Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Тогда после сокращения на АС и приведения подобных чле

нов получим полюсное условное уравнение в линейном виде

[ — ctg (3 + 4) + ctg 3] vs—ctg (3 + 4)Vi + ctg 5v 5—ctg 6v9 +

+ ctg (7 + 8) v,- [ctg 8 + ctg (7 + 8)] t>8 + W" = 0, (16.25)

женный в секундах.

Полюсные условия могут быть составлены и в логарифми

ческом виде. Тогда котангенсы углов заменяют разностью ло

гарифмов синусов углов при изменении последних на 1":

6f = rflgsint= М'106 ctg,

( М - 0,43429. .

(16.26)

Р"

или 6, = 2,106ctg i, а свободный член получается по разности

логарифмов числителя и знаменателя выражения, стоящего

в скобках [см. (16.24)].

При уравнивании направлений поправки в углы заменяются

разностями поправок направлений. Величины б остаются без

изменений.

В качестве полюса в центральных системах, как правило,

выбирают центральную точку. В геодезическом четырехуголь

нике за полюс может быть выбрана любая из вершин и даже

фиктивная точка в пересечении диагоналей, что предпочтитель

нее, так как в этом случае используют все углы четырехуголь

ника.

При наличии несплошных направлений за полюс удобнее

принимать вершину, к которой они подходят.

§ 72. ВИДЫ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИИ, ВОЗНИКАЮЩИХ

В НЕСВОБОДНЫХ СЕТЯХ ТРИАНГУЛЯЦИИ

В несвободных сетях возникают все условия свободных сетей

плюс полигональные (полигонные) условия, а именно: 1) ба

зисные условные уравнения, 2) азимутальные (дирекционных

углов) условные уравнения, 3) условные уравнения абсцисс

и 4) условные уравнения ординат.

Полигональные условные уравнения образуют избыточные

исходные данные: базисные стороны, азимуты, координаты ис

ходных пунктов, но они могут возникнуть и в свободных сетях,

например, в замкнутой цепи треугольников (рис. 136, а) или

в сплошной сети треугольников, имеющей так называемые

«окна», т. е. фигуры в виде четырехугольников или многоуголь

ников (рис. 136, б). Возникают они и в замкнутом полигономет

рическом ходе.

Для составления полигональных условий в сетях триангу

ляции (трилатерации) выделяют цепочки треугольников, сое

диняющие исходные величины по кратчайшему пути.

где 1 ) — свободный член, выра-

1. Базисные условные уравнения. Если в сети триангуляции

имеется две или более исходных стороны (базиса или базисных

сторон), то в ней возникают базисные условия, заключающиеся

в том, что в уравненной сети вычисленное значение какой-либо

исходной стороны от стороны, принятой за начальную, должно

в точности равняться ее заданной (измеренной) величине.

Вследствие ошибок измерений это условие не будет соблюдено

до тех пор, пока во все измеренные углы не будут введены най

денные из уравнивания поправки.

При составлении условных уравнений намечают «ходовую

линию», указывающую, через какие углы будут передаваться

стороны (на рис. 137 она показана прерывистой линией).

Для звена триангуляции (см. рис. 137), у которого Ь0 и Ьп —

исходные стороны; Ви Сг- — измеренные углы i\vA., vB., vc.—

поправки к ним, условное уравнение базисов будет иметь вид

Ъ =Ь sin('4l + tu1) sin(^2 + iM2) • • •sin(A» + ^ /t) (|6 27)

sin (В, + i>Bl) sin (В2 + vB2) . . .sin (В„ + vBn)

Для приведения этого выражения к линейному виду посту

паем аналогично тому, как это было сделано в полюсных усло

виях. Тогда получим

ctg AjVAi—ctgB1vBi + ctgAavA2—ctgB2vBz+ . . .

. . . + ctgAnvA —ctg B„vB +W b = О,

где

■P =

bо sin Л, sin A2 .

- 1 p'

(16.28)

(16.29)

bn sin Bi sin B2 . • ■ sin Bn

где b'n — вычисленная по измеренным углам сторона bn-

Если вычисляют поправки

в базисные стороны, то к левой

части уравнения (16.28) добав

ляют члены

vbn

Рис. 136. Схема возникновения

полигональных условий

1 (ОС-, У,)

Ьо Ьп

при этом поправки и длины сто

рон выражают в дециметрах.

При выражении базисного ус

ловия в логарифмическом виде

котангенсы заменяют разностью

п(хп уп)

A Z 4 п-1 В

Рис. 137. Схема составления полигональных условных уравнений

332

логарифмов синусов углов при их измене

нии на I", а свободный член получают как

разность логарифмов вычисленного значе

ния конечной стороны Ьп' минус логарифм

ее заданной величины Ьп, т. е. Wb = \gbn'—

—lg bn.

Условия исходных сторон. Эта разно

видность базисных условий обычно возни

кает при примыкании сетей низшего

класса к сетям высшего (рис. 138).

Пусть А, С, Е — пункты высшего класса.

В уравненной сети должно быть соблюдено

равенство

s = s sin (2 + v2) sin (4 + t>4) sin (7

>7) (16 30)

CE AC sin (3 -]- vs) sin (6 -f ye) sin {9 -|- v9)

От этого уравнения переходят к линейному виду (см. полюс

ные условия).

2. Условное уравнение азимутов (дирекционных углов). Ази

мутальное условное уравнение возникает в сети с избыточными

исходными азимутами (дирекционными углами) и заключается

в том, что в уравненной сети вычисленное от какого-то началь

ного азимута значение азимута любой исходной стороны дол

жно равняться ее заданному (измеренному) значению.

Азимуты могут быть вычислены различными путями. Обычно

ходовую линию для условия азимутов проводят через проме

жуточные углы (см. рис. 137, показана прерывистой линией)

с тем, чтобы при уравнивании триангуляции были использо

ваны все измеренные углы (связующие углы были использо

ваны при составлении базисного условия).

Пусть в представленной цепочке треугольников «о и ап — ис

ходные азимуты начальной и конечной сторон звена; Alt Ви

С1г А2, Вг, С2, . . . , Ап, Вп, Сп — измеренные углы; vAl, vBl, vCi,

v a 2, vB2, vC2, vAn, vBri,v cn— поправки, найденные из уравнивания.

В уравненной сети должно быть соблюдено равенство

Ял = сс0— (С х -f- -)- 180° -J- (С, + vCs) -|- 180° —

— (pa yc3) 4~ 180° -f . . . — (Cn vc^),

или

vc1 ~\~vc2 uc3+ • • • —vcn~\~{a о—Ci~\-C2—C3-f- . . . —

— C„ + (n— 1)180°—a„}=0. (16.31)

Обозначив an — a0— C{ + C2—C3+ . .. -f Cn + (n— 1) 180°—

вычисленное значение азимута конечной стороны, aW a = an—

— ап— свободный член, равный вычисленному по измеренным

Рис. 138. Схема

вставки пунктов

в исходный угол

углам значению азимута конечной стороны минус данное, по

лучим окончательное выражение азимутального условия

— + • • • —ис„+ ^ а = 0. (16.32)

В случае уравнивания направлений поправки углов заме

няют разностью поправок направлений.

Если точность определения исходных азимутов одного по

рядка с точностью измерения углов, то к ним также находят

поправку va[. Тогда условное уравнение азимутов (16.32) бу

дет иметь вид

v a 0 — + — t’c 3 + • • • — v C n — иа „ + ^ а = 0 . (16.33)

Условия сумм углов. Это условие является частным случаем

азимутального условия и возникает при привязке пунктов низ

шего класса к пунктам высшего класса (см. рис. 138). В этом

случае измерены углы 1, 5, 8 . Их поправки из уравнивания —

Vj, i>

, v$\ угол ACE = Q — исходный угол между пунктами выс

шего класса, не подлежащий изменению.

Тогда в уравненной сети должно быть соблюдено условие

1 -f Vx -f 5 + vb -f 8 -f у

= Q,"откуда

vi + v6 + v8 + (1 + 5+ 8 — Q) = 0. (16.34)

Приняв, что свободный член, полученный как разность ме

жду вычисленным и заданным значениями исходного угла, бу

дет Wq = 1 + 5+ 8—Q, получим окончательный вид условия

vl + v5 ~hv»~\' ^

—

. (16.35)

При уравнивании по направлениям условие сумм углов со

храняется, причем последние образуют как разность двух

направлений: начального и конечного. Например, если при

вставке в исходный угол ACE = Q (см. рис. 138) измерены были

направления Г, 2', 3', 4', то условие сумм углов будет

(2 ' -)- v2)—(// + У]) + (3' + ^з) — (%' °а) "4~ (4' 4~ ^

) (5 + Уз)= Q>

откуда после сокращения получим

—^i + Vi + W q — 0, (16.36)

где Wq=4'-—1'—Q.

3. Условия координат. Они возникают в сети, имеющей изо

лированные друг от друга (не связанные исходными сторо

нами) избыточные исходные пункты. Каждый избыточный ис

ходный пункт доставляет два условных уравнения координат:

уравнения абсцисс и уравнения ординат.

Рассмотрим условные уравнения координат в сетях триан

гуляции.

Условия абсцисс. Пусть в цепи треугольников (см.

рис. 137) пункты 1 и п исходные, с заданными координатами

Х\, у

и хп, tjn, Аь В\, С\, . . ., Ап, Вп, С„ — измеренные углы"

b0; Si; s2 . . . bn — связующие стороны; Лг- и В,-— связующие

углы; Ci — промежуточные углы.

Для составления условия координат намечают ходовую ли

нию через вершины промежуточных углов по кратчайшему

пути между ближайшими исходными пунктами.

Условие абсцисс заключается в том, чтобы абсцисса конеч

ного пункта, вычисленная по уравненным величинам, равня

лась заданной. Пусть Ajci, Ах2

..........

A*n-i— приращения абс

цисс между пунктами 1 и 2 , 2 и 3, .. ., п—1 и п\ vAx.— по

правки приращений абсцисс.

Тогда в уравненной сети должно соблюдаться условие:

х п — х 1 -|- (Д*! - г ^д*х) + (Ах% + удх2) + . . •

. . . + (АаГп-х + v\xn _ j) (16.37)

или

i= n — i г= — 1

£ VL x, + *1 + A x i — xn= 0. (16.38)

г=1 1 i=l

n— 1

Обозначив xn = x1-\- £ Axi— вычисленное значение абс-

циссы конечного пункта, a Wx = х'п—хп — свободный член, рав

ный вычисленному по измеренным величинам значению абс

циссы минус данное, получим выражение для условия абсцисс

в виде

£=п—1

£ VAxt + Wx = 0. (16.39)

i=i

Но условное уравнение должно содержать поправки к не

посредственно измеренным величинам, т. е. к углам или на

правлениям. Приращения же координат являются их функци

ями. Поэтому выражаем поправки в приращения координат

через измеренные величины. Учитывая малость поправок, по

лагаем, что vAx.= dAxi, а так как

ДXi = Si cos а{, Ayi si sin щ,

получим

dAxi — d (s{ cos ai) = dst cos а,- — st sin at -. (16.40)

Умножив первое слагаемое на s,-/si, получим

.a ds{ , . da",

dAxi = vA x = — -A x i — A yt

-----

(16.41)

‘ Si p"

Подставив формулу (16.41) в (16.39), будем иметь условное

уравнение

i= n — 1 i=n— 1

Axidsi—

Aytda'i+pW x = 0.

(16.42)

t=i ' t=i

Выразим поправки сторон и дирекционных углов через по

правки углов, имея в виду, что в уравненной сети

sin (Л! + ил,) , s, , , , , п ч

s1 = b0

-----

----------

— и (ctg Аи*—ctg BjVg V

sin (5Х + Vb^) р" V 1 J

h — s i 5Ш(;:ГЛ2! и d% = d*i+ -^ r (c tg ^a^ 2 — ctgB2uB );

sin (fi2 + fB2) p" v 2 2/

Sm(/4„_i +vA ) s

Sn—i — sn_2 и ds„_1 = ds„_2 + -^ 7 ± -x

sin (5 n_! + f в„_!) P

X (ctgi4n_1oi4fi_i—ctgB/I_1t»flji_1).

Соответственно ax = a0— Cx, откуда da1 = —dC± = —vCi (по

лагая a0 = const);

a 2

= ai + 180° + C2, откуда da2 = dax + dCt = — vCi + иСа;

a„_! = ап-г + 1 80° + С„_ь откуда dan_x = — vCl + vC2—vCs+ . . .

• • • + WC„_!-

Подставляя полученные дифференциалы в (16.42), получаем

Z ! Ахг (ctg Л (-ил . — ctg B(VB.) — £ A^ i ( + Усг) + р " ^ = °-

(16.43)

Обозначив для краткости ctg А &А. — ctgBjwB. = А; и развернув

Axi, АУг напишем

{х2— xi) A i + (Х3— хг) (А х-j- Д2) j (х4— х 3) (Ах — A2-f~ А3) + . . .

■ • 4~ (хп—xn~ij (Ах + А 2 + А 3 -f- . . . -fA„_x)—(у2—«/i)(—uCj) +

+ (Уз—У 2) ( vcx + ус2) + (У*—Уз) (—Vc1 + vc2 wc3)+ • • •

• • • -\~{Уп — Уп- i ) ( — + — и с 8 + • • • _Ь у с „ _ 1) + p ' W x = 0 .

После приведения подобных, выразив разности абсцисс и

ординат в километрах, окончательно получим

i—n—1

t=l

Z (Хп — Xi)km (ctg A iVA. — ctg B iVB.) —

“ Z (Уп — г/г)км(+Усг) + ^ = °. (16.44)

i=n—1

г=l

где W'X = 206,265WX (невязка Wx выражена в метрах).

336

Аналогично для условия ординат будет получена формула

i= n—\

Z (yn— yi) км (ctg А со А — ctg BiVB.) +

1“ 2 (хп—хдкм (+ 4~ Wy = 0, (16.45)

где W/y = 206,265Wy.

В логарифмическом виде формулы имеют вид:

i—ti—1

(%п -^)км ^BpBi)

t=l

— k £ (Уп— У;)км ( + P q) + Wx = О,

i—1

i=n—1

£ (Уп

---

yi)KM ( б +

+ ^ £ (xn— xi)km (^F t>C() + Wy — 0,

i=l

где k = = 2,106; M = 0,43429. . .\W'x = M • 103 • Wx

W'y = 434^9Wy (Wx и — в метрах).

§ 73. ПОДСЧЕТ ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ

УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

Выбор необходимых условных уравнений в сети, которые были

бы одновременно и независимыми друг от друга, — ответствен

нейшая задача уравнительных вычислений.

Важно так отобрать условные уравнения для последующего

уравнивания, чтобы не было пропущено ни одного необходи

мого условия, так как в противном случае некоторые геометри

ческие соотношения сети, в которые входят данные условия,

удовлетворены не будут. Однако включение лишнего условия,

которое будет зависимым, приведет при решении нормальных

уравнений к неопределенности вида 0 : 0.

Возникновение зависимых условных уравнений связано

с тем, что каждая избыточно измеренная величина находится

в нескольких математических соотношениях с другими вели

чинами. При этом для построения сети достаточно удовлетво

рить только одно. Все остальные соотношения будут следст

виями уже принятых ранее условных уравнений. Так, например,

если в центральной системе (рис. 139) измерено девять углов,

то в ней можно составить пять угловых условий и четыре по

люсных, принимая за полюс любую из вершин центральной

системы. Но независимыми будут только четыре угловых усло

вия — три условия фигур и условие горизонта и одно полюсное,

(16.46)

= 434,29 Wx\

Рис. 139. Измеренные углы для под- Рис. 140. Схема определения необ-

счета независимых условных уравне- ходимых и избыточных измерений

ний в сети триангуляции

остальные же условия будут зависимыми, вытекающими из

принятых.

Действительно, всего можно составить следующие пять уг

ловых условных уравнений:

(/)+(2) + (3) + Г х = 0, где Wt --= 1 + 2 + 3 - 180°;

(4) + (5) + (6) + W2 = 0, » W2 = 4 + 5 + 6 - 180°;

(7)+ (8)+ (5) 4-^з = 0, » Ws — 7 + 8 + 9— 180°;

(3) + (5) + (7) + W4 = 0, » Wi = 3 + 5 + 7— 360°;

(/) + (4) + (6) + (в) + » W6 = l + 4 + 6 + 8 +

+ (9) +(2) -|- Wr, = 0, + 9 + 2— 180°.

Очевидно, что пятое уравнение есть следствие первых че

тырех (если из суммы первых трех уравнений вычесть четвер

тое, то получится пятое уравнение). Точно так же из четырех

полюсных условий независимым будет только одно.

Аналогично и в геодезическом четырехугольнике можно со

ставить пять условий фигур и пять полюсных условий, из ко

торых независимыми будут только три условия фигур и одно

полюсное.

В качестве независимых условных уравнений можно выби

рать любые из возникающих в данной сети. При этом руковод

ствуются тем, чтобы выбранные условия были наиболее прос

тыми и содержали меньшее число искомых поправок. Так, на

пример, в центральных системах условные уравнения горизонта

и полюса могут быть заменены условными уравнениями абс

цисс и ординат, однако последние немного сложнее первых,

поэтому всегда составляют первые.

Число необходимых условий и формулы их подсчета опре

деляются тем, что является непосредственно измеренной вели

чиной,— угол или направление.

Для определения вида и числа необходимых (независимых)

условных уравнений существуют два способа: аналитический

и графический. Рассмотрим аналитический способ в свободных

и несвободных сетях триангуляции.

В свободных сетях триангуляции при уравнивании по углам

исходят из следующих соображений.

Для построения сети необходимо иметь не менее двух ис

ходных пунктов либо один пункт, длину линии и азимут на

второй пункт. Таким образом, два первых пункта А я В явля

ются исходными (рис. 140) и не требуют проведения измере

ний. Для получения координат каждого последующего пункта

необходимо в треугольниках измерять по два любых угла. Эти

углы будут необходимыми величинами (на рис. 140 они отме

чены дугами). Таких углов в сети, состоящей из п пунктов,

будет

k = (п—2) 2 = 2 п—4.

Все остальные измеренные углы будут избыточными. Если

всего измерено N углов, то избыточных величин 5 будет

S = N—k = N— 2n + 4. (16.47)

Поскольку каждое избыточное измерение ведет к появлению

одного независимого условного уравнения, то формула (16.47)

определяет общее число условных уравнений, возникающих

в сети.

Чтобы определить число этих уравнений по видам, необхо

димо учесть, что для построения первых трех пунктов надо

иметь три линии, а для построения всех последующих доста

точно иметь по две линии на пункт. Все остальные линии, сое

диняющие уже построенные пункты, будут избыточными, по

зволяющими дважды вычислить некоторые стороны сети, т. е.

каждая такая избыточная линия ведет к появлению одного

полюсного условия. На рис. 140 черточками отмечены необхо

димые линии, сторона же AF является избыточной.

Таким образом, если сеть состоит из п пунктов, то число

необходимых линий будет равно k = 3 + (п —3)-2 = 2п—3. При

измерении в сети р линий число избыточных величин, опреде

ляющих число полюсных условий с, будет

с = р—k — p—2л+ 3. (16.48)

Число условий горизонта q определяется непосредственно

по схеме сети по числу центральных точек, вокруг которых из

мерены все углы. Условие фигур возникает в замкнутых фигу

рах, образованных сплошными* сторонами. В сети из п пунк

тов для образования одной замкнутой фигуры необходимо

иметь п сплошных сторон. Например, если три пункта соеди

нить тремя сплошными линиями, получим треугольник, если

соединить четыре пункта, то получим четырехугольник и т. д.

* Сплошными называют стороны, по которым проведены наблюдения

с обоих концов, а несплошными — если наблюдения выполнены с одного

конца линии.

Таким образом, если в сети из

п пунктов имеется L сплошных

сторон, то число необходимых

условий фигур

f = l—n + l. (16.49)

При уравнивании по направ

лениям рассуждения остаются

такими же, как и при уравнива

нии но углам, только в этом слу

чае в качестве необходимых ве

личин помимо двух направлений,

нужных для построения каждого

последующего пункта, на дан

ном пункте должно иметься одно

начальное «ориентирующее» направление, от которого ведется

их отсчитывание (на рис. 141 начальное направление на каж

дом пункте показано стрелочкой с точкой), т. е. число измерен

ных направлений на единицу больше числа углов. Таким обра

зом, если в сети имеется п пунктов и для построения первых

двух не требуется измерений, то необходимых направлений

будет

k = (n—2) 2+п=2л— 4 + n = 3 n —4.

Если измерено D направлений, то число избыточных вели

чин S, определяющих число независимых условных уравнений,

будет

S = D — З/г + 4. (16.50)

В сети, уравненной по направлениям, условия горизонта от

сутствуют. Однако если уравнивание такой сети будет произ

водиться по углам, их надо составлять и число подсчитывать

по схеме сети.

Число условий горизонта может быть подсчитано и анали

тически, исходя из того, что общее число условных уравнений

при уравнивании по углам будет больше общего числа их при

уравнивании по направлениям на число условий горизонта.

Поэтому составив разность из уравнений (16.47) и (16.50), по

лучим

q = N.—D + n, (16.51)

где D равно удвоенному числу всех сплошных сторон сети плюс

количество несплошных.

Число полюсных условий подсчитывается так же, как и при

уравнивании по углам — по числу линий, т. е.

с— р—2 п + З.

Число условий фигур будет равно разности между числом

всех условий и числом полюсных, т. е.

fr=S — c = D—З/г + 4—р + 2п—3 или f — D — п — р-\- 1. (16.52)

Рис. 141. Схема для подсчета

числа необходимых измерений по

направлениям