Ильичев В.Г. Устойчивость, адаптация и управление в экологических системах
Подождите немного. Документ загружается.
38
2) поскольку и взаимно простые, то
1
n
2
n 1
2112
=
−
nknk для некоторых и
(Виноградов, 1972). Значит,
1
k
2
k
(
)
π
2
≠
yq
и
(
)
π
2
≠
yp
для всех . Аналогично,
существуют другие и , для которых имеет место . Поэтому
y
1
k
2
k 1
2112
−=− nknk
()
π
2−≠yq
и
()
π
2−≠yp
для всех
y
.из (0,1] Теперь вспомним, что
()
(
)
000
=
=
qp
.
Тогда возможны лишь следующие варианты поведения функций и
:
p q
для всех
y из
() ()
π<<< 20 ypyq
(
]
1,0
; (П.9)
(
)()
02 <<<π− ypyq
для всех y из
(
]
1,0
(П.10)
Очевидно, каждое из приведенных условий порождает одновременно
соотношения (П.7) и (П.8). Поэтому каждое из данных неравенств является также
и достаточным условием устойчивости данного луча.
Далее, из (П.9) или (П.10) находим
(
)
(
)
π
<
−
2yqyp
. Это неравенство
эквивалентно следующему:
(
)
(
)
π
<
+
22
221
yJnn .
Кроме того,
()
6
0
2
π
≤< yJ
для всех из y
(
]
1,0
. Отсюда получаем . Значит,
множество устойчивых направлений конечно и содержится в следующем списке “
одиннадцати “:
6
21
<+ nn
()()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,1,4,2,3,1,3,1,2,0,1,1,1,
21
=nn
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4,1,3,2,3,1,2,1,1,0 .
Определим границы изменения параметра
β
. Так, из получаем
()
π< 21p
2/7
π
β
<
, а из
(
)
π−> 21q
находим
2/7
π
β
−
>
. Данная оценка позволяет провести
эффективную компьютерную проверку устойчивости каждого из указанных
направлений, суть которой заключается в следующем. Зафиксируем
β
из
(
2/7,2/7
)
π
π
−
и пару взаимно простых чисел ( , ) из списка “одиннадцати”
Далее, обозначим и определим новую функцию
1
n
2
n
2112
nknkL −=
()
(
)
yyqyq
β
−
=
1
.
Тогда (П.7) эквивалентно соотношению
(
)
yLyq
β
π
−
≠
2
1
(П.11)
для всех из и для всех целых
L
y
(
]
1,0
(
)
K,2,1,0
±
±
=
.
39
Рис.1.13. Область «О» и три тестовые прямые (см. пояснения в тексте).
Аналогично, для
()
(
)
yypyp
β
−
=
1
соотношение (П.8) эквивалентно
(
)
yLyp
β
π
−
≠
2
1
(П.12)
при всех из
y
(
]
1,0
и при всех целых . При изменении в диапазоне L
y
(
]
1,0
графики функций и
()
yp
1
(
)
yq
1
в совокупности ограничивают овальную область
«О», проходящую через начало координат. В этой связи, условия (П.11) и (П.12)
геометрически означают: каждая прямая
yL
β
π
−
2
не пересекает ни верхнюю, ни
нижнюю границу «О» (разумеется, в этом случае луч
β
=−
2112
nana будет
устойчивым). Самое главное, здесь достаточно установить отсутствие пересечений
«О» лишь с тремя прямыми при
1,0
±
=
L
.Так, при , и 2
1
=n 1
2
=n
3
=
β
установлено существование соответствующего луча (см. рис. 1.13).
Также можно показать, что каждое из одиннадцати направлений может быть
представлено некоторым устойчивым лучом при подходящем
β
.
40
Доказательство утверждения 1.4. Обозначим через
()
∫
∞
−=
0
ds)sexp(),a,s(m,a,J
μσσμ
и рассмотрим в комплексной плоскости полукруг
{}
великоRиRD
R
−≤≥=
+
μμμ
,0Re| .
Покажем, что при большом
σ
на границе выполняется неравенство
+
R
D
(
)
b,a,J1
2
μγμμ
>++ . (П.13)
Рассмотрим отдельные куски границы
.
+
R
D
1. Полуокружность большого радиуса , лежащая в правой полуплоскости,
т. е.
R
R=
μ
и
0Re ≥
μ
. В этом случае левая часть (П.13) имеет порядок , а
правая – не больше единицы. Поэтому при больших на данном куске границы с
учетом
R
R
1<
γ
выполняется неравенство (П.13) для всех
0>
σ
.
2. Отрезок мнимой оси. Достаточно ограничиться
iy
=
μ
при
]
R,0[y ∈
.
Сначала оценим левую часть
42
2
2
yy11 +−=++
μμ
.
Отметим, что некотором отрезке
],0[
1
δ
этот многочлен строго больше
1
<
γ
. А
для всех можно гарантировать, что он превосходит .
y
75.0
Теперь оценим правую часть. Так как
T
принимает только неотрицательные
значения, то выполняется соотношение
()
∫
∞
−=
0
ds),a,s(m)iysexp(,a,iyJ
σσ
∫
∞
∞−
−= ds),a,s(m)iysexp(
σ
.
Очевидно,
1,a,iy(J ≤
σ
. Поэтому для
y
из отрезка ],0[A
1
δ
= имеет место
требуемое (П. 13).
Далее, в последнем интеграле сделаем замену
σ
/)as(u
−
=
. Тогда с учетом
естественной параметризации функции получаем
m
()
)y()iyaexp(du)uiyexp()u(q)iyaexp(,a,iyJ
σχσσ
−−=−−=
∫
∞
∞−
.
Разумеется,
)y(),a,iy(J
σ
χ
σ
−
=
. Формально,
)z(
χ
можно трактовать как
характеристическую функцию некоторой случайной величины (
T ) с
математическим ожиданием = 0 и дисперсией =1. Поскольку
T имеет
ˆ
ˆ
41
непрерывную функцию плотности, то согласно (Боровков, 1976) выполняется
соотношение
0)z( →
χ
при
0z →
.
В частности, при некотором
2
δ
имеет место неравенство:
75.0)y(
2
<−
σχ
при всех
2
y
δ
σ
>
.
Поэтому для всех
y
из отрезка ),/[B
2
∞
=
σ
δ
также выполняется (П. 13).
Осталось выбрать
σ
так, чтобы имело место
12
/
δ
σ
δ
<
. Тогда отрезки
A
и
B
будут пересекаться и, значит, неравенство (П.13) будет выполняться для всех
. Разумеется,
y
σ
не зависит от . Последнее, при R
∞→
R
с учетом теоремы
Руше получаем: уравнение (3.2) не имеет корней в правой комплексной
полуплоскости.
42
ГЛАВА 2
ПРОЦЕСС ОБРАЗОВАНИЯ ПАССИВНЫХ СОСТОЯНИЙ
И СТАБИЛИЗАЦИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Дарвин …испытывал отвращение к
борьбе за существование и, живя замкнуто,
старался ни с кем не конкурировать.
(Красилов В. А. Нерешенные
проблемы теории эволюции )
При наступлении неблагоприятных условий среды (например, низкие
температура) активные клетки водоросли переходят в пассивное состояние
(споры), в котором они не питаются, не размножаются, но и не погибают (Ушаков,
1982; Ушатинская, 1990). Напротив, при наступлении благоприятных условий
споры возвращаются в активное состояние. Данное явление характерно и для
других видов животных (в частности, зимняя спячка медведей).
В экономических системах переход в пассивное состояние равносилен
временному складированию части произведенного товара с последующим
возвратом его в активный оборот. Здесь данный процесс может действовать
постоянно.
Здесь возникает проблема: как данный процесс влияет на динамику систем.
2.1. Стабилизация неустойчивости в ” одномерных” моделях
Обсудим сначала влияние перехода “активное состояние пассивное
состояние” на динамику системы в предположении, что указанный обмен
происходит независимо от условий среды. В простейшем случае формализация
данного явления получается как линейная надстройка к исходной модели.
↔
Так, пусть динамика (активной) переменной описывается уравнением
)x(xfx
=
&
, (1.1)
где
x
- биомасса популяции; ; - строго убывающая и гладкая функция,
и
0)0(x > f
0)0(f > −∞=
∞
)(f
. В данной модели существует одно положительное
равновесие , которое удовлетворяет уравнению . Легко установить,
*
x
0)x(f
*
=
43
что непрерывная функция
*
xxL −= (1.2)
убывает на траекториях (1.1), и более того
0
L
→
при
∞→
t
. Поэтому все
траектории (1.1) монотонно притягиваются к . Ниже в таких ситуациях будем
использовать термин
глобальная устойчивость, подразумевая, что возмущенные
переменные системы остаются положительными.
*
x
Далее, добавление пассивной переменной заключается в следующем
расширении исходной модели (1.1):
qspxs,qspx)x(xfx
−
=
+
−
=
&&
, (1.3)
где
s
- биомасса спор; допустимые параметры – скорости переходов
из активного состояния в пассивное, и наоборот. Данное расширение “не портит”
координат равновесия активной переменной: если – равновесие модели
(1.1), то и – соответствующее положительное равновесие
(1.2). Оказывается, здесь не портится и характер устойчивости
0q,0p >>
0x
*
>
)q/pxs,x(r
***
==
Утверждение 2.1.
В модели (1.3) равновесие
r
глобально устойчиво при
всех допустимых параметрах
p
и .
q
Здесь решающую роль играет непрерывная функция Ляпуновского типа
}p/sqx,xxmax{)s,x(L
**
−−= , (1.4)
которая строго убывает на траекториях модели (1.3). Подробности обоснования
этой и других теорем приведены в приложении.
Рис.2.1.
Область устойчивости (заштрихована) в пространстве параметров
нулевого равновесия в модели (1.5) при
)q,p(
i21
+
=
λ
.
44
Если исходная модель является многомерной системой, то линейная
надстройка производится для каждой переменной. С методологической точки
зрения целесообразно сначала рассмотреть задачу стабилизации для одномерной
комплексной (=двумерной вещественной) линейной модели
x
x
λ
=
&
,
в которой - комплексное число и нулевая точка – единственное
равновесие. Здесь реализуются различные динамические режимы – монотонное и
колебательное движения.
iba +=λ
Согласно схеме (1.3) построим соответствующее расширение
qspx
s
,qspx
x
x
−
=
+
−
=
&&
λ
, (1.5)
где допустимые и . Разумеется, точка – единственное равновесие
(1.5). Справедливо простое
0>p 0>q
)0,0(
Утверждение 2.2.
В модели (1.5) реализуются следующие случаи:
1) устойчивость нельзя испортить, т. е. при
0
<
a
равновесие остается
устойчивым при любых допустимых и ;
p q
2) монотонная неустойчивость неустранима, т. е. при и
0>a
0
=
b
равновесие) неустойчиво при любых допустимых и ;
p q
3) колебательная неустойчивость устранима, т. е. при и
0a ≥
0
≠
b
равновесие будет устойчивым при подходящем выборе
p
и q .
Данная схема образования пассивных состояний может оказывать
стабилизирующее действие и в нелинейных ситуациях. Например, согласно
Хатчинсону (Hutchinson,1948) динамика популяции описывается уравнением с
запаздыванием
[
]
)t(x1xx
τ
−
−
=
&
.
При
2
π
τ
> равновесие
1)t(x
≡
неустойчиво. Дополним эту модель механизмом
образования пассивных состояний:
[]
qspxs,qspx)t(x1xx
−
=
+
−
−
−=
&&
τ
. (1.6)
Тогда при
4=
τ
, и
10=p 1
=
q
равновесие (1.6) будет локально устойчивым.
В общем случае возможно целое семейство пассивных состояний, переходы
между которыми описываются линейными дифференциальными уравнениями. Так,
надстройка из последовательной цепочки пассивных состояний к
{}
n
ss ,,
1
K
45
исходной модели (1.1) имеет следующий вид:
n
qspxxxfx
+
−
=
)(
&
,
111
srpxs −
=
&
,
22112
srsrs
−
=
&
,
n1n1nn
qssrs −
=
−−
&
,
где для всех . Каждая линейная (последовательно-параллельная) надстройка
однозначно характеризуется своей функцией веса . Как и в главе 1 для
данного семейства (
W
) функций веса выполняются естественные ограничения:
0>
i
r
i
)t(m
)t(m
- неотрицательная, непрерывная функция и .
∫
∞
=
0
1)( dttm
В этом случае расширенная модель приобретает вид:
, (1.7)
() ( ) () ()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+=
∫
txduumutxpxxfx
t
0
&
где константа . Свойства функции характеризуют обратную связь
пассивное состояние
→
. активное состояние.
0≥p )(tm
Чтобы “прочувствовать” здесь проблему стабилизации, положим, как и
ранее, в (1.7) . Согласно методологии предыдущей главы было бы
заманчиво рассмотреть сначала “базисные элементы” семейства (дельта -
функции), затем их выпуклые комбинации и т.д..
ibaxf +=)(
W
В частности, в работе (Ильичев, 1995б) выбран ”базисный“ элемент общего
вида
)()( Tttm −=
δ
и для соответствующей модели
(
)
[
]
txTtxpibaxx
−
−
+
+
= )()(
&
, (1.8)
при установлено следующее
0>a
Утверждение 2.3.
В линейной модели (1.8) реализуются следующие случаи:
1) "слабо" колебательная неустойчивость неустранима, т. е. при
2π≤ab
нулевое равновесие остается неустойчивым при любых и
0>p
0>
T
;
2) "сильно" колебательная неустойчивость устранима, т. е. при
2
π
>ab
нулевое равновесие становится устойчивым при подходящем выборе и
p
T
.
Например, для стабилизация достигается при и i21 +=λ
6.0=p
2
π
=
T .
Если же , то нулевое равновесие (1.8) будет устойчивым при любых
положительных
0<a
p
и
T
.
Анализ устойчивости “базисной“ модели (1.8) оказался довольно сложным,
и поэтому дальнейшая реализация намеченной программы затруднительна. Однако
46
возможно простое исследование для непрерывных функций веса, допускающих
естественную теоретико – вероятностную параметризацию (см. раздел 1.3)
σ
σ
]/)[
)(
cuq
um
−
=
,
где
с – положительное математическое ожидание и
σ
– дисперсия; –
непрерывная функция. Оказывается, нулевое равновесие с сильной колебательной
неустойчивостью стабилизируемо
q
Утверждение 2.4.
При и
0>a 1>ab
нулевое равновесие модели (1.7)
стабилизируемо, если значение σ достаточно велико.
Эта теорема и утверждение 1.4 из раздела 1 заставляют задуматься о
причинах “загадочной” стабилизирующей роли большой дисперсии .
Пусть теперь условия среды изменяются периодически во времени. Тогда
модель (1.1) формально записывается в виде
)t,x(xfx
=
&
, (1.9)
где гладкая функция роста монотонно убывает по переменной
f
x
и является
T
-
периодической по переменной
t
. Установлен простой критерий (Ильичев, 1998а):
если средняя скорость роста положительна, т. е.
0dt)t,0(f
T
1
T
0
>
∫
, (1.10)
тогда (и только тогда) в (1.9) существует положительное
T
- периодическое
решение, которое глобально устойчиво.
Ниже в качестве иллюстрации рассмотрим действие температуры среды (
θ
)
на характер биологических процессов водорослей. Обычно годовой ход
температуры похож на синусоиду, например,
)T/t2cos(1014)t(
π
θ
−
=
. А рост
водорослей (Троян, 1989) происходит только в пределах так называемого
интервала температурной толерантности
]da,da[I
+
−
=
. Когда условия среды
становятся неблагоприятными (
θ
не принадлежит отрезку
I
), то превалирует
смертность. В целом, этим требованиям удовлетворяет, например, модельная
схема Контуа :
α
θ
β
θ
−
+
=
)x1/()a,(B),x(f
,
где
α
- коэффициент смертности;
0
B
>
- максимальный темп роста;
)a,(
θ
β
-
ступенчатая функция типа
47
d/1=
β
при
I
∈
θ
и
0
=
β
при других
θ
. (1.11)
При достаточно большом в модели (1.9) устанавливается глобально
устойчивый, положительный,
B
T
- периодический режим. В этом случае обозначим
)a(X - среднюю за период биомассу популяции в зависимости от значения .
Пусть параметр изменяется в пределах
a
a
]
24,4
[
. При фиксированных 1d
=
,
1.0=
α
и
3
B
2
≤
≤
график )a(X похож на букву М, в котором два максимума
достигаются при (зимние водоросли) и
5a ≈ 23a
≈
(летние водоросли), а
минимум – при .
14a =
При формализации процесса образования пассивных состояний будем
использовать “ступенчатые” функции переходов
)(p
θ
(активное пассивное) и
→
)(q
θ
(пассивное
→
активное):
при
0p =
I
∈
θ
и
N
p
=
при других
θ
; (1.12)
N
q =
при
I
∈
θ
и
0q
=
при других
θ
,
где
0
N
>
- скорость обмена “активное состояние
↔
пассивное состояние”. В
теоретическом плане удобно считать, что приведенные разрывные зависимости
заменены подходящими (“корытообразными”) гладкими функциями. Это
обстоятельство гарантирует гладкость сдвиг -отображения в моделях.
Далее, неавтономный вариант модели (1.3) представляется в форме
qspxs,qspx),x(xfx
−
=
+
−=
&&
θ
, (1.13)
где
)(pp
θ
=
,
)(qq
θ
=
,
θ
являются
T
- периодической функцией времени.
Решения (1.13) растут не быстрее некоторой экспоненты, поэтому они
продолжаются вперед неограниченно.
Условия выживания популяции в расширенной модели (1.13) являются
более мягкими, чем требование (1. 10) в исходной модели. Так, если хотя бы при
одном
τ
имеет место 0),0(f >
τ
, то при подходящем выборе интервала
I
популяция в модели (1.11) не погибает. Действительно, возьмем достаточно малый
интервал
]d,d[I +
−
=
τ
τ
, для всех точек (
θ
) которого имеет место 0),0(f >
θ
.
Легко показать, что при большом
N
популяция в модели (1.13) не вымирает.
Приведем неавтономный аналог утверждения 2.1:
Утверждение 2.5.
Пусть в системе (1.13) существует положительное,
T
-
периодическое решение, тогда оно глобально устойчиво.