Иноземцев А.А., Сандрацкий В.Л. Газотурбинные двигатели

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Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1070

âîçáóæäàåòñÿ ñîáñòâåííîé íåóðàâíîâåøåííîñòüþ

ðîòîðà. Âîçáóæäåíèå òàêèõ êîëåáàíèé âîçìîæíî

ëèøü â ñëó÷àå íàëè÷èÿ àíèçîòðîïèè æåñòêîñòè,

ëèáî êîãäà íà ðîòîð, âðàùàþùèéñÿ ñ ÷àñòîòîé

ωω

äåéñòâóåò íàãðóçêà, âðàùàþùàÿñÿ ñ ÷àñòîòîé

ωω

â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ

óãëîâûõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî ó÷åñòü âîçìóùà-

þùèå ñèëû è ñèëû äåìïôèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì

ïîêîÿùèéñÿ (íå âðàùàþùèéñÿ) ðîòîð ñ êîñî ïîñà-

æåííûì äèñêîì. Ðàñïîëîæèì ðîòîð òàê, ÷òîáû óãîë

Ã ïåðåêîñà äèñêà ñîâïàäàë ñ ïîâîðîòîì äèñêà îò-

íîñèòåëüíî îñè Oy (ñì. Ðèñ. 14.5.3_5). Ïðè ïîâî-

ðîòå ðîòîðà âîêðóã îñè âðàùåíèÿ Ox íà óãîë

ϕ ϕ

ωω

ïëîñêîñòü äèñêà, â êîòîðîé ëåæàò îñè èíåðöèè äèñ-

êà, ñîñòàâèò ñ îñÿìè Oy è Oz óãëû

(14.5.3-16)

Ðèñóíîê 14.5.3_4 - Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è êðèòè÷åñêèå ðåæèìû ðîòîðà

Ðèñóíîê 14.5.3_5 - Ðîòîð ñ êîñî ïîñàæåííûì

äèñêîì

Ïîñêîëüêó ïðè êîëåáàíèÿõ ðîòîðà ïîëîæåíèå

ïëîñêîñòè êðåïëåíèÿ äèñêà îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè

ϕϕ

(14.5.3-5), òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1071

ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò îñè èíåðöèè äèñêà,

óãëàì

ϕϕ

íåîáõîäèìî äîáàâèòü óãëû

γγ

(14.5.3-16), õàðàêòåðèçóþùèå ïåðåêîñ äèñêà. Ïî-

ëîæåíèå ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè äèñêà òîãäà áóäåò

îïðåäåëÿòüñÿ óãëàìè

.(14.5.3-17)

Ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ îò-

íîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè äèñêà, àíàëîãè÷-

íî (14.5.3-6), çàïèøóòñÿ â âèäå

,(14.5.3-18)

à óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (14.5.3-7) - àíàëîãè÷íî âû-

ðàæåíèÿì (14.5.3-8)

. (14.5.3-19)

Ê ìîìåíòàì M

è M

âíåøíèõ ñèë, ïîìèìî

ìîìåíòîâ, ñâÿçàííûõ ñ óïðóãîñòüþ âàëà, ñ ïðîåê-

öèÿìè -s

ϕϕ

è -s

ϕϕ

, äîáàâèì ìîìåíò ñèë ñîïðîòèâ-

ëåíèÿ ñ ïðîåêöèÿìè -R

ϕϕ

è -R

ϕϕ

, (14.5.3-20)

ãäå R - êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ, õàðàêòåðèçó-

þùèé ñèëû âíåøíåãî òðåíèÿ.

Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (14.5.3-20) â (14.5.3-19), ïîñ-

ëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ âûíóæäåí-

íûõ êîëåáàíèé ðîòîðà, â êîòîðîì íåóðàâíîâåøåí-

íîñòü çàäàíà â âèäå óãëîâîãî îòêëîíåíèÿ Ã îñåé

èíåðöèè äèñêà îò îñè âðàùåíèÿ

.(14.5.3-21)

Âèäíî, ÷òî íåóðàâíîâåøåííîñòü äèñêà, ñâÿ-

çàííàÿ ñ åãî ïåðåêîñîì, èãðàåò ðîëü âíåøíåé ïå-

ðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè. Èíòåíñèâíîñòü ýòîé íàãðóç-

êè çàâèñèò îò ðàçíîñòè äèàìåòðàëüíîãî è ïîëÿð-

íîãî ìîìåíòîâ èíåðöèè äèñêà (I - I

), è ïðè ðàâåí-

ñòâå âñåõ ìîìåíòîâ èíåðöèè äèñêà (I = I

) êîëåáà-

íèÿ â ñèñòåìå âîçáóæäàòüñÿ íå áóäóò.

Ñòàöèîíàðíûé ðåæèì, ñîîòâåòñòâóþùèé óñ-

òàíîâèâøèìñÿ âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì, îïðåäå-

ëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèé (14.5.3-21)

(14.5.3-22)

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýòîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷èì

âûðàæåíèÿ äëÿ óãëîâîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé

ïëîñêîñòè êðåïëåíèÿ äèñêà

(14.5.3-23)

è, ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (14.5.3-17), ïëîñêîñòè, â êî-

òîðîé

ðàñïîëîæåíû îñè èíåðöèè äèñêà

.(14.5.3-24)

Àíàëèç âûðàæåíèé (14.5.3-23) è (14.5.3-24) ïî-

êàçûâàåò, ÷òî óãëîâûå àìïëèòóäû Ô è Ô

äîñòèãà-

þò ìàêñèìóìà âáëèçè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðàâíîé

, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé

êðèòè÷åñêóþ ÷àñòîòó ïðÿìîé ïðåöåññèè. Êàê è ïðè

ïîñòóïàòåëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ, çà êðèòè÷åñêîé

÷àñòîòîé ïðîèñõîäèò ñàìîöåíòðèðîâàíèå ðîòîðà,

ò.å. îñü èíåðöèè äèñêà ñòðåìèòñÿ ê ëèíèè öåíòðîâ

ïîäøèïíèêîâ Ô

→0, à óãîë íàêëîíà êàñàòåëüíîé

ê èçîãíóòîé îñè âàëà ñòðåìèòñÿ ê âåëè÷èíå íà÷àëü-

íîãî ïåðåêîñà äèñêà (Ô→Ã).

14.5.4 - Äèíàìèêà îäíîìàññîâîãî

íåñèììåòðè÷íîãî ðîòîðà

Ðàññìîòðèì ðîòîð, äèñê êîòîðîãî ðàñïîëîæåí

íå â ñåðåäèíå ìåæîïîðíîãî ïðîëåòà, à íàõîäèòñÿ

áëèæå ê îäíîé èç îïîð (ñì. Ðèñ. 14.5.4_1), íàïðè-

ìåð, ê ëåâîé. Ïðè äåéñòâèè íà âàë ðîòîðà ïîïåðå÷-

íûõ ñèë è èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ, ñå÷åíèÿ âàëà

áóäóò ïîëó÷àòü ïåðåìåùåíèÿ â íàïðàâëåíèè îñåé

Oy è Oz è ïîâîðîòû âîêðóã ýòèõ îñåé.

Ïðîàíàëèçèðóåì äåôîðìàöèè âàëà â ïëîñêî-

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1072

ñòè xOy (ñì. Ðèñ. 14.5.4_2à, 14.5.4_2á). Ñèëà P

, ïðè-

ëîæåííàÿ â òî÷êå êðåïëåíèÿ äèñêà è äåéñòâóþùàÿ

â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Oy, âûçîâåò ïå-

ðåìåùåíèå u

âàëà âäîëü îñè Oy è ïîâîðîò ñå÷åíèÿ

âàëà íà óãîë

ϕϕ

âîêðóã îñè Oz. Íàïðàâëåíèå ïåðå-

ìåùåíèÿ áóäåò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèåì äåéñòâèÿ

ñèëû, ò.å. ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Oy,

à íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áó-

äåò ñîâïàäàòü ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îò-

ñ÷åòà óãëà

ϕϕ

. Èçãèáàþùèé ìîìåíò M

, ïðèëîæåí-

íûé ê âàëó â òî÷êå êðåïëåíèÿ äèñêà è äåéñòâóþùèé

â íàïðàâëåíèè ïîëîæèòåëüíîãî ïîâîðîòà âîêðóã

îñè Oz, âûçîâåò â ïëîñêîñòè xOy ïîëîæèòåëüíûé

ïðîãèá âàëà uy è ïîâîðîò

ϕϕ

â ïîëîæèòåëüíîì íà-

ïðàâëåíèè âîêðóã îñè Oz. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äå-

ôîðìàöèè âàëà â ïëîñêîñòè xOy ìîæíî çàïèñàòü

ñîîòíîøåíèÿ:

, (14.5.4-1)

ãäå

α − α −

α −

ïðîãèá âàëà ïîä äåéñòâèåì åäèíè÷íîé ñèëû;

γ γ

- óãîë ïîâîðîòà ñå÷åíèÿ âàëà ïðè äåéñòâèè

åäèíè÷íîãî ìîìåíòà;

β β

- ïðîãèá âàëà, âûçûâàåìûé åäèíè÷íûì

èçãèáàþùèì ìîìåíòîì èëè óãîë ïîâîðîòà

ñå÷åíèÿ ïîä äåéñòâèåì åäèíè÷íîé ñèëû.

Èç òåîðèè èçãèáà áàëîê èçâåñòíî, ÷òî êîýô-

ôèöèåíòû

αα

γγ

ββ

îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè:

(14.5.4-2)

Ñèëà è ìîìåíò, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ ïðî-

ãèáà âàëà íà âåëè÷èíó u

è ïîâîðîòà åãî ñå÷åíèÿ

íà óãîë

ϕϕ

, ìîæíî íàéòè èç âûðàæåíèé (14.5.4-1):

(14.5.4-3)

ãäå êîýôôèöèåíòû C, N è S îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíî-

øåíèÿìè

(14.5.4-4)

Ðàññìîòðèì äåôîðìàöèè âàëà â ïëîñêîñòè

xOz (ñì. Ðèñ. 14.5.4_2â, 14.5.4_2ã). Â òî÷êå êðåï-

ëåíèÿ äèñêà ñèëà P

, äåéñòâóþùàÿ â ïîëîæèòåëü-

íîì íàïðàâëåíèè îñè Oz, âûçûâàåò ïðîãèá u

âàëà

â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ýòîé îñè è ïîâî-

ðîò ñå÷åíèÿ âàëà íà óãîë (

−ϕ−ϕ

−ϕ

) âîêðóã îñè Oy â îò-

ðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îòñ÷åòà óãëîâ.

Ìîìåíò

, äåéñòâóþùèé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè

îòíîñèòåëüíî îñè Oy, âûçîâåò ïîâîðîò ñå÷åíèÿ âàëà

íà ïîëîæèòåëüíûé óãîë

ϕϕ

è îòðèöàòåëüíûé ïðî-

ãèá âàëà (-u

). Äåôîðìàöèè âàëà â ïëîñêîñòè xOz

çàïèøóòñÿ â âèäå ñîîòíîøåíèé

(14.5.4-5)

Çäåñü

α α

γγ

β β

- ïðåäñòàâëÿþò ðàññìîòðåííûå

âûøå (14.5.4-2) êîýôôèöèåíòû óïðóãîñòè âàëà.

Ñèëà è ìîìåíò â ïëîñêîñòè xOz, âûçûâàþùèå

ïðîãèá u

è ïîâîðîò ñå÷åíèÿ

ϕϕ

, îïðåäåëÿþòñÿ âû-

ðàæåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè (14.5.4-3)

Ðèñóíîê 14.5.4_1 - Íåñèììåòðè÷íûé ðîòîð

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1073

(14.5.4-6)

Ãäå âåëè÷èíû C, N, S îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíî-

øåíèÿìè (14.5.4-4).

Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû â ìåñòå êðåïëåíèÿ äèñ-

êà âàë èìåë ïåðåìåùåíèÿ

, u

è óãëû ïîâîðîòà

ñå÷åíèÿ

ϕϕ

ê íåìó íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ñèëû

è ìîìåíòû, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèÿìè (14.5.4-3)

è (14.5.4-6). Ïðè ýòîì ñî ñòîðîíû âàëà íà äèñê áó-

äóò äåéñòâîâàòü âíåøíèå ïî îòíîøåíèþ ê äèñêó

ñèëû è ìîìåíòû òîé æå âåëè÷èíû, íî ïðîòèâîïî-

ëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ. Â ïëîñêîñòè xOy

(14.5.4-7)

è â ïëîñêîñòè xOz

(14.5.4-8)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèÿìè (14.5.2-4)

è (14.5.3-19), ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé

îäíîìàññîâîãî íåñèììåòðè÷íîãî ðîòîðà ïîä äåé-

ñòâèåì íåóðàâíîâåøåííîñòè ïðè îòñóòñòâèè ñèë

äåìïôèðîâàíèÿ:

(14.5.4-9)

Ðèñóíîê 14.5.4_2 - Äåôîðìàöèè íåñèììåòðè÷íîãî ðîòîðà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1074

Åñëè íåóðàâíîâåøåííîñòü â ðîòîðå (ýêñöåíò-

ðèñèòåò ìàññû è ïåðåêîñ äèñêà) îòñóòñòâóåò, òî ïî-

ëó÷èì óðàâíåíèÿ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé

(14.5.4-10)

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî êîëåáàíèÿ ðîòî-

ðà â ïëîñêîñòè xOy (âåëè÷èíû u

ϕϕ

)

îïåðåæàþò

ïî ôàçå íà ÷åòâåðòü ïåðèîäà êîëåáàíèÿ â ïëîñêî-

ñòè xOz (âåëè÷èíû u

ϕϕ

), çàïèøåì ðåøåíèå â âèäå

(14.5.4-11)

Òîãäà

(14.5.4-12)

èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

(14.5.4-13)

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (14.5.4-13) ïðåäñòàâëÿåò

îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ àìïëèòóä

ïîñòóïàòåëüíûõ è óãëîâûõ ïåðåìåùåíèé ðîòîðà.

Òàêàÿ ñèñòåìà ìîæåò èìåòü îòëè÷íîå îò íóëÿ ðå-

øåíèå ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà åå îïðåäåëèòåëü

ðàâåí íóëþ. Ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëü, íàéäåì:

[(C - mp

)(S - Ip

) - N

+ I

ωω

p(C - mp

)]õ

õ[(C - mp

)(S - Ip

) - N

- I

ωω

p(C - mp

)] = 0

(14.5.4-14)

îòêóäà ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ

ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé:

(14.5.4-15)

Ýòè óðàâíåíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé

òîëüêî çíàêàìè ïåðåä ÷ëåíàìè, ñîäåðæàùèìè ÷àñ-

òîòó âðàùåíèÿ

ωω

, è àíàëèç ìîæíî îãðàíè÷èòü òîëü-

êî îäíèì èç íèõ, íàïðèìåð ïåðâûì, ïîëàãàÿ, ÷òî

÷àñòîòà âðàùåíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü êàê ïîëîæè-

òåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.

Èç óðàâíåíèÿ âèäíî, ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êî-

ëåáàíèé çàâèñÿò îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà. Ýòî

ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ãèðîñêîïè÷åñêîãî ýôôåêòà,

ïîñêîëüêó êîëåáàòåëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ðîòîðà ñî-

ïðîâîæäàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûì èçìåíåíèåì íà-

ïðàâëåíèÿ îñè âðàùåíèÿ äèñêà. Êðèòè÷åñêèå ðå-

æèìû áóäóò èìåòü ìåñòî ïðè ñîâïàäåíèå ÷àñòîòû

âðàùåíèÿ

ωω

ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé ð

ðîòîðà. Äëÿ ïðÿìîé ñèíõðîííîé ïðåöåññèè ñëåäó-

åò ïîëîæèòü

ω ω

= p è óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:

.(14.5.4-16)

Åñëè I > I

, òî óðàâíåíèå èìååò äâà ïîëîæè-

òåëüíûõ êîðíÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò äâå êðèòè÷åñ-

êèå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ïðè ïðÿìîé ïðåöåññèè. Ïðè

I < I

áóäåò òîëüêî îäíà êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà.

Äëÿ ñëó÷àÿ îáðàòíîé ñèíõðîííîé ïðåöåññèè

ñëåäóåò ïîëîæèòü

ω ω

= -p. ×àñòîòíîå óðàâíåíèå ïðè-

íèìàåò ôîðìó:

(14.5.4-17)

Ïðè îáðàòíîé ïðåöåññèè âñåãäà áóäåì èìåòü

äâà ïîëîæèòåëüíûõ êîðíÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò äâå

êðèòè÷åñêèå ÷àñòîòû âðàùåíèÿ. Ðåçîíàíñíàÿ äè-

àãðàììà íåñèììåòðè÷íîãî ðîòîðà ïîêàçàíà íà

Ðèñ. 14.5.4_3.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1075

14.5.5 - Ðîòîð ñ ðàñïðåäåëåííûìè

ïàðàìåòðàìè

Ìîäåëü îäíîìàññîâîãî ðîòîðà, ó êîòîðîãî

ìàññîé âàëà â ñðàâíåíèè ñ ìàññîé äèñêà ìîæíî

ïðåíåáðå÷ü, ïîçâîëÿåò ïîíÿòü ïîâåäåíèå íåóðàâ-

íîâåøåííîãî ðîòîðà ïðè åãî êîëåáàíèÿõ.

Çäåñü

âîñïðîèçâîäèòñÿ ðåçîíàíñíîå âîçðàñòàíèå àìïëè-

òóäû âáëèçè êðèòè÷åñêîãî ðåæèìà, ÿâëåíèå ñàìî-

öåíòðèðîâàíèÿ ðîòîðà íà çàêðèòè÷åñêèõ ÷àñòîòàõ

âðàùåíèå, ïîâûøåíèå êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû â ñâÿ-

çè ñ âëèÿíèåì ãèðîñêîïè÷åñêîãî ýôôåêòà, âëèÿíèå

äåìïôèðîâàíèÿ è æåñòêîñòè îïîð. Â òî æå âðåìÿ,

äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò âðàùåíèÿ ðå-

àëüíûõ ðîòîðîâ ñ ïðèåìëåìîé äëÿ ïðàêòèêè òî÷-

íîñòüþ òàêàÿ ìîäåëü â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ

ñëèøêîì óïðîùåííîé.

Â ðîòîðàõ ñîâðåìåííûõ ÃÒÄ èç-çà îáëåã÷åíèÿ

äèñêîâ ìàññà âàëà îêàçûâàåò çíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå

íà êîëåáàíèÿ. Äëÿ àíàëèçà òàêîé êîëåáàòåëüíîé ñè-

ñòåìû íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðàñïðåäåëåíèå ìàññû

ïî äëèíå ðîòîðà, ò.å. ðàññìàòðèâàòü ðîòîð êàê ñèñ-

òåìó ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Îñîáåííîñòü

ðîòîðîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ñîñòîèò

â òîì,

îíè îáëàäàþò áåñêîíå÷íûì êîëè÷åñòâîì

(ñïåêòðîì) ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé

è ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèòè÷åñêèõ ÷àñòîò âðàùåíèÿ.

Îäíàêî, îïðåäåëÿòü âåñü ñïåêòð êðèòè÷åñêèõ ÷àñ-

òîò íåò íåîáõîäèìîñòè - äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé

äîñòàòî÷íî íàéòè íåñêîëüêî íèçøèõ êðèòè÷åñêèõ

÷àñòîò, ðàñïîëàãàþùèõñÿ âíóòðè èëè

âáëèçè äèà-

ïàçîíà ðàáî÷èõ ÷àñòîò âðàùåíèÿ ðîòîðà.

Äëÿ âûâîäà óðàâíåíèé êîëåáàíèé ðîòîðà ñ ðàñ-

ïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ââåäåì ñëåäóþùóþ

ñõåìàòèçàöèþ.

Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðîäîëüíûé ðàçìåð ðîòî-

ðà - åãî äëèíà âäîëü îñè âðàùåíèÿ - ñóùåñòâåííî

ïðåâûøàåò ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû. Òîãäà äëÿ îïðåäå-

ëåíèÿ ïåðåìåùåíèé ðîòîðà, ñâÿçàííûõ ñ åãî ïðîãè-

áàìè, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé èçãèáà áàëîê.

Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðû ðîòîðà

- ðàñïðåäåëåí-

íàÿ ìàññà m(x), ðàñïðåäåëåííûå ýêâàòîðèàëüíûé

ìàññîâûé ìîìåíò èíåðöèè i(x) è ïîëÿðíûé ìàññî-

âûé ìîìåíò èíåðöèè i

(x), èçãèáíàÿ æåñòêîñòü

EJ(x) - áóäóò ôóíêöèÿìè îäíîé ïåðåìåííîé - ïðî-

äîëüíîé êîîðäèíàòû ñå÷åíèÿ ðîòîðà.

Äëÿ ðîòîðà, ñâîáîäíîãî îò îïîð è âíåøíèõ íà-

ãðóçîê, ëèíèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû òÿæåñòè

ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

îñü æåñòêîñòè ðîòîðà, êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü

ïðÿìîëèíåéíîé. Ëèíèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû

òÿæåñòè ìàññ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé, îïðåäåëÿåò îñü

èíåðöèè ðîòîðà. Íåóðàâíîâåøåííîñòü ðîòîðà îï-

ðåäåëÿåòñÿ êàê îòêëîíåíèå â êàæäîì ñå÷åíèè îñè

èíåðöèè îò îñè æåñòêîñòè. Íà Ðèñ. 14.5.5_2 ïîêà-

çàíî ïîëîæåíèå îñåé æåñòêîñòè è èíåðöèè â ïîïå-

ðå÷íîì ñå÷åíèè íåäåôîðìèðîâàííîãî ðîòîðà â ïðî-

èçâîëüíîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. Íà÷àëî Î

ñèñòåìû

êîîðäèíàò O

xyz ëåæèò íà îñè æåñòêîñòè ðîòîðà,

îñü O

x íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè

÷åðòåæà è ñîâïàäàåò ñ îñüþ æåñòêîñòè. Ïîëîæå-

íèå öåíòðà èíåðöèè õàðàêòåðèçóåòñÿ ýêñöåíòðèñè-

òåòîì ìàññû â ðàññìàòðèâàåìîì ñå-

÷åíèè. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïåðåêîñ ãëàâíîé îñè

èíåðöèè Ã(x) = {

γγ

γ γ

Äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå â êàæäîì ñå÷å-

íèè îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè [14.8.5], âêëþ÷à-

Ðèñóíîê 14.5.4_3 - Êðèòè÷åñêèå ðåæèìû íåñèì-

ìåòðè÷íîãî ðîòîðà

Ðèñóíîê 14.5.5_1 - Ðîòîð ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðà-

ìåòðàìè

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1076

þùèìè âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ

è âåêòîð óãëà ïîâîðîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

. Ïîëîæåíèå öåíòðà èíåðöèè ïðè

ýòîì çàäàåòñÿ âåêòîðîì . Ïðè

äå

ôîðìàöèÿõ ðîòîðà â êàæäîì ñå÷åíèè âîçíèêà-

þò óñèëèÿ, õàðàêòåðèçóþùèåñÿ âåêòîðîì ïîïåðå÷-

íîé ñèëû è âåêòîðîì èçãèáàþ-

ùåãî ìîìåíòà . Ïîïåðå÷íîå

ñå÷åíèå äåôîðìèðîâàííîãî ðîòîðà ïîêàçàíî

íà

Ðèñ. 14.5.5_3.

Çäåñü îñü Ox íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäè-

íàò Oxyz ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì ïîëîæåíèåì îñè

æåñòêîñòè íåäåôîðìèðîâàííîãî ðîòîðà. Ñèñòåìà

êîîðäèíàò

ξηζξηζ

ξηζ

âðàùàåòñÿ âìåñòå ñ ðîòîðîì âîê-

ðóã îñè

ξξ

, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ Ox íåïîäâèæíîé

ñèñòåìû Oxyz. Ïîëîæåíèå îñåé

ξηζξηζ

ξηζ

îòíîñèòåëü-

íî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ

óãëîì

ϕϕ

ξξ

ωω

t ïîâîðîòà ðîòîðà âîêðóã îñè Ox O

ξξ

Ïîëîæåíèå îñè æåñòêîñòè äåôîðìèðîâàííîãî ðî-

òîðà çàäàåòñÿ òî÷êîé O

. Ïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîð-

äèíàò

ξξ

’

ηη

’

ζζ

’ æåñòêî ñâÿçàíà ñ ðîòîðîì è âðàùà-

åòñÿ âìåñòå ñ íèì. Åå íà÷àëî O

ëåæèò íà îñè

æåñòêîñòè äåôîðìèðîâàííîãî ðîòîðà, à íàïðàâëå-

íèå îñè

ξξ

’ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì êàñàòåëü-

íîé ê îñè æåñòêîñòè äåôîðìèðîâàííîãî ðîòîðà.

Ïîëîæåíèå ñèñòåìû

ξξ

’

ηη

’

ζζ

’ îòíîñèòåëüíî íåïîä-

âèæíîé ñèñòåìû Oxyz çàäàåòñÿ âåêòîðàìè

è è óãëîì

ϕϕ

ξξ

ωω

t .

Òî÷êà O

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæåíèå îñè

èíåðöèè äåôîðìèðîâàííîãî ðîòîðà. Åå ïîëîæåíèå

çàäàåòñÿ âåêòîðîì , êîòîðûé, ïðè

ïðåöåññèè ïî êðóãîâîé îðáèòå îïðåäåëÿåòñÿ âû-

ðàæåíèåì:

.(14.5.5-1)

Îðèåíòàöèÿ îñè èíåðöèè íàõîäèòñÿ èç àíàëî-

ãè÷íîãî âûðàæåíèÿ

.(14.5.5-2)

Åñëè íåóðàâíîâåøåííîñòü

ëåæèò â îä-

íîé ïëîñêîñòè, à óãëîâàÿ íåóðàâíîâåøåííîñòü Ã(õ)

îòñóòñòâóåò, òî íà÷àëüíîå óãëîâîå ïîëîæåíèå ðî-

òîðà ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåêòîð

áûë íàïðàâëåí âäîëü îñè

ηη

. Òîãäà

(14.5.5-3)

Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ðîòîðà áåç

ó÷åòà ãèðîñêîïè÷åñêîãî ýôôåêòà [14.8.26]. Íà

Ðèñ. 14.5.5_4 ïîêàçàí ìàëûé ýëåìåíò dx ðîòîðà,

à òàêæå âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå

íà íåãî. Óñëîâèÿ äèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ñèë,

äåéñòâóþùèõ â íàïðàâëåíèÿõ îñå Oy è Oz, èìåþò

âèä:

Ðèñóíîê 14.5.5_2

Ðèñóíîê 14.5.5_3

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1077

, (14.5.5-4)

à óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ìîìåíòîâ äàåò:

. (14.5.5-5)

Âûðàæàÿ ïåðåðåçûâàþùèå ñèëû èõ ýòèõ ðà-

âåíñòâ:

(14.5.5-6)

È ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â (14.5.5-4), ïîëó÷èì:

. (14.5.5-7)

Èç òåîðèè èçãèáà áàëîê èìååì ñîîòíîøåíèÿ:

.(14.5.5-8)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (14.5.5-7), íàõî-

äèì:

,(14.5.5-9)

÷òî, ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (14.5.5-1), îêîí÷àòåëüíî

äàåò:

.(14.5.5-10)

Ýòî óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ðîòîðà ñ ðàñïðåäå-

ëåííûìè ïàðàìåòðàìè áåç ó÷åòà ãèðîñêîïè÷åñêî-

ãî ýôôåêòà. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (14.5.5-10) ñîäåð-

æèò äâà óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è äëÿ èõ

ðåøåíèÿ òðåáóåòñÿ âîñåìü ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà

êîíöàõ ðîòîðà. Åñëè èìåþùèåñÿ íà êîíöàõ ðîòîðà

îïîðû, äåìïôåðû, ìàññû îòíåñòè ê âíóòðåííèì

ó÷àñòêàì, òî êîíöû ðîòîðà áóäóò ñâîáîäíû îò ñèë:

(x = 0) = Q

(x = 0) = 0, M

(x = 0) = M

(x = 0)=0

íà ëåâîì êðàþ ðîòîðà è Q

(x = l) = Q

(x = l) = 0,

(x = l) = M

(x = l) = 0 - íà ïðàâîì êðàþ.

Âîçìîæíû òàêæå è äðóãèå âàðèàíòû ãðàíè÷-

íûõ óñëîâèé, âêëþ÷àþùèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåùåíèé

èëè óãëîâ ïîâîðîòà â êðàéíèõ ñå÷åíèÿõ. Îäíàêî,

â ëþáîì ñëó÷àå èõ áóäåò âîñåìü.

Åñëè âíóòðè èíòåðâàëà x

∈∈

∈

(0, l) ìåæäó êîíöà-

ìè ðîòîðà â íåêîòîðûõ ñå÷åíèÿõ âñòðå÷àþòñÿ îïî-

ðû, îáëàäàþùèå æåñòêîñòüþ è äåìïôèðîâàíèåì,

òî ðåàêöèè â îïîðàõ ìîæíî ââåñòè â óðàâíåíèÿ

Ðèñóíîê 14.5.5_4

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1078

(14.5.5-10) ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè c(x), õàðàêòåðèçó-

þùåé æåñòêîñòü îïîð, è ôóíêöèè k(x), õàðàêòåðè-

çóþùåé êîýôôèöèåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ äåìïôåðîâ

â îïîðàõ [14.8.5]:

.(14.5.5-11)

Ôóíêöèè c(x) è k(x) äëÿ âñåõ x

∈∈

∈

(0, l) ðàâíû

íóëþ, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ ñå÷åíèé, â êîòîðûõ ðàñ-

ïîëîæåíû îïîðû. Â ýòèõ ñå÷åíèÿõ ôóíêöèè ïðè-

íèìàþò çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ

îïîð.

Äëÿ ó÷åòà ãèðîñêîïè÷åñêîãî ýôôåêòà îáðàòèì

âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýëåìåíò dx ðîòîðà (ñì.

Ðèñ. 14.5.5_4) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òîíêèé

äèñê òîëùèíîé dx, è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâû ñîîò-

íîøåíèÿ (14.5.3-8) èç ðàçäåëà 14.5.3. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

äëÿ òîíêèõ äèñêîâ ìåæäó ìîìåíòîì èíåðöèè i

îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ è ìîìåíòîì èíåðöèè

idx îòíîñèòåëüíî äèàìåòðà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøå-

íèå i

dx = 2i

dx, çàïèøåì ýòè ñîîòíîøåíèå â âèäå

.(14.5.5-12)

Âíåøíèå ìîìåíòû m

è m

â äàííîì ñëó÷àå

îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè (ñì. Ðèñ. 14.5.5_4):

, (14.5.5-13)

ïîäñòàíîâêà êîòîðûõ â (14.5.5-12) ñ ó÷åòîì çàâè-

ñèìîñòåé (14.5.5-8) äàåò:

.(14.5.5-14)

Îòñþäà ìîæíî íàéòè ïåðåðåçûâàþùèå ñèëû:

.(14.5.5-15)

è, ïîäñòàâèâ èõ â (14.5.5-4), ïîëó÷èòü:

Ðèñóíîê 14.5.5_5 - Ðîòîð ñ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí-

íîé ìàññîé

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

1079

(14.5.5-16)

Óðàâíåíèÿ (14.5.5-16) îïèñûâàþò âûíóæäåí-

íûå èçãèáíûå êîëåáàíèÿ, âîçáóæäàåìûå íåóðàâíî-

âåøåííîñòüþ ðîòîðà ñ ïåðåìåííûìè ïî äëèíå ìàñ-

ñîé è èçãèáíîé æåñòêîñòüþ ïðè ó÷åòå èíåðöèè

ïîâîðîòà ñå÷åíèé è ðàñïðåäåëåííîãî ãèðîñêîïè-

÷åñêîãî ýôôåêòà. Òàê æå êàê è â ñèñòåìå óðàâíå-

íèé (14.5.5-10) çäåñü òðåáóåòñÿ âîñåìü ãðàíè÷íûõ

óñëîâèé àíàëîãè÷íîãî âèäà. Ïîäîáíî óðàâíåíèÿì

(14.5.5-11) ìîæíî ââåñòè ðåàêöèè îïîð â âèäå ôóí-

êöèé c(x) è k(x):

(14.5.5-17)

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé - ðîòîð ïîñòîÿí-

íîãî ñå÷åíèÿ, ñâîáîäíî îïåðòûé ïî êîíöàì íà àáñî-

ëþòíî æåñòêèå îïîðû (ñì. Ðèñ. 14.5.5_5).

Àíàëèç

ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé âûïîëíÿåòñÿ â îòñóòñòâèå

âîçáóæäàþùèõ ñèë îò íåóðàâíîâåøåííîñòè ðîòî-

ðà. Óðàâíåíèÿ (14.5.5-9) â ýòîì ñëó÷àå ïðèìóò âèä:

, (14.5.5-18)

Ïîñêîëüêó ïåðâîå óðàâíåíèå îò âòîðîãî îòëè-

÷àåòñÿ òîëüêî îáîçíà÷åíèÿìè, áóäåì ðåøàòü óðàâ-

íåíèå:

, (14.5.5-19)

êîòîðîå îïèñûâàåò ïëîñêèå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíî-

ãî ñòåðæíÿ. Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå â âèäå ïðîèçâå-

äåíèÿ äâóõ ôóíêöèé, îäíà èç êîòîðûõ çàâèñèò òîëü-

êî îò âðåìåíè t, à äðóãàÿ - òîëüêî îò ïðîäîëüíîé

êîîðäèíàòû x ðîòîðà:

u(x, t) = U(x) T(t). (14.5.5-20)

Ïîäñòàâèì (14.5.5-20) â (14.5.5-19):

.(14.5.5-21)

Ðàçäåëèì óðàâíåíèå (14.5.5-21) íà ïðîèçâåäå-

íèå U(x)·T(t) è ïåðåíåñåì îäèí èç ÷ëåíîâ â ïðàâóþ

÷àñòü. Òîãäà ïîëó÷èì:

. (14.5.5-22)

Ïðîèçîøëî ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ - â ëåâîé

÷àñòè ðàâåíñòâà èìååì ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ òîëü-

êî îò x, à â ïðàâîé - òîëüêî îò t. Ðàâåíñòâî òàêèõ

ôóíêöèé ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ x è t âîçìîæíî ëèøü

â ñëó÷àå, åñëè ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâíû îäíîé

è òîé æå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå, êîòîðóþ îáîçíà÷èì

ñèìâîëîì

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Òîãäà ïðèõîäèì ê äâóì îáûêíîâåííûì äèô-

ôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì: