Иноземцев А.А., Сандрацкий В.Л. Газотурбинные двигатели

Подождите немного. Документ загружается.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1030

Ðèñóíîê 14.3.13_3 - Íàïðÿæåíèÿ â ïåðåìû÷êå ôëàí-

öà äèñêà ÒÂÄ

Ðèñóíîê 14.3.13_4 - Íàïðÿæåíèÿ â îáîäå ïðîìåæó-

òî÷íîãî äèñêà ÒÂÄ

êè. Òàêèì îáðàçîì, äâà êîíöåíòðàòîðà íàïðÿæåíèé

- âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãàëòåëü - îêàçàëèñü ðàçíåñåíû

è îáùèé êîýôôèöèåíò êîíöåíòðàöèè ñíèæåí. Ìàê-

ñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ â ïåðåìû÷êå óìåíüøèëèñü

íà 30%; öèêëè÷åñêàÿ äîëãîâå÷íîñòü äèñêà âîçðîñ-

ëà â ÷åòûðå ðàçà.

òâåðñòèÿ - ðàñïðîñòðàíåííûé ýëåìåíò â êîí-

ñòðóêöèè äèñêîâ. Íå âñåãäà åñòü âîçìîæíîñòü ðàç-

ìåñòèòü èõ â çîíàõ ñ íèçêèì óðîâíåì íîìèíàëüíûõ

íàïðÿæåíèé. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà îáîä

ïðîìåæóòî÷íîãî äèñêà ÒÂÄ, â êîòîðîì èìåþòñÿ

îòâåðñòèÿ äëÿ ñáðîñà îõëàæäàþùåãî âîçäóõà â ïðî-

òî÷íóþ ÷àñòü. Ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé â

ñõîä-

íîé êîíñòðóêöèè ïîêàçàíî íà Ðèñ. 14.3.13_4à. Ìàê-

ñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ â îáîäå ïðîìåæóòî÷íîãî

äèñêà - îêðóæíûå. Ñíèçèòü óðîâåíü íàïðÿæåíèé

â çîíå îòâåðñòèÿ çà ñ÷åò åãî ñìåùåíèÿ âäîëü îáîäà

íå óäàëîñü. Óäà÷íûì îêàçàëîñü èçìåíåíèå ôîðìû

êîíöåíòðàòîðà - âûïîëíåíèå îâàëüíûõ îòâåðñòèé

âìåñòî êðóãîâûõ ñ ðàñïîëîæåíèåì áîëüøåé îñè

îâàëà â íàïðàâëåíèè ìàêñèìàëüíûõ íàïðÿæåíèé -

ïî îêðóæíîñòè. Íà Ðèñ. 14.3.13_4á ïðèâåäåíî ðàñ-

ïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé â ìîäèôèöèðîâàííîé êîí-

ñòðóêöèè. Ìàêñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ ñíèæåíû íà

15%, öèêëè÷åñêàÿ äîëãîâå÷íîñòü âîçðîñëà â äâà

ðàçà.

Èçëîæåííàÿ â ðàçäåëå 14.3.6 ìåòîäèêà ïðîãíî-

çèðîâàíèÿ öèêëè÷åñêîãî ðåñóðñà äèñêîâ äàåò ñó-

ùåñòâåííî áîëåå äîñòîâåðíûå ðåçóëüòàòû ïðè èñ-

ïîëüçîâàíèè ðåçóëüòàòîâ àíàëèçà ÍÄÑ äèñêà íà

áàçå 2-D è 3-D ðàñ÷åòîâ.

Äðóãèì âàæíûì ôàêòîðîì ÿâëÿåòñÿ âîçìîæ-

íîñòü äîñòîâåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òåïëîâîãî

è íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ êàê ôóíêöèè âðåìåíè.

Íàïðÿæåííîñòü äèñêîâ òóðáèíû è ïîñëåäíèõ ñòó-

ïåíåé ÊÂÄ â ñóùåñòâåííîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ

ïîëåì òåìïåðàòóð. Òåïëîâàÿ èíåðöèÿ äèñêîâ âû-

ñîêà â ñèëó èõ îòíîñèòåëüíî áîëüøîé ìàññû, ïî-

ýòîìó ïîëÿ òåìïåðàòóð íåîáõîäèìî ðàññ÷èòûâàòü

â íåñòàöèîíàðíîé ïîñòàíîâêå. Ò

àê â òå÷åíèå 2...3

ìèíóò âçëåòíîãî ðåæèìà ðàáîòû äâèãàòåëÿ òåìïå-

ðàòóðà äèñêîâ ïîñòîÿííî èçìåíÿåòñÿ è íå óñïåâàåò

ïðèíÿòü ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå. Íàïðÿæåíèÿ

â äèñ-

êå â òå÷åíèå îäíîãî è òîãî æå ðåæèìà ðàáîòû äâè-

ãàòåëÿ èçìåíÿþòñÿ âñëåä çà òåìïåðàòóðîé.

Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåð è âåëè÷èíà òåïëî-

âîé íàãðóçêè íà äèñêè ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ

â òå÷åíèå ïîëåòíîãî öèêëà äâèãàòåëÿ, ÷òî ïðèâî-

äèò ê íåîáõîäèìîñòè ïðîâîäèòü ðàñ÷åò ÍÄÑ ðîòî-

ðîâ â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè ïî âñåìó ïî-

ëåòíîìó öèêëó, íå ïðèâÿçûâàÿñü ê ñîáñòâåííî

ðåæèìó ðàáîòû äâèãàòåëÿ.

Â ÷èñëî ðàñ÷åòíûõ òî÷åê âêëþ÷àþòñÿ ìîìåí-

òû, â êîòîðûå ðåàëèçóåòñÿ ìàêñèìàëüíûé ïðÿìîé

è îáðàòíûé ïåðåïàäû òåìïåðàòóðû ïî ðàäèóñó êàæ-

äîé èç äåòàëåé ðîòîðà, à òàêæå íà÷àëüíûé è êîíå÷-

íûé ìîìåíòû êàæäîãî èç ðåæèìîâ ïîëåòíîãî öèê-

ëà (âçëåò, íîìèíàë, êðåéñåðñêèé, ìàëûé ãàç è ò.ä.).

Ïðîâåäåíèå ðàñ÷åòíîãî àíàëèçà ÍÄÑ äåòàëåé ðî-

òîðîâ ïî ïîëåòíîìó öèêëó ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü

ðåæèì ðàáîòû äâèãàòåëÿ, íà êîòîðîì èìååò ìåñòî

ìàêñèìàëüíàÿ íàïðÿæåííîñòü â òîé èëè èíîé çîíå

êàæäîãî äèñêà è óòî÷íèòü îöåíêó ñòàòè÷åñêîé

ïðî÷íîñòè äèñêà.

Êðîìå òîãî, òàêîé ðàñ÷åò ïîçâîëÿåò îïðåäå-

ëèòü èçìåíåíèå âî âðåìåíè íàïðÿæåíèé è äåôîð-

ìàöèé, êîëè÷åñòâî è äëèòåëüíîñòü ñòàöèîíàðíûõ

(ïî ÍÄÑ) ðåæèìîâ è ðàçìàõè äåôîðìàöèé íà ïå-

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1031

ðåõîäíûõ ðåæèìàõ. Ýòî ìîæåò ñëóæèòü îñíîâîé

äëÿ óòî÷íåííîé îöåíêè öèêëè÷åñêîãî ðåñóðñà ïî

èçëîæåííîé â ðàçäåëå 14.3.6 ìåòîäèêå.

Òàêèì îáðàçîì, îïèñàííàÿ â ðàçäåëå 14.3.10

îïòèìèçàöèÿ äèñêîâ ÿâëÿåòñÿ ëèøü ÷àñòüþ ïðîöåñ-

ñà îïòèìàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. Òåðìèí «îïòè-

ìàëüíûé» çäåñü âûõîäèò çà ðàìêè êëàññè÷åñêîé

ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ïîèñêà îïòè-

ìóìà. Îïòèìàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå ïîíèìàåòñÿ

êàê ïðîöåññ ðàöèîíàëüíîãî âûáîðà ôîðìû è ðàç-

ìåðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ìíîãîîáðàçíûì, â òîì

÷èñëå è íåôîðìàëèçóåìûì êðèòåðèÿì.

Ïðè ïðîâåäåíèè óïðîùåííûõ ðàñ÷åòîâ íàïðÿ-

æåíèé â äèñêå â ïëîñêîé îñåñèììåòðè÷íîé ïîñòà-

íîâêå èëè â îñåñèììåòðè÷íîé ïîñòàíîâêå ìåòîäîì

êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðîâîäèòñÿ îïòèìèçàöèÿ ôîð-

ìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ äèñêà ñ îïðåäåëåíèåì åãî

îñíîâíûõ ðàçìåðîâ.

Ïî ðåçóëüòàòàì îñåñèììåòðè÷íûõ ðàñ÷åòîâ

ÍÄÑ ðîòîðà ñ ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ äåòàëåé äðóã

ñ äðóãîì âûáèðàþòñÿ çîíû îïòèìàëüíîãî ðàñïîëî-

æåíèÿ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîãóò

ñòàòü êîíöåíòðàòîðàìè íàïðÿæåíèé: ïåðåìû÷åê

êðåïëåíèÿ, îòâåðñòèé, âûñòóïîâ ñîåäèíèòåëüíûõ

óçëîâ, ãàëòåëåé è ò.ä.

Íà áàçå óòî÷íÿþùèõ òðåõìåðíûõ ðàñ÷åòîâ

ïðîâîäèòñÿ îïòèìèçàöèÿ ôîðìû è ðàçìåðîâ îáúåì-

íûõ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ äèñêà, ÿâëÿþùèõ-

ñÿ êîíöåíòðàòîðàìè íàïðÿæåíèé. Íà ýòîì ýòàïå

íåîáõîäèìî:

- ïî âîçìîæíîñòè ñíèçèòü óðîâåíü íîìèíàëü-

íûõ íàïðÿæåíèé â çîíå êîíöåíòðàòîðà;

- èñêëþ÷èòü âçàèìíîå âëèÿíèå êîíöåíòðàòî-

ðîâ, ðàçìåùàÿ èõ íà óäàëåíèè äðóã îò äðóãà;

- ïîäáèðàòü òàêóþ ôîðìó ñàìîãî êîíöåíòðà-

òîðà, êîòîðàÿ èìååò íàèìåíüøèé èç âîçìîæíûõ

óðîâåíü êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1032

14.4 - Êîëåáàíèÿ è âèáðàöèîííàÿ

ïðî÷íîñòü ëîïàòîê îñåâûõ

êîìïðåññîðîâ è òóðáèí

Äî 60% ïîëîìîê ëîïàòîê ÃÒÄ èìåþò óñòàëî-

ñòíûé õàðàêòåð è ñâÿçàíû ñ äåéñòâèåì ïåðåìåí-

íûõ íàïðÿæåíèé ïðè âèáðàöèÿõ. Ïîëîìêà îäíîé

ëîïàòêè îáû÷íî ïðèâîäèò ê ëàâèíîîáðàçíîìó ïðî-

öåññó ïîâðåæäåíèÿ èëè ðàçðóøåíèÿ äðóãèõ, íàðó-

øåíèþ áàëàíñèðîâêè ðîòîðà, ïîìïàæó è äðóãèì

ñåðüåçíûì ïîâðåæäåíèÿì äâèãàòåëÿ. Äëÿ ïðåäóï-

ðåæäåíèÿ âèáðàöèîííûõ ïîëîìîê ïðè ïðîåêòèðî-

âàíèè è äîâîäêå äâèãàòåëÿ èññëåäóþòñÿ êîëåáàíèÿ

ëîïàòîê. Îáåñïå÷åíèå âèáðàöèîííîé ïðî÷íîñòè ëî-

ïàòîê ðåãëàìåíòèðóåòñÿ «Íîðìàìè ëåòíîé ãîäíî-

ñòè âîçäóøíûõ ñóäîâ».

14.4.1 -

Ñâîáîäíûå è âûíóæäåííûå

êîëåáàíèÿ ëîïàòîê. Ñîáñòâåííûå ÷à-

ñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé ëîïàòîê

Êîëåáàíèÿ ëîïàòêè â óñëîâèÿõ ðàáîòû íà äâè-

ãàòåëå ïðîèñõîäÿò ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííûõ ãàçî-

äèíàìè÷åñêèõ ñèë, îáóñëîâëåííûõ, ãëàâíûì îáðà-

çîì, íåðàâíîìåðíîñòüþ ãàçîâîãî ïîòîêà â ïðîòî÷íîé

÷àñòè. Ýòè ñèëû èçìåíÿþòñÿ âî âðåì

åíè ïåðèîäè-

÷åñêè, ïðè÷åì ïåðèîä ðàâåí âðåìåíè îäíîãî îáî-

ðîòà ðîòîðà.

Ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêîé ãàçîäèíàìè-

÷åñêîé íàãðóçêè ëîïàòêà ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå

êîëåáàíèÿ. Èçìåíåíèå âî âðåìåíè ïåðåìåùåíèÿ

U(x,y,z,t) íåêîòîðîé òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x,y,z -

ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè, ïîýòîìó åå ìîæ-

íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ ñî-

ñòàâëÿþùèõ:

(14.4.1 -1)

ãäå i - íîìåð ãàðìîíèêè;

(x,y,z) - àìïëèòóäà ãàðìîíèêè;

- ÷àñòîòà ãàðìîíèêè;

ϕϕ

- ôàçà ãàðìîíèêè;

(x,y,z) - ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà ïåðåìåùåíèÿ.

Äâèæåíèå òî÷êè ïðè êîëåáàíèÿõ ìîæíî èí-

òåðïðåòèðîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì

(14.4.1-1) êàê ñóììó äâèæåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ïî

ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó.

Åñëè ëîïàòêó âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-

ñèÿ (íàïðèìåð, óäàðîì) è ïðåäîñòàâèòü äåéñòâèþ

ñèë èíåðöèè è óïðóãîñòè, èñêëþ÷èâ âíåøíèå íà-

ãðóçêè, îíà áóäåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ

îòíîñèòåëüíî èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïðåíåáðåãàÿ

ïîòåðÿìè ýíåðãèè, ýòè êîëåáàíèÿ ìîæíî ðàññìàò-

ðèâàòü êàê íåçàòóõàþùèå, à ïåðåìåùåíèÿ U(x,y,z,t)

- êàê ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ âðåìåíè.

Ïðè ñâî-

áîäíûõ êîëåáàíèÿõ, êàê è â ñëó÷àå âûíóæäåííûõ,

ïåðåìåùåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììó ãàðìîíè-

÷åñêèõ êîëåáàíèé è ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû

â âè-

äå ðÿäà (14.4.1-1) ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì

ïåðåìåùåíèÿ U

(x,y,z)=0 (ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ

ïðîèñõîäÿò âîêðóã ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ).

Êàê ïîêàçàíî â òåîðèè êîëåáàíèé, è ñâîáîä-

íûå è âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ èç

ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ, èìåþùèõ îäèíàêî-

âûé íàáîð (ñïåêòð) ÷àñòîò p

. Ýòè ÷àñòîòû íå çàâè-

ñÿò íè îò ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ ñâîáîäíûõ êîëåáà-

íèé, íè îò âíåøíèõ íàãðóçîê ïðè âûíóæäåííûõ

êîëåáàíèÿõ. Îíè çàâèñÿò òîëüêî îò ìàòåðèàëà, ôîð-

ìû è ðàçìåðîâ ñàìîé ëîïàòêè è êîíñòðóêöèè åå

êðåïëåíèÿ, è ïîýòîìó íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè.

Ôóíêöèè U

(x,y,z) â âûðàæåíèè (14.4.1-1)

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä ñî-

îòâåòñòâóþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Èõ

ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê èçìåíåíèå ôîðìû

ëîïàòêè ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ ñ ñîáñòâåí-

íûìè ÷àñòîòàìè p

â ìîìåíò ìàêñèìàëüíîãî îòêëî-

íåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Â òåîðèè êîëåáà-

íèé ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ

âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé

îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî

ìíîæèòåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåð ðàñïðåäåëå-

íèÿ ïåðåìåùåíèé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ

ëîïàòêè ñ ëþáîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò íå çàâè-

ñèò îò ñïîñîáà âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, îò íåãî çà-

âèñèò ëèøü àìïëèòóäà. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðå-

ìåùåíèé, êîòîðûé íàçûâàþò ôîðìîé êîëåáàíèé,

êàê è ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà, çàâèñèò òîëüêî îò ìàòå-

ðèàëà, ôîðìû è ðàçìåðîâ ëîïàòêè è êîíñòðóêöèè

åå êðåïëåíèÿ. Êàê è ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû, îíè ÿâ-

ëÿþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì ëîïàòêè, ïî-

ýòîìó èõ íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè. Êàæäîé ñîá-

ñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàíèé ëîïàòêè ñîîòâåòñòâóåò

ñâîÿ ñîáñòâåííàÿ ôîðìà.

Î÷åíü âàæåí â ïðàêòè÷åñêîì îòíîøåíèè òà-

êîé âèä êîëåáàíèé, êîãäà èç âñåõ ãàðìîíè÷åñêèõ

ñîñòàâëÿþùèõ îäíî èìååò àìïëèòóäó, çíà÷èòåëü-

íî ïðåâûøàþùóþ îñòàëüíûå. Â ýòîì ñëó÷àå, êàê

âèäíî èç (14.4.1-1), âñå òî÷êè ëîïàòêè äâèãàþòñÿ

ñèíõðîííî ïî îäíîìó è òîìó æå ãàðìîíè÷åñêîìó

çàêîíó âî âðåìåíè, îäíîâðåìåííî ïðîõîäÿ ïîëî-

æåíèå ðàâíîâåñèÿ è îäíîâðåìåííî äîñòèãàÿ ìàê-

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1033

ñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ. Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ ïðî-

èñõîäÿò ñ îäíîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è èìåþò

ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ñîáñòâåííóþ ôîðìó:

(14.4.1-2)

Òàêèå êîëåáàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëüøèé

ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ, ïîñêîëüêó îíè èìåþò áîëü-

øèå àìïëèòóäû. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ýíåð-

ãèÿ êîëåáàíèé íå ðàñêëàäûâàåòñÿ íà íåñêîëüêî ñëà-

ãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûì â (14.4.1-1),

à êîíöåíòðèðóåòñÿ â îäíîì èç íèõ. Èìåííî òàêèå êî-

ëåáàíèÿ âîçíèêàþò ïðè ðåçîíàíñå. Ñîçäàâàÿ â

ñïå-

öèàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ ðåçîíàíñíûå ðåæèìû

êîëåáàíèé ìîæíî íàáëþäàòü ñîáñòâåííûå ôîðìû

è îïðåäåëÿòü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû.

Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñîáñòâåííûõ ôîðì êîëå-

áàíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ÷àñòîò íàçûâàþò ñîá-

ñòâåííûì ñïåêòðîì ëîïàòêè, õàðàêòåðèçóþùèì åå

âèáðàöèîííûå ñâîéñòâà. Êàê âèäíî èç (14.4.1-1),

ëîïàòêà, êàê è ëþáàÿ êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà, èìå-

åò, âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîá-

ñòâåííûõ ôîðì è ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé.

Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îñòàþùèõñÿ íå-

ïîäâèæíûìè ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ íà-

çûâàåòñÿ óçëîâîé ëèíèåé. Óçëîâûå ëèíèè ðàçäåëÿ-

þò ïîâåðõíîñòü íà îáëàñòè, ãäå â êàæäûé ìîìåíò

âðåìåíè àìïëèòóäû âèáðàöèîííûõ ïåðåìåùåíèé

èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè. Áîëåå âûñîêèì

ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì ñîîòâåòñòâóþò ôîðìû êî-

ëåáàíèé ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì óçëîâûõ ëèíèé.

Ïðè êëàññèôèêàöèè ôîðì êîëåáàíèé ëîïàòîê

îïèðàþòñÿ íà ïðåäñòàâëåíèå îäèíî÷íîé ëîïàòêè

â âèäå áàëêè èëè ïëàñòèíêè è ïðåèìóùåñòâåííûé

âèä äåôîðìàöèè ïðè êîëåáàíèÿõ ïî ýòîé ôîðìå.

Ïðèíÿòî âûäåëÿòü èçãèáíûå, êðóòèëüíûå, ïëàñòè-

íî÷íûå ñîáñòâåííûå ôîðìû.

Èçãèáíûå ôîðìû êîëåáàíèé õàðàêòåðíû òåì,

÷òî â ëîïàòêå âîçíèêàþò äåôîðìàöèè, ïðè êîòîðûõ

ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè ëîïàòêè ñå÷åíèÿ íå èçìå-

íÿþò ñâîåé ôîðìû, à ëèøü ïîâîðà÷èâàþòñÿ, îñòà-

âàÿñü ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ê èçîãíóòîé îñè ëîïàò-

êè. Èçãèá ïðîèñõîäèò âîêðóã îñè íàèìåíüøåé

æåñòêîñòè ñå÷åíèÿ. Óçëîâûå ëèíèè îðèåíòèðîâà-

íû ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ëîïàòêè. Â çàâèñèìîñòè

îò ÷èñëà óçëîâûõ ëèíèé ðàçëè÷àþò ïåðâóþ, âòî-

ðóþ è ò.ä. èçãèáíûå ôîðìû. Ïåðâûå òðè ôîðìû

èçãèáíûõ êîëåáàíèé ëîïàòêè, æåñòêî çàêðåïëåííîé

íà äèñêå, ïîêàçàíû íà Ðèñ. 14.4.1_1à-â.

Êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ ëîïàòêè ñîâåðøàþòñÿ

îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ æåñòêîñòè ïîïåðå÷-

íûõ ñå÷åíèé. Ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ ïîâîðà÷èâàþò-

ñÿ áåç èñêàæåíèÿ ôîðìû (ñì. Ðèñ. 14.4.1_1ã,ä). Ïðè

ïåðâîé êðóòèëüíîé ôîðìå âñå ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ

ëîïàòêè ïîâîðà÷èâàþòñÿ â îäíó ñòîðîíó îò ïîëî-

æåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, èìååòñÿ îäíà ïðîäîëüíàÿ óçëî-

âàÿ ëèíèÿ è îäíà ïîïåðå÷íàÿ ó êîðíÿ. Ïðè âòîðîé

êðóòèëüíîé ôîðìå âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ÷àñòè ëîïàò-

êè ïîâîðà÷èâàþòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëå-

íèÿõ, ïîýòîìó êðîìå ïðîäîëüíîé óçëîâîé ëèíèè

èìåþòñÿ äâå ïîïåðå÷íûå.

Ìåæäó êðóòèëüíûìè è èçãèáíûìè ôîðìàìè

êîëåáàíèé ñóùåñòâóåò ñâÿçü, âûðàæàþùàÿñÿ â òîì,

÷òî ïðè èçãèáíûõ êîëåáàíèÿõ âîçíèêàþò äåôîð-

ìàöèè êðó÷åíèÿ è íàîáîðîò.

Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà

íåñîâïàäåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå öåíòðîâ ìàññ ñå÷å-

íèé ñ öåíòðàìè æåñòêîñòåé è ïðèâîäèò ê âîçíèêíî-

âåíèþ ñîâìåñòíûõ èçãèáíî-êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé.

Òàêèå ôîðìû êîëåáàíèé îñîáåííî õàðàêòåðíû ïðè

áëèçîñòè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïî èçãèáíûì è êðó-

òèëüíûì ôîðìàì.

Ïëàñòèíî÷íûå ôîðìû êîëåáàíèé õàðàêòåðè-

çóþòñÿ òåì, ÷òî ôîðìà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ëî-

ïàòêè ïðè êîëåáàíèÿõ èñêàæàåòñÿ. Óçëîâûå ëè-

íèè ðàñïîëàãàþòñÿ ïàðàëëåëüíî îñè ëîïàòêè

(ñì.

Ðèñ.14.4.1_1å).

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îïèñàííàÿ êëàññèôè-

êàöèÿ ôîðì êîëåáàíèé óñëîâíà, ïåðå÷èñëåííûå

ôîðìû êîëåáàíèé ðåàëèçóþòñÿ â ÷èñòîì âèäå òîëü-

êî â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ. ×àùå âñòðå÷àþòñÿ áîëå

ñëîæíûå ôîðìû êîëåáàíèé, â êîòîðûõ ìîæíî âû-

äåëèòü ëèøü ïðåèìóùåñòâåííûé âèä äåôîðìàöèè.

Ðèñóíîê 14.4.1_1 - Ñîáñòâåííûå ôîðìû êîëåáàíèé

ëîïàòîê

à, á, â - ïåðâàÿ, âòîðàÿ è òðåòüÿ

èçãèáíûå; ã, ä - ïåðâàÿ è âòîðàÿ

êðóòèëüíàÿ; å - ïëàñòèíî÷íàÿ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1034

Êîëåáàíèÿ áàíäàæèðîâàííûõ ëîïàòîê ÿâëÿþò-

ñÿ ñîâìåñòíûìè (ñâÿçíûìè). Ôîðìû òàêèõ êîëåáà-

íèé áîëåå ðàçíîîáðàçíû, ÷åì â ñëó÷àå îäèíî÷íûõ

ëîïàòîê (ñì. Ðèñ.14.4.1_2). Ðàçëè÷àþò ôîðìû êîëå-

áàíèé, ïðè êîòîðûõ ñàìà ëîïàòêà èìååò îäèí óçåë

â çàäåëêå è äâà óçëà - â çàäåëêå è áàíäàæå. Êðîìå

òîãî ôîðìû ðàçëè÷àþòñÿ ïî êîëè÷åñòâó óçëîâûõ äè-

àìåòðîâ. Òàê, íàïðèìåð, ïðè êîëåáàíèÿõ ñ îäíèì

óçëîâûì äèàìåòðîì ëîïàòêè, ðàñïîëîæåííûå ïî

ðàçíûå ñòîðîíû ýòîãî äèàìåòðà êîëåáëþòñÿ â

ïðî-

òèâîôàçå. Ïðè êîëåáàíèÿõ ñ äâóìÿ óçëîâûìè äèà-

ìåòðàìè â ïðîòèâîôàçå êîëåáëþòñÿ ëîïàòêè, ðàñ-

ïîëîæåííûå â ñîñåäíèõ ÷åòâåðòÿõ îêðóæíîñòè.

Ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ñâÿçíûõ êîëåáàíèé òåì âûøå,

÷åì ìåíüøå ìàññà è áîëüøå æåñòêîñòü áàíäàæà.

Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ñâÿçíûõ êîëåáàíèé ñ óçëîì

â çàäåëêå âûøå, ÷åì äëÿ ïåðâîé èçãèáíîé ôîðìû

èçîëèðîâàííûõ ëîïàòîê. Áîëåå ïîäðîáíûå ñâåäå-

íèÿ î ñâÿçíûõ êîëåáàíèÿõ ïðèâåäåíû â [14.8.5].

Íàèáîëüøèé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ñîáñòâåí-

íûå

ôîðìû ïðåäñòàâëÿþò ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðîãíî-

çèðîâàíèÿ õàðàêòåðà ðàñïðåäåëåíèÿ âèáðîíàïðÿ-

æåíèé â ëîïàòêå ïðè ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèÿõ.

Ðèñóíîê 14.4.1_2 - Ñâÿçàííûå ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ áàíäàæèðîâàííîãî ðàáî÷åãî êîëåñà òóðáèíû (øåñòü

óçëîâûõ äèàìåòðîâ)

Ðèñóíîê 14.4.1_3 - Ðàñïðåäåëåíèå âèáðîíàïðÿæå-

íèé (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïåðåìå-

ùåíèé (ïóíêòèð) â ëîïàòêå

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1035

Ïðè èçãèáíûõ ôîðìàõ êîëåáàíèé íàèáîëüøèå íà-

ïðÿæåíèÿ âîçíèêàþò íà âõîäíîé è âûõîäíîé êðîì-

êàõ è ñïèíêå ëîïàòêè â ñå÷åíèÿõ ñ íàèáîëüøèì

èçãèáàþùèì ìîìåíòîì.

Íà Ðèñ. 14.4.1_3 ïîêàçàíî

ðàñïðåäåëåíèå âèáðîíàïðÿæåíèé â ëîïàòêå ïðè êî-

ëåáàíèÿõ ïî ïåðâîé è âòîðîé èçãèáíîé ôîðìàì. Çíà-

íèå ôîðì êîëåáàíèé ïîçâîëÿåò ïðàâèëüíî îïðåäå-

ëèòü ìåñòà óñòàíîâêè äàò÷èêîâ ïðè ïðîâåäåíèè

ñëîæíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî îïðåäåëåíèþ âåëè÷è-

íû âèáðîíàïðÿæåíèé íà ðàáî

òàþùåì íàòóðíîì

äâèãàòåëå.

14.4.2 - Ïðèáëèæåííûé ðàñ÷åò ñîá-

ñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ëîïà-

òîê

Ðàñ÷åòíîå îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò

êîëåáàíèé ëîïàòêè ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîé çà-

äà÷è äèíàìè÷åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè. Äëÿ åå ðå-

øåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû è ìîäåëè, ðàçëè÷àþ-

ùèåñÿ òî÷íîñòüþ, âîçìîæíîñòüþ ó÷åòà òåõ èëè

èíûõ îñîáåííîñòåé êîíñòðóêöèè è óñëîâèé ðàáî-

òû ëîïàòêè è, ðàçóìååòñÿ, òðóäîåìêîñòüþ. Ðàññìîò-

ðèì äâà êëàññà ìîäåëåé: ñòåðæíåâûå, ïðèãîäíûå

äëÿ áûñòðîãî ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà, è íàèáîëåå

òî÷íûå è òðóäîåìêèå â èñïîëüçîâàíèè òðåõìåðíûå

ìîäåëè.

Ñòåðæíåâûå ìîäåëè èñïîëüçóþò äëÿ ïðèáëè-

æåííûõ ðàñ÷åòîâ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò èçãèáíûõ

è êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé ëîïàòîê. Ñòåðæíåâûå ìî-

äåëè ïîçâîëÿþò ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ

îïðåäåëÿòü íåñêîëüêî íèçøèõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò,

îíè íåïðèãîäíû äëÿ àíàëèçà ïëàñòèíî÷íûõ è ñìå-

øàííûõ ôîðì êîëåáàíèé, íå ïîçâîëÿþò ó÷èòûâàòü

âëèÿíèå ïîëîê.

Â îñíîâå ýòèõ ìîäåëåé ëåæèò äîïóùåíèå î òîì,

÷òî íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ëîïàòêè îäíîîñíîå.

Â ñëó÷àå èçãèáíûõ êîëåáàíèé ïðèíèìàåòñÿ ïî âíè-

ìàíèå òîëüêî íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå â íàïðàâëå-

íèè îñè ëîïàòêè; îíî ñ÷èòàåòñÿ ðàñïðåäåëåííûì ïî

ñå÷åíèþ ëîïàòêè ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, íåéòðàëü-

íàÿ ëèíèÿ ïðè èçãèáå ñîâïàäàåò ñ îñüþ íàèìåíü-

øåé æåñòêîñòè êîðíåâîãî ñå÷åíèÿ.

Â ñëó÷àå êðó-

òèëüíûõ êîëåáàíèé àíàëîãè÷íûå äîïóùåíèÿ

ïðèíèìàþòñÿ îòíîñèòåëüíî êàñàòåëüíîãî íàïðÿ-

æåíèÿ. Ðàñ÷åò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ïî ñòåðæíåâîé

ìîäåëè ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ

ïð

îèçâîäíûõ. Â àíàëèòè÷åñêîì âèäå óäàåòñÿ îïðå-

äåëÿòü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è ôîðìû êîëåáàíèé

ëîïàòîê ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áåç ó÷å-

òà çàêðóòêè ïðîôèëÿ è èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ïî

äëèíå è ñå÷åíèþ ëîïàòêè.

Äëÿ ëîïàòîê ïåðåìåííîãî ïî äëèíå ñå÷åíèÿ

íàèáîëåå ïðîñòûì è, â òî æå âðåìÿ, äîñòàòî÷íî òî÷-

íûì ìåòîäîì îïðåäåëåíèÿ íèçøåé ñîáñòâåííîé

÷àñòîòû èçãèáíûõ êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñ-

êèé ìåòîä (ìåòîä Ðýëåÿ). Â åãî îñíîâå ëåæèò èäåÿ

ðàñ÷åòà ÷àñòîòû êîëåáàíèé ïî çàäàííîé ñîáñòâåí-

íîé ôîðìå; ôîðìà êîëåáàíèé çàäàåòñÿ àïðèîðíî,

èñõîäÿ èç ñàìûõ ïðèáëèæåííûõ ïðåäñòàâëåíèé,

à ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñ èñïîëüçî-

âàíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ðý-

ëåÿ äëÿ ðàñ÷åòà íèçøåé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû èç-

ãèáíûõ êîëåáàíèé íåâðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè.

Åñëè ïðåíåáðå÷ü ïîòåðÿìè ýíåðãèè, â ëþáîé

ìîìåíò âðåìåíè ñóììà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè Ê

è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Ï êîëåáëþùåéñÿ ëîïàò-

êè ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè åñòü âåëè-

÷èíà ïîñòîÿííàÿ:

Ê + Ï = const (14.4.2-1)

Â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-

ãèÿ ðàâíà íóëþ, à êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ äîñòèãàåò

ìàêñèìóìà Ê

max

. Â ïîëîæåíèè ìàêñèìàëüíîãî îò-

êëîíåíèÿ îò ðàâíîâåñèÿ, íàîáîðîò, êèíåòè÷åñêàÿ

ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ, à ïîòåíöèàëüíàÿ - ìàêñèìàëü-

íà Ï

max

. Ñëåäîâàòåëüíî

max

= Ï

max

. (14.4.2-2)

Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëî-

ïàòê

ó êàê êîíñîëüíî çàêðåïëåííûé ñòåðæåíü äëè-

íîé L (ñì. Ðèñ.14.4.2_1) ñ ïëîòíîñòüþ ìàòåðèàëà

ρ, ρ,

ρ,

ìîäóëåì óïðóãîñòè E, èçìåíÿþùèìèñÿ ïî äëèíå

ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ F(x) è ìîìåíòîì èíåðöèè I(x).

Ðàññìàòðèâàåì ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ êðóãî-

âîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé

ð.

Ïåðåìåùåíèÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îñè ëîïàò-

êè ñ êîîðäèíàòîé x çàäàåì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ãàð-

ìîíè÷åñêîé ôóíêöèè âðåìåíè íà ôóíêöèþ y

(x),

êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàñïðåäåëåíèå àìïëè-

òóä êîëåáàíèé ïî êîîðäèíàòå, òî åñòü ôîðìó êîëå-

áàíèé:

Ðèñóíîê 14.4.2_1 - Ê ðàñ÷åòó ñîáñòâåííîé ÷àñòî-

òû êîëåáàíèé íåâðàùàþùåéñÿ

ëîïàòêè

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1036

y(x,t) = y

(x) cos pt. (14.4.2-3)

Ôîðìó êîëåáàíèé y

(x) áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñò-

íîé.

Äëÿ ýëåìåíòà ëîïàòêè dx (ñì. Ðèñ.14.4.2_1)

ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà

Äëÿ âñåé ëîïàòêè ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ

ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì

(14.4.2-4)

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ëîïàòêè â ìîìåíò ìàê-

ñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ

îïðåäåëÿåòñÿ èçâåñòíûì èç ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòå-

ðèàëîâ ñîîòíîøåíèåì äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ:

(14.4.2-5)

ãäå M(x) - èçãèáàþùèé ìîìåíò, ñîîòâåòñòâóþùèé

ïðîãèáó y(x), êîòîðûé â ñîîòâåòñòâèè ñ

óðàâíåíèåì èçîãíóòîé îñè ñòåðæíÿ ðà-

âåí:

(14.4.2-6)

Ïîäñòàâëÿÿ (14.4.2-6) â (14.4.2-5) è ïîëó÷èâ-

øååñÿ âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âìå-

ñòå ñ (14.4.2-4) â óðàâíåíèå (14.4.2-2), íàõîäèì êðó-

ãîâóþ ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó

(14.4.2-7)

Ïî àíàëîãèè ñ (14.4.2-7) ìåòîäîì Ðýëåÿ ìî-

æåò áûòü ïîëó÷åíî ñîîòíîøåíèå äëÿ ïåðâîé ñîá-

ñòâåííîé ÷àñòîòû êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé [14.8.13]:

(14.4.2-8)

ãäå

ϕϕ

(x) - ïðèáëèæåííàÿ ôîðìà êðóòèëüíûõ êîëå-

áàíèé.

Ôîðìà êîëåáàíèé â ìåòîäå Ðýëåÿ çàäàåòñÿ àï-

ðèîðíî, îíà ëèøü äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷-

íûì óñëîâèÿì. Äëÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé, íàïðè-

ìåð, ýòî îòñóòñòâèå ïåðåìåùåíèé è ïîâîðîòà

ñå÷åíèÿ â çàäåëêå (êîðíåâîì ñå÷åíèè):

(14.4.2-9)

Ïîëó÷àþùèåñÿ ìåòîäîì Ðýëåÿ ïðèáëèæåííûå

çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò âñåãäà âûøå òî÷íûõ

è òåì áëèæå ê íèì, ÷åì áëèæå ê äåéñòâèòåëüíîé çà-

äàííàÿ ïðèáëèæåííî ñîáñòâåííàÿ ôîðìà. Ïðàêòèêà

ðàñ÷åòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñîîòíîøåíè

å (14.4.2-7)

äàåò äîñòàòî÷íî òî÷íûå ðåçóëüòàòû, åñëè ôîðìó

êîëåáàíèé ïðèíèìàòü ñîâïàäàþùåé ñ ôóíêöèåé

ïðîãèáîâ îò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñòàòè÷åñ-

êîé íàãðóçêè. Ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà Ðýëåÿ ìîæ-

íî ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ òî÷-

íîñòüþ ïîëó÷àòü òîëüêî ÷àñòîòû êîëåáàíèé ïî

ïåðâîé èçãèáíîé è ïåðâîé êðóòèëüíîé ôîðìàì. Äëÿ

áîëåå âûñîêèõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ôîðìû êîëåáà-

íèé áîëåå ñëîæíû, è àïðèîðíî çàäàòü èõ ñ äîñòà-

òî÷íîé òî÷íîñòüþ òðóäíî.

Äëÿ ñòåðæíÿ ïîñòîÿííîãî ïî äëèíå ñå÷åíèÿ

èç òåîðèè êîëåáàíèé èçâåñòíû ñîîòíîøåíèÿ äëÿ

ðàñ÷åòà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò èçãèáíûõ è êðóòèëü-

íûõ êîëåáàíèé. Ïðèâåäåì èõ áåç âûâîäà (ñì., íà-

ïðèìåð, [14.8.20]).

(14.4.2-10)

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1037

ãäå p

è p

kði

- êðóãîâûå ÷àñòîòû èçãèáíûõ

è êðóòèëüíûõ êîëåáàíèé ïî i-é

ñîáñòâåííîé ôîðìå;

Å è

ρρ

- ìîäóëü óïðóãîñòè è ïëîòíîñòü

ìàòåðèàëà ëîïàòêè;

G=E/2(1+

µµ

) - ìîäóëü ñäâèãà;

µµ

- êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà;

L - äëèíà ëîïàòêè;

è I

- ïëîùàäü è ìîìåíò èíåðöèè

ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè íàè-

ìåíüøåé æåñòêîñòè;

è I

-ìîìåíò èíåðöèè ïðè êðó÷åíèè

è ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå-

÷åíèÿ.

Â ñîîòíîøåíèÿõ (14.4.2-10)

αα

ββ

- êîýôôè-

öèåíòû, çàâèñÿùèå îò íîìåðà ñîáñòâåííîé ôîðìû

i. Äëÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ïîñòîÿííîãî

ñå÷åíèÿ ñ êîíñîëüíûì êðåïëåíèåì

αα

=3,515;

αα

=22,033;

αα

=61,701.

Ñîîòíîøåíèÿ (14.4.2-10) ìîæíî èñïîëüçîâàòü

äëÿ ðàñ÷åòà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò èçãèáíûõ è êðó-

òèëüíûõ êîëåáàíèé ëîïàòîê ïîñòîÿííîãî ïî äëè-

íå ñå÷åíèÿ. Ñîîòíîøåíèÿ (14.4.2-7) è (14.4.2-8)

äëÿ

ëîïàòîê ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ ìîæíî ïðèâåñ-

òè

ê âèäó (14.4.2-10), ñ÷èòàÿ ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàê-

òåðèñòèêè îòíîñÿùèìèñÿ ê êîðíåâîìó ñå÷åíèþ. Êî-

ýôôèöèåíòû

αα

â ýòîì ñëó÷àå èìåþò äðóãèå çíà÷å-

íèÿ, çàâèñÿùèå îò çàêîíà èçìåíåíèÿ ðàçìåðîâ

ñå÷åíèÿ ïî äëèíå ëîïàòêè.

Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàñ÷åò ñîáñòâåííûõ ÷àñ-

òîò èçãèáíûõ êîëåáàíèé âðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè.

Ðàáî÷èå ëîïàòêè ñîâåðøàþò êîëåáàíèÿ â ïîëå öåí-

òðîáåæíûõ ñèë. Ýòî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ñîá-

ñòâåííûõ ÷àñòîò, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü äèíà-

ìè÷åñêèìè, â îòëè÷èå îò ñòàòè÷åñêèõ ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò íåâðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè.

Íà Ðèñ. 14.4.2_2 ïîêàçàíà ñõåìà íàãðóæåíèÿ

êîëåáëþùåéñÿ ëîïàòêè. Öåíòðîáåæíàÿ ñèëà dP

äåéñòâóþùàÿ íà ýëåìåíò ëîïàòêè dx, ïðè îòêëîíå-

íèè ëîïàòêè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âûçûâàåò

ïîÿâëåíèå èçãèáàþùåãî ìîìåíòà, ñòðåìÿùåãîñÿ

âåðíóòü ëîïàòêó â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ýòî ýê-

âèâàëåíòíî ïîâûøåíèþ èçãèáíîé æåñòêîñòè ëî-

ïàòêè è âåäåò ê òîìó, ÷òî äèíàìè÷åñêèå ñîáñòâåí-

íûõ ÷àñòîò îêàçûâàþòñÿ âûøå ñîîòâåòñòâóþùèõ

ñòàòè÷åñêèõ. Ðàçëè÷èå òåì áîëüøå, ÷åì âûøå ÷àñ-

òîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà è áîëüøå öåíòðîáåæíûå

ñèëû.

Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ýòîãî ýôôåêòà

ðàññìîòðèì íèçøóþ ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó èçãèá-

íûõ êîëåáàíèé âðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè. Âîñïîëüçó-

åìñÿ îïèñàííûì âûøå äëÿ íåâðàùàþùåéñÿ ëîïàò-

êè ïðèáëèæåííûì ìåòîäîì Ðýëåÿ.

Êàê è â ñëó÷àå íåâðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè ïåðå-

ìåùåíèÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îñè ëîïàòêè ñ êîîð-

äèíàòîé x çàäàåì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ãàðìîíè÷åñ-

êîé ôóíêöèè âðåìåíè íà ôîðìó êîëåáàíèé y

(x).

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó

ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöè-

àëüíîé ýíåðãèè (14.4.2-2).

Îäíàêî â ñëó÷àå âðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè ïîòåí-

öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ:

ýíåðãèè óïðóãîé äåôîðìàöèè Ï

max

(14.4.2-5) è ðà-

áîòû öåíòðîáåæíûõ ñèë W, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü

ñîâåðøåíà ïðè ïåðåõîäå ëîïàòêè èç ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ â ïîëîæåíèå ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíå-

íèÿ:

max

= Ï

max

+ W. (14.4.2-11)

Öåíòðîáåæíàÿ ñèëà dP

, äåéñòâóþùàÿ íà ýëå-

ìåíò ëîïàòêè dx, ñîâåðøàåò ïðè îòêëîíåíèè ëî-

ïàòêè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðàáîòó íà ïåðåìå-

ùåíèè e (ñì. Ðèñ. 14.4.2_2). Ââèäó ìàëîñòè óãëà

δδ

áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà dP

è åå ïðîåêöèÿ íà îñü x

ðàâíû (ïðîåêöèþ òàêæå áóäåì îáîçíà÷àòü dP

Ðàáîòîé ïðîåêöèè ñèëû dP

íà îñü y ïðåíåáðåæåì

ââèäó ìàëîñòè óãëà

δδ

Ðèñóíîê 14.4.2_2 - Ê ðàñ÷åòó ñîáñòâåííîé ÷àñòî-

òû êîëåáàíèé âðàùàþùåéñÿ ëî-

ïàòêè

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1038

Ïåðåìåùåíèå e, èñõîäÿ èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñî-

îáðàæåíèé, ìîæíî ïðèáëèæåííî âûðàçèòü ÷åðåç

ïðîèçâîäíóþ ïðîãèáà, îïðåäåëÿåìîãî ôîðìîé êî-

ëåáàíèé:

Òîãäà

(14.4.2-12)

ãäå R - ðàäèóñ êîðíåâîãî ñå÷åíèÿ ëîïàòêè;

ωω

- êðóãîâàÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà, îñòàëü-

íûå îáîçíà÷åíèÿ ïðèâåäåíû â ðàçäåëå

14.4.2.1.

Âûðàæåíèÿ äëÿ Ê

max

è Ï

max

èìåþò òîò æå âèä,

÷òî è äëÿ íåâðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè (14.4.2-4),

(14.4.2-5). Ïîäñòàâëÿÿ èõ âìåñòå ñ (14.4.2-12)

â (14.4.2-11) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå äëÿ äèíàìè-

÷åñêîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû:

(14.4.2-13)

Ýòî âûðàæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò ïîëó÷åííîãî

âûøå äëÿ íåâðàùàþùåéñÿ ëîïàòêè (14.4.2-7) íà-

ëè÷èåì äîïîëíèòåëüíîãî ñëàãàåìîãî â ÷èñëèòåëå.

Îáîçíà÷àÿ äèíàìè÷åñêóþ ñîáñòâåííóþ êðóãîâóþ

÷àñòîòó p

, à ñòàòè÷åñêóþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñî-

îòíîøåíèþ (14.4.2-7), p

ïîëó÷àåì

(14.4.2-14)

èëè äëÿ ñòàòè÷åñêîé è äèíàìè÷åñêîé ÷àñòîò

= p

/ 2

ππ

è f

= p

/ 2

ππ

(14.4.2-15)

ãäå n =

ωω

/ 2

ππ

- ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà.

Êîýôôèöèåíò B îïðåäåëÿåòñÿ êàê

Èç ñîîòíîøåíèÿ (14.4.2-15) âèäíî, ÷òî ñ óâå-

ëè÷åíèåì ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà ñîáñòâåííàÿ

÷àñòîòà èçãèáíûõ êîëåáàíèé âîçðàñòàåò. Êîýôôè-

öèåíò B, îòâå÷àþùèé çà ýòîò ýôôåêò, çàâèñèò îò

ôîðìû êîëåáàíèé, îòíîñèòåëüíîãî óäëèíåíèÿ ëî-

ïàòêè, åå êëèíîâèäíîñòè, çàêðóòêè. Ýôôåêò âîçðà-

ñòàíèÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû èçãèáíûõ êîëåáàíèé

ëîïàòêè ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû âðàùåíèÿ â íàè-

áîëüøåé ñòåïåíè ïðîÿâëÿåòñÿ íà íèçøèõ ôîðìàõ

êîëåáàíèé ó ëîïàòîê áîëüøîãî óäëèíåíèÿ. Äèíà-

ìè÷åñêàÿ ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ìîæåò ïðåâîñõîäèòü

ñòàòè÷åñêóþ â 1,5 ðàçà è áîëåå.

14.4.3 - Òðåõìåðíûå ìîäåëè êîëåáà-

íèé ëîïàòîê

Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, íàèáîëåå òî÷íûé ðàñ-

÷åò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ëîïàòêè ñâîäèò-

ñÿ ê ïðîñòðàíñòâåííîé äèíàìè÷åñêîé çàäà÷å òåî-

ðèè óïðóãîñòè. Îáû÷íî îíà ðåøàåòñÿ ÷èñëåííî

ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Â òàêîé ïîñòàíîâêå

óäàåòñÿ ðàññ÷èòûâàòü ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ

ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû â ïðàêòè÷åñêè íåîáõîäèìîì

äèàïàçîíå, ó÷åñòü íåðàâíîìåðíîñòü íàãðåâà, âëèÿ-

íèå öåíòðîáåæíûõ ñèë, îñîáåííîñòè ôîðìû ëîïàò-

êè, åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äèñêîì è ñîñåäíèìè ëî-

ïàòêàìè (åñëè ëîïàòêà èìååò ïîëêè) è ò.ä. Â òî æå

âðåìÿ òàêîé ñïîñîá ñâÿçàí ñ ïðîâåäåíèåì òðóäî-

åìêèõ ðàñ÷åòîâ è íåóäîáåí, åñëè ïðè ðàñ÷åòå íå-

îáõîäèìî ìíîãîêðàòíî èçìåíÿòü ôîðìó è ðàçìåðû

ëîïàòêè.

Ìåòîäèêà êîíå÷íî-ýëåìåíòíîãî òðåõìåðíîãî

ðàñ÷åòà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ëîïàòîê ñî-

ñòîèò èç ñëåäóþùèõ ýòàïîâ:

- Ñîçäàíèå òðåõìåðíîé òâåðäîòåëüíîé ãåîìåò-

ðè÷åñêîé ìîäåëè ëîïàòêè. Êàê ïðàâèëî, ýòî òå æå

ìîäåëè, êîòîðûå ñîçäàþòñÿ â ïðîöåññå êîíñòðóè-

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1039

ðîâàíèÿ è èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñòàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ.

Âîîáùå ãîâîðÿ, âîçìîæíî ïðèìåíåíèå ìîäåëåé,

óïðîùåíî îòðàæàþùèõ ìåëêèå äåòàëè ãåîìåòðèè.

Íåîáõîäèìîå äëÿ ñòàòè÷åñêîãî ðàñ÷åòà ïîäðîáíîå

îïèñàíèå ñêðóãëåíèé, ãàëòåëåé è ïð. â ðàñ÷åòå ñîá-

ñòâåííûõ ÷àñòîò íå ïîâûøàåò òî÷íîñòü.

- Ïîñòðîåíèå êîíå÷íî-ýëåìåíòíîé ñåòêè. Êàê

ïðàâèëî èñïîëüçóåòñÿ ñåòêà, ñîçäàííàÿ äëÿ ñòàòè-

÷åñêîãî ðàñ÷åòà, õîòÿ äëÿ ðàñ÷åòà ñîáñòâåííûõ ÷à-

ñòîò ìîæíî áåç ïîòåðè òî÷íîñòè èñïîëüçîâàòü áî-

ëåå ãðóáûå ñåòêè.

- Çàäàíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Çàêðåïëåíèå ëî-

ïàòêè â äèñêå îáû÷íî ìîäåëèðóåòñÿ èñêëþ÷åíèåì

âñåõ ïåðåìåùåíèé íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîâåðõíî-

ñòÿõ êîíòàêòà ëîïàòêè. Â ðåàëüíîé êîíñòðóêöèè æå-

ñòêîñòü çàêðåïëåíèÿ íèæå, ïîýòîìó ïîëó÷àåìûå

ðàñ÷åòíûå çíà÷åíèÿ ÷àñòîò ìîãóò áûòü íåñêîëüêî

çàâûøåíû. Â ñëó÷àå ëîïàòîê ñ áàíäàæíûìè èëè àí-

òèâèáðàöèîííûìè ïîëêàìè íà êîíòàêòíûõ ïîâåð-

õíîñòÿõ ïîëîê çàäàþòñÿ óñëîâèÿ öèêëè÷åñêîé ñèì-

ìåòðèè.

- Çàäàíèå íàãðóçîê. Â êà÷åñòâå íàãðóçêè äëÿ

ðàáî÷åé ëîïàòêè çàäàþò ÷àñòîòó âðàùåíèÿ ðîòîðà.

Íàãðóçêàìè ñ÷èòàþò òàêæå ïîëÿ òåìïåðàòóð, âëè-

ÿþùèõ íà ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé.

- Ðàñ÷åò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáà-

íèé. Â ìåòîäå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ðàñ÷åò ñîáñòâåí-

íûõ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å

î ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ [14.8.9]

Ðèñóíîê 14.4.3_1 - Ïðèìåð ãåîìåòðè÷åñêîé è êîíå÷-

íî-ýëåìåíòíîé ìîäåëè ðàáî÷åé

ëîïàòêè âòîðîé ñòóïåíè ÒÂÄ

det | [K] - p

[M] | = 0, (14.4.3-1)

ãäå [K] è [M] - ìàòðèöû æåñòêîñòè è ìàññ êîíå÷íî-

ýëåìåíòíîé ìîäåëè;

p - ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà.

Íà Ðèñ. 14.4.3_1 ïîêàçàí ïðèìåð ãåîìåòðè÷åñ-

êîé è êîíå÷íî-ýëåìåíòíîé ìîäåëåé ðàáî÷åé ëîïàò-

êè òóðáèíû ñ áàíäàæíîé ïîëêîé. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ

òâåðäîòåëüíàÿ ìîäåëü âûïîëíåíà â ñèñòåìå

UNIGRAPHICS è âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå îñíîâíûå

ýëåìåíòû ëîïàòêè: ïåðî, áàíäàæíóþ ïîëêó, íîæêó

è çàìêîâóþ ÷àñòü.

Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì. Íà êîíòàêòíûõ ïîâåðõíîñòÿõ çàìêà çàïðå-

ùåíû âñå ïåðåìåùåíèÿ. Ýòî óñëîâèå íå âïîëíå

òî÷íî îòðàæàåò ðåàëüíûå óñëîâèÿ çàêðåïëåíèÿ ëî-

ïàòêè â äèñêå, â ÷àñòíîñòè, íå ó÷èòûâàåò ïîäàòëè-

âîñòü ñîåäèíåíèÿ ëîïàòêè ñ äèñêîì. Áîëåå òî÷íàÿ

ìîäåëü äîëæíà áûëà áû âêëþ÷àòü â ñåáÿ ñåêòîð

äèñêà ñ çàìêîâûì ïàçîì.

Íà êîíòàêòíûõ ïîâåðõíîñòÿõ áàíäàæíîé

ïîëêè çàäàåòñÿ óñëîâèå öèêëè÷åñêîé ñèììåòðèè,

êîòîðîå âîñïðîèçâîäèò âçàèìîäåéñòâèå ëîïàòêè

ñ ñîñåäíèìè. Óñëîâèå öèêëè÷åñêîé ñèììåòðèè ñî-

îòâåòñòâóåò ñâÿçíîé ôîðìå êîëåáàíèé ëîïàòî÷íî-

ãî âåíöà, êîãäà âñå ëîïàòêè äâèãàþòñÿ â îäíîé

ôàçå (ñì. Ðèñ. 14.4.1_2).

Íà Ðèñ. 14.4.3_2 ïîêàçàíû ïåðâûå òðè ñîá-

ñòâåííûå ôîðìû êîëåáàíèé ëîïàòêè, ïðèâåäåííîé

íà Ðèñ. 14.4.3_1 Ïåðâàÿ ôîðìà êîëåáàíèé - èçãèá-

íàÿ ñ îäíîé óçëîâîé ëèíèé, ïðèõîäÿùåéñÿ íà çà-

ìîê. Âòîðàÿ ôîðìà òàêæå èçãèáíàÿ èìååò íóëåâûå

îñåâûå ïåðåìåùåíèÿ åùå è íà áàíäàæíîé ïîëêå.

Ïî ñòåðæíåâîé êëàññèôèêàöèè ýòî - âòîðàÿ èçãèá-

íàÿ ôîðìà. Òðåòüÿ ôîðìà - êðóòèëüíàÿ, óçëîâàÿ

ëèíèÿ ïðîõîäèò âäîëü âñåãî ïåðà è íîæêè.

Ðàñ÷åò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ëîïàò-

êè, ïðèâåäåííîé íà Ðèñ.14.4.3_1, ñ èñïîëüçîâàíè-

åì ñòåðæíåâîé ìîäåëè äàåò çíà÷åíèå ïåðâîé èçãèá-

íîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé 1072Ãö, ñ èñïîëüçîâàíèåì

3D êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìîäåëè (áåç ó÷åòà êîíòàê-

òà â áàíäàæíîé ïîëêå) - 1005Ãö. Òàêîå ðàñõîæäå-

íèå â çíà÷åíèè ïåðâîé èçãèáíîé ÷àñòîòû êîëåáà-

íèé (~6%) ìîæíî ñ÷èòàòü âïîëíå ïðèåìëåìûì.

×àñòîòà êîëåáàíèé ïî âòîðîé èçãèáíîé ôîðìå îò-

ëè÷àåòñÿ óæå íà ~25%, ÷àñòîòû êîëåáàíèé áîëåå

âûñîêèõ ôîðì ìîãóò îòëè÷àòüñÿ â íåñêîëüêî ðàç.

Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäåíèå àíàëèçà ÷àñòîòíûõ õà-

ðàêòåðèñòèê ëîïàòîê ïî ñòåðæíåâîé ìîäåëè ñëå-

äóåò îãðàíè÷èâàòü àíàëèçîì ïåðâîé èçãèáíîé ÷àñ-

òîòû êîëåáàíèé.