Иноземцев А.А., Сандрацкий В.Л. Газотурбинные двигатели

Подождите немного. Документ загружается.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1060

, (14.4.12-7)

Íà Ðèñ. 14.4.12_3 ýòè ðåçîíàíñû îáîçíà÷åíû

öèôðàìè 1 è 5. Ïåðâûé ñîîòâåòñòâóåò êîëåáàíèÿì

ïî âååðíîé ôîðìå ñ äâóìÿ óçëîâûìè äèàìåòðàìè

è âòîðîé ãàðìîíèêå âûíóæäàþùåé ñèëû. Âòîðîé -

ôîðìå ñ òðåìÿ óçëîâûìè äèàìåòðàìè è òðåòüåé

ãàðìîíèêå.

Åñëè äèñê âðàùàåòñÿ, ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ

ìîãóò âîçíèêàòü ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû k-é ãàð-

ìîíèêè âûíóæäàþùåé ñèëû ñ ÷àñòîòîé âïåðåä èëè

íàçàä áåãóùåé âîëí (14.4.12-5):

k·n = n·z + f

Äi

(14.4.12-8)

k·n= n·z – f

Äi

Íà Ðèñ. 14.4.12_3 îòìå÷åíû äâà èç òàêèõ ðå-

çîíàíñíûõ ðåæèìîâ, îíè îáîçíà÷åíû öèôðàìè 2

(áåãóùàÿ âïåðåä âîëíà ñ äâóìÿ óçëîâûìè äèàìåò-

ðàìè, ÷åòâåðòàÿ ãàðìîíèêà) è 3 (áåãóùàÿ íàçàä âîë-

íà ñ äâóìÿ óçëîâûìè äèàìåòðàìè, âòîðàÿ ãàðìî-

íèêà).

Íàèáîëåå îïàñíû äëÿ äèñêîâ, êàê ïîêàçàë àíà-

ëèç ïîëîìîê, ðåçîíàíñû, âîçíèêàþùèå íà êðèòè-

÷åñêèõ ÷àñòîòàõ âðàùåíèÿ (14.4.12-7). Ïðè òàêèõ

êîëåáàíèÿõ áåãóùàÿ íàçàä âîëíà íåïîäâèæíà îò-

íîñèòåëüíî ñòàòîðà, èõ âîçáóæäàåò íåïîäâèæíàÿ

íàãðóçêà, ïîñòîÿííàÿ âî âðåìåíè. Íà Ðèñ. 14.4.12_3

òàêîé ðåæèì îáîçíà÷åí öèôðîé 4, îí ñîîòâåòñòâó-

åò íåïîäâèæíîé îòíîñèòåëüíî ñòàòîðà ôîðìå ñ äâó-

ìÿ óçëîâûìè äèàìåòðàìè.

Îïàñíû êðèòè÷åñêèå

ðåæèìû ïîòîìó, ÷òî íåïîäâèæíûå ïîñòîÿííûå

íàãðóçêè åñòü âñåãäà, îíè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû, íà-

ïðèìåð, ñ îêðóæíîé íåðàâíîìåðíîñòüþ ïîòîêà

â ïðîòî÷íîé ÷àñòè. Íàëè÷èå êðèòè÷åñêèõ ðåæè-

ìîâ â ðàáî÷åì äèàïàçîíå ÷àñòîò âðàùåíèÿ ðîòî-

ðà ñ÷èòàåòñÿ íåäîïóñòèìûì. Ïîñêîëüêó â ýòîì

ñëó÷àå

óïðàâëÿòü ÷àñòîòîé âîçìóùàþùåé ñèëû íå-

âîçìîæíî, îòñòðîéêà îò ðåçîíàíñà äîëæíà ïðîâî-

äèòüñÿ ïóòåì èçìåíåíèÿ ôîðìû è ðàçìåðîâ äèñêà.

Ïîäâîä ýíåðãèè îò íåïîäâèæíîé íàãðóçêè

ê äèñêó ïðè êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ èë-

ëþ

ñòðèðóåòñÿ Ðèñ. 14.4.12_4,

ãäå èçîáðàæåíà ðàç-

âåðòêà êîëåñà âäîëü îêðóæíîñòè. Êîëåáàíèÿ âîçáóæ-

äàþòñÿ ïîñòîÿííîé íåïîäâèæíîé îñåñèììåòðè÷íîé

ñèñòåìîé k ñîñðåäîòî÷åííûõ ñèë Ð. Ïðè âðàùåíèè

êîëåñà ñ íåïîäâèæíîé â ïðîñòðàíñòâå âîëíîé,

â òî÷-

êó, ãäå äåéñòâóåò ñèëà Ð, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîïàäà-

þò òî÷êè âðàùàþùåãîñÿ äèñêà, èìåþùèå ïåðåìå-

ùåíèå w. Ïðè ñîâïàäåíèè ÷èñëà óçëîâûõ äèàìåòðîâ

z ñ êîëè÷åñòâîì ñîñðåäîòî÷åííûõ ñèë k, íàïðàâëå-

íèå ïåðåìåùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì äåé-

ñòâèÿ ñèë Ð. Ïðè ýòîì ñèëû Ð ñîâåðøàþò ðàáîòó,

êîòîðàÿ íåïðåðûâíî ïîäàåòñÿ â ñèñòåìó è ïîääåð-

æèâàåò åå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ.

Ïåðåìåííûå íàïðÿæåíèÿ â äèñêå îïðåäåëÿþò

òåíçîìåòðèðîâàíèåì. Çàïàñ ïðî÷íîñòè ïî ïåðåìåí-

íûì íàïðÿæåíèÿì â äèñêå ïðèíèìàåòñÿ íèæå, ÷åì

äëÿ ëîïàòîê. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äèñê ÿâëÿåòñÿ

äåòàëüþ, ðàçðóøåíèå êîòîðîé íå óäàåòñÿ ëîêàëè-

çîâàòü â äâèãàòåëå.

Ðèñóíîê 14.4.12_4 - Ñõåìà ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé

ïðè êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå âðà-

ùåíèÿ äèñêà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1061

14.5 - Äèíàìèêà ðîòîðîâ.

Âèáðàöèÿ ÃÒÄ

14.5.1 - Êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà âðàùå-

íèÿ ðîòîðà. Èñòîðèÿ âîïðîñà

Ïðè ýêñïëóàòàöèè ìàøèí ñ áûñòðîâðàùàþùè-

ìèñÿ ðîòîðàì

è áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ïðè îïðåäåëåí-

íîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ ðîòîðà ìîæåò âîçíèêàòü ïî-

âûøåííàÿ âèáðàöèÿ è óñèëåíèå îáùåé òðÿñêè

ìàøèíû ñ ïîñëåäóþùèì âûõîäîì åå èç ñòðîÿ. Ïåð-

âûå îïèñàíèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ, íàçâàííîãî êðèòè÷åñ-

êîé ÷àñòîòîé âðàùåíèÿ ðîòîðà, îòíîñÿòñÿ êî âòîðîé

ïîëîâèíå XIX âåêà. Íà ðàííèõ

ýòàïàõ èññëåäîâà-

íèé áûëè ðàçðàáîòàíû îòíîñèòåëüíî ïðîñòûå ìà-

òåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îáúÿñíÿþùèå îñíîâíûå îñî-

áåííîñòè ïîâåäåíèÿ ðîòîðà íà êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå

âðàùåíèÿ. Óðîâåíü ñëîæíîñòè ìîäåëåé ñîîòâåò-

ñòâîâàë ðàçâèòèþ òåõíèêè. Ðîòîðû ìàøèí òîãî

âðåìåíè, êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé âàë íà

æåñòêèõ îïîðàõ, â ìåæîïîðíîì ïðîëåòå êîòîðîãî

áûëà ðàñïîëîæåíà ìàññà â âèäå äèñêà. Êîëåáàíèÿ

òàêîãî ðîòîðà äîñòàòî÷íî òî÷íî îïèñûâàëèñü â ðàì-

êàõ ìîäåëè îäíîìàññîâîé ñèñòåìû.

Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøåå è èñòîðè÷åñêè ïåð-

âîå îáúÿñíåíèå êðèòè÷åñêîãî ðåæèìà âðàùåíèÿ ðî-

òîðà. Íà Ðèñ. 14.5.1_1 ïðèâåäåíà ñõåìà ðîòîðà,

ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé íåâåñîìûé âàë â æåñòêèõ

îïîðàõ ñ äèñêîì ïîñåðåäèíå ïðîëåòà. Ðîòîð âðà-

ùàåòñÿ ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé

ωω

Äèñê ïðèêðåïëåí

ê âàëó â ñâîåì ãåîìåòðè÷åñêîì öåíòðå Î

. Ìàññó

äèñêà M áóäåì ñ÷èòàòü ñîñðåäîòî÷åííîé â öåíòðå

ìàññ Î

, êîòîðûé â ñèëó íåòî÷íîñòè áàëàíñèðîâ-

êè íå ñîâïàäàåò ñ Î

. Ïðèìåì, ÷òî òî÷êà Î

ëåæèò

ïëîñêîñòè èçîãíóòîé ëèíèè âàëà è íàõîäèòñÿ íà

ðàññòîÿíèè ýêñöåíòðèñèòåòà e îò Î

. Òàêèì îáðà-

çîì, ñ÷èòàåì, ÷òî öåíòð ìàññ âðàùàåòñÿ ñ êðóãî-

âîé ÷àñòîòîé

ωω

ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà y+e. Òàêîå

äâèæåíèå ðîòîðà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñèíõðîííîé

ïðåöåññèåé; êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ïðè îòñóò-

ñòâèè âíåøíèõ ïåðåìåííûõ íàãðóçîê â ðîòîðå ðàñ-

ñìàòðèâàåìîé ñõåìû ðåàëèçóåòñÿ èìåííî òàêîå

äâèæåíèå.

Íà äèñê äåéñòâóåò ñèëà óïðóãîñòè âàëà è öåí-

òðîáåæíàÿ ñèëà ìàññû äèñêà; äðóãèìè ñèëàìè ïðå-

íåáðåãàåì. Ñèëà óïðóãîñòè, ïðèëîæåííàÿ â òî÷êå

, ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîãèáó âàëà y â òî÷êå êðåï-

ëåíèÿ äèñêà è íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî ïðîãè-

áó. Èñïîëüçóåì êîýôôèöèåíò óïðóãîé ïîäàòëèâîñ-

òè âàëà

αα

, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîãèá âàëà

â òî÷êå êðåïëåíèÿ äèñêà ïîä äåéñòâèåì åäèíè÷íîé

ñèëû, ïðèëîæåííîé â ýòîé òî÷êå. Êîýôôèöèåíò

αα

ðàññ÷èòûâàåòñÿ ìåòîäàìè ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðè-

àëîâ. Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ îáðàòíûé åìó êîýôôè-

öèåíò æåñòêîñòè c=1/

αα

, îïðåäåëÿåìûé êàê ñèëà,

ïðèëîæåííàÿ â òî÷êå êðåïëåíèÿ äèñêà, íåîáõîäè-

ìàÿ äëÿ ñîçäàíèÿ åäèíè÷íîãî ïðîãèáà â ýòîé òî÷-

êå. Â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå, êîãäà äèñê ðàñïîëîæåí

ïî ñåðåäèíå ìåæäó îïîðàìè âàëà ïîñòîÿííîãî ñå-

÷åíèÿ:

αα

= l3/48EJ, ãäå E - ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòå-

ðèàëà, J - ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

âàëà. Èñïîëüçóÿ ïîäàòëèâîñòü ñèëó óïðóãîñòè ìîæ-

íî çàïèñàòü êàê - y/

αα

Öåíòðîáåæíàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàäèó-

ñó îêðóæíîñòè y+e, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ öåíòð

ìàññ, è îïðåäåëÿåòñÿ êàê M

ωω

(y+e). Ðàâíîâåñèå

ýòèõ ñèë ïðè ïîñòîÿííîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ äàåò

óðàâíåíèå:

ωω

(y+e) -y/

αα

= 0 (14.5.1-1)

Îòñþäà äëÿ ïðîãèáà âàëà ïîëó÷àåì:

Ðèñóíîê 14.5.1_1 - Ìîäåëü îäíîìàññîâîãî ðîòîðà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1062

(14.5.1-2)

Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ

ðîòîðà

ωω

ïîêàçàíà íà Ðèñ. 14.5.1_2. Ñ âîçðàñòàíè-

åì

ωω

ïðîãèá âàëà ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàåòñÿ. Êðè-

òè÷åñêèé ðåæèì, âûðàæàþùèéñÿ â çíà÷èòåëüíîì

óâåëè÷åíèè ïðîãèáà âàëà, íàñòóïàåò ïðè ðàâåíñòâå

íóëþ çíàìåíàòåëÿ â (14.5.1-2); ýòî ïðîèñõîäèò ïðè

÷àñòîòå âðàùåíèÿ:

(14.5.1-3)

Ðàññìîòðåííûé âûøå ïðîñòåéøèé àíàëèç

ïîçâîëèë â ñâîå âðåìÿ ïîíÿòü îñíîâíûå çàêîíîìåð-

íîñòè äèíàìèêè ðîòîðîâ:

- Âîçíèêëî ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî äâèæåíèå

ðîòîðà íà êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ îáóñëîâ-

ëåíî íåóðàâíîâåøåííîñòüþ ðîòîðà è ñâÿçàíî ñî

çíà÷èòåëüíûì èçãèáîì âàëà (îòñþäà ÷àñòî èñïîëü-

çóåìûé òåðìèí «ïîòåðÿ äèíàìè÷åñêîé æåñòêîñòè»).

- Ñòàëà ïîíÿòíîé íåîáõîäèìîñòü áàëàíñèðîâ-

êè ðîòîðà äëÿ ñíèæåíèÿ âèáðàöèé íà êðèòè÷åñêèõ

ðåæèìàõ. Èç (14.5.1-2) âèäíî, ÷òî ïðè ïðî÷èõ ðàâ-

íûõ óñëîâèÿõ ïðîãèá âàëà ïðîïîðöèîíàëåí âåëè-

÷èíå ýêñöåíòðèñèòåòà e.

- Ñëîæèëîñü ïðåäñòàâëåíèå î íåîáõîäèìîñòè

ïîâûøåíèÿ èçãèáíîé æåñòêîñòè ðîòîðà òàê, ÷òî-

áû êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ðàñïîëàãàëàñü

âûøå ðàáî÷åãî äèàïàçîíà ÷àñòîò âðàùåíèÿ. Òàêèå

ðîòîðû ïðèíÿòî íàçûâàòü æåñòêèìè.

- Áûëî îáíàðóæåíî è ÿâëåíèå ñàìîöåíòðèðî-

âàíèÿ ðîòîðà íà çàêðèòè÷åñêèõ ðåæèìàõ ðàáîòû.

Èç Ðèñ. 14.5.1_2 âèäíî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè êðè-

òè÷åñêîé ÷àñòîòû âðàùåíèÿ çíàê ïðîãèáà y ìåíÿ-

åòñÿ íà îòðèöàòåëüíûé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàïðàâ-

ëåíèå ïðîãèáà è ýêñöåíòðèñèòåòà ñòàíîâÿòñÿ

ïðîòèâîïîëîæíûìè. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè

÷àñòîòû âðàùåíèÿ ïðîãèá âàëà ïðèáëèæàåòñÿ ïî

àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ê ýêñöåíòðèñèòåòó, ò.å. öåíòð

ìàññ ñòðåìèòñÿ ê îñè âðàùåíèÿ; ýòî è íàçûâàåòñÿ

ñàìîöåíòðèðîâàíèåì.

Ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ óäåëüíîé ìîùíîñòè ìà-

øèí ïîâûøàëèñü è ðàáî÷èå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðî-

òîðîâ. Ïðîåêòèðîâàíèå æåñòêèõ ðîòîðîâ ñòàíî-

âèëîñü âñå áîëåå ïðîáëåìàòè÷íûì, à èíîãäà

îêàçûâàëîñü íåâîçìîæíûì.

Ýòî ñòèìóëèðîâàëî èñ-

ñëåäîâàíèÿ âîçìîæíîñòè ðàáîòû ðîòîðîâ íà ðåæè-

ìàõ, ïðåâûøàþùèõ êðèòè÷åñêóþ ÷àñòîòó âðàùå-

íèÿ. Òàêèå ðîòîðû íàçûâàþò ãèá

êèìè. Â 20...40-õ

ãîäàõ XX âåêà áûëà ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ äâèæå-

íèÿ ðîòîðà

â çàêðèòè÷åñêîé îáëàñòè, óñòàíîâëåíà

ðîëü ñèë âíóòðåííåãî òðåíèÿ, âûçûâàþùèõ íåóñ-

òîé÷èâîñòü ðîòîðà, è ñèë âíåøíåãî òðåíèÿ, ñïîñîá-

ñòâóþùèõ äåìïôèðîâàíèþ êîëåáàíèé. Ïðèìåðíî

òîãäà æå áûëî âûÿñíåíî, ÷òî åñëè èñêóññòâåííî ïî-

íèçèòü êðèòè÷åñêóþ ÷àñòîòó âðàùåíèÿ, óñòàíîâèâ

ðîòîð íà ìåíåå æåñòêèå, óïðóãèå îïîðû, òî ïîïà-

äàíèå êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû â ðàáî÷èé äèàïàçîí ðå-

æèìîâ â ðÿäå ñëó÷àåâ ïåðåñòàåò áûòü îïàñíûì. Íà

áîëåå íèçêîé êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ âîç-

íèêàþò ìåíüøåé âåëè÷èíû íåóðàâíîâåøåííûå

ñèëû â ðîòîðå, ÷òî ïðèâîäèò ìåíüøåé äèíàìè÷åñ-

êîé íàãðóæåííîñòè ìàøèíû. Ïðè ðàáîòå íà òàêîé

êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ ðîòîð âåäåò ñåáÿ êàê

îòíîñèòåëüíî æåñòêîå òåëî, âàë èçãèáàåòñÿ íåçíà-

÷èòåëüíî, íàèáîëüøèå êîëåáàòåëüíûå ïåðåìåùå-

íèÿ ðåàëèçóþòñÿ â óïðóãèõ îïîðàõ, ÷òî ïðè íåîá-

õîäèìîñòè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ óñòàíîâêè

äåìïôåðîâ â îïîðàõ ðîòîðà äëÿ äîïîëíèòåëüíîãî

ñíèæåíèÿ óðîâíÿ êîëåáàíèé. Ñîîòâåòñòâóþùåå

ðàçâèòèå êðèòåðèåâ ïðîåêòèðîâàíèÿ âûðàçèëîñü

â òîì, ÷òî êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà

ïåðåñòàëà âîñïðèíèìàòüñÿ èíæåíåðàìè êàê ôàòàëü-

íîå ÿâëåíèå - ñëîæèëîñü ïðåäñòàâëåíèå îá îïàñ-

íûõ è äîïóñòèìûõ êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîòàõ. Ê îïàñ-

íûì êðèòè÷åñêèì ÷àñòîòàì âðàùåíèÿ ñòàëè

îòíîñèòü òîëüêî òàêèå, íà êîòîðûõ âîçíèêàþò çíà-

Ðèñóíîê 14.5.1-2 - Çàâèñèìîñòü ïîãèáà âàëà îò ÷àñ-

òîòû âðàùåíèÿ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1063

÷èòåëüíûå èçãèáíûå äåôîðìàöèè âàëà ðîòîðà, ïå-

ðåìåùåíèÿ âàëà â îïîðíûõ ñå÷åíèÿõ ìàëû â ñðàâ-

íåíèè ñ ïðîãèáîì âàëà, íà ñèëîâóþ êîíñòðóêöèþ

êîðïóñà ìàøèíû ïåðåäàþòñÿ çíà÷èòåëüíûå äèíà-

ìè÷åñêèå óñèëèÿ. Èìåííî îò òàêèõ êðèòè÷åñêèõ

÷àñòîò â ïåðâóþ î÷åðåäü ñòàðàëèñü îñâîáîäèòü ðà-

áî÷èé äèàïàçîí ìàøèíû.

Ìíîãî÷èñëåííûå ñîïîñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ

ðàñ÷åòîâ ñ äàííûìè íàáëþäåíèé ïðèâåëè ê óòî÷-

íåíèþ ìîäåëè. Â ðàñ÷åòàõ ñòàëè ó÷èòûâàòü ãèðîñ-

êîïè÷åñêèé ýôôåêò äèñêà, âîçíèêàþùèé âñëåä-

ñòâèå ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ

îñè âðàùåíèÿ äèñêà ïðè èçãèáå âàëà. Â òåîðèè ñî-

ïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ áûëè ðàçðàáîòàíû áîëåå

ñîâåðøåííûå ìîäåëè èçãèáà ñòåðæíåé, ïîçâîëèâ-

øèå ïîâûñèòü òî÷íîñòü ðàñ÷åòà æåñòêîñòè âàëà.

Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðè ðàñ÷åòàõ êîëåáàíèé ðî-

òîðà ó÷èòûâàëàñü èçãèáíàÿ ïîäàòëèâîñòü äèñêà

è ïîäàòëèâîñòü ýëåìåíòîâ êðåïëåíèÿ äèñêà ê âàëó.

Â öåëîì ðàñ÷åòû êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò âðàùåíèÿ ñòà-

ëè òî÷íåå.

Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ãàçîòóðáèííîé è îñî-

áåííî àâèàöèîííîé òåõíèêè, òðåáîâàâøåå ñóùå-

ñòâåííîãî îáëåã÷åíèÿ êîíñòðóêöèè, ïðèâåëî ê ñî-

çäàíèþ ðîòîðîâ, ê êîòîðûì óæå áûëà íåïðèìåíèìà

ìîäåëü â âèäå íåâåñîìîãî âàëà, íåñóùåãî îäèí èëè

íåñêîëüêî äèñêîâ. Ìàññû äèñêîâ êîìïðåññîðà

è òóðáèíû ñòàëè ñðàâíèìû ñ ìàññîé âàëà ðîòîðà,

ïîÿâèëèñü êîíñòðóêöèè ðîòîðîâ, â êîòîðûõ îòäåëü-

íûå ýëåìåíòû âûïîëíÿþò ôóíêöèè âàëà è äèñêà

îäíîâðåìåííî. Äëÿ àíàëèçà êîëåáàíèé òàêèõ êîí-

ñòðóêöèé ðàçðàáîòàííûå ðàíåå ìîäåëè è êðèòåðèè

ïðîåêòèðîâàíèÿ áûëè îáîáùåíû íà ñëó÷àé ñèñòåì

ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. ßâëåíèÿ, ïðîèñ-

õîäÿùèå ïðè êîëåáàíèÿõ ðîòîðîâ, óñëîæíèëèñü -

ðîòîðû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè îáëàäà-

þò öåëûì ñïåêòðîì êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò âðàùåíèÿ.

Â àâèàöèîííûõ äâèãàòåëÿõ, â îòëè÷èå îò ïîäàâëÿ-

þùåãî áîëüøèíñòâà ãàçîòóðáèííûõ óñòàíîâîê íà-

çåìíîãî ïðèìåíåíèÿ, êîëåáàíèÿ íîñÿò åùå áîëåå

ñëîæíûé õàðàêòåð: ñðàâíèìîñòü ìàññîâûõ è æåñò-

êîñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðîòîðîâ è êîðïóñîâ äâèãàòå-

ëÿ çàñòàâëÿåò ðàññìàòðèâàòü èõ ñîâìåñòíûå êîëå-

áàíèÿ, ò.å. êîëåáàíèÿ ñèëîâîé ñõåìû äâèãàòåëÿ

â öåëîì. Íàëè÷èå â äâèãàòåëå äâóõ èëè òðåõ ðîòî-

ðîâ, âðàùàþùèõñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè, âû-

çûâàåò îäíîâðåìåííîå âîçáóæäåíèå êîëåáàíèé íà

ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòîòàõ, êàæäûé ðîòîð ïðè ýòîì

ñîâåðøàåò äâèæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ñèíõðîí-

íîé è íåñèíõðîííîé ïðåöåññèè. Ýòè îñîáåííîñòè

êîëåáàíèé ïîòðåáîâàëè äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ êðè-

òåðèåâ ïðîåêòèðîâàíèÿ è ðàñ÷åòíûõ ìåòîäîâ. Òå-

ïåðü òðåáîâàíèå îòñòðîéêè âñåõ êðèòè÷åñêèõ ÷àñ-

òîò âðàùåíèÿ ðîòîðîâ çà ðàáî÷èé äèàïàçîí

ðåæèìîâ ñòàíîâèòñÿ â ïðèíöèïå íåâûïîëíèìûì.

Â òàêîé ñëîæíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå, êàê ñè-

ëîâàÿ ñõåìà äâèãàòåëÿ, ñïåêòð êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò

îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ïëîòíûì - ñîîòâåòñòâóþ-

ùèå êðèòè÷åñêèå ðåæèìû ðàñïîëàãàþòñÿ â ñðåä-

íåì ñ èíòåðâàëîì 8...12 % îò ìàêñèìàëüíîé ÷àñòî-

òû âðàùåíèÿ ðîòîðà è, òàêèì îáðàçîì, ðàáî÷èå

ðåæèìû äâèãàòåëÿ ïðàêòè÷åñêè âñåãäà íàõîäÿòñÿ

â îêðåñòíîñòè òîãî èëè èíîãî ðåçîíàíñà. Â ýòîé

ñèòóàöèè ïðèîáðåòàþò îñîáóþ âàæíîñòü êðèòåðèè

îöåíêè îïàñíîñòè èëè äîïóñòèìîñòè êîíêðåòíîé

êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû âðàùåíèÿ.

14.5.2 - Äèíàìèêà îäíîìàññîâîãî ðî-

òîðà. Ïîñòóïàòåëüíûå ïåðåìåùåíèÿ

Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî êðèòè÷åñêèé ðåæèì

âðàùåíèÿ ðîòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåöèôè÷åñ-

êèé âèä âûíóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé.

Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îáúÿñíÿåò ìíîãèå çàêîíîìåð-

íîñòè ïîâåäåíèÿ ðîòîðîâ íà êðèòè÷åñêèõ ðåæèìàõ.

Ðàññìîòðèì ñíîâà ïðîñòåéøóþ ìîäåëü (ñì.

Ðèñ. 14.5.1_1), ïðåäñòàâëÿþùóþ ñèììåòðè÷íûé îò-

íîñèòåëüíî ñâîåé ñðåäèííîé ïëîñêîñòè äèñê ìàñ-

ñû M, çàêðåïëåííûé ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì â ñå-

ðåäèíå óïðóãîãî íåâåñîìîãî âàëà, âðàùàþùåãîñÿ

ñ ÷àñòîòîé

ωω

. Âàë ñ÷èòàåì èçîòðîïíûì, ò.å. åãî æå-

ñòêîñòü îäèíàêîâà âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ, ïåðïåí-

äèêóëÿðíûõ îñè âðàùåíèÿ; áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü,

÷òî äèñê ïðèêðåïëåí ê âàëó áåç ïåðåêîñîâ, ò.å. åãî

ñðåäèííàÿ ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè âðàùå-

íèÿ. Â òàêîé ñèñòåìå ïðè èçãèáå âàëà äèñê áóäåò

ñîâåðøàòü ïëîñêîå äâèæåíèå, êîãäà êàñàòåëüíàÿ

ê èçîãíóòîé îñè âàëà â òî÷êå êðåïëåíèÿ äèñêà îñ-

òàåòñÿ ïàðàëëåëüíîé îñè ïîäøèïíèêîâ ÎÎ’.

Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå ñèñòåìû ïëîñêîñòüþ,

ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ïîäøèïíèêîâ ÎÎ’ è ïðî-

õîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Î

êðåïëåíèÿ äèñêà (ýòà

ïëîñêîñòü ñîâïàäàåò ñî ñðåäèííîé ïëîñêîñòüþ

äèñêà). Ñå÷åíèå ïîêàçàíî íà Ðèñ. 14.5.2_1, ãäå

Î - òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè äèñêà ñ îñüþ

ïîäøèïíèêîâ; Î

- òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ èçîãíó-

òîé îñè âàëà ñ ïëîñêîñòüþ äèñêà; Î

- öåíòð ìàññ

äèñêà; - ðàäèóñ-âåêòîð, õàðàêòåðèçóþùèé

ïðîãèá âàëà; - ðàäèóñ-âåêòîð, õàðàêòåðèçóþ-

ùèé ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ äèñêà; - âåêòîð

ýêñöåíòðèñèòåòà äèñêà. Äâèæåíèå äèñêà îïèñû-

âàåòñÿ òðåìÿ âåëè÷èíàìè: äâóìÿ äåêàðòîâûìè

êîîðäèíàòàìè öåíòðà ìàññ äèñêà è óãëîì ïîâî-

ðîòà äèñêà

ϕϕ

- óãëîì ìåæäó îñüþ Oy è âåêòî-

ðîì [14.8.5, 18.8.21]. Â îòëè÷èå îò ðàññìîò-

ðåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìîäåëè çäåñü íå

ââîäèòñÿ äîïóùåíèå î òîì, ÷òî òî÷êè Î

, Î

è Î

ëåæàò íà îäíîé ëèíèè.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1064

Óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ÷àñòîòû âðàùåíèÿ âàëà

ωω

= const ïîçâîëÿåò çàäàòü óãëîâîå ïîëîæåíèå äèñ-

êà âûðàæåíèåì

ϕϕ

ωω

Íà äèñê äåéñòâóþò ñèëà óïðóãîñòè âàëà, ïðè-

ëîæåííàÿ â òî÷êå

, è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, êîòî-

ðûå áóäåì ñ÷èòàòü ïðèâåäåííûìè ê òîé æå òî÷êå

, à òàêæå ñèëà èíåðöèè ìàññû äèñêà, ïðèëîæåí-

íàÿ â öåíòðå ìàññ

Ñèëà óïðóãîñòè âàëà ïðîïîðöèîíàëüíà ïðî-

ãèáó âàëà, ò.å. îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì òî÷êè

è ðàâíà , ãäå c - êîýôôèöèåíò æåñòêî-

ñòè ñèñòåìû,

αα

- ïîäàòëèâîñòü. Çíàê ìèíóñ ïîêà-

çûâàåò, ÷òî ñèëà íàïðàâëåíà ïðîòèâ ïåðåìåùåíèÿ.

Åñëè ñ÷èòàòü îïîðû âàëà àáñîëþòíî æåñòêè-

ìè, òî ïåðåìåùåíèå òî÷êè

áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ

òîëüêî èçãèáîì âàëà. Â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò

æåñòêîñòè c ðàâåí êîýôôèöèåíòó æåñòêîñòè âàëà

=1/

αα

. Åñëè æå ñ÷èòàòü âàë àáñîëþòíî æåñòêèì,

à îïîðû ïîäàòëèâûìè, òî ïåðåìåùåíèå òî÷êè

áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî äåôîðìàöèÿìè îïîð,

êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè c ïðèìåò çíà÷åíèå ñ = 2Ñ

à ïîäàòëèâîñòü

α α

= 1/c =

αα

/ 2, ãäå Ñ

, - æåñòêîñòü

êàæäîé èç îïîð,

αα

= 1/ Ñ

, - ïîäàòëèâîñòü. Â òîì

ñëó÷àå, êîãäà è âàë è îïîðû íå ÿâëÿþòñÿ àáñîëþò-

íî æåñòêèìè, ñóììàðíóþ ïîäàòëèâîñòü ñèñòåìû

ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñóììó ïîäàòëèâîñòåé:

α α

αα

/2, (14.5.2-1)

îòêóäà êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè:

ñ = 2Ñ

/(2C

+ C

). (14.5.2-2)

Îáîçíà÷èì ïðîåêöèè ðàäèóñà-âåêòîðà ïðî-

ãèáà îñè êîîðäèíàò u

è u

. Ñèëà óïðóãîñòè âàëà

òîæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ÷åðåç ïðîåêöèè

(-c

) è (-c

). Çäåñü ïðèíÿòî, ÷òî æåñòêîñòü ñèñòå-

ìû îäèíàêîâà âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ (èçîòðîïíà).

Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ äèñêà Î

îïðåäåëÿ-

åòñÿ ðàäèóñîì-âåêòîðîì , ïðîåêöèè êîòîðîãî íà

îñè êîîðäèíàò îáîçíà÷èì u

è u

. Îí ÿâëÿåòñÿ

ñóììîé âåêòîðà ïðîãèáà è ýêñöåíòðèñèòåòà

(ñì. Ðèñ.14.5.2_1). Ïîëîæåíèå ïîñëåäíåãî èç-

ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè â ñâÿçè ñ âðàùåíèåì äèñêà,

à åãî ïðîåêöèè íà îñè êîîðäèíàò ðàâíû esin

ωω

è ecos

ωω

t. Êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ äèñêà îïðåäå-

ëÿþòñÿ êàê ñóììà:

(14.5.2-3)

Ïîìèìî ñèë óïðóãîñòè íà ðîòîð äåéñòâóþò

ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü èõ ïðîïîðöè-

îíàëüíûìè ñêîðîñòè òî÷êè

; ââåäåì êîýôôèöè-

åíò ñîïðîòèâëåíèÿ K. Ïðîåêöèè ñèëû ñîïðîòèâëå-

íèÿ íà îñè êîîðäèíàò ðàâíû è (îíè

òàêæå êàê è ñèëû óïðóãîñòè íàïðàâëåíû ïðîòèâ

ñìåùåíèÿ.

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ

äèñêà çàïèñûâàþòñÿ ÷åðåç âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

â âèäå:

(14.5.2-4)

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (14.5.2-3) ïî âðåìåíè

è ïîäñòàâèì â (14.5.2-4). Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ïðå-

îáðàçîâàíèé ïîëó÷èì:

(14.5.2-5)

Óðàâíåíèÿ (14.5.2-5), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿ-

þòñÿ ñèñòåìîé - îíè íåçàâèñèìû. Êàæäîå èç íèõ

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êî-

ëåáàíèé îäíîìàññîâîé ñèñòåìû, ïîäîáíîå óðàâíå-

íèþ (14.1.18-1). Ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé áåç

ó÷åòà ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê

. (14.5.2-6)

Ðèñóíîê 14.5.2_1 - Ïëîñêîñòü âðàùåíèÿ äèñêà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1065

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà äåìïôèðî-

âàíèå îòñóòñòâóåò (K = 0); ðåøåíèå (14.5.2-5) èùåì

â âèäå:

(14.5.2-7)

ïîäñòàâëÿÿ â (14.5.2-5) íàõîäèì

(14.5.2-8)

Ýòî ðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì âûøå íà

îñíîâå áîëåå ïðîñòîé ìîäåëè ðåøåíèåì (14.5.1-2).

Èç (14.5.2-6) âèäíî, ÷òî äâèæåíèå ðîòîðà ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ èçãèáíûõ ãàð-

ìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäè-

êóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ xoy è xoz ñ ÷àñòîòîé, ðàâíîé

÷àñòîòå âðàùåíèÿ ðîòîðà. Êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, ïðè

êîòîðîé çíàìåíàòåëü (14.5.2-7) ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì

íóëþ, à àìïëèòóäà A ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè,

ðàâíà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå èçãèáíûõ êîëåáàíèé

ñèñòåìû:

ω ω

êð

= p. (14.5.2-9)

Ýòî ïîçâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü êðèòè÷åñêèé

ðåæèì êàê âûíóæäåííûå ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ.

Ðîëü ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû èãðàåò

ñèëà èíåðöèè íåóðàâíîâåøåííûõ ìàññ ðîòîðà.

Ïðåäñòàâëåíèå î äâèæåíèè ðîòîðà, êàê îá óï-

ðóãèõ êîëåáàíèÿõ ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü èçâåñò-

íûå â òåîðèè êîëåáàíèé ïîäõîäû äëÿ îáúÿñíåíèÿ

è îïèñàíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé êðèòè÷åñêèõ ðåæèìîâ

âðàùåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, ìíîæåñòâåííîñòü êðèòè-

÷åñêèõ ðåæèìîâ ðåàëüíûõ ðîòîðîâ, ïðåäñòàâëÿþ-

ùèõ ñîáîé ñèñòåìó ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïå-

íåé ñâîáîäû,

îáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èåì áåñêîíå÷íîãî

ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé òà-

êèõ ñèñòåì.

Ðàññìîòðèì òåïåðü âëèÿíèå äåìïôèðîâàíèÿ íà

êðèòè÷åñêèé ðåæèì. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé

(14.5.2-5) ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ, âûðàæàþùèõ çàòó-

õàþùèå ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé p, è ñëàãà-

åìûõ, îïèñûâàþùèõ óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå

êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé

ωω

. Äîñòàòî÷íî áûñòðîå çàòó-

õàíèå ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ïîçâîëÿåò äëÿ îïèñà-

íèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà èñïîëüçîâàòü òîëüêî ÷à-

ñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (14.5.2-5). Ýòî ðåøåíèå,

êàê ïîêàçàíî â òåîðèè êîëåáàíèé, èìååò

âèä:

;

; (14.5.2-10)

;

ãäå

- ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò

êîëåáàíèé.

Àìïëèòóäà êîëåáàíèé öåíòðà ìàññ Î

ñ ó÷å-

òîì (14.5.2-3) âûðàæàåòñÿ êàê:

(14.5.2-11)

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïî ôîðìóëàì (14.5.2-10)

è (14.5.2-11) äëÿ âåëè÷èíû

δ δ

= 0,1 ïðåäñòàâëåíû

íà Ðèñ. 14.5.2_2. Âèäíî, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ,

êîãäà äåìïôèðîâàíèå îòñóòñòâóåò, ïðîãèá âàëà êî-

íå÷åí äàæå íà êðèòè÷åñêîì ðåæèìå. Èç (14.5.2-10)

Ðèñóíîê 14.5.2_2 - Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû êîëåáà-

íèé ðîòîðà îò ÷àñòîòû âðàùå-

íèÿ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1066

âèäíî, ÷òî íà êðèòè÷åñêîì ðåæèìå ïðîãèá âàëà

ðàâåí:

(14.5.2-12)

Èç âûðàæåíèÿ (14.5.2-10) ñëåäóåò A

= u

+ u

Ò.å. òî÷êà Î

êðåïëåíèÿ äèñêà îïèñûâàåò îêðóæ-

íîñòü ðàäèóñà À ñ öåíòðîì â òî÷êå Î. Àíàëîãè÷íî,

öåíòð ìàññ äèñêà Î

äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðà-

äèóñà À

òàêæå ñ öåíòðîì â òî÷êå Î.

Ôàçîâûé óãîë

χχ

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óãîë ìåæ-

äó âåêòîðàìè è . Ñîîòíîøåíèå (14.5.2-10) ïî-

êàçûâàåò, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ÷àñòîòû

âðàùåíèÿ

ωω

âåëè÷èíà óãëà

χχ

ñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé,

ò.å. äèñê, âðàùàÿñü âìåñòå ñ âàëîì, îáðàùåí ê ëè-

íèè ïîäøèïíèêîâ ÎÎ’ îäíîé è òîé æå ñòîðîíîé.

Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñèíõðîííîé ïðå-

öåññèåé. Îñîáåííîñòü ïðÿìîé ñèíõðîííîé ïðåöåñ-

ñèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî âàë íå èñïûòûâàåò ïåðåìåí-

íûõ âî âðåìåíè äåôîðìàöèé - â ñèñòåìå êîîðäèíàò,

âðàùàþùåéñÿ âìåñòå ñ âàëîì, åãî äåôîðìàöèè ïî-

ñòîÿííû (ýòî ñëåäóåò èìåòü â âèäó ïðè ýêñïåðèìåí-

òàëüíûõ èññëåäîâàíèÿõ êîëåáàíèé ðîòîðîâ ñ ïîìî-

ùüþ, íàïðèìåð, òåíçîðåçèñòîðîâ, íàêëååííûõ íà

âàë).

Çàâèñèìîñòü (14.5.2-5) ôàçîâîãî óãëà

χχ

îò ÷àñ-

òîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà ïîêàçàíà íà Ðèñ. 14.5.2_3.

Âèäíî, ÷òî ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ âðàùåíèÿ

ωω

≈ 0

óãîë

χ χ

èìååò ìàëûå çíà÷åíèÿ è íàïðàâëåíèÿ âåêòî-

ðîâ (ïðîãèá âàëà) è (ýêñöåíòðèñèòåò öåíòðà

ìàññ) ïî÷òè ñîâïàäàþò. Ïî ìåðå ðîñòà ÷àñòîòû âðà-

ùåíèÿ è ïðèáëèæåíèÿ åå ê çíà÷åíèþ

ωω

→p âåëè-

÷èíà óãëà

χ χ

âîçðàñòàåò è ïðè

ω ω

= p äîñòèãàåò çíà-

÷åíèÿ

ππ

/2, ò.å. íà êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòå âðàùåíèÿ

âåêòîð ýêñöåíòðèñèòåòà ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó

ïðîãèáà âàëà è íàïðàâëåí â ñòîðîíó âðàùåíèÿ. Ïðè

äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ óãîë

χχ

ïðîäîëæàåò ðàñòè è ïðè

ω ω

>>p ïðèáëèæàåòñÿ ê çíà-

÷åíèþ

ππ

. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð ïðîãèáà âàëà

è âåêòîð ýêñöåíòðèñèòåòà îêàçûâàþòñÿ ïðîòè-

âîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè, ò.å. âåêòîð ýêñöåíòðè-

ñèòåòà íàïðàâëåí â ñòîðîíó îñè ïîäøèïíèêîâ. Ýòî

îáúÿñíÿåò îïèñàííîå âûøå ÿâëåíèå ñàìîöåíòðè-

ðîâàíèÿ è ïîäòâåðæäàåò ïðèåìëåìîñòü ïðèíÿòîãî

â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïðåäïîëîæåíèÿ î ïðÿìîé

ñèíõðîííîé ïðåöåññèè.

Àíàëèç âûðàæåíèÿ (14.5.2-6) ïîêàçûâàåò, ÷òî

÷àñòîòà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ðîòîðà, äèñê êîòî-

ðîãî ñîâåðøàåò òîëüêî ïîñòóïàòåëüíûå ïåðåìåùå-

íèÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè, çàâèñèò îò óïðóãèõ è ìàñ-

ñîâûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû è íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû

âðàùåíèÿ ðîòîðà. Ñîîòâåòñòâåííî, êðèòè÷åñêàÿ ÷à-

ñòîòà òàêîãî ðîòîðà òàêæå çàâèñèò òîëüêî îò ñîîò-

íîøåíèÿ ìàññû è æåñòêîñòè: óâåëè÷åíèå ìàññû

ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû êîëå-

áàíèé è ñîîòâåòñòâóþùåé êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû

âðàùåíèÿ, à óìåíüøåíèå ìàññû íàîáîðîò ïðèâî-

äèò ê èõ ðîñòó. Âëèÿíèå æåñòêîñòè ïðîòèâîïîëîæ-

íî âëèÿíèþ ìàññû ñèñòåìû: óâåëè÷åíèå æåñòêîñ-

òè âûçûâàåò ïîâûøåíèå ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû

êîëåáàíèé è ñîîòâåòñòâóþùåé êðèòè÷åñêîé ÷àñòî-

òû âðàùåíèÿ, óìåíüøåíèå æå æåñòêîñòè âåäåò ê èõ

ñíèæåíèþ.

Ðàññìàòðèâàÿ âëèÿíèå æåñòêîñòè ñèñòåìû íà

çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû âðàùåíèÿ, íåîáõî-

äèìî ïîìíèòü, ÷òî âåëè÷èíà æåñòêîñòè, âõîäÿùàÿ

â âûðàæåíèå (14.5.2-2), âêëþ÷àåò â ñåáÿ êàê æåñò-

êîñòü âàëà C

, òàê è æåñòêîñòü îïîð C

ðîòîðà. Ñî-

îòâåòñòâåííî, èçìåíåíèå êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû ðî-

òîðà, ò.å. åãî îòñòðîéêó, ìîæíî âûïîëíèòü êàê

ïóòåì èçìåíåíèÿ æåñòêîñòè âàëà, òàê è ïóòåì èç-

ìåíåíèÿ æåñòêîñòè îïîð ðîòîðà.

14.5.3 - Äèíàìèêà îäíîìàññîâîãî

ðîòîðà. Óãëîâûå ïåðåìåùåíèÿ

Îáû÷íî ïðè êîëåáàíèÿõ ðîòîðîâ äèñê êðîìå

ïîñòóïàòåëüíûõ ñîâåðøàåò òàêæå óãëîâûå ïåðåìå-

ùåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïîâîðîòîì åãî îñåé èíåðöèè.

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ïîñòóïàòåëüíûå

ïåðåìåùåíèÿ îòñóòñòâóþò. Íà Ðèñ. 14.5.3_1 ïîêà-

çàí ðîòîð ñ íåâåñîìûì âàëîì, íà êîòîðûé â ñåðå-

äèíå ìåæîïîðíîãî ïðîëåòà ïîñàæåí äèñê. Äèñê

ïîëíîñòüþ óðàâíîâåøåí òàê, ÷òî òî÷êà åãî êðåï-

ëåíèÿ ê âàëó ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ, ïîïåðå÷-

íûå ïåðåìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ çàïðåùåíû. Íà÷àëî

Ðèñóíîê 14.5.2_3 - Çàâèñèìîñòü ôàçîâîãî óãëà îò

÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1067

íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxyz ïîìåùåíî

â öåíòðå ìàññ äèñêà, îñü âðàùåíèÿ Ox íàïðàâëåíà

âäîëü ëèíèè ïîäøèïíèêîâ, îñü Oy îðòîãîíàëüíà

îñè Ox è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî, îñü Oz îðòîãî-

íàëüíà ïëîñêîñòè xOy è îáðàçóåò ñ îñÿìè Ox è Oy

ïðàâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Äèñê áóäåì ñ÷èòàòü

îñåñèììåòðè÷íûì, ò.å. äèàìåòðàëüíûå ìîìåíòû

èíåðöèè äèñêà îòíîñèòåëüíî ëþáîãî åãî äèàìåòðà

îäèíàêîâû è ðàâíû I, ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè

äèñêà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ îáîçíà÷èì I

Ïîëó÷èâ íà÷àëüíîå óãëîâîå âîçìóùåíèå, âðà-

ùàþùèéñÿ äèñê áóäåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå êîëå-

áàíèÿ, èçìåíÿÿ íàïðàâëåíèÿ ñâîèõ îñåé èíåðöèè.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ äèñêà ïðè êîëåáàíè-

ÿõ ñâÿæåì ñ íèì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò

ξζηξζη

ξζη

òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îñè O

ξξ

, O

ζζ

è O

ηη

ñî-

âïàäàëè ñ òåêóùèì íàïðàâëåíèåì ãëàâíûõ îñåé

èíåðöèè äèñêà (ñì. Ðèñ. 14.5.3_2). Íà÷àëî êîîðäè-

íàò ïîìåñòèì â öåíòðå èíåðöèè äèñêà, îñü O

ξξ

ñî-

âìåñòèì ñ òåêóùèì íàïðàâëåíèåì îñè âðàùåíèÿ

äèñêà.

Â ïðîöåññå êîëåáàíèé äèñêà ñèñòåìà O

ξζηξζη

ξζη

ñî-

âåðøàåò óãëîâûå ïåðåìåùåíèÿ ïî îòíîøåíèþ

ê íå-

ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz, êîòîðûå õà-

ðàêòåðèçóþòñÿ óãëàìè Ýéëåðà [14.8.5]. Ñíà÷àëà

âûïîëíÿåòñÿ ïîâîðîò âîêðóã îñè Oy íà óãîë

ψψ

. Ïðè

ýòîì îñè On

è On

îñòàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè

îñè Oy è ëåæàò â ïëîñêîñòè xOz. Äàëåå âûïîëíÿåò-

ñÿ ïîâîðîò âîêðóã îñè On

íà óãîë

θθ

. Ïðè ýòîì îñè

ξ ξ

è On’ îñòàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îñè On

è ëåæàò â ïëîñêîñòè n

Oy. Îêîí÷àòåëüíî ïîëîæå-

íèå äèñêà îïðåäåëÿåòñÿ ïîâîðîòîì âîêðóã îñè O

ξξ

íà óãîë

ϕϕ

. Îñè O

ηη

è O

ζζ

ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè O

ξξ

è ëåæàò â ïëîñêîñòè n

On’. Óãëû

ψψ

θθ

ϕ ϕ

ñîîòâåò-

ñòâóþùèå èì ñêîðîñòè ïîëíîñòüþ îïðå-

äåëÿþò ïîëîæåíèå è äâèæåíèå ñèñòåìû êîîðäèíàò,

ñâÿçàííîé ñ äèñêîì.

Ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè äèñêà íà îñè êîîð-

äèíàò O

ξζηξζη

ξζη

îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç óãëû

ψψ

θθ

ϕϕ

ñêî-

ðîñòè ñîîòíîøåíèÿìè (ñì. Ðèñ. 14.5.3_2):

(14.5.3-1)

à ïðîåêöèè âåêòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ

â ãëàâíûõ îñÿõ èíåðöèè O

ξζηξζη

ξζη

çàïèñûâàþòñÿ â âèäå

(14.5.3-2)

Ïðîåöèðóÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà ìîìåíòà êî-

ëè÷åñòâà äâèæåíèÿ íà îñè Oxyz, ïîëó÷èì

(14.5.3-3)

Ðèñóíîê 14.5.3_1 - Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà

Ðèñóíîê 14.5.3_2 - Ñèñòåìû êîîðäèíàò

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1068

Òåïåðü ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (14.5.3-2)

â (14.5.3-3). Â âèäó ìàëîñòè óãëîâ

ψψ

θθ

çàìåíèì

ñèíóñû èõ óãëàìè, à êîñèíóñû åäèíèöàìè; ëèíå-

àðèçóåì óðàâíåíèÿ, ò.å. îòáðîñèì ïðîèçâåäåíèÿ

è ñòåïåíè ìàëûõ óãëîâ, êàê âåëè÷èíû áîëåå âûñî-

êîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè; ó÷òåì òàêæå, ÷òî ñêîðîñòè

è ñóùåñòâåííî ìåíüøå . Â èòîãå ïîëó÷èì:

(14.5.3-4)

Ïîñêîëüêó óãëû ïîâîðîòà

ϕϕ

äèñêà âîê-

ðóã îñåé Oy è Oz âûðàæàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè

(14.5.3-5)

à äâèæåíèå âîêðóã îñè Ox íå ðàññìàòðèâàåòñÿ è ïðè-

íèìàåòñÿ

ϕ ϕ

ω ω

t, òî óðàâíåíèÿ

(14.5.3-4) ïðèíèìàþò ôîðìó:

(14.5.3-6)

è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ

(14.5.3-7)

çàïèøóòñÿ â âèäå

(14.5.3-8)

ãäå M

è M

- ìîìåíòû âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî

îñåé Oy è Oz.

Ñîñòàâëÿþùèå è îòðàæàþò èíåðöèþ

ïîâîðîòà äèñêà îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ

îñåé. ×ëåíû è õàðàêòåðèçóþò ãè-

ðîñêîïè÷åñêèé ýôôåêò, ïîÿâëÿþùèéñÿ ïðè ïîâî-

ðîòàõ ïëîñêîñòè âðàùàþùåãîñÿ äèñêà. Ïîÿâëåíèå

ãèðîñêîïè÷åñêîãî ìîìåíòà ìîæíî ïðåäñòàâèòü íå-

ïîñðåäñòâåííî, ðàññìàòðèâàÿ óñêîðåíèÿ îòäåëüíûõ

òî÷åê äèñêà ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèè îñè åãî

âðàùåíèÿ (ñì. Ðèñ. 14.5.3_3). Ïóñòü îñü âðàùåíèÿ

Ox äèñêà ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë d

ϕϕ

âîêðóã îñè

Oz çà âðåìÿ dt. Ñêîðîñòè V

òî÷åê À è Â, ïåðâîíà-

÷àëüíî íàïðàâëåííûå ïàðàëëåëüíî îñè Oy, èçìå-

íÿþò ñâîå íàïðàâëåíèå íà V’

, ïîëó÷àÿ ïðèðàùå-

íèÿ dVx.

Âåëè÷èíà ýòèõ ïðèðàùåíèé è ñîîòâåòñòâóþ-

ùèõ

óñêîðåíèé ax ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå âðà-

ùåíèÿ ðîòîðà (ò.ê. V

ωω

R, ãäå R - ðàäèóñ äèñêà)

è ñêîðîñòè ïîâîðîòà îñè åãî âðàùåíèÿ. Äëÿ

ñîçäàíèÿ óñêîðåíèé a

òî÷åê À è Â íåîáõîäèìî

ýòèì

òî÷êàì ïðèëîæèòü ñèëû, ñîçäàþùèå ìîìåíò

îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïðèëîæåííûé

ê ðîòîðó. Òà-

êèì îáðàçîì, åñëè çàäàíà ñêîðîñòü ïîâîðîòà îñè

âðàùåíèÿ Ox ðîòîðà âîêðóã îñè Oz, òî äëÿ òîãî,

÷òîáû îñü âðàùåíèÿ ðîòîðà îñòàâàëàñü â ïëîñêî-

ñòè xOy, íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ê ðîòîðó ìîìåíò

îòíîñèòåëüíî îñè Oy, êîòîðûé äîëæåí êîìïåíñè-

ðîâàòü ãèðîñêîïè÷åñêèé ýôôåêò äèñêà.

Â óðàâíåíèÿõ (14.5.3-8) âíåøíèé ïî îòíîøå-

íèþ ê äèñêó ìîìåíò, ñîçäàâàåìûé ñèëàìè óïðóãî-

ñòè âàëà, ïðîïîðöèîíàëåí óãëàì ïîâîðîòà äèñêà

ϕϕ

è îïðåäåëÿåòñÿ ïðîåêöèÿìè M

= -s

ϕϕ

= -s

ϕϕ

. Åñëè ñ÷èòàòü îïîðû ðîòîðà àáñîëþòíî

æåñòêèìè, òî óãëû ïîâîðîòà äèñêà îïðåäåëÿþòñÿ

òîëüêî èçãèáîì âàëà. Â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò

æåñòêîñòè s èìååò çíà÷åíèå s = 12EJ/l, ïðè÷åì l -

Ðèñóíîê 14.5.3_3 - Ê îïðåäåëåíèþ ãèðîñêîïè÷åñêîãî

ìîìåíòà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1069

äëèíà âàëà, E - ìîäóëü óïðóãîñòè, J - ìîìåíò èíåð-

öèè ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ âàëà. Åñëè æå

ñ÷èòàòü âàë àáñîëþòíî æåñòêèì, à îïîðû ïîäàòëè-

âûìè, òî óãëû ïîâîðîòà äèñêà áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ

äåôîðìàöèÿìè îïîð, à êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè s

ïðèìåò çíà÷åíèå s = C

/4, ãäå C

- æåñòêîñòü êàæ-

äîé èç îïîð. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ, ñîçäà-

âàåìûõ óïðóãîñòüþ âàëà (èëè îïîð) â óðàâíåíèÿ

(14.5.3-8), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:

(14.5.3-9)

Âûðàæåíèÿ (14.5.3-19) ïðåäñòàâëÿþò óðàâ-

íåíèÿ ñâîáîäíûõ óãëîâûõ êîëåáàíèé äèñêà â îò-

ñóòñòâèå äåìïôèðîâàíèÿ. Â óñëîâèÿõ îñåâîé

ñèììåòðèè óïðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû

è èíåðöèîííûõ ñâîéñòâ äèñêà ðåøåíèå ìîæåò

áûòü íàéäåíî â ôîðìå:

(14.5.3-10)

ãäå

ΩΩ

Ω

- ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé.

Ïîäñòàíîâêà (14.5.3-5) â (14.5.3-4) äàåò:

(14.5.3-11)

Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñ-

êèõ óðàâíåíèé (14.5.3-11) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñò-

íûõ àìïëèòóä Ô

è Ô

óãëîâûõ ïåðåìåùåíèé äèñ-

êà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ëèøü â ñëó÷àå

ðàâåíñòâà íóëþ åå îïðåäåëèòåëÿ:

(14.5.3-12)

Ðàâåíñòâî (14.5.3-12) ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòîòíîå

óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò óã-

ëîâûõ êîëåáàíèé ðîòîðà. Çàìåòèì, ÷òî â ýòî óðàâ-

íåíèå ÿâíî âõîäèò ÷àñòîòà âðàùåíèÿ

ωω

, ÷òî ïðèâî-

äèò ê çàâèñèìîñòè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé

îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ è îòðàæàåò âëèÿíèå ãèðîñêî-

ïè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñèñòåìû. Ïðè íóëåâîé ÷àñòîòå

âðàùåíèÿ

ωω

= 0 ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà

ΩΩ

Ω

íàõîäèò-

ñÿ ïî ôîðìóëå:

, (14.5.3-13)

Ïðè ÷àñòîòå âðàùåíèÿ

ωω

, îòëè÷íîé îò íóëÿ,

ñîîòíîøåíèå (14.5.3-7) ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå

[( s - I

ΩΩ

Ω

) + I

ωΩ ωΩ

ωΩ

] [( s - I

ΩΩ

Ω

) - I

ωΩ ωΩ

ωΩ

] = 0

îòêóäà ñëåäóåò

.(14.5.3-14)

Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû

ΩΩ

Ω

ΩΩ

Ω

ñîîòâåòñòâó-

þò ïðÿìîé è îáðàòíîé ïðåöåññèè ðîòîðà. Ïðè ïðÿ-

ìîé ïðåöåññèè íàïðàâëåíèå ïðåöåññèè ñîâïàäà-

åò ñ íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ âàëà, ïðè îáðàòíîé

ïðåöåññèè íàïðàâëåíèå ïðåöåññèè è íàïðàâëåíèå

âðàùåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû äðóã äðóãó. Åñëè ÷àñ-

òîòà ïðåöåññèè ïî âåëè÷èíå ñîâïàäàåò ñ ÷àñòî-

òîé âðàùåíèÿ, ïðåöåññèÿ íàçûâàåòñÿ ñèíõðîííîé.

Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðåöåññèÿ áóäåò íåñèíõðîí-

íîé. Çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îò ÷

àñòîòû

âðàùåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèé ìîìåíòîâ

èíåðöèè äèñêà ïîêàçàíî íà Ðèñ. 14.5.3_4. Êðèòè-

÷åñêèå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àÿì

ñîâïàäåíèÿ ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ñ îäíîé èç ñîáñòâåí-

íûõ ÷àñòîò ïðåöåññèè ðîòîðà. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ

ω ω

Ω Ω

Ω

èëè

ω ω

Ω Ω

Ω

â ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî

(14.5.3-14), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êðèòè÷åñêèõ

÷àñòîò âðàùåíèÿ:

, (14.5.3-15)

ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðÿìîé

ΩΩ

Ω

* è îáðàòíîé

ΩΩ

Ω

* ïðå-

öåññèè ðîòîðà. Çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò ïî-

êàçàíû íà Ðèñ. 14.5.3_4, êàê òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ

ïðÿìîé

Ω Ω

Ω

ω ω

ñ êðèâûìè, õàðàêòåðèçóþùèìè ñîá-

ñòâåííûå ÷àñòîòû. Âèäíî, ÷òî ïðè I < I

êðèòè÷åñ-

êèå ÷àñòîòû ïðÿìîé ïðåöåññèè â ñèñòåìå îòñóò-

ñòâóþò. Äëÿ èçîòðîïíûõ (îñåñèììåòðè÷íûõ)

ñèñòåì, ò.å. ñèñòåì, ó êîòîðûõ â ïëîñêîñòè, ïåðïåí-

äèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ ðîòîðà, õàðàêòåðèñòèêè

æåñòêîñòè íå çàâèñÿò îò íàïðàâëåíèÿ, êîëåáàíèÿ

íà êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîòàõ îáðàòíàÿ ïðåöåññèÿ íå