Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Если I — число сплошных линий, р — число всех линий, то

всегда будет иметь место соотношение

D = l + p. (16.53)

Подставляя равенство (16.53) в (16.52), получаем формулу

для подсчета условий фигур, пригодную и при измерении углов

и при измерении направлений,

f = l— n + 1. (16.54)

А подставив равенство (16.53) в (16.51), будем иметь

q = N-]-n—р— /. (16.55)

В несвободных сетях триангуляции дополнительно к усло

виям свободной сети возникают еще полигональные условия:

условия азимутов (дирекционных углов), базисов, абсцисс и

ординат, сумм углов и исходных сторон.

Количество полигональных условий равно числу избыточ

ных исходных данных и определяется следующими соотноше

ниями:

число базисных условий Бь=Яь— 1 (равно числу базисов без одного);

число азимутальных условий Sa — Ra — 1;

число условий абсцисс Sx — Rx— 1;

число условий ординат Sy = Ry— 1.

В указанных формулах R i— общее число исходных вели

чин.

Если исходные стороны образуют замкнутую фигуру, то об

щее число базисных условий (или условий сторон) должно

быть уменьшено на два, а общее число угловых условий (го

ризонта, суммы углов или фигур) — на одно. Исключенные ус

ловия будут зависимыми, так как являются следствиями ос

тавленных.

Существуют общие формулы для подсчета числа условных

уравнений, возникающих в свободных и несвободных сетях,

основанные на следующих соображениях.

Для построения любого пункта сети (исходного или опре

деляемого) достаточно знать два любых независимых задан

ных или измеренных элемента ее: абсциссу и ординату пункта,

длину стороны и азимут, два угла, две стороны и т. д. Они

будут необходимыми для построения сети величинами. Каж

дый избыточный элемент (исходный или измеренный) приведет

к появлению одного независимого условного уравнения, в ко

торое он входит. Поэтому если в сети, состоящей из п пунктов,

имеется всего № независимых элементов (исходных данных и

измеренных величин), то при уравнивании по углам общее

число условных уравнений

R = N°—2n. (16.56)

Если же уравнивание проводится по направлениям, то на

каждом пункте необходимо иметь добавочно по одному на

чальному направлению.

Поэтому число независимых условных уравнений в сети, со

стоящей из п пунктов, будет

где D0 — общее число исходных данных и измеренных направ

лений.

Формулы (16.56) и (16.57) предложены И. М. Герасимо

вым *. Для определения вида условных уравнений удобно сна

чала по соответствующим формулам подсчитать число и вид

их, возникающих в данной сети как в свободной. Затем доба

вить необходимое число полигональных условий, определив их

количество по числу избыточных исходных данных.

После составления таблицы условных уравнений проводится

уравнивание и оценка точности.

§ 74. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ УРАВНИВАНИЯ

Этот способ уравнивания нашел широкое применение при урав

нивании заполняющих сетей триангуляции 2 и ниже классов.

В этих сетях вследствие большого числа исходных пунктов,

приводящих к появлению дополнительного числа полигональ

ных условий, коррелатный способ уравнивания становится не

выгодным из-за увеличения объема вычислительных работ.

Так, например, в сети, показанной на рис. 142, с числом из

меренных направлений D = 66, числом пунктов я=15, из кото

рых семь исходных, всего возникает R = №—Зп = 80—45 = 35

условных уравнений. Число нормальных уравнений коррелат

будет таким же. Если отыскивать поправки не в измеренные на-

R =D °—Зп,

(16.57)

ifB . правления, а к координатам

-----

D Т_Г Г \ О t. A n n O T I I > n n Q 4 4 V

Рис. 142. Схема сети триангуляции

с измеренными углами и избыточ

ным числом исходных данных

Рис. 143. Ориентирующий

угол и направления на

пункте триангуляции

Геодезия и картография. 1960, № 8, с. 14— 18.

Нормальных уравнений также будет 16, т. е. примерно в два

раза меньше, чем при уравнивании коррелатным способом,

а это приведет к значительному сокращению объема вычисле

ний. Уравнений поправок будет столько, сколько имеется из

меренных величин.

При уравнивании триангуляции в качестве параметров (не

обходимых неизвестных) удобно принимать поправки к коор

динатам определяемых пунктов и в ориентировку веера на

правлений на них. В этом случае способ называют способом

поправок координат.

Пусть в точке / (рис. 143) измерены направления на пункты

А, В, С, D, . .., К- Начальным направлением является IA, и

пусть оно совпадает с нулевым диаметром лимба. Измеренные

направления, приведенные к центрам знаков и редуцированные

на плоскость, обозначим через Nik. Проведем через точку I

координатную ось абсцисс IX. Тогда дирекционный угол ну

левого (начального) направления aiA = Zi называется ориен

тирующим углом веера направлений на данном пункте.

Дирекционные углы всех направлений, полученные при по

мощи ориентирующего угла и измеренных величин, называются

ориентированными направлениями и обозначаются

Rik , где К=А, В, .. .Д.

В уравненной сети для k-й стороны будем иметь

где нуль вверху обозначает уравненные величины.

Кроме того, если известны уравненные координаты пунктов,

то дирекционные углы всех направлений могут быть вычислены

по формулам

Таким образом, в уравненной сети должно соблюдаться ра

венство

Уравнение (16.61) показывает, что ориентирующие углы

связывают координаты пунктов с измеренными направлени

ями и что из уравнительных вычислений должны отыскиваться

не только поправки в координаты пунктов и измеренные на

правления, но еще и поправки в ориентирующие углы. Поэтому

при выражении поправок в измеренные направления через по

правки координат в качестве необходимых неизвестных должны

приниматься и поправки в ориентирующие углы.

Следовательно, для соблюдения равенства (16.60) необхо

димо к измеренным направлениям и вычисленным по ним при

^/K = N/K + Z/,

(16.58)

(16.60)

(16.61)

ближенным значениям координат и дирекционным углам при

дать соответствующие поправки, находимые из уравнивания,

т. е.

а {к + ба1к — Rtk + bRtk

или

etik + 8alk = Ntk + Vtk + Zi+bzt.

Откуда получим уравнение поправок

vtk= —&[ + 8 atk + aik—(Nik + Zi),

(16.62)

где aik и Zi — приближенные значения дирекционного и ориен

тирующего углов, вычисленные по приближенным координа

там; Nik — измеренное направление с пункта I на К', Vik — по

правка в измеренное направление; бщи, bzi— поправки в при

ближенные дирекционный и ориентирующий углы.

Обозначив через свободный член kh известную величину

= ос

ш—

(Nik

z{) = a lk— Rlk,

(16.63)

получим выражение уравнения поправок

Vik= — 8zi + 8a{k + ltk.

(16.64)

Таким образом, для составления уравнений поправок не

обходимо по измеренным и приведенным к центру знака и на

плоскость направлениям вычислить предварительные (прибли

женные) координаты всех пунктов х, и уи к которым из урав

нивания будут находиться поправки бхг- и by и т. е. уравненные

координаты будут

x°t

-f б*;,

y°i=yi +8yi.

(16.65)

Затем по предварительным координатам найти дирекционные

углы всех направлений а*й, а по последним и измеренным на

правлениям Nik подсчитать приближенное значение ориенти

рующего угла на данном пункте

zki= a ik— Nik.

(16.66)

Из всех значений ориентирующего угла, вычисленных на

данном пункте, выводится среднее Zi, которое и принимается

в последущем уравнивании за приближенное значение и к ко

торому будут отыскиваться поправки, т. е.

Zi = * *

+ ** + *? +

• ~ ~

*■* ,

(16.67)

где k — число направлений на пункте (номер последнего на

правления) .

Зная Zi, вычисляют приближенно ориентированные направ

ления

Rtk = Nik + zi,

(16.68)

используемые в дальнейшем для вычисления свободных членов.

С учетом равенств (16.63) — (16.68) свободный член можно

представить так

/=*

I (ay - Ntl)

Uk = (a tk-N tl)

-----

----------

, (16.69)

т. е. свободные члены каждого уравнения погрешности явля

ются уклонениями ориентированных направлений от среднего

арифметического, а следовательно, их сумма на каждом пункте

будет равна нулю, что служит хорошим промежуточным конт

ролем, т. е.

£/,= 0. (16.70)

Следует заметить, что предварительные координаты необ

ходимо вычислять достаточно точно и с таким количеством

знаков, с которым будут вычислять окончательные значения.

Для выражения поправки дирекционного угла ба через по

правки предварительных координат 6х и б у, продифференци

руем формулу (16.59).

В результате для стороны ik получим

6«ц _ (xk — xj) (бук — бу{) — (yk — у() (бхк — бх{)

cos2 а1к (xk — xif

откуда, учитывая, что Xk—Xi = scosa,ik и уи—yi = ssincm, полу

чаем (в секундах дуги)

6 с4 = — 5-°^ р"6ук — cos aik р"8у{ — p"8xk +

s s s

sin aik „//

p"6 xt. (16.71)

Подставив уравнение (16.71) в (16.62), будем иметь

v t k = — 8zi

------

s- ^ ~ p"Sxk + — р"8ук + sinoc‘fr- р"8хс-

cos aik

р"б yt + lik. (16.72)

На практике принято s выражать в километрах, так как

его достаточно знать приближенно, а поправки в координаты —

в дециметрах, т. е. полагать

£=108* и Ti = Юбг/. (16.73)

Введем обозначения

sin aikр" 20,6265 sin се,-ь

atk =

---------------------

---------------

’ i k :

SkmIOOOO Skm

cos aikP" 20,6265 cos a,>

(16.74)

SkmIOOOO SKm

Подставив выражения (16.73) и (16.74) в (16.72), получим

окончательное уравнение поправок

vik= —bzi + aiklk + bm k—aikb— bam + lik. (16.75)

Существуют таблицы определения коэффициентов atk и

В зависимости от того, между исходными или определяе

мыми пунктами измерено направление, и если поправки коор

динат в исходные пункты равны нулю, можно встретить раз

личные виды уравнений поправок при измерении направлений:

а) с определяемого на определяемый пункт; б) с исходного

пункта на исходный; в) с исходного на определяемый пункт;

г) с определяемого на исходные пункты.

Уравнения будут иметь вид в случаях:

а) такой, как в формуле (16.75),

б) vik= —bzi+lik, (16.76)

в) vik = — bzi + aiklk + btki\k + lik, (16.77)

r) vik= —8zl — aikZi—bik'i]t + lik. (16.78)

После определения коэффициентов и свободных членов урав

нений поправок по правилам метода наименьших квадратов

получают нормальные уравнения, из решения которых опреде

ляют поправки координат и ориентирующих углов и проводят

опенку точности.

При этом среднюю квадратическую ошибку единицы веса

подсчитывают по формуле

(16.79)

где V-—поправки из уравнивания к измеренным с весом Р на

правлениям; r = D—k — число избыточных измерений; D —

число всех измеренных направлений; k = 3n+n'-—число необ

ходимых измерений; п — число определяемых пунктов с неиз

вестными поправками координат (абсцисс и ординат) и ориен

тирующих углов; п' — число исходных пунктов с неизвестными

поправками ориентирующих углов. Таким образом, всего иско

мых неизвестных 3п + п'.

Подробнее об оценке точности функций измеренных величин

см. [19].

§ 75. СОСТАВЛЕНИЕ КАТАЛОГОВ И ТЕХНИЧЕСКИХ ОТЧЕТОВ

Уравнительные вычисления завершают составлением сводного

каталога на уравненную сеть, содержащего все сведения о ней,

необходимые для последующего использования.

Сводный каталог составляется по листам карты масштаба

1 : 200 ООО и включает все пункты геодезических сетей, а также

отметки высот марок и реперов нивелирования всех классов.

Каталог открывается введением, в котором подробно опи

сывают виды, методы, полученные точности работ, проводив

шихся на данной территории различными организациями и

включенные в каталог, а также принятая система координат,

содержание и порядок составления каталога.

Основная часть каталога — списки координат и высот гео

дезических пунктов с указанием их названий, длин сторон и

дирекционных углов направлений, которые наблюдали.

Кроме того, в каталоге дают описание местоположения

пунктов и реперов, приводят их абрисы. В нем также помещают

алфавитный указатель и схему геодезической сети данного ка

талога.

В списке координат пункты геодезических сетей группируют

по листам карты масштаба 1 : 100 000, а внутри них — по лис

там карты 1 : 50 000, располагая их по убывающим значениям

абсцисс Xi.

В каталоги включают только те работы, координаты пунк

тов которых по точности удовлетворяют съемкам крупных

масштабов (1:10000 и крупнее).

Координаты пунктов, расположенных в полосе ±30' от гра

ницы 6-градусных зон, приводятся в системах координат обеих

смежных зон. Помимо сводных каталогов существуют ката

логи по отдельным видам работ: триангуляции 1 класса, ниве

лированию I и II классов и др.

По окончании вычислительных работ на каждом объекте

составляют технические отчеты, к которым прилагают все ма

териалы вычислений, должным образом систематизированные

и оформленные. В технических отчетах указывают: цель про

водившихся работ, организацию, выполнявшую работы, рай

оны, методы, сроки, получеппые точности, затраты труда и

средств.

Технические отчеты по объектам со всеми приложениями

направляют на постоянное хранение в Центральный картгео-

фонд ГУГК.

Каталоги координат и высот пунктов издают типографским

способом и они служат для общего пользования.

С внедрением ЭВМ создаются информационно-поисковые

системы, содержащие так называемые «банки данных», т. е.

все сведения о построенных геодезических сетях, которые вы

даются машиной по требованию заказчика.

1. Большаков В. Д., Гайдаев П. А. Теория математической обработки гео

дезических измерений. М., Недра, 1977.

2. Гайдаев П. А. Математическая обработка геодезических сетей. М., Недра,

1977.

3. Грушинский Н. П. Теория фигуры Земли. М., Наука, 1976.

4. Грушинский Н. П., Сажина Н. Б. Гравитационная разведка. М., Недра,

1981.

5. Закатов П. С. Курс высшей геодезии. М., Недра, 1976.

6. Инструкция по нивелированию I, II, III, IV классов. М., Недра, 1974.

7. Инструкция по вычислению нивелировок. М., Недра, 1971.

8. Инструкция о построении государственной геодезической сети СССР. М.,

Недра, 1966.

9. Использование искусственных спутников для геодезии.— Пер. с англ.

М., Мир, 1975.

10. Красовский Ф. И., Данилов В. В. Руководство по высшей геодезии. Ч. 1,

вып. 1. М., Геодезиздат, 1938.

11. Красовский Ф. И., Данилов В. В. Руководство по высшей геодезии. Ч. 1,

вып. 2. Геодезиздат, 1939.

12. Красовский Ф. И. Руководство по высшей геодезии. Ч. 2, М., Геодезиз

дат, 1942.

13. Машимов М. М. Уравнивание геодезических сетей. М., Недра, 1979.

14. Машимов М. М. Планетарные теории геодезии. М., Недра, 1982.

15. Морозов В. П. Сфероидическая геодезия. М., Недра. 1979.

16. Никонов А. А. Современные движения земной коры. М., Наука, 1979.

17. Пеллинен Л. П. Высшая геодезия. М., Недра, 1978.

18. Полевцев В. В., Завражин П. М. Постройка геодезических знаков. М.,

Недра, 1980.

19. Практикум по высшей геодезии. Под ред. Н. В. Яковлева. М., Недра,

1982.

20. Проворов К Л., Носков Ф. П. Радиогеодезия. М., Недра, 1973.

21. Справочник геодезиста. Коллектив авторов. М., Недра, 1975.

22. Уралов С. С. Курс геодезической астрономии. М., Недра, 1980.

23. Центры и реперы государственной геодезической сети СССР. М., Недра,

1973.

24. Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли. М., Недра, 1975.

25. Юзефович А. П., Огородова Л. В. Гравиметрия. М., Недра, 1980.

Приложение

НЕКОТОРЫЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ИЗ МАТЕМАТИКИ

1. ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

Сферическая тригонометрия занимается решением треугольников, располо

женных на сфере.

На рис. 144 изображена сфера радиуса R с центром в точке О.

Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.

Если плоскость проходит через центр сферы, то в пересечении ее с по

верхностью последней образуется окружность большого круга с радиусом,

равным радиусу сферы R. Секущая плоскость, не проходящая через центр

сферы, образует в пересечении с ней окружность малого круга радиуса г,

величина которого зависит от угла ф между радиусом сферы ON и плоско

стью малого круга:

r=Rcos ф.

Диаметр сферы, перпендикулярный к плоскости большого круга Е'АВЕ,

пересекает сферу в двух диаметрально противоположных точках Р и Р', на

зываемых его полюсами, а сам большой круг называется полярой точек Р

и Р'. Все точки поляры удалены от полюсов на 90°.

Простейшей фигурой на сфере так же, как и на плоскости, является

треугольник.

Сферическим треугольником называется фигура, образован

ная тремя взаимно пересекающимися дугами больших кругов. Элементами

его являются три сферических угла и три сферических стороны, обычно вы

ражаемые в угловой мере.

По форме сферические треугольники бывают косоугольными и прямо

угольными. При этом прямоугольными сферическими треугольниками назы

ваются такие, у которых только один угол равен 90°, хотя возможны тре

угольники с двумя и тремя прямыми углами.

Треугольники, у которых одна из сторон равна 90°, называются прямо

сторонними. Сферические треугольники могут быть одновременно и

Рис. 144. Основные элементы сферы

Рис. 145. Сферический треугольник

• С

прямоугольными, и прямосторонними.

р -

В практических целях рассматривают эйлеровы сферические

треугольники, углы и стороны которых принимают значения только

в пределах от 0 до 180°, хотя в математике разработаны методы решения

сферических треугольников с элементами неограниченных размеров.

Свойство сторон и углов сферического треугольника

В сферическом треугольнике ABC (рис. 145), углы которого обозначают про

писными буквами, а противолежащие им стороны одинаковыми с углами

строчными буквами, существуют следующие соотношения между различными

его элементами.

1. Сумма двух сторон сферического треугольника больше третьей сто

роны:

а+Ь>с, Ь + с>а, а + с>Ь.

2. Разность двух сторон сферического треугольника меньше третьей

стороны:

с— Ь<а, а—Ь<с, а—с<&.

3. Сумма сторон сферического треугольника больше нуля и меньше 360°

0 < а + 6 + с<360°.

4. Сумма углов сферического треугольника больше 180 и меньше 540’:

180° < Л + В + С < 5 40 °, (1)

т. е. сумма углов сферического треугольника всегда больше 180° на неко

торую величину, называемую сферическим избытком (е) или экс

цессом:

А + В + С = 180° + 8. (2)

Сравнивая формулы (1) и (2), пишем, что

0<е< 360°,

т. е. сферический избыток больше нуля и меньше 360°.

5. Против равных сторон сферического треугольника лежат равные углы

и, наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

6. Против большей стороны сферического треугольника лежит больший

угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Основные формулы сферической тригонометрии

Формулы косинусов сторон сферического треугольника

Косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов

двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на коси

нус угла между ними:

cos а = cos b cos с -|- sin b sin с cos А. (3)

Формулы косинусов углов сферического треугольника

Косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух

других углов, взятому с обратным знаком, плюс произведение синусов тех

же углов на косинус стороны между ними:

cos А = — cos В cos С + sin В sin С cos а. (4)

Эта формула показывает, что в отличие от плоских треугольников для ре

шения сферических треугольников достаточно измерить три угла (линейный

элемент знать необязательно).