Regler und

linearem Beobachter.

Ohne Einschr

ankung der Allgemeinheit ist es im Falle eines konstanten

uhrungsgr

oßenvektors w m

oglich, das Regelungssystem so zu transformie-

ren, dass w = 0 gilt. Man kann dann von einem Regler

u = h(˜x)

ausgehen, was im Folgenden auch geschieht.

Zusammengefasst gilt folgender Satz von D. G. Luenberger.

Satz 29 (Luenberger-Beobachter f

ur nichtlineare Regelkreise). Ge-

geben sei das Regelungssystem

˙x = Ax + Bu, y = Cx,

u = h(x)

mit der global (lokal) asymptotisch stabilen Ruhelage x

= 0. Die Vektorfunk-

tion h erf

ulle die Lipschitz-Bedingung

6.3. Beobachterentwurf mittels Linearisierung 301

||h(x

) − h(x

)|| ≤ k ·||x

− x

ur alle x

, x

∈ IR

ur alle x

, x

aus einer Umgebung U ⊂ IR

von x

=0)

und ein k>0.F

ugt man dann einen asymptotisch stabilen, linearen Beob-

achter in das Regelungssystem ein, d. h., hat das Gesamtsystem die Form

˙x = Ax + Bu, y = Cx,

u = h(˜x),

˜x = A˜x + Bu + L(y − C ˜x),

so besitzt dieses System ebenfalls eine global (lokal) asymptotisch stabile Ru-

helage in



˜x



= 0

Funktionen, die die Lipschitz-Bedingung erf

ullen, heißen lipschitzstetig.

Diﬀerenzierbare Funktionen sind genau dann lipschitzstetig, wenn ihre Ablei-

tungen beschr

ankt sind. Typische Anwendungsf

alle f

ur Satz 29 sind die Rege-

lungen aus Kapitel 3, d. h. strukturvariable Regelungen oder S

attigungsregler.

6.3 Beobachterentwurf mittels Linearisierung

6.3.1 Funktionsweise und Entwurf

Wir bleiben auch in diesem Kapitel gedanklich beim Luenberger-Beobachter

und wollen von seiner Grundidee bei der Entwicklung eines Beobachters f

nichtlineare Systeme proﬁtieren.

Betrachtet man ein lineares System

˙x = Ax + Bu,

y = Cx

mit Beobachter

˜x = A˜x + Bu + L(y − C ˜x),

so liegt der Gedanke nahe, dieses Schema auf nichtlineare Systeme

˙x = f (x, u),

y = g(x)

ubertragen. Der Beobachter hat dann die Form

˜x = f (˜x, u)+L(y − g(˜x)).

ur den Beobachterfehler

e = x − ˜x

302 Kapitel 6. Beobachter f

ur nichtlineare Systeme

gilt

˙e = f(˜x + e, u) − f (˜x, u) − L(y − g(˜x)).

Man erh

alt also eine nichtlineare Diﬀerenzialgleichung f

ur den Beobachterfeh-

ler. Ersetzt man noch

y = g(x)=g(˜x + e)

in ihr, so ergibt sich

˙e = f (˜x + e, u) − f(˜x, u) − L(g(˜x + e) − g(˜x)). (6.9)

Damit der Beobachterfehler e asymptotisch abklingt, steht man vor der

Entwurfsaufgabe, die obige nichtlineare Systemgleichung (6.9) mittels L so

auszulegen, dass in e = 0 eine asymptotisch stabile Ruhelage vorliegt.

DieeinfachsteVorgehensweisef

ur den Entwurf der Beobachtermatrix

L f

uhrt

uber die Linearisierung der Gleichung (6.9). Mittels einer Taylor-

Entwicklung linearisiert man um einen festen Punkt ˜x

und erh

alt

f(˜x

+ Δ˜x + e, u)=f(˜x

, u)+

∂f

∂ ˜x



˜x=˜x

  

·(Δ˜x + e)+...,

wobei wir u als Systemparameter auﬀassen. Des Weiteren gilt

f(˜x

+ Δ˜x, u)=f(˜x

, u)+A · Δ˜x + ...

ur die Ausgangsvektorfunktion g erh

alt man ganz

ahnlich

g(˜x

+ Δ˜x + e)=g(˜x

∂g

∂ ˜x



˜x=˜x

  

·(Δ˜x + e)+...,

sowie

g(˜x

+ Δ˜x)=g(˜x

)+C · Δ˜x + ...

Setzt man obige Taylor-Entwicklungen – abgebrochen nach der ersten Ablei-

tung – in die Beobachtergleichung (6.9) ein, so ergibt sich

˙e ≈ (A − LC) · e, (6.10)

d. h. die Sch

atzgleichung des linearen Beobachters. Dabei ist zu ber

ucksichti-

gen, dass Gl. (6.10) aufgrund der Vernachl

assigung h

oherer Ableitungen in

den Taylor-Reihen nur eine N

aherung darstellt.

Legt man die Matrix A − LC des Beobachters stabil aus, so wird auch

der Beobachterfehler e f

ur t →∞gegen null streben. Die Situation

ahnelt

6.3. Beobachterentwurf mittels Linearisierung 303

also der linearer Systeme mit linearen Beobachtern. Allerdings gilt diese Stabi-

lit

atsaussage aufgrund obiger N

aherung nur in einer mehr oder weniger großen

Umgebung des Linearisierungspunktes ˜x

Will man zu besseren, weitreichenderen Ergebnissen kommen, so kann man

die oben beschriebene Linearisierung in Abh

angigkeit von ˜x und u vornehmen,

d. h., die Systemmatrix

A(˜x, u)=

∂f(˜x, u)

∂ ˜x

und die Ausgangsmatrix

C(˜x)=

∂g(˜x)

∂ ˜x

sind nicht mehr konstant, sondern vom Arbeitspunkt abh

angig.

Des Weiteren w

ahlt man nun die Beobachtermatrix L als Funktion von ˜x

und u zu L(˜x, u). So ergibt sich anstelle der linearen Sch

atzfehlergleichung

˙e =(A − LC) · e

des Beobachters eine von ˜x und u abh

angige nichtlineare Gleichung

˙e =(A(˜x, u) − L(˜x, u)C(˜x)) · e,

die ein Kontinuum von Arbeitspunkten ber

ucksichtigt und entsprechend ef-

fektiver sein kann.

Ziel ist es nun, die Systemmatrix

F (˜x, u)=A(˜x, u) − L(˜x, u)C(˜x

)

der Sch

atzfehlergleichung durch geeignete Wahl von L(˜x, u) konstant auszu-

legen. Dies geschieht so, dass alle Eigenwerte von F negative Realteile auf-

weisen. In diesem Fall gilt

˙e = Fe

und der Sch

atzfehler e klingt asymptotisch ab.

Der einfachste Weg, eine konstante Matrix F zu erhalten, ist L(˜x, u)f

ur ei-

ne vorgegebene Matrix F aus L(˜x, u)=(A(˜x, u) − F ) C

−1

(˜x) zu berechnen.

Dies ist allerdings nur f

ur eine invertierbare Matrix C(˜x)m

oglich. Vorausset-

zung f

ur die Invertierbarkeit von C ist, dass

C(˜x)=

∂g(˜x)

∂ ˜x

eine quadratische Matrix ist. Dies wiederum setzt voraus, dass g(˜x)einen -di-

mensionale Funktion ist, es also genauso viele Ausgangsvariablen wie Zust

ande

gibt. Dieser Fall ist in der Praxis eher selten anzutreﬀen und daher in der Regel

nicht von Bedeutung.

Daher geht man einen anderen Weg: Man berechnet das charakteristische

Polynom von F ,

304 Kapitel 6. Beobachter f

ur nichtlineare Systeme

P (s)=det(sI −F (˜x, u))

=det(sI − A(˜x, u)+L(˜x, u)C(˜x))

i=1

(s + λ

und fordert, dass die Realteile aller Eigenwerte λ

negativ sind. Hierbei ist zu

beachten, dass die Eigenwerte λ

bzw. die Koeﬃzienten von P sowohl von ˜x

als auch von u unabh

angig sind. Um sicherzustellen, dass alle Re {λ

} < 0

sind, muss man die Beobachtermatrix L(˜x, u) entsprechend auslegen.

ur die Berechnung der Beobachtermatrix L(˜x, u)betrachtetmandas

charakteristische Polynom

P (s)=s

+ a

n−1

(L, ˜x, u)s

n−1

+ ...+ a

(L, ˜x, u)

und fordert, dass es einem Wunschpolynom

P (s)=s

+ˆa

n−1

+ ...+ˆa

entspricht. Hierbei soll

P nat

urlich nur Nullstellen mit negativem Realteil auf-

weisen. Durch Koeﬃzientenvergleich erh

alt man ein nichtlineares Gleichungs-

system

n−1

(L, ˜x, u)=ˆa

n−1

n−2

(L, ˜x, u)=ˆa

n−2

(L, ˜x, u)=ˆa

mit n Gleichungen und n · r Unbekannten, den Elementen der n ×r -Matrix

L. Dabei ist, wir erinnern uns, n die Systemordnung und r die Dimension des

Ausgangsgr

oßenvektors y.

Die L

osung des obigen Gleichungssystems stellt sicher, dass die Eigen-

werte von F konstant sind und den Nullstellen des Wunschpolynoms

P (s)

entsprechen. Diese Tatsache garantiert allerdings nicht die Einhaltung der

urspr

unglichen Forderung, dass die Systemmatrix

F (˜x, u)=A(˜x, u) − L(˜x, u)C(˜x) (6.11)

der linearisierten Beobachtergleichung konstant ist, d. h. unabh

angig von ˜x

und u.

Die Konstanz von F muss vielmehr durch Einsetzen des berechneten

L(˜x, u) in Gleichung (6.11)

uberpr

uft werden. Sollte sich dabei herausstel-

len, dass F nicht unabh

angig von ˜x und u ist, so kann der Beobachter

˜x = f(˜x, u)+L(˜x, u) · (y − g(˜x))

6.3. Beobachterentwurf mittels Linearisierung 305

trotzdem verwendet werden, wenn die Elemente von F nicht sehr stark va-

riieren. Eine Absicherung der Funktionsweise durch Simulation ist in diesem

Fall unumg

anglich.

6.3.2 Regelkreis mit Beobachter

ugt man den oben entwickelten Beobachter in einen nichtlinearen Regel-

kreis ein, so ergibt sich eine

ahnliche Struktur wie im Fall des Luenberger-

Beobachters im linearen Regelkreis. Bild 6.6 zeigt sie. Allerdings ist L im

nichtlinearen Fall nicht konstant, sondern eine Funktion von ˜x und u.

Die zugeh

origen Gleichungen des Regelkreises mit Beobachter lauten:

˙x = f(x, u),

y = g(x),

(

Regelstrecke

u = h(˜x, w),

Regler

˜x = f (˜x, u)+L(˜x, u) · (y − g(˜x)).

Beobachter

Alternativ zu dieser Darstellung k

onnen die Gleichungen des Gesamtsystems

auch mittels des Sch

atzfehlers

e = x − ˜x

˜x ˜x

x(0)

Regelstrecke

Beobachter

L(˜x, u)

h(˜x, w)

g(x)

g(˜x)

˙x = f (x, u)

˜x = f (˜x, u)+v

Bild 6.6: Struktur der Regelstrecke mit Beobachter und Regler h(˜x, w).

306 Kapitel 6. Beobachter f

ur nichtlineare Systeme

dargestellt werden. Es gilt

˙x = f(x, u),

y = g(x),

u = h(x − e, w),

˙e = F (x − e, u)e.

Allerdings eignet sich diese Darstellung nicht f

ur eine Realisierung, da der Be-

obachterfehler e aufgrund der Unkenntnis von x nicht gebildet werden kann.

Die zuletzt gezeigten Gleichungen des Systems lassen aber eine Plausibi-

lit

atsbetrachtung bez

uglich der Stabilit

at zu. Da F n

aherungsweise konstant

ist und Eigenwerte mit negativem Realteil besitzt, gilt

e → 0 f

ur t →∞.

Dann wird f

ur das Regelgesetz f

ur große Werte t ebenfalls

u = h(x − e, w) ≈ h(x, w)

gelten. Ist der Regelkreis ohne Beobachter stabil, so ist es plausibel (aber nicht

bewiesen), dass auch der Regelkreis mit Beobachter stabil ist.

6.3.3 Beispiel Bioreaktor

Als Beispiel wird ein Bioreaktor [68] betrachtet. Bioreaktoren werden zur

Herstellung von Vitaminen und Medikamenten eingesetzt. Dazu wird in ei-

nem ersten Schritt eine Zellkultur gez

uchtet, die in weiteren Schritten f

ur die

Herstellung des eigentlich gew

unschten Stoﬀes benutzt wird. Hier wird die

Wachstumsphase der Zellkultur modelliert.

Der Reaktor hat ein konstantes Volumen.

Uber eine Pumpe wird Glu-

cose als Substrat in den Bioreaktor gegeben. Die angesetzte Zellkultur ver-

mehrt sich unter Verbrauch des Substrates und vergr

oßert so ihre Biomasse.

Ein R

uhrer sorgt f

ur eine gleichm

aßige Durchmischung. Das Gemisch wird

schließlich aus dem Reaktor f

ur weitere Prozessschritte entnommen. Bild 6.7

illustriert den Prozess.

Die Biomassekonzentration x

der Zellkultur, gemessen in g l

−1

,steigtpro-

portional zu ihrem Bestand mit

˙x

= μ(x

) · x

Es liegt also ein klassisches Wachstumsgesetz vor. Die Wachstumskonstante μ

angt von der Konzentration x

des Wachstumssubstrats, d. h. der Glucose,

gem

aß der folgenden Wachstumskinetik

μ(x

· x

+ x

+ k