Ильичев В.Г. Устойчивость, адаптация и управление в экологических системах
Подождите немного. Документ загружается.
18
Рис. 1.2. Характер колебаний в системе ”водоросли -фосфор”.
На рис. 1.3 приведены геометрические условия устойчивости в плоскости
параметров
),a(
ε
при
2/3≥
γ
. Здесь наиболее жесткие условия устойчивости
возникают при больших
1≈
ε
. Самое главное:
если
a
велико, то положительное равновесие (2.1) неустойчиво.
Возрастание параметра (при
a 1
≈
ε
) сопровождается последовательной сменой
зон устойчивости и неустойчивости. Данное чередование продолжается лишь
конечное число раз – при всех достаточно больших устанавливается
неустойчивый режим.
a
Отметим следующий прикладной аспект: уменьшение содержания
кислорода в воде может замедлить скорость (=увеличение параметра )
химического распада. Это обстоятельство способно вызвать дестабилизацию
системы “водоросли – фосфор”.
a
19
Рис. 1.3. Области неустойчивости (заштрихованы) в пространстве параметров
),a(
ε
уравнения (2.2).
Рис. 1. 4. Двухконтурная схема циркуляции в системе”водоросли - фосфор”..
.
Пусть теперь структура детрита представлена двумя фракциями. В этом
случае соответствующая модель имеет вид (рис. 1.4):
,2211
0
yx)y,x(R)]at(x)at(x[y
,x)y,x(Rxx
+−−+−=
+
−
=
βλλγα
β
α
&
&
(2.3)
где ;
0a,a
21
> 0,
21
>
λ
λ
и 1
21
=
+
λ
λ
. Здесь также существует единственное,
положительное равновесие. Как и прежде, неравенство
2/3≥
γ
- необходимое
20
условие возникновения дестабилизации равновесия. На основе метода D-разбиений
получен критерий локальной устойчивости данного равновесия, гарантирующий
отсутствие “плохих” корней в характеристическом уравнении
. (2.4)
)]aexp()aexp()[(
2211
2
μλμλγεεμμ
−+−=++
Для упрощения формул полагаем
1
=
ε
(этот случай требует одних из
наиболее жестких условий устойчивости). Сначала рассмотрим симметричный
вариант . Установлено, что в пространстве положительных
параметров расположено бесконечное семейство “островов” –
2/1
21
=λ=λ
),(
21
aa
(
)
21
k,kUn ,
где - натуральные числа (рис. 1.5). Назовем “океаном”
21
,kk
()
γ
St
- множество
точек , которые не принадлежат ни одному из островов. В приложении
обосновано
2
+
R
Утверждение 1.1. Положительное равновесие (2.3) устойчиво, если и
только если точка
(
)
2
,
1
aa
находится внутри океана
(
)
γ
St
.
Рис. 1.5 . Острова неустойчивости (заштрихованы) в океане устойчивости.
Компьютерные расчеты показали, что устойчивость данного равновесия
является глобальной в .
2
R
+
21
Рис. 1.6 . Полуострова неустойчивости (заштрихованы) в океане устойчивости.
Далее, размер каждого острова увеличивается с ростом параметра
γ
. Так,
при
2/3=
γ
область
(
)
21
k,kUn вырождается в точку (“центр” острова) с
координатами
)3.0k2,3.0k2(2
21
ππππ
−−≈ . А при
1
=
γ
все острова настолько
сильно вытягиваются в северо-восточном направлении, что превращаются в
“полуострова” (см. рис. 1.6). Здесь актуальна проблема о размере самого малого
океана устойчивости : простирается ли он до бесконечности или все
достаточно отдаленные полуострова объединяются в сплошной “материк
неустойчивости”? Одно из возможных решений данной задачи приведено в работе
(Ильичев, Ильичева, 1998б) и основано на свойствах пересечения семейства
полуостровов с лучами вида
()
1St
VWaa
12
+
=
, где
W
и
V
- некоторые коэффициенты.
Таблица 1.1
Устойчивые лучи
Направление
Луч
Диапазоны изменения
β
22
(1,1)
β
=
−
12
aa
[
]
9.52 ÷
и
[]
29.5
−
÷
−
(1,0)
β
=
2
a
[
]
6.40 ÷
(2,1)
β
=
−
12
2 aa
[
]
42 ÷
и
[]
41.7
−
÷
−
(3,1)
β
=
−
12
3 aa
[
]
1.22 ÷
и
[]
1.61.8
−
÷
−
(3,2)
β
=
−
12
23 aa
[
]
61.6 −÷−
(4,1)
β
=
−
12
4 aa
[
]
1.89 −÷−
(0,1)
β
=
1
a
[
]
6.40 ÷
(1,2)
β
=
−
12
2aa
[
]
1.74 ÷
и
[]
24
−
÷
−
(1,3)
β
=
−
12
3aa
[
]
1.81.6 ÷
и
[
]
21.2
−
÷
−
(2,3)
β
=
−
12
32 aa
[
]
1.66 ÷
(1,4)
β
=
−
12
4aa
[
]
91.8 ÷
Будем называть луч иррациональным, если коэффициент W является
иррациональным числом. В приложении показано, что “территория
неустойчивости” велика
Утверждение 1.2. Всякий иррациональный луч пересекает бесконечное
множество полуостровов.
Теперь рассмотрим рациональные лучи, в которых –
рациональное число ( и – взаимно простые натуральные числа). Вектор
назовем устойчивым направлением, если при каком-либо значении
12
n/nW =
1
n
2
n
(
21
,nn
)
β
луч
β
=−
2112
nana
не пересекает ни одного полуострова. Здесь допускаются и нулевые
значения для и . В приложении установлено, что “акватория устойчивости”
не ограничена (рис. 1.7)
1
n
2
n
23
Рис.1. 7. Некоторые устойчивые лучи.
Утверждение 1.3. Существует ровно 11 устойчивых направлений: (1,1),
(0,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (1,0), (2,1), (3,1), (4,1), (3,2).
Разумеется, из существования уже одного устойчивого направления
вытекает, что океан устойчивости
(
)
1St
простирается до бесконечности.
В таблице 1.1 приведены лучи, соответствующие устойчивым направлениям,
и не пересекающим ни одного из островов неустойчивости в океане /
)1(St
Отметим, что стабилизирующее действие двух обратных связей с большими
запаздываниями было одновременно обнаружено в работах (Ильичев, 1982б; Mac
Donald, 1982).
Теперь рассмотрим общий случай, когда две обратные связи взяты с
разными весами и . Представляет интерес эволюция формы островов
неустойчивости при изменении данных параметров по формуле
1
λ
2
λ
2/)1(
1
δ
λ
−
= и
2/)1(
2
δ
λ
+= , где
]1,0[∈
δ
. Оказывается, здесь происходит непрерывное и
асимметричное расширение (раздутие вправо) островов неустойчивости вплоть до
их пересечения. При больших
1
≈
δ
возникает (наконец - то!) “материк
неустойчивости”, во внутрь которого вкраплены «озера устойчивости» (рис. 1.8).
24
Рис. 1.8. Деформация островов неустойчивости.
При сравнении моделей (2.1) и (2.3) возникает предположение, что с
увеличением числа обратных связей условия устойчивости становятся все более и
более свободными. Для проверки этой гипотезы рассмотрим модель с -штук
обратными связями:
n
.yx)y,x(R)at(xy
,
x
)y,
x
(
R
x
x
0
n
1j
jj
+−−=
+−
=
∑
=
βλγα
β
α
&
&
(2.5)
С учетом прежних ограничений в модели (2.5) существует положительное
равновесие, устойчивость которого определяется расположением корней
характеристического уравнения
)aexp()(
jj
n
1j
2
μλγεεμμ
−=++
∑
=
. (2.6)
В результате численного анализа устойчивости квазимногочлена (2.6) при
1/ ≈=
β
α
ε
и
1<
γ
установлено: при
2/3≥
γ
в - мерном пространстве
положительных параметров (=“небо”) можно выделить бесконечное
число “облаков” , где - целые. Каждое облако имеет “свой”
центр с координатами
n
)a,...,a(
n1
)k,...,k(Un
n1 n1
k,...,k
)3.0k2,...,3.0k2(2
n1
ππππ
−−≈ . Вероятно, справедлива
25
Гипотеза. Положительное равновесие модели (2.5) неустойчиво, если и
только если точка
находится внутри какого-либо облака . )a,...,a(
n1
)k,...,k(Un
n1
Таким образом, при увеличении числа обратных связей больше двух
существенного упрощения условий стабилизации не происходит.
Последнее. Отметим, что модель (2.1) описывает процессы в открытой
системе. В работах (Ильичев, 1982а, 1982б; Ильичев, 1986в) рассматривается
модель замкнутой системы, в которую не поступает и не удаляется фосфор.
Формально, в такой модели следует положить
1
=
γ
, 0
0
=
y и тогда имеет место
первый интеграл
() ()
Ctydssxtx
t
at
≡++
∫
−
)(
α
,
Это означает, что общий запас фосфора (фосфор в водорослях + органический
фосфор + минеральный фосфор) в системе сохраняется. Теперь, чтобы определить
положительное равновесие следует задать общий запас (
C
) фосфора в
системе. После этого возникает и однозначно решается система уравнений
),(
**
yx
CxaxyyxR =+++−=
*****
),,(0
αβα
Самое главное, в такой модели характеристическое уравнение совпадает с (2.2) при
1=
γ
. Поэтому и здесь при большом запаздывании могут возникать колебания.
a
Аналогичные естественные модификации возникают и для замкнутой
системы с двумя запаздываниями. Эти соображения будут ниже использованы в
разделе 1.4.
1.3. Дисперсия непрерывного пучка обратных связей и устойчивость
многоконтурных систем с запаздыванием
Пусть теперь время распада отмерших водорослей – неотрицательная,
случайная величина
T с непрерывной функцией плотности (рис. 1.9):
()
sm
,yx)y,x(Rds)s(m)st(xy
,
x
)y
,
x
(
R
x
x
0
t
0
+−−=
+
−
=
∫
βαγ
β
α
&
&
(3.1)
где
(при подходящем выборе временного масштаба );
0>α>β 1=α−β
10
<
γ
<
;
при
()
0≥sm
0≥
s
и интеграл от функции m в промежутке равен .В
[
)
∞,0
1
26
детерминистской интерпретации данная схема распада веществ соответствует
предположению о «непрерывности» бесконечного спектра обратных связей.
Поэтому величины математического ожидания
(
)
a
и дисперсии
(
)
2
σ
представляют
собой глобальные характеристики семейства обратных связей:
∫
∞
=
0
ds)s(sma
и .
∫
∞
−=
0
22
ds)s(m)as(
σ
Рис. 1.9.
Бесконечный и непрерывный пучок обратных связей в системе ”водоросли
- фосфор”.
Пусть функция
R
выбрана в форме Контуа, тогда характеристическое
уравнение имеет вид
, (3.2)
0)()exp(
0
2
=−−++
∫
∞
dssms
μεγεμμ
где
β
α
ε
/=
и, значит,
10
<
<
ε
. Здесь наиболее жесткие условия устойчивости (9)
возникают при
1→
ε
. На основе метода D-разбиений обнаружено, что неравенство
1>
σ
– достаточное условие локальной устойчивости в модели (3.1) с равномерно
распределенной случайной величиной
T
(см. рис.1. 10).
Оказывается аналогичный результат справедлив для всех непрерывных
распределений
T
, функция плотности которых допускает “естественную”
параметризацию:
()
σ
σ
σ
]/)as[(q
,a,sm
−
=
.
27
Рис. 1. 10.
Область устойчивости (заштрихована) в пространстве (
σ
,a
).
Для таких функций
()
σ
,a,sm справедливо
Утверждение 1.4.
Если значение дисперсии
σ
достаточно велико, тогда
положительное равновесие в модели (3.1) локально устойчиво.
Величину
σ
можно считать своеобразной мерой разнообразия непрерывного
семейства обратных связей.
1.4. Устойчивые экологические системы,
состоящие из неустойчивых подсистем
Покажем, что полученные выше критерии стабилизации системы
«водоросли – фосфор» с двумя обратными связями могут быть использованы для
анализа устойчивости многих двухконтурных экологических структур. Для
простоты проведем анализ устойчивости замкнутых по веществу систем.
1. Стабилизирующее действие конкуренции. Рассмотрим модель замкнутого
круговорота фосфора, в которой фитоценоз включает в себя две близкие популяции
водорослей ( и ):
1
x
2
x
()()
(
)(
()()()()
,,,,,
,,,,,,
12212211
211222122111
yxxRyxxRatxatxy
xxmyxxRxxxxmyxxRxx
ββαα
)
β
α
β
α
−−−+−=
−
+
+
−
=
−
++−=
&
&&
(4.1)
где
)/(),,(
jiiji
xxyyxyxxR ++
=
;
α
>
β
(будем считать
1=α−
β
); ; –
12
aa >
m