Ирхин В.Ю., Ирхин Ю.П. Электронная структура, корреляционные эффекты и физические свойства d

Подождите немного. Документ загружается.

энергетические знаменатели заменяются резольвентами и сооответствующие состо-

яния имеют неквазичастичную природу. Подобная ситуация имеет место в прибли-

жении Хаббард-III [30,694,695], где затухание на уровне Ферми конечно (см. (H.17),

(J.24)).

Рассмотрим модель Хаббарда с U → ∞, n = 1−c < 1 (c = N

= n

- концентрация

дырок, N

= 0) с включением внешнего магнитного поля (4.96). В приближении

Хаббард-I мы получаем функции Грина

hhX

(σ0)|X

−k

(0σ)ii

c + n

E − τ

kσ

− σH/2

(H.11)

kσ

= (c + n

)ε

= [(1 + c)/2 + σhS

i]ε

и, с учетом спектрального представления (E.18), соответствующие выражения для

чисел заполнения

kσ

≡ hX

−k

(0σ)X

(σ0)i =

1 + c

+ σhS

f(τ

kσ

hσ) (H.12)

В принципе уравнения (H.4), (H.5) могут быть использованы для исследования

магнитного упорядочения в модели Хаббарда. Однако приближение Хаббард-I в этой

проблеме неудовлетворительно, так как трудно сформулировать разумный критерий

ферромагнетизма с непосредственным использованием выражений для одноэлек-

тронных функций Грина типа (H.4), (H.11). Первая такая попытка была сделана

самим Хаббардом [28], который не нашел магнитных решений для простых затра-

вочных плотностей состояний (однако ситуация может измениться в случае вырож-

денных d-зон [696]). Метод X-операторов проясняет причину этой неудачи: можно, в

частности, видеть, что приближение (H.11) нарушает книматические сооотнношения

(A.25), так как при hS

i 6= 0 невозможно удовлетворить тождества

kσ

= hX(00)i = c (H.13)

для обеих проекций спина σ. Кроме того, подходы стонеровского типа не описыва-

ют образование локальных моментов и физически неудовлетворительны. Поэтому в

разделе 4.5 используется подход на основе спиновой функции Грина

(

) =

−

)

−q

(

−

−q

14)

Для ее вычисления запишем цепочку уравнений движения

(ω − H)G

(ω) = n

↑

− n

↓

(ε

k−q

− ε

) (H.15)

×hhX

q−k

(0−)X

(+0)|X

−q

(−+)ii

(ω − τ

k↑

+ τ

k−q↑

− H)hhX

q−k

(0−)X

(+0)|X

−q

(−+)ii

= n

k↑

− n

k−q↓

+ (ε

k−q

k−q↓

− ε

k↑

(ω)

где мы выполнили простейшее расцепление, которое соответствует пренебрежению

флуктуациями чисел заполнения дырок. Подставляя (H.15) в (H.14), получаем вы-

ражение (4.97).

251

Флуктуационные поправки к электронным функциям Грина приближения

Хаббард-I были получены в работах [337,338] в рамках разложения по 1/z (z - чис-

ло ближайших соседей). Они выражаются через одночастичные числа заполнения

и спиновые и зарядовые корреляцилонные функции. В отличие от приближения

Хаббард-I такие выражения позволяют правильно получить магнитную фазовую

диаграмму и описать насыщенное и ненасыщенное ферромагнитное состояние [729].

Первая критическая концентрация носителей тока, соответствующая неустойчиво-

сти насыщенного ферромагнетизма, составляет для различных решеток около 30%.

Для парамагнитной фазы щель в спектре (H.8) сохраняется при сколь угодно

малых U. Чтобы описать переход металл-изолятор, который имеет место при U ∼

W (W - ширина зоны), требуются более сложные самосогласованные приближения

для электронных функций Грина. Первое описание такого типа было предложено

Хаббардом [30], а более простое приближение использовалось Зайцевым [697].

Выражение Хаббард-III для одноэлектронной функции Грина в случае наполо-

вину заполненной зоны может быть представлено в виде [695]

(E) = [E − t

− Σ(E)]

−1

(H.16)

причем электронная собственная энергия определяется самосогласованно через точ-

ную резольвенту:

Σ(E) =

16Ψ

R(E)/

1 + Σ(E)R(E) + ER(E)(

4Ψ

− 1)

(H.17)

R(E) =

(E)

где Ψ = 3/4. Выражение (H.17) выполняется также для классической (S → ∞) s-d

обменной модели (см. Приложение I), если мы положим Ψ = 1/4, U → |IS|. Тогда

формула (H.17) упрощается и совпадает с результатом приближения когерентного

потенциала (CPA) в теории неупорядоченных сплавов [435]. ??Эволюция электрон-

ного спектра в зависимости от параметра взаимодействия показана на Рис.H1.

Некоторые недостатки приближений [30,697] (нарушение аналитических свойств

функций Грина, несамосогласованное описание термодинамических свойств) обсуж-

даются в работах [694,695] с точки зрения 1/z-разложения. Правильное описание

перехода Мотта-Хаббарда до сих пор является важной физической проблемой. В

последнее время здесь широко используется приближение бесконечной размерности

пространства d [705], которое дает трехпиковую структуру плотности состояний,

включая кондовский пик на уровне Ферми. Такой подход может давать два фазовых

перехода: при U > U

нарушается фермижидкостная картина, а при U > U

> U

система переходит в изоляторное состояние. Учет фермиевских возбуждений в рам-

ках 1/z-разложения был выполнен в работе [730]. Использование локаторного пред-

ставления для функции Грина

(E) =

F (E) − t

(H.18)

252

позволило получить правильные аналитические свойства и воспроизвести трехпико-

вую структуру. Самосогласованные результат для локатора F (E) имеет вид

F (E) =

b(E)

a(E)

a(E) = 1 +

(E) +

(E)n

b(E) = F

(E) +

(E)n

где n

- точные числа заполнения.

Мы видели, что подходы Хартри-Фока и Хаббарда дают существенно разные

результаты для электронного спектра. Неадекватность одноэлектронного подхода

в случае больших U может быть показана рассмотрением случая малых электрон-

ных концентраций n [353]. Рассмотрим разложение одноэлектронной функции Гри-

на по числам заполнения носителей тока. В одноэлектронном представление (f

†

kσ

i) получаем уравнение движения

(E − t

)hha

k↑

†

k↑

= 1 + U

E) (H.19)

E) = hha

†

↓

k+k

−k

↑

†

k↑

В низшем порядке по f

получаем замкнутое интегральное уравнение

(E − t

k+k

−k

+ t

− t

, k

, E)

= δ

+ U(1 − f

)

(k, p,E)

Решая его, находим выражение для электронной собственной энергии

(E) = U

1 − U

(1 − f

)(1 − f

k+k

−k

)

E − t

k+k

−k

+ t

− t

−1

(H.20)

которая конечна при U → ∞ [348]. В то же время, согласно (E.18), (H.19) число

двоек

= ha

†

i↑

†

i↓

i = −

dEf(E) Im

E) (H.21)

= −

πU

dEf(E) Im

(E)

E − t

ведет себя в этом пределе как 1/U. Тогда теорема Геллмана-Фейнмана N

= ∂E/∂U

дает расходимость энергии основного состояния E:

E(U) − E(0) =

∞

dUN

(U) ∼ ln U (H.22)

253

Эта расходимость указывает на фомирование хаббардовских подзон и неправиль-

ность одноэлектронной картины при больших U. С другой стороны, вычисление в

МЭ представлении дает [353]

hhX

(σ2)|X

−k

(2σ)ii

E + t

− U −

k+k

−k

+ t

)

E − t

k+k

−k

+ t

− t

−1

(H.23)

так что

= −

dEf(E) ImhhX

(σ2)|X

−k

(2σ)ii

(H.24)

k+k

−k

+ t

)

f(t

k+k

−k

− t

+ t

)

min

Таким образом мы получаем правильную асимптотику N

∼ 1/U

254

Приложение I

s-d обменная модель с узкими зонами

и t-J модель

При рассмотрении переноса электронов в узких вырожденных зонах, помимо модели

Хаббарда, можно использовать s-d обменную модель с сильными корреляциями. Эта

модель соответствует случаю, когда носители тока не принадлежат той же энерге-

тической зоне, в которой формируются магнитные моменты. Такая ситуация имеет

место в некоторых магнитных полупроводниках и изоляторах [668].

В отличие от вырожденной модели Хаббарда, стандартный гамильтониан s-d об-

менной модели (G.2) не включает орбитальных степеней свободы. В случае большо-

го s-d обменного параметра I удобно перейти к атомному представлению [698-700].

Подставляя значения коэффициентов Клебша-Гордана, отвечающих сложению мо-

ментов S и 1/2, мы находим собственные функции H

|Mi ≡ |SMi|0i, |M2i ≡ |SMi|2i (I.1)

|µ±i =

S ± µ + 1/2

2S + 1

1/2

|S, µ −

i| ↑i ±

S ∓ µ + 1/2

2S + 1

1/2

|S, µ +

i| ↓i (I.2)

где |mαi - состояния, занятые одним электроном с полным спином на узлу S + α/2

и его проекцией m. Тогда H

диагонализуется:

= −IS

S+1/2

µ=−S−1/2

(µ+, µ+) + I(S + 1)

S−1/2

µ=−S+1/2

(µ−, µ−) (I.3)

Одноэлектронные операторы выражаются черех X-операторы как

†

iσ

†

iσα

+ h

†

iσα

) (I.4)

†

iσ+

{(S + σM + 1)/(2S + 1)}

1/2

(M +

, +; M)

iσ−

σ {(S − σM)/(2S + 1)}

1/2

(M +

, −; M)

†

iσ+

{(S + σM)/(2S + 1)}

1/2

(M2; M −

, −)

255

†

iσ+

σ {(S − σM + 1)/(2S + 1)}

1/2

(M2; M −

, +)

В пределе I → α∞ для концентрации электронов проводимости n < 1 нужно сохра-

нить в (I.4) только члены, содержащие g

iα

, и опустить гамильтониан H

, который

дает постоянный сдвиг энергии. Мы получаем

H =

kσ

†

kσα

+ H

, α = signI (I.5)

Для n > 1 мы должны сохранить члены, содержащие h

iα

и перейти к “дырочно-

му"представлению введением новых локализованных спинов

S = S ± 1/2 . Тогда

гамильтониан принимает вид (I.6) с заменой [700]

→ −t

([

S]/[S]) (I.6)

При теоретическом рассмотрении сильнокоррелированных соединений, например,

медь-кислородных высокотемпературных сверхпроводников, широко используется

t −J модель (модели Хаббарда для s-зоны с U → ∞ включением гейзенберговского

обмена). Ее гамильтониан в МЭ представлении имеет вид

H = −

ijσ

(0σ)X

(σ0) −

(+−)X

(−+) (I.7)

(++) − X

(−−)] [X

(++) − X

(−−)]

При получении t − J модели из модели Хаббарда с большим U имеем J = −4t

/U -

антиферромагнитный интеграл кинетического обмена. Впрочем, иногда удобно счи-

тать J независимой переменной. В частности, иногда исследуют “суперсимметрич-

ный“ случай с t = J [701], что позволяет использовать нетривиальные математиче-

ские методы.

Легко видеть, что модель (I.7) - частный случай s-d обменной модели с I →

−∞, S = 1/2, причем t

заменяется в (I.5) на 2t (множитель 2 возникает из-за

эквивалентности электронов с противоположными спинами в модели Хаббарда). s-d

модель с произвольным спином S иногда оказывается более удобной, так как она

использует при вычислениях, помимо малого параметра 1/z (z - число ближайших

соседей), квазиклассический параметр 1/2S. Квазиклассическая s-d модель с S À 1

в атомном представлении была использована для исследования перехода металл-

изолятор [695] (приложение H).

Гамильтониан (I.5), аналогично (C.33), может быть выражен через фермиевские

операторы и операторы локализованных спинов. Наконец, используя (A.21), (A.11),

мы можем выделить операторы электронов проводимости из X-операторов:

†

iσα

†

iσ

(1 − n

i,−σ

)

σσ

2S + 1

σσ

)

(I.8)

где

S + 1

2S + 1

, P

−

2S + 1

(I.9)

256

Кубо и Охата получили этот результат [702] с помощью канонического преобразова-

ния. Используя свойства матриц Паули, мы получаем

H =

ijσσ

[

(2S + 1)

]δ

σσ

(2S + 1)

)σ

σσ

(I.10)

(2S + 1)

σσ

×S

]

†

iσ

(1 − n

i,−σ

)(1 − n

i,−σ

jσ

+ H

Члены, содержащие векторные произведения (ср. (K.8)), описывают анизотропное

рассеяние электронов и могут быть важны при рассмотрении кинетических явлений

в узких зонах, например, аномального эффекта Холла. Гамильтониан (I.10) может

быть полезен при исследовании состояний с аномальными “ киральными“ парамет-

рами порядка, которые исследовались в рамках двумерной модели Гейзенберга и

t − J модели (см., например, [703]). Гамильтониан (I.5) более удобен при описании

простых приближений в рамках 1/z-разложения [694]. Выполняя простейшие рас-

цепления, мы получаем электронный спектр в ферромагнитной фазе

kσα

−

ασ

2S + 1

(I.11)

Это выражение дает сильную зависимость электронного спектра от магнитного упо-

рядочения. Более точное выражение для функции Грина со спином вниз при α = +,

T = 0 [699] имеет неквазичастичную форму

hhg

k↓+

†

k↓+

E − t

− 2S(

E − t

)

−1

(I.12)

Магнонный спектр в модели (I.5) был расчитан в [79,80,83]. Результат в низшем

порядке по 1/z имеет вид

k−q

− t

)f(t

), α = + (I.13)

2S + 1

k−q

− t

)f(

2S + 1

), α = −

В антиферромагнетике со спиральной магнитной структурой, соответствующей вол-

новому вектору Q, мы должны перейти в s −d гамильтониане к локальной системе

координат с использованием (E.8), (G.90). Далее, переходя от операторов d

†

iσ

к МЭ

операторам, мы получаем вместо (I.5)

H =

kσ

(θ

kσα

+ τ

kσα

k,−σ,α

) + H

(I.14)

k+Q/2

− t

k−Q/2

), θ

k+Q/2

+ t

k−Q/2

)

257

Выполняя расцепление “Хаббард-I”, мы получаем для электронного спектра [687]

1,2

= P

(

2S + 1

)

+ [P

− (

2S + 1

)

]τ

1/2

(I.15)

где S - намагниченность подрешетки. В приближении ближайших соседей (θ

= 0)

для I > 0 зона при T = 0 сужается в (2S + 1)

1/2

раз. В то же время, в рассматривае-

мом приближении для I < 0 (а также в t−J модели) электроны не могут переходить

на соседние узлы, и их движение возможно только благодаря квантовым эффектам.

Эта проблема обсуждается в разделе 6.7.

Флуктуационные поправки к спектру обсуждаются в [687,620]. Результат для

магнонного спектра, полученный в МЭ представлении, совпадает с результатом обоб-

щенного приближения Хартри-Фока (G.95).

258

Приложение J

Электронные состояния и спиновые

волны в хаббардовском

ферромагнетике с узкими зонами

Электронный и магнонный спектры в хаббардовском ферромагнетике с сильным

корреляциями (U → ∞), который описывается гамильтонианом

H =

kσ

−k

(0σ)X

(σ0) (J.1)

можно исследовать строго в случае малой концентрации дырок c = 1 −N

/N (почти

наполовину заполненная зона) и низких температур. Формально это достигается раз-

ложением по дырочным и магнонным числам заполнения [333,699,700]. Рассмотрим

одночастичные функции Грина

kσ

= hhX

(σ0)|X

−k

(0σ)ii

(J.2)

Используя коммутационные соотношения

(+0), H] =

k−p

{[X

(00) + X

(++)]X

k−p

(+0) + X

(+−)X

k−p

(−0)}

мы запишем для σ =↑ уравнение движения (E.16a)

(E − ε

k↑

(E) = 1 − n

↓

(ε

k−p

− ε

k+q−p

) (J.3)

×hhX

−q

(−+)X

(+−)X

k+q−p

(+0)|X

−k

(0+)ii

Здесь мы учли кинематические соотношения

(++) + X

(−−) = δ

− X

(−−), X

(−−) =

−q

(−+)X

p+q

(+−), (J.5)

k−p

(−0) =

−q

(−+)X

k+q−p

(+0)

259

которые следуют из (A.28), (A.25), привели произведения операторов к “нормаль-

ной форме", где все операторы X(−+) стоят слева, сохраняя линейные по спиновым

отклонениям члены и пренебрегая вкладами, пропорциональными дырочной кон-

центрации. Вводя функции

kqp

(E) = hhX

−q

(−+)X

(+−)X

k+q−p

(+0)|X

−k

(0+)ii

/ [(E − ε

] (J.6)

где

= hX

−q

(−+)X

(+−)i

мы приходим тем же путем к замкнутому интегральному уравнению

(E − ε

k+q−p

)ϕ

kqp

(E) = (E − ε

)(δ

− 1)+ (J.7)

(ε

k+q−p−r

− ε

k+q−r

)ϕ

kqr

(E)

которое описывает рассеяние дырок на магнонах. Записывая уравнение Дайсона

k↑

(E) =

1 − n

↓

E − ε

1 −

E − ε

(E)

' (1 − n

↓

) [E − ε

− Σ

(E)]

−1

(J.8)

мы получаем для собственной энергии

(E) =

(ε

k−p

− ε

k+q−p

)ϕ

kqp

(E) (J.9)

Магнонный спектр получается с помощью спиновой функции Грина. Уравнение

движения для нее имеет (ср. (H.15))

ωG

(ω) = 1 − c +

(ε

k−p

− ε

) (J.10)

×hhX

−k

(0+)X

q−k+p

(+−)X

(+0)|X

−q

(−+)ii

Выполняя вычисления при T = 0 в низшем порядке по числам заполнения магнонов

= hX

−k

(0+)X

(+0)i = f(ε

)

мы получаем магнонную собственную энергию. Она, как оказывается, определяется

той же функцией ϕ

(ω) = (1 − c)

ω −

(ε

k−p

− ε

k+q−p

)ϕ

kqp

(ω + ε

)

−1

(J.11)

В низшем порядке по малому параметру 1/z (каждому порядку по 1/z соответствует

дополнительное суммирование по волновому вектору) мы получаем для температур-

ной поправки к электронному спектру и к магнонной частоте

δε

(T ) =

(ε

k−q

− ε

(J.12)

260

Ирхин В.Ю., Ирхин Ю.П. Электронная структура, корреляционные эффекты и физические свойства d - и f-переходных металлов и их соединений

Подождите немного. Документ загружается.